Построение и анализ модели множественной регрессии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построение и анализ модели множественной регрессии



По исходным данным требуется:

1. Построить классическую линейную модель множественной регрессии, выполнить экономический анализ основных показателей модели: коэффициентов "чистой" регрессии, индекса корреляции, индекса детерминации, оценить значимость модели в целом (F-критерий Фишера) и отдельных ее параметров (t-статистика Стьюдента).

2. Проанализировать матрицу парных коэффициентов корреляции на наличие мультиколлинеарности. Если мультиколлинеарность присутствует - устранить (или ослабить) ее методом пошагового отбора переменных.

3. Построить линейную модель регрессии только со значимыми факторами (на основании выводов, сделанных в п.п. 1 и 2). Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели. Оценить качество построенной модели (индексы корреляции и детерминации, F-критерий Фишера, средняя относительная ошибка аппроксимации). Дайте оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, в- и Д- коэффициентов.

4. Построить и проанализировать линейную модель парной регрессии с наиболее значимым фактором. Сравнить качество моделей, построенных в п.п. 3 и 4.

5. Осуществить прогнозирование (точечный прогноз и доверительный интервал прогноза) среднего значения показателя Y при уровне значимости = 0,1 при условии, что прогнозное значения фактора X составит 80% от его максимального значения (для однофакторной модели).

6. Представить графически: фактические и модельные значения, точечный прогноз и доверительный интервал прогноза (для однофакторной модели).

Изучите зависимость стоимости квартиры от ряда основных факторов.



Таблица 1 - Исходные данные

№ п/п	Х1 - общая площадь квартиры (м2)	X2 - жилая площадь квартиры (м2)	X3 - тип дома (1 - кирпичный, 0 - другой)	X4 - наличие балкона (1 - есть, 0 - нет)	Y - цена квартиры, тыс. долл.
1	39,0	20,0	0	1	15,9
2	68,4	40,5	0	1	27,0
3	34,8	16,0	0	1	13,5
4	39,0	20,0	0	1	15,1
5	54,7	28,0	0	1	21,1
6	74,7	46,3	0	1	28,7
7	71,1	45,9	0	0	27,2
8	74,5	47,5	0	0	28,3
9	137,7	87,2	0	1	52,3
10	40,0	17,7	1	1	22,0
11	53,0	31,1	1	1	28,0
12	86,0	48,7	1	1	45,0
13	98,0	65,8	1	1	51,0
14	62,6	21,4	1	1	34,4
15	45,3	20,6	1	1	24,7
16	56,4	29,7	1	1	30,8
17	37,0	17,8	0	1	15,9
18	67,5	43,5	0	1	29,0
19	37,0	17,8	0	1	15,4
20	69,0	42,4	0	1	28,6
21	40,0	20,0	0	0	15,6
22	69,1	41,3	0	1	27,7
23	68,1	35,4	1	1	34,1
24	75,3	41,4	1	1	37,7
25	83,7	48,5	1	1	41,9
26	48,7	22,3	1	1	24,4
27	39,9	18,0	1	0	21,3
28	68,6	35,5	1	1	36,7
29	39,0	20,0	1	0	21,5
30	48,6	31,0	1	0	26,4

регрессия корреляция интервал прогноз

Решение

Линейная модель множественной регрессии имеет вид:



,

где - расчётные значения исследуемой переменной,

- факторные переменные.

- коэффициенты уравнения, каждый из которых показывает, насколько изменится значение исследуемого признака при изменении соответствующего фактора на 1 при неизменных прочих факторных переменных.

Рассмотрим факторные признаки для построения регрессионной модели.

Цена квартиры - это зависимая переменная Y;

Независимые объясняющие переменные:

- общая площадь квартиры Х1;

- жилая площадь квартиры Х2;

- тип дома Х3;

- наличие балкона Х4

1. Построим классическую модель множественной регрессии

Классическая линейная модель множественной регрессии можно представить в виде:

Проведем регрессивный анализ, используя инструмент Excel "Регрессия" (Сервис - Анализ данных - Регрессия).

Таблица 2 - Протокол выполнения регрессивного анализа многофакторной модели

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,9899
R-квадрат	0,9800
Нормированный R-квадрат	0,9768
Стандартная ошибка	1,5612
Наблюдения	30
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	4	2979,3358	744,8339	305,5792	7,88E-21
Остаток	25	60,9362	2,4374
Итого	29	3040,2720
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	-1,4274	1,0985	-1,2994	0,2057	-3,6897	0,8350	-3,6897	0,8350
Переменная X 1	0,3541	0,0663	5,3387	0,0000	0,2175	0,4907	0,2175	0,4907
Переменная X 2	0,0743	0,0905	0,8207	0,4196	-0,1121	0,2607	-0,1121	0,2607
Переменная X 3	8,1470	0,6364	12,8010	0,0000	6,8363	9,4578	6,8363	9,4578
Переменная X 4	1,6286	0,7845	2,0759	0,0483	0,0129	3,2443	0,0129	3,2443

Из анализа получаем коэффициенты уравнения.

Уравнение регрессии зависимости цены квартиры от независимых объясняющих переменных принимает вид:

y = -1,4274 + 0,3541 x1 + 0,0743 x2 + 8,1470 x3 + 1,6286 x4

Оценим качество модели.

Определим коэффициент детерминации.

R2 =

Коэффициент детерминации показывает, что около 98% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

Коэффициент множественной корреляции R = 0,9899

Он показывает высокую тесноту связи зависимой переменной Y с двумя включенными в модель объясняющими факторами.

Оценим значимость модели в целом на основе вычисления F-критерия Фишера.

По данным дисперсионного анализа F = 305,5792

Табличное значение F-критерия со степенями свободы



х 1= k и х2 = (n - k - 1),

где n = 30 (количество наблюдений), k = 4 (количество факторов, включенных в модель) найдем при помощи функции FРАСПОБР()

F табл = 2,7587

Поскольку F > Fтабл, уравнение регрессии следует признать адекватным.

С помощью t-статистики Стьюдента оценим статистическую значимость отдельных параметров.

По данным дисперсионного анализа:

tb0 = -1,2994, tb1 = 5,3387, tb2 = 0,8207, tb3 = 12,8010, tb4 = 2,0759

Табличное значение t-статистики Стьюдента найдем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР()

t табл = 2,0595

Среди всех коэффициентов значимыми (tb > tтабл) являются коэффициенты b1, b3 и b4.

По такой модели прогноз сделать не представляется возможным, поскольку большинство коэффициентов регрессии при переменных не значимы.

2. Проведем корреляционный анализ для исключения незначимых факторов и устранения мультиколлинеарности.

Используем инструмент Excel "Корреляция" (Сервис - Анализ данных - Корреляция).

Таблица 3 - Матрица коэффициентов парной корреляции

	y - цена квартиры, тыс. долл.	x1 - общая площадь квартиры (м2)	x2 - жилая площадь квартиры (м2)	x3 - тип дома (1- кирпичный, 0 - другой)	x4 - наличие балкона (1- есть, 0 - нет)
y - цена квартиры, тыс. долл.	1
x1 - общая площадь квартиры (м2)	0,9066	1
x2 - жилая площадь квартиры (м2)	0,8438	0,9725	1
x3 - тип дома (1- кирпичный, 0 - другой)	0,3927	-0,0005	-0,0976	1
x4 - наличие балкона (1- есть, 0 - нет)	0,2313	0,1967	0,1133	0	1

Анализ матрицы показывает, что цена квартиры имеет тесную связь с индексами:

x1 - общая площадь квартиры (0,9066)

x2 - жилая площадь квартиры (0,8438)

Факторы х1 и х2 тесно связаны между собой (0,9725 > 0,8438), т. е. наблюдается мультиколлинеарность, поэтому оставляем в модели фактор х1.

После исключения незначимых факторов n = 30, k = 1

3. Построим линейную модель регрессии только со значимыми факторами.

Таблица 3 - Протокол выполнения регрессионного анализа только со значимыми факторами

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,9066
R-квадрат	0,8220
Нормированный R-квадрат	0,8156
Стандартная ошибка	4,3968
Наблюдения	30
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	2498,9831	2498,9831	129,2684	5,26E-12
Остаток	28	541,2889	19,3317
Итого	29	3040,2720
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	2,9342	2,3495	1,2488	0,2221	-1,8786	7,7470	-1,8786	7,7470
Переменная X 1	0,4123	0,0363	11,3696	0,0000	0,3380	0,4866	0,3380	0,4866

Из анализа получаем коэффициенты уравнения регрессии а0, а1.

Уравнение регрессии зависимости цены квартиры только от общей площади квартиры принимает вид:

y = 2,9342 + 0,4123x1

Это означает, что величина стоимости квартиры в среднем по совокупности возрастала на 412,3 долларов при увеличении общей площади квартиры на 1 м².

Оценим качество построенной модели, определив коэффициент детерминации.

R2 = 1 -

Коэффициент детерминации показывает, что около 82,2% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием наиболее значимого фактора.

Коэффициент множественной корреляции R = 0,9066

Он показывает высокую тесноту связи зависимой переменной у с объясняющим фактором.

Оценим значимость модели в целом на основе вычисления F-критерия Фишера.

По данным дисперсионного анализа F = 129,2684

Табличное значение F-критерия со степенями свободы

х1= k и х2 = (n - k - 1),

где n = 30 (количество наблюдений), k = 1 (количество факторов, включенных в модель) найдем при помощи функции FРАСПОБР()

Fтабл = 4,19597

Поскольку F > Fтабл, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

Еотн.ср. 14,85

Поскольку Eотн.ср. меньше 15%, следовательно точность считается удовлетворительной.

4. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя Y при условии, что прогнозное значения фактора X составит 80% от его максимального значения.

Точечный прогноз вычисляем путём подстановки в уравнение прогнозного значения факторной переменной:

Для однофакторной модели максимальное значение

Х = 137,7 Ч 80% = 110,16

= 48,3547

Доверительный интервал прогноза зависит от стандартной ошибки, удаления xпрогн от своего среднего значения в ряде наблюдений xср, количества наблюдений n и уровня значимости прогноза б:

Стандартная ошибка Sст = 4,3968 (по данным таблицы 3).

t0,1 = СТЬЮДРАСПОБР(0,1; 28) = 1,7011

Доверительный интервал L = 1,3204

Фактические значения исследуемого признака с вероятностью (1 - б) попадут в интервал

.

5. Представим графически: фактические и модельные значения, точечный прогноз и доверительный интервал прогноза (для однофакторной модели).

Таблица 4 - Прогнозирование цены

№ п/п	Фактическое y - цена квартиры, тыс. долл.	x1 - общая площадь квартиры, (м2)	Предсказанное y - цена квартиры, тыс. долл.
1	15,9	39	19,0144
2	27	68,4	31,1365
3	13,5	34,8	17,2827
4	15,1	39	19,0144
5	21,1	54,7	25,4878
6	28,7	74,7	33,7341
7	27,2	71,1	32,2497
8	28,3	74,5	33,6516
9	52,3	137,7	59,7098
10	22	40	19,4268
11	28	53	24,7868
12	45	86	38,3932
13	51	98	43,3410
14	34,4	62,6	28,7451
15	24,7	45,3	21,6120
16	30,8	56,4	26,1887
17	15,9	37	18,1898
18	29	67,5	30,7654
19	15,4	37	18,1898
20	28,6	69	31,3839
21	15,6	40	19,4268
22	27,7	69,1	31,4251
23	34,1	68,1	31,0128
24	37,7	75,3	33,9814
25	41,9	83,7	37,4449
26	24,4	48,7	23,0139
27	21,3	39,9	19,3855
28	36,7	68,6	31,2189
29	21,5	39	19,0144
30	26,4	48,6	22,9727
31		110,16	48,3547

Таблица 5 - Результаты прогнозных оценок

Прогнозируемое значение	48,3547
Уровень значимости	0,1
Стандартная ошибка	4,3968
Размер выборки	30
Число степеней свободы	28
Табличное t-статистики Стьюдента	1,7011
Доверительный интервал	1,3204
Нижняя граница Y	47,0343
Верхняя граница Y	49,6751

Размещено на Allbest.ru