Для определения качества модели уравнения регрессии осуществляется процедура проверки гипотез. Статистическая гипотеза - это гипотеза о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение принадлежит критической области - гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение принадлежит области допустимых значений - гипотезу принимают. Правило принятия решения для проверки статистических гипотез - это модель расчета значений выборочных статистических показателей, на основании которых принимается или отвергается нулевая гипотеза.

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.

Нулевой гипотезой (H0) называют выдвинутую гипотезу.

Конкурирующей (альтернативной)(H1) называют гипотезу, которая противоречит нулевой.

Гипотезу, содержащую только одно предположение, называют простой. Например, математическое ожидание нормально распределенной величины равно 5. Гипотеза, которая состоит из двух или нескольких простых гипотез, называют сложной. Например, математическое ожидание нормально распределенной величины больше 5.

Так как проверку производят методами статистики, ее называют статистической. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать б , ее называют уровень значимости. Наиболее уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01.

Статистическим критерием называют случайную величину, которая служит для проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемым значением называют значения критерия, вычисленного по выборкам. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается.

Областью принятия гипотезы (область допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение принадлежит критической области - гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение принадлежит области допустимых значений - гипотезу принимают.

Критические точки - это точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Различают одностороннюю (лево- и правостороннюю) и двустороннюю критические области.

Правило принятия решения для проверки статистических гипотез - это модель расчета значений выборочных статистических показателей, на основании которых принимается или отвергается нулевая гипотеза.

Процедура проверки гипотезы следующая: необходимо сформулировать нулевую и альтернативную гипотезы; определить уровень значимости; найти наблюдаемое значение, используя формулу стандартизированного критерия; по таблице выяснить критическое значение в соответствии с уровнем значимости и размером выборки, если это необходимо; сравнить критическое значение с наблюдаемым, тем самым использовать правило принятия решения.

При проверке качества модели в первую очередь стоит обращать внимание на то, соответствует ли она логике экономического процесса, т.е. мы должны смотреть, реалистичны ли знаки коэффициентов перед независимыми переменными и реалистична ли их величина.

1. Метод критических значений (по таблицам):

a) Находим фактическое значение t:

b) Определяем число степеней свободы

m=n-k

c) Выбираем уровень значимости (т.е. вероятность ошибки): 1% или 5%.

d) Находим критическое значение по таблице:

в таблице выбираем клетку в строке, соответствующей числу степеней свободы и в столбце, соответствующем выбранному уровню значимости.

e) Сравниваем фактическое значение с табличным:

Если t > t , то коэффициент значим на выбранном уровне значимости (лучше сначала на 1% проверить). Т.е. нулевая гипотеза отвергается.

Если t < t , то коэффициент не значим. Нулевая гипотеза не отвергается.

F-статистика:

1. По таблицам:

a) Рассчитываем фактическое по формуле:

b) Находим табличное:

· Выбираем уровень значимости б (1% или 5%)

· Вычисляем число степеней свободы: 1 и (n-2).

· По таблицам F-распределения Фишера определяем критическое значение Fб, 1, n-2 (всегда одностороннее)

c) Если Fстатистика(фактическое) > Fб , 1, n-2, то уравнение в целом является значимым при выбранном уровне значимости б .

d) В противном случае уравнение в целом незначимо (на данном уровне б).

Задание 1.

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих уравнений регрессии:

а) линейной;

б) параболической

в) степенной;

2. Рассчитать коэффициент корреляции или индекс корреляции и коэффициент детерминации по каждой модели.

3. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксиминации В и F-критерий Фишера.

1 Расчет параметров линейной регрессии.

Парная линейная регрессия - уравнение вида , где a и b - параметры регрессии, а - погрешность уравнения (случайная величина).

Параметры уравнения a и b, находят посредством Метода Наименьших Квадратов. Рассчитаем вспомогательные параметры в таблице:

По найденным значениям вычислим параметр b (коэффициент регрессии):

Рассчитаем значение а:

2. Для оценки тесноты связи в эконометрике используется коэффициент корреляции (r).

.

В нашем случае значение коэффициента корреляции 0,85 говорит о сильной связи между х и у, т.е. связь между индексом человеческого развития и душевым доходом очень сильная. Рассчитаем коэффициент детерминации R2. R2=(0.85)2= 0.72. Таким образом, вариация величины доли душевого дохода на 72% зависит от вариации индекса человеческого развития, а на остальные (100%-72%) 28% ? от вариации факторов, не включенных в модель.

3. Расчет средней ошибки аппроксимации.

Определим среднюю ошибку аппроксимации по формуле:

Используем данные вспомогательной таблицы:

Практически полагают, что значение средней ошибки аппроксимации не должно превышать 8-15%, для грубого приближения регрессии к реальной зависимости. В нашем случае средняя ошибка аппроксимации приблизительно равна указанному значению, поэтому можно говорить о том, что реальная зависимость существует.

4. Оценка значимости уравнения регрессии в целом даётся при помощи F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза (Н0), что b=0, и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на фактор у. Но перед этим следует произвести анализ дисперсии. Рассчитаем Dфакт и Dостат:

.

.

Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии получаем F-критерий (величину F-отношения): . Если гипотеза Н0 справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для того, чтобы опровергнуть гипотезу Н0, необходимо полученное F-отношение сравнить с табличным Fкр, которое берётся из таблиц Фишера - Снедекора (при разных уровнях значимости) или определяется по функции Excel FPACПОБР.

Вычислим критическое значение критерия Фишера на уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы факторной суммы k1 и числе степеней свободы остаточной суммы k2 с помощью статистической функции FPACПОБР: Fкр(=0,05, k1 =k-1; k2 =n-k)=5,32, где n=11 - объем выборки; k=2 - количество коэффициентов в уравнении.

Так как F=23 Fкр (=0,05, k1 = 1; k2 =9)=5, то нулевая гипотеза Н0 отвергается и утверждается, что фактор х оказывает влияние на фактор у, уравнение регрессии признаётся значимым (модель достоверна).

2 Расчет параметров параболической регрессии

Спецификация модели зависимости у от х с помощью параболической функции

Приведем эту функцию к линейному виду. Для этого заменив переменные х=х1, х2=х2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:

а=-397, b1=5435, b2=-209

,

Где - общая дисперсия результативного признака;

- остаточная дисперсия для уравнения .

Для расчета используем вспомогательную таблицу:

.

Можно сделать вывод, что связь между параметрами сильная.

Рассчитаем коэффициент детерминации R2.

R2=(0,83)2= 0.7.

Доля общего варьирования достаточно высокая, значит изменяемость у обусловлена изменяемостью х. Расчет средней ошибки аппроксимации.

Полученный результат говорит о том, что существует реальная зависимость между факторами.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом даётся при помощи F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза (Н0), что b=0, и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на фактор у.

.

.

Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии получаем F-критерий (величину F-отношения): . Вычислим критическое значение критерия Фишера на уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы факторной суммы k1 и числе степеней свободы остаточной суммы k2 с помощью статистической функции FPACПОБР: Fкр(=0,05, k1 =k-1; k2 =n-k)=5, где n=11 - объем выборки; k=3 - количество коэффициентов в уравнении.

Так как F=19 Fкр (=0,05, k1 =2; k2 =8)=5, то нулевая гипотеза Н0 отвергается и утверждается, что фактор х оказывает влияние на фактор у, уравнение регрессии признаётся значимым (модель достоверна).

3 Рассчитаем параметры степенной регрессии

Степенная регрессия - уравнение вида

Для линеаризации степенной функции используется метод логарифмирования. Получаем: lnY=lna+blnX.

К полученной функции применяем метод замены: где Yн=lnY, aн=lna, Хн=lnХ и получаем функцию Yн= aн+bХн, которая является линейной и её коэффициенты можно вычислить методом наименьших квадратов.

Создадим базу данных значений х и у:

По найденным значениям вычислим параметр b:

Рассчитаем значение ан:

Коэффициент а вычисляется по формуле: а=exp(aн)=exp(8,57)=5246,5

Рассчитаем коэффициент корреляции (r).

.

Таким образом можно говорить о сильной связи между х и у.

Рассчитаем коэффициент детерминации R2.

R2=(0.88)2= 0.77

Доля общего варьирования достаточно высокая, значит изменяемость у обусловлена изменяемостью х.

Расчет средней ошибки аппроксимации.

Полученный результат говорит о том, что существует реальная зависимость между факторами. Оценка значимости уравнения регрессии в целом даётся при помощи F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза (Н0), что b=0, и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на фактор у.

.

Вычислим критическое значение критерия Фишера на уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы факторной суммы k1 и числе степеней свободы остаточной суммы k2 с помощью статистической функции FPACПОБР: Fкр(=0,05, k1 =k-1; k2 =n-k)=5,32, где n=11 - объем выборки; k=2 - количество коэффициентов в уравнении.

Так как F=29,6 Fкр (=0,05, k1 = 1; k2 =9)=5,1, то нулевая гипотеза Н0 отвергается и утверждается, что фактор х оказывает влияние на фактор у, уравнение регрессии признаётся значимым (модель достоверна).

4.Найти частные средние коэффициенты эластичности.

Решение: Линейная модель множественной регрессии имеет вид: