Введение в эконометрику. Модель парной регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Введение в эконометрику. Модель парной регрессии

План

1. Предмет - эконометрика

2. Экономические переменные и эконометрические модели

3. Основные понятия и проблемы эконометрического моделирования

4. МНК оценки коэффициентов линейной парной регрессии

5. Геометрическая интерпретация МНК. Матричная форма определения коэффициентов

Литература

1. Предмет - эконометрика

Эконометрика - это самостоятельная научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, приемов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе: экономической теории, экономической статистики и экономических измерений, математико-статистического инструментария придавать конкретное количественное выражение общим (качественным) закономерностям, обусловленным экономической теорией.

Сегодня деятельность в любой области экономики (управлении, финансово-кредитной сфере, маркетинге, учете, аудите) требует от специалиста применения современных методов работы, знания достижений мировой экономической мысли, понимания научного языка. Большинство новых методов основано на эконометрических моделях, концепциях, приемах. Без глубоких знаний эконометрики научиться их использовать невозможно. Чтение современной экономической литературы также предполагает хорошую эконометрическую подготовку.

Специфической особенностью деятельности экономиста является работа в условиях недостатка информации и неполноты исходных данных. Анализ такой информации требует специальных методов, которые составляют один из аспектов эконометрики. Центральной проблемой эконометрики является построение эконометрической модели и определение возможностей ее использования для описания, анализа и прогнозирования реальных экономических процессов.

Название «эконометрика» введено в 1926 г. норвежским экономистом и статистиком Рагнаром Фришем. Буквальный перевод этого понятия - «измерения в экономике». Р.Фриш дал следующее определение эконометрики.

Эконометрика - это не то же самое, что экономическая статистика. Она не идентична и тому, что мы называем экономической теорией, хотя значительная часть этой теории носит количественный характер. Эконометрика не является синонимом приложений математики к экономике. Как показывает опыт, каждая из трех отправных точек - статистика, экономическая теория и математика - необходимое, но не достаточное условие для понимания количественных соотношений в современной экономической жизни. Это - единство всех трех составляющих. И это единство образует эконометрику.

При этом в рамках экономической теории интересуют не просто качественные взаимосвязи переменных, но и подходы к их формализации, включающие в себя методы спецификации моделей с проблемой их идентификации. В экономической статистике непосредственно будет интересовать лишь информационное обеспечение модели (выбор показателя, обоснование способа измерения, статистические наблюдения и т.п.). Математический аппарат эконометрики включает классическую линейную модель регрессии, обобщенную линейную модель регрессии, анализ временных рядов, системы одновременных уравнений и т.п. Это «приземление» экономической теории на конкретную статистику и получение конкретных количественных показателей является ключевым в понимании сути эконометрики. Экономическая теория становится эконометрикой, когда символически представленные в экономических взаимосвязях коэффициенты заменяются конкретными численными оценками, полученными на базе соответствующих экономических данных.

Главное назначение эконометрики - экономические и социально-экономические приложения, т.е. модельное описание конкретных количественных взаимосвязей, существующих между экономическими показателями.

Задачи эконометрики можно классифицировать по трем параметрам: по конечным прикладным целям, по уровню иерархии и по профилю анализируемой экономической системы:

· По конечным целям - две основные:

а) прогноз экономических, социально-экономических показателей, характеризующих состояние и развитие экономической системы;

б) имитация возможных сценариев социально-экономического развития системы;

· По уровню иерархии анализируемой экономической системы можно выделить:

а) макроуровень - это страна в целом, модели национальной экономики;

б) мезоуровень - модели региональной экономики, отраслей, корпораций;

в) микроуровень - модели поведения потребителей, семьи, фирмы, предприятия.

· По профилю - исследование может быть сконцентрировано на проблемах рынка, инвестиционной, финансовой или социальной политики, ценообразования, распределительных отношений, спроса и потребления и т.п.

2. Экономические переменные и эконометрические модели

Основные идеи экономики - взаимосвязь между экономическими переменными.

- Спрос на товар - функция его цены.

- Затраты на производство - функция объема производства.

- Потребительские расходы - функция дохода и т.д.

Это примеры взаимосвязей между двумя переменными, одна из которых (спрос, затраты, расходы) является объясняемой переменной (результирующим показателем), а другие - объясняющими переменными (факторами-аргументами). Как правило, в каждое такое соотношение вводится несколько объясняющих переменных и остаточная, случайная составляющая, отражающая влияние всех неучтенных факторов. Например, спрос на товар можно рассматривать как функцию его цены, потребительского дохода и цен на конкурирующие и дополняющие товары.

Случайная составляющая обуславливает стохастический характер зависимости: даже фиксировав значения объясняющих переменных, мы не можем ожидать однозначно, каким будет спрос на товар. В прикладном статистическом анализе изучаются различные варианты формализации понятия стохастической зависимости. Наиболее распространенной формализацией зависимости между результирующим показателем у и объясняющими переменными х₁, х₂, …, х_n в экономике является аддитивная линейная форма:

где - некоторые параметры (обычно неизвестные до проведения анализа), - случайная составляющая, характеризующая разницу между модельным и наблюдаемым значениями. Под модельным значением переменной понимают её значение, восстановленное по заданным значениям объясняющих переменных при условии, что коэффициенты известны.

Поясним понятия аддитивности и линейности.

Функция линейна по всем независимым переменным тогда и только тогда, когда не включает, эффект данного изменения по не зависит от .

Функция является аддитивной потогда и только тогда, когда не включает (), эффект данного изменения по каждой независимой переменной не зависит от уровня другой. Аддитивность позволяет совместный эффект изменения по всем учтенным независимым переменным получить сложением отдельно вычисленных эффектов изменений по каждой из них.

Рассмотрим некоторые примеры оценки линейности и аддитивности.

Функция			Линейность	Аддитивность по х1, х2
			по х1	по х2
а1х12+а2х22+а3х1х2	2а1х1+а3х2	2а2х2+а3х1	нет	нет	нет
х2/x1	-х2/x12	1/x1	нет	да	нет
а1х12+а2х2	2а1х1	а2	нет	да	да
x1a х2b	ax1a-1 х2b	bx1a х2b-1	нет	нет	нет
а1х1x2 2+а2 lnх2	а1x2 2	2а1х1x22+а2 /х2	да	нет	нет
а1х1+а2х2+а3х1х2	а1+а3х2	а2+а3х1	да	да	нет
а1х1+а2 lnх2	а1	а2 /х2	да	нет	да
а1х1+а2х2	а1	а2	да	да	да

После выявления отдельных соотношений их группируют в модель. Математическая модель - это упрощенное, формализованное представление реальности. «Модели должны быть настолько простыми, насколько возможно, но не проще» - сказал Эйнштейн.

Все экономические модели имеют общие особенности:

- они основаны на предположении, что поведение экономических переменных определяется с помощью совместных и одновременных операций с некоторым числом экономических соотношений;

- принимается, что модель улавливает главные характеристики изучаемого объекта;

- полагается, что на основе достигнутого с ее помощью понимания реальной системы удастся предсказать будущее движение экономических показателей.

Можно выделить три основных класса моделей.

Регрессионные модели с одним уравнением.

,

- параметры, - независимые объясняющие переменные. В зависимости от вида функции f модели делятся на линейные и нелинейные:

, ,

,

Модели временных рядов. К ним относятся модели:

Тренда -

Сезонности -

Тренда и сезонности - - аддитивная

- мультипликативная

Системы одновременных уравнений. Модели описываются системами уравнений, состоящих из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых может кроме объясняющих переменных, включать в себя объясняемые переменные из других уравнений системы.

Классическим примером такой системы является модель спроса Q^d и предложения Q^s, когда спрос на товар определяется его ценой Р и доходом потребителя I, предложение товара - его ценой Р и достигается равновесие между спросом и предложением:

При моделировании экономических процессов встречаются два типа данных:

- пространственные данные - данные по разным фирмам и предприятиям в один момент времени;

- временные ряды - ежеквартальные данные по инфляции, з.п., национальному доходу и т.п.

3. Основные понятия и проблемы эконометрического моделирования

К основным понятиям эконометрики можно отнести:

- понятия экзогенных и эндогенных переменных, объясняемых и объясняющих переменных, предопределенных переменных;

- понятия структурной и приведенной форм модели.

Экзогенные переменные - «внешние», автономные, в определенной степени управляемые.

Эндогенные переменные - формируются в процессе и «внутри» социально-экономической системы в большей мере под воздействием экзогенных переменных, в модели - объясняемые переменные.

Предопределенные переменные - факторы-аргументы, объясняющие переменные. Множество предопределенных переменных формируется из всех экзогенных переменных и лаговых эндогенных переменных - эндогенных переменных, значения которых уже вычислены в прошлые моменты времени.

В модели спроса и предложения экзогенной переменной выступает доход потребителя I, а эндогенными - спрос (предложение) товара Q^d = Q^s = Q и цена товара (цена равновесия) Р.

При построении и анализе эконометрических моделей различают её структурную и приведенную формы. Структурная форма модели отражает наше представление о характере связи между переменными и наборе переменных, участвующих в уравнениях. Часто эндогенные переменные обозначают через Y, а экзогенные переменные - через Х. Эндогенные и экзогенные переменные могут находиться как по разные стороны, так и по одну сторону от знака равенства. Если удается выразить все эндогенные переменные через предопределенные, то получают приведенную (редуцированную) форму модели.

Структурная форма	Приведенная форма

В процессе эконометрического моделирования приходится решать следующие проблемы.

Проблема спецификации модели включает в себя:

- определение конечных целей моделирования;

- определение набора экзогенных и эндогенных переменных;

- определение состава системы уравнений, их структур, набора предопределенных переменных;

- формулировка исходных ограничений относительно стохастической составляющей.

Спецификация модели - важнейший этап исследования, от успешности решения которого зависит успех всего исследования. Спецификация опирается на имеющиеся экономические теории, специальные знания, интуицию.

Проблема идентифицируемости заключается в том, что нас интересует поведение эндогенных переменных, которые являются случайными величинами.

Уравнение структурной формы называется точно идентифицируемым, если все участвующие неизвестные коэффициенты однозначно восстанавливаются по коэффициентам приведенной формы без ограничений на значения последних. Эконометрическая модель точно идентифицируема, если все уравнения ее структурной формы являются точно идентифицируемыми. Если хотя бы один коэффициент не может быть восстановлен, то уравнение - не идентифицируемо и модель - тоже. Проблема идентификации заключается в «настройке» модели на реальные статистические данные.

Необходимо различать проблему идентифицируемости - проблему возврата от ПФМ к ее структурной форме - от проблемы идентификации - т.е. проблемы выбора и реализации методов статистического оценивания параметров.

Проблема верификации модели заключается в решении вопроса о возможностях применения модели. Какова точность прогнозных и имитационных расчетов. Методы верификации основаны на статистической проверке гипотез и анализе характеристик точности оценивания. Часто используют ретроспективные расчеты: все исходные данные разбивают на две части - обучающую выборку и экзаменующую выборку. По 1-й части определяют значения всех неизвестных параметров и получают модельные значения для 2-й части, которые сравнивают с реальными значениями.

4. МНК оценки коэффициентов линейной парной регрессии

Рассмотрим простейшую модель

.

Величина у рассматривается как зависимая переменная, состоящая из двух частей: неслучайной составляющей , где х - объясняющая переменная, и - параметры, - случайный член. Имеется несколько причин включения случайного члена.

1. Невключение объясняющих переменных. Соотношение между х и у является упрощением, и существуют другие факторы, влияющие на у. Или переменные, которые мы хотели бы включить, не можем измерить их, например, психологический фактор. Или мы просто не знаем пока какие ещё переменные влияют на у.

5. Агрегирование переменных. Во многих случаях рассматриваемая зависимость - это попытка объединить вместе некоторое число микроэкономических соотношений. Например, функция суммарного потребления, т.е. объединение решений многих индивидов. Наблюдаемое расхождение объясняет случайный член.

6. Неправильное описание структуры. Структура модели неправильна или не вполне правильна. Например, у зависит не от фактического х, а от у_t-1 - предыдущего значения, при этом может казаться, что между х и у существует связь. Расхождения при этом описываются .

7. Неправильная функциональная спецификация. Математически зависимость х и у описывается не так. Например, зависимость не является линейной.

8. Ошибки измерения. Неизбежны.

Таким образом, является суммарным проявлением всех этих причин.

Рассмотрим задачу «наилучшей» аппроксимации набора наблюдений Х _t и У_t, линейной функцией в смысле минимизации функционала

.

Необходимое условие экстремума:

,

или в стандартной форме нормальных уравнений:

или

Решение системы можно записать в виде

, .

Получим значения и в отклонениях, т.е. пусть

x_t = X_t - , y_t = Y_t - .

Можно показать, что = = 0. Замена X_t, Y_t на x_t, y_t означает перенос системы координат, а прямая останется прежней. После замены получим:

= 0, .

Часто удобно перейти к стандартизованному масштабу:

, .

Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе примет вид:

,

где .

Связь между обычным и стандартизованным масштабом выражается следующим образом:

, .

И, наконец, коэффициенты регрессии могут быть определены с помощью ППП Excel, Statgraphic.

Параметр называют коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. Формально - значение у при х = 0. Если х не имеет и не может иметь нулевого значения, то у = не имеет смысла. Параметр может не иметь экономического содержания, и попытка его интерпретировать может привести к абсурду. Интерпретировать можно лишь знак : если > 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора.

Пример. Предположим по группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, рассматривается функция издержек

.

Информация, необходимая для расчета и дана в таблице.

№ предприятия	1	2	3	4	5	6	7
Выпуск продукции, х	1	2	4	3	5	3	4
Затраты на производство, у	30	70	150	100	170	100	150

Решение.

1) По данным таблицы определим:

, , , , .

2) =

Уравнение регрессии примет вид: у = -5,789 + 36,842 х.

5. Геометрическая интерпретация МНК. Матричная форма определения коэффициентов

эконометрика моделирование парная регрессия

Рассмотрим n-мерное векторное пространство Rⁿ со стандартным евклидовым скалярным произведением

(Х,У) = Х^ТУ = . Пусть

, , , ,

.

Здесь и - числовые коэффициенты, - вектор, лежащий в плоскости, образованной векторами S и Х (естественно, что S и Х неколлинеарны, т.е. у Х не все числа одинаковы). Задача состоит в отыскании таких и , чтобы длина вектора е была минимальна. Очевидно, что решением является такой вектор , для которого вектор е перпендикулярен плоскости, образованной S и Х. Для этого необходимо, чтобы

, и или ,

т.е. опять пришли к стандартным нормальным уравнениям. Обозначим теперь

, , ,

условие ортогональности е плоскости (S,X) запишется так Х^Те = 0 или

Х^Т(У - Х) = Х^ТУ - Х^ТХ = 0 Х^ТУ = Х^ТХ и

Нетрудно проверить, что все соотношения для и совпадают.

Литература

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ. 1998.

2. Бородич С.А. Вводный курс эконометрики. Мн.: Новое знание, 2001.

3. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: Инфра-М, 2001.

4. Елисеева И.И., Курышева С.В., Костеева Т.В., Бабаева И.В., Михайлов Б.А. Эконометрика. Учебник. М.: Финансы и статистика, 2006.

5. Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. М.: Дело, 1999.

Размещено на Allbest.ru