Розвиток теорії надання банківських послуг на прикладі ДФ АБ "Правексбанк"

Рис. 2.1 Форми та види статистичного спостереження

При виборі конкретного банку клієнти можуть ураховувати не тільки кількісні показники, але й рівень та культуру обслуговування; спектр, вартість, якість, послуг, репутацію банку тощо.

При аналізі даних використовують різні статистичні методи. З огляду на перевантаженість атрибутивними ознаками найчастіше вивчають структурні відмінності, застосовуючи непараметричні методи.

Для залучення даних для подальшої роботи було вибрано метод одноразового суцільного опитування за допомогою спеціально розробленої анкети (Рис. 2.2).

Опитувальний лист.

Шановний!

Наш Банк прагне якнайкраще догодити своїм клієнтам. Ми завжди прагнемо створити нові види послуг і нам цікава Ваша думка. Будь ласка, дайте відповіді на запитання цієї анкети.

1. Ви:

Працівник; Клієнт; Інше.

2. Який процент по кредиту Вас би влаштував?

автокредитування __, кредити на житло __, споживчі кредити __.

3. Який строк по кредиту Вас би влаштував?

автокредитування __, кредити на житло __, споживчі кредити __.

4. Який процент по депозиту Вас би влаштував?

3 місяці __, 6 місяців __, 9 місяців __, 12 місяців __.

5. Який строк по депозиту Вас би влаштував? ___

3 місяці ?, 6 місяців ?, 9 місяців ?, 12 місяців ?, інше __.

6. Якщо для отримання кредиту або депозиту в нашому Банку буде обов'язковим відкриття поточного рахунку, Ви погодитеся?

так, ні, не знаю, інше

______________________________________________

7. Якщо для отримання кредиту або депозиту в нашому Банку ми запропонуємо оформити на пільгових умовах пластикову картку,, Ви погодитеся?

так, ні, не знаю, інше

______________________________________________

8. Якщо ми запропонуємо Вам сплачувати більшу відсоткову річну ставку та одноразову комісію при оформленні кредиту замість меншої відсоткової річної ставки та щомісячної комісії по кредитам, Ви погодитеся?

так, ні, не знаю, інше

______________________________________________

9. Ваше відношення до я кості обслуговування в нашому Банку?

позитивне, негативне, нейтральне, інше

______________________________

10. Ваші пропозиції щодо покращення нашої роботи:

_______________________________________________________________________________________________________________________________

Рис. 2.2 Анкета

Велике поширення в статистиці мають середні величини, бо вони характеризують якісні показники будь-якої діяльності.

Середня - це один з найбільш розповсюджених прийомів узагальнень. Правильне розуміння сутності середньої визначає її особливу значимість в умовах ринкової економіки, коли середня через одиночне і випадкове дозволяє виявити загальне і необхідне, виявити тенденцію закономірностей економічного розвитку. Середня величина - це узагальнюючий показник, у якому знаходить вираження дія загальних умов, закономірностей досліджуваного явища.

Статистичні середні розраховуються на основі масових даних правильно статистично організованого масового спостереження.. Однак статистична середня буде об'єктивна і типова, якщо вона розраховується по масовим даним для якісно однорідної сукупності. Середня величина є відображенням значень досліджуваної ознаки, отже, вимірюється в тій же розмірності, що і ця ознака. Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність по який-небудь одній ознаці. Щоб одержати повне і всебічне представлення про досліджувану сукупність по ряду істотних ознак, у цілому необхідно мати систему середніх величин, що можуть описати явище з різних сторін.

Середня арифметична проста (незважена) дорівнює сумі окремих значень ознаки діленої на кількість цих значень.

, (2.1)

де - сума окремих значень ознаки;

n - число одиниць сукупності.

Але середня величина - це абстрактна, узагальнююча характеристика ознаки досліджуваної сукупності, вона не показує будівлі сукупності, що дуже істотно для її пізнання. Середня величина не дає представлення про те, як окремі значення досліджуваної ознаки групуються навколо середньої, чи зосереджені вони поблизу чи значно відхиляються від неї. У деяких випадках окремі значення ознаки близько примикають до середньої арифметичної і мало від неї відрізняються. У таких випадках середня добре представляє всю сукупність. В інші, навпаки, окремі значення сукупності далеко знаходяться від середньої, і середня погано представляє всю сукупність.

Коливання окремих значень характеризують показники варіації. Більшість статистичних закономірностей виявляється через варіацію. Вивчаючи варіацію значень ознаки в сполученні з його частотними характеристиками, ми виявляємо закономірності розподілу. Розглядаючи варіацію однієї ознаки паралельно зі зміною іншого, ми виявляємо взаємозв'язок між цими ознаками чи його відсутність. Варіації в статистиці виявляються подвійно, або через зміни значень ознаки в окремих одиницях сукупності, або через наявність чи відсутність досліджуваної ознаки в окремих одиницях сукупності.

Вивчення варіації в статистиці має як самостійну мету, так є і проміжним етапом більш складних статистичних досліджень.

Під варіацією в статистиці розуміють такі кількісні зміни величини досліджуваної ознаки в межах однорідної сукупності, що обумовлені перехресним впливом дії різних факторів.

Аналіз систематичної варіації дозволяє оцінити ступінь залежності змін у досліджуваній ознаці від визначаючих її факторів. Наприклад, вивчаючи силу і характер варіації у сукупності, можна оцінити, наскільки однорідною є дана сукупність у кількісному, а іноді і якісному відношенні, а отже, наскільки характерною є обчислена середня величина. Ступінь близькості даних окремих одиниць до середнього виміряється низкою абсолютних, середніх і відносних показників. Серед них:

Дисперсія - показник, що характеризує розсіювання значень ознаки щодо його середньої величини. Дисперсія - це середнє квадратичне відхилення всіх варіантів ряду віл середньої арифметичної.

, (2.2)

де - і-те значення ознаки;

- середня арифметична ознаки;

n - число значень ознаки.

Середнє квадратичне відхилення - це узагальнююча характеристика абсолютних розмірів варіації ознаки в сукупності. Середнє квадратичне відхилення є мірилом надійності середньої. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим краще середня арифметична відбиває собою всю сукупність, що представляється. Середнє квадратичне відхилення - це квадратний корінь з дисперсії.

, (2.3)

де - і-те значення ознаки;

- середня арифметична ознаки;

n - число значень ознаки.

Незважаючи на логічну подібність, дисперсія є більш чуттєвим до варіації, а, отже, й частіше застосовуваним показником.

Оскільки числові характеристики випадкової величини ми не можемо визначити точно, а знаходимо тільки їх оцінку, виникає питання, а на скільки ж воно відрізняється від справжнього?

Нехай нас цікавить величина інтервалу ? на який відхилиться від справжньої оцінки числової характеристики, розраховане за результатами експериментальної вибірки. При цьому ми повинні наперед визначити ймовірність ?, значення якої викликало б у нас довіру до цього інтервалу (тобто високу ймовірність - 0.8, 0.9, 0.95..). Цей інтервал так і називається - “довірчим”.

Отже нам треба зробити дію, зворотну визначенню ймовірності

P(|-Чх[X]|< ?)= ?, (2.4)

де Чх[X] - справжнє значення числової характеристики випадкової величини;

- оцінка цього значення.

Коли буде знайдено ?, то справжнє значення числової характеристики буде знаходитися в межах

- ? < Чх[X] <+ ?.

Розмір довірчого інтервалу для кожної числової характеристики можна знайти із застосуванням функції Лапласа (тут наведено варіант формули для квантиля таблиці t=):

- для математичного сподівання або середнього

; (2.5)

- для дисперсії

; (2.6)

де, ;

Ф^-1(?)- зворотне значення функції Лапласа, тобто таке значення аргументу (квантиля), при якому функція Лапласа дорівнює ?.

Для визначення взаємозв'язку між ознаками, які можна зранжувати, передусім на основі бальних оцінок, застосовуються методи рангової кореляції. Рангами називають числа натурального ряду, які згідно зі значеннями ознаки надаються елементам сукупності i певним чином упорядковують її. Ранжування проводиться за кожною ознакою окремо: перший ранг надасться найменшому значенню ознаки, останній -- найбільшому або навпаки. Кількість рангів дорівнює обсягу сукупності. Очевидно, зі збільшенням обсягу сукупності ступінь «розпізнаваності» елементів зменшується. 3 огляду на те, що рангова кореляція не потребує додержання будь-яких математичних передумов щодо розподілу ознак, зокрема вимоги нормальності розподілу, рангові оцінки щільності зв'язку доцільно використовувати для сукупностей невеликого обсягу.

Для визначення міри зв'язку використовують коефіцієнт рангової кореляції, запропонований К. Спірменом.

, (2.7)

де n - число одиниць сукупності

- різниця рангів за ознакою х та за ознакою у для і-ої одиниці сукупності.

Цей коефіцієнт має такі саме властивості, як i лінійний коефіцієнт кореляції: змінюється в межах від - 1 до + 1, водночас оцінює щільність зв'язку та вказує на його напрям.

Але при наявності співпадаючих значень вищенаведена формула не працює. Тому замість неї використовують коефіцієнт кореляції рангів Кенделла, який порівнює ранги для всіх пар одиниць сукупності, що заздалегідь підпорядковані по значенню признака х.

, (2.8)

де d - кількість експертів,

m - кількість критеріїв.

Його використання доцільне, оскільки при розрахунку цього коефіцієнта не використовуються самі значення рангів, а тільки встановлюється більше або менше ранг даної одиниці, тобто немає необхідності при тотожності значень ознаки розраховувати середній ранг.

Але незважаючи на всі переваги традиційних методів, основаних на формулах Пірсона, Спірмена и рангової конкордації Кенделла, вони часто не дають змоги отримати потрібний результат при недостатній погодженості об'єктів по одному з вимірювань та малому обсязі сукупності вимірювань. Крім того, подані формули потребують обробки при тотожності рангів об'єктів.

Для рішення даної проблеми пропонується використовувати модифікований коефіцієнт конкордації:

, (2.9)

де n - об'єм вибірки,

k_i - кількість ознак по i-му елементу вибірки.

В разі, коли вид (2.9) спрощується:

, (2.10)

Формула (2.10) є аналогом коефіцієнта конкордації Кенделла, але не має обмежень, що покладаються на формулу Кенделла. Наприклад, для знаходження кореляції між результатами, формула Кенделла потребує рангового перетворення з наступним усередненням показників для рівних рангів. Подібні перетворення потребують додаткових затрат часу, як за рахунок винятково затрат на перетворення, так и за рахунок перекладу вихідних даних у речове представлення.

Модифікований коефіцієнт конкордації може працювати безпосередньо з вихідними даними. При цьому необхідно або зменшити все значення сукупності на величину мінімального значення, або привести (2.9) до виду

, (2.11)

де n - об'єм вибірки,

k - максимально можливе значення ознаки,

m - мінімально можливе значення ознаки.

Парний двухвибірковий t--тест для середніх використовується для перевірки гіпотези про розходження середніх для двох вибірок даних. У ньому не передбачається рівність дисперсій генеральних сукупностей, з яких обрані дані.

Алгоритм розрахунку включає в себе наступні етапи:

1) Знайти різницю парних варіант.

2) Обчислити середню різницю

, (2.12)

де - сума різниць парних варіант,

- число парних спостережень.

3) Визначити відхилення різниць парних варіант від середньої різниці, звести їх у квадрат і підсумувати отримані результати.

, (2.13)

4) Обчислити дисперсію.

, (2.14)

5) Обчислити помилку середньої.

(2.15)

6) Обчислити t-статистику

(2.16)

7) Обчислити число ступенів свободи

(2.17)

8) Визначити вірогідність розходжень, звіряючи отримані результати з табличними.

2.2 Методи оптимізації

Лінійне програмування - це розділ прикладної математики, що має справу з теорією і чисельними методами оптимізації лінійних функцій при наявності обмежень, що описуються кінцевими системами лінійних нерівностей.

Задачами лінійного програмування називають оптимізаційні задачі, що мають такі особливості: 1) Критерій оптимізації являє собою лінійну функцію від невідомих задачі х_1, х₂,.. х_n; 2) обмеження, що накладаються на можливі розв'язки мають тип лінійних рівностей або нерівностей; 3) змінні приймають ненегативні значення.

Перші постановки задач лінійного програмування буди сформульовані відомим радянським математиком Л.В. Канторовичем, якому за ці роботи була присуджена Нобелівська премія по економіці. Значний розвиток теорія й алгоритмічний апарат лінійного програмування одержали з винаходом та поширення ЕОМ і формулюванням американським математиком Дж. Данцингом симплекс-методу.

У наш час лінійне програмування є одним з найбільш вживаних апаратів математичної теорії оптимального ухвалення рішення економічних задач різноманітного змісту. Для розв'язання задач лінійного програмування розроблене складне програмне забезпечення, що дає можливість ефективно і надійно вирішувати практичні задачі великих обсягів. Ці програми і системи мають розвинені системі підготовки вхідних даних, засобами їхнього аналізу і представлення отриманих результатів.

У розвиток і удосконалення цих систем вкладені праця і талант багатьох математиків, акумульований досвід рішення тисяч задач. Володіння апаратом лінійного програмування необхідно кожному економісту, що застосовує у своїй роботі методи прикладної математики.

Термін "програмування", що входить в назву цього метода, не повинен вводити в оману, тому що мова йде не про програмування електронно-обчислювальних машин. Цей термін сходить до загального змісту слова "програма" - план, керівництво до дії и як така, дисципліна "лінійне програмування" являє собою математичну теорію визначення найкращих планів дії у визначених економічних ситуаціях.

Що це за ситуації? У першу чергу їх можна охарактеризувати наявністю однієї добре визначеної мети чи критерію. Вона повинна вимірятися у визначених одиницях і однозначно визначатися обраним планом дій. Більш придатним прикладом може бути доход від діяльності підприємства, а планом дій, у даному випадку, може бути виробнича програма підприємства.

З погляду математики виробничу програму підприємства в першому наближенні можна записати як набір чисел х_1, х₂,.. х_n, де х_і позначає запланований випуск виробів і-го типу, n - кількість типів виробів.

Якщо с_і - доход зробленого виробу і-го типу і кожен зроблений виріб купується по одній і тій же ціні, то сумарний дохід підприємства є простою сумою

, (2.18)

що відбиває присутність терміна "лінійне" у назві "лінійне програмування".

Сума (2.18) є лінійною функцією величин і, звичайно, лише приблизно відбиває економічні реалії. У цьому випадку при збільшенні випуску усіх виробів у тисячі разів, доход підприємства зріс би також у тисячу разів. У реальній економіці при значному зростанні виробництва починають працювати такі фактори як насичення ринку, збільшення конкуренції, зростання виробничих витрат і ін., що, звичайно, знижує прибутковість і не відбувається в такій простій формулі, як (2.18). Зростання масштабів виробництва може не тільки знижувати прибутковість, але й підвищувати її, наприклад при переході від кустарного чи дрібносерійного виробництва до крупносерійного витрати, у розрахунку на один виріб, можуть зменшуватися і відповідно прибутковість підвищиться.

Іншим невід'ємним елементом економічної ситуації, на прикладі де безпосередньо застосуємо підхід лінійного програмування, є обмеження, що накладаються на можливі варіанти планів виробництва. Найчастіше, це ресурсні обмеження, що описують той факт, що: 1) для виробництва товарів приходиться витрачати ресурси; 2) кількість ресурсів, яку можна затратити на виробництво товарів обмежено.

Систему обмежень можна записати як:

, (2.19)

де а_ij - кількість одиниць i-го ресурсу для виготовлення j-го виробу;

b_i - кількість одиниць i-го ресурсу в наявності;

m - кількість ресурсів.

З погляду економіста, застосування лінійного програмування означає, у такий спосіб:

1) визначення структури задачі - що в ній є критерієм, які в ній присутні обмеження, якими змінними величинами ми можемо керувати, у чому полягає бажаний економічний ефект;

2) збір необхідної інформації, часто шляхом статистичних досліджень, аналізу ринку, прогнозів і ін., значень коефіцієнтів задачі;

3) підготовка задачі до рішення. Оскільки зараз це робиться, як правило, за допомогою обчислювальних машин, цей крок у рішенні задачі являє собою перенесення даних і опису задачі у спеціальну форму, що читається. Для цього застосовуються спеціальні формати даних і програмні системи;

4) рішення задачі. Для цього існує безліч високоефективних програм для найрізноманітніших обчислювальних платформ, від суперкомп'ютерів до персональних ЕОМ. Завдяки праці багатьох математиків і програмістів алгоритми і програми доведені до настільки високого ступеня досконалості, що на цій стадії рідко виникають обчислювальні проблеми. Значно частіше на цій стадії виявляються дефекти постановки задачі, помилки у підготовці або в описі структури задачі. Ефект таких помилок є часто дуже несподіваним і їхнє виправлення вимагає як високої математичної кваліфікації, так і знання конкретної області застосування;

5) аналіз результатів. Це заключна і, по суті справи, найбільш важлива частина процесу. Треба мати на увазі, що в ході рішення задачі лінійного програмування, як правило, визначається не тільки власне оптимальний план, але й великий об'єм супутньої інформації, що дуже коштовна для економічного аналізу і планування.

З усього вищенаведеного ясно, що сучасному економісту необхідно добре розбиратися в математичних основах лінійного програмування для того, щоб успішно застосовувати цей могутній апарат економічного аналізу і планування.

2.2.1 Метод Ньютона

Якщо виходити з того, що необхідним етапом знаходження рішення задачі:

(2.20)

де f: R^m ? R, є етап знаходження стаціонарних точок, тобто точок, задовольняючих рівнянню:

(2.21)

(позначення F для f ?? ми зберігатимемо), тож можна спробувати вирішувати рівняння (2.21) відомим методом Ньютона рішення нелінійних рівнянь:

xⁿ⁺¹ = xⁿ ? [F ?(xⁿ)]^?1F(xⁿ). (2.22)

Для задачі (2.20) цей метод називається методом Ньютона безумовній оптимізації і задається формулою:

xⁿ⁺¹ = xⁿ ? [f ??(xⁿ)]^?1f ?(xⁿ). (2.23)

Формулу (2.22) можна вивести, виходячи з таких міркувань. Припустімо, що xⁿ -- деяке наближене рішення рівняння (2.21). Тоді якщо замінити функцію F в рівнянні (2.21) її лінійним наближенням:

і взяти як наступне наближення рішення рівняння:

??????? ????????????? ?????????????????(2.24)

то ми отримаємо формулу (2.22).

Стосовно задачі (2.20) ці міркування виглядають так. Нехай так само, у нас вже є деяке наближене рішення xn задачі (2.20). Замінимо в ній функцію f її наближенням другого порядку:

і як наступне наближення візьмемо рішення задачі:

(2.25)

Та на початку для подальшого використання виведених формул, необхідно довести деякі твердження - якщо f  ??(xⁿ) > 0, то рішення задачі (2.25) задається формулою (2.23).



Рис. 2.3 - Геометрична інтерпретація формул (2.22) і (2.23) відповідно

Метод Ньютона відноситься до методів другого порядку, оскільки для обчислення кожної ітерації потрібне знання другої похідної функції f. По тих же міркуваннях градієнтний метод відносять до методів першого порядку. Підкреслимо, що тут йдеться не про порядок збіжності методу, а про порядок використовуються методом похідних функції, що мінімізується.

2.2.2 Теорема про локальну надлінійну збіжність методу Ньютона

Хай f двічі безперервно і може бути диференційована, а x* - не вироджена стаціонарна точка. Тоді знайдеться околиця V_x* точки x* така, що наближення (2.13), початі з довільної початкової точки x⁰??V_x* сверх лінійно сходяться до x*.

Доведемо: так як F = f  ??C¹ і тому

(2.26)

Оскільки F ?(x*) не вироджений, в силу (2.26) при x достатньо близьких до x* не вироджений і оператор F ?(x) і більш того,

Тому, зокрема, при x достатньо близьких до x*

||[F ?(x)]^?1|| ? C. (2.27)

Далі, внаслідок того, що F можна диференціювати, а x*- стаціонарна точка

F(x) = F(x*) + F ?(x*)(x ? x*) + o(x - x*) = F ?(x*)(x ? x*) + o(x - x*),

Але тоді в силу (2.27)

x ? x* ? [F ?(x)]^?1F(x) = [F ?(x)]^?1F ?(x)(x ? x*) ? [F ?(x)]^?1F(x) =

[F ?(x)]^?1[F ?(x)(x ? x*) ? F(x)] = o(x ? x*).

або

x ? [F ?(x)]^?1F(x) ? x* = o(x ? x*).

Зокрема, при x = xⁿ

(2.28)

Візьмемо тепер як V_x*, наприклад, околиця {x ? R^m: ||?(x ? x*)|| ? ||x?x*||/2}. В силу (2.28), очевидно, якщо x⁰?V_x*, то

отже, xⁿ ? x* при n? ?. Більш того, для довільного q?(0, 1) знайдеться ?>0 таке, що ||?(x?x*)|| ??q||x?x*|| при ||x?x*||? ?.?Але тоді, якщо ||xⁿ?x*|| ?????то ||xⁿ⁺¹?x*|| ??q||xⁿ?x*||. З останнього твердження очевидним чином витікає потрібне співвідношення ||xⁿ?x*|| ??Cqⁿ .

Таким чином метод Ньютона, з одного боку, може сходитися з більш високим ніж градієнтний метод порядком, а, з другого боку, для його збіжності потрібні достатньо добрі початкові наближення (принаймні так потрібен в доведеній теоремі). Простий геометричний приклад (див. рис. 2.4) підтверджує цю особливість методу (ми наводимо приклад для рівняння (2.21); відповідний приклад для задачі (2.20) виходить „інтеграцією” рис. 2.4).

Рис. 2.4 - Геометричне відображення прикладу

Зрозуміло, як метод другого порядку, метод Ньютона вимагає більшого об'єму обчислювальної роботи, оскільки доводиться обчислювати другі похідні функції f.

До цього зводяться основні переваги (високий порядок збіжності) і недоліки (локальний характер збіжності і більший об'єм обчислень) методу Ньютона.

Якщо функція f додатково сильно опукла, то можна затверджувати збіжність саме до рішенню задачі (1), а не тільки до стаціонарної точки функції f, і, крім того, оцінити радіус околиці, з якої наближення Ньютона сходяться.

2.2.3 Теорема про квадратичну збіжність методу Ньютона

Хай f ? C² і, більш того, f  ?? задовольняє умові Липшиця з константою L. Хай f сильно випукла с константою ?. Хай V_x* - околиця рішення задачі (2.10), що складається з точок x ? R^m таких, що

Тоді для x⁰ ? V_x* метод Ньютона квадратично сходиться:

де q = L||f ?(x⁰)||/2?² < 1.

По теоремі 2.9 і 2.10 в умовах нашої теореми рішення x* задачі (2.10) існує і єдино. Скористаємося аналогом формули Ньютона-Лейбніца для функції f  ?:

Віднімаючи з обох частин цієї рівності враховуючи, що f ?? задовольняє умову Липшиця, одержуємо (ср.):

Покладемо в отриманій оцінці h = ?[f ??(xⁿ)]^?1f ?(xⁿ):

(2.29)

Також необхідно довести, що якщо оборотний лінійний оператор А на R^m задовольняє оцінці А і ?, то ||A^?1|| ? ???.

Оскільки f сильно опукла, в силу задачі (2.25), f ??(xⁿ) ? ??і тому (див. попер. задачу) ||[f ??(xⁿ)]^?1|| ? ?^?1. Продовжуючи нерівність (2.19), одержуємо:

(2.30)

З допомогою (2.30) індукцією по n легко доводиться нерівність:

(2.31)

Нарешті, в силу сильної випуклості f, оскільки x* -- рішення задачі (2.20) і, отже, f  ?(x*) = Q,

0 ? f(x*) ? f(xⁿ) ? (f ?(xⁿ), x* ? xⁿ) + ?||xⁿ ? x*|| ²,

або

(f ?(xⁿ), xⁿ ? x*) ? ?|| xⁿ ? x*|| ².

Але тоді

?||xⁿ ? x*|| ² ? (f ?(x*), xⁿ ? x*) ? ||f ?(x*)|| · ||xⁿ ? x*||,

звідки ||f ?(x*)|| ? ?|| xⁿ ? x*||. Тоді з (2.31) слідує потрібна нерівність.

З доведеної теореми витікає, що чим менше константа Липшиця відображення x ? f  ??(x), тобто чим ближче це відображення до константи, і, отже, чим ближче функція f до квадратичної, тим швидше сходиться метод Ньютона. Зокрема, якщо f квадратична: f(x) = (Ax, x)/2 + (b, x) + c, то метод Ньютона кінцевий, а саме, сходиться за один крок, причому з будь-якої початкової точки.

Якщо понизити вимоги гладкості на функцію f, наприклад, відмовитися від умов Липшиця для f  ??, то швидкість збіжності, взагалі кажучи, падає.

Покажемо, що f(x)= |x|^5/2 метод Ньютона сходиться лише лінійно.

Метод Ньютона навіть для сильно випуклих функцій в загальному випадку сходиться лише локально. Опишемо модифікації цього методу, які можуть володіти властивістю глобальної збіжності. Ці методи ще називають методами Ньютона  -- Рафсона, або демпфованими методами Ньютона. Вони будуються аналогічно з градієнтними методами с перемінним кроком. Загальний вид їх такий:

xⁿ⁺¹ = xⁿ ? ?ⁿ[f ??(xⁿ)]^?1f ?(xⁿ).

Довжина кроку може вибиратися за допомогою алгоритму дроблення кроку, вимагаючи, наприклад, виконання нерівності:

f(xⁿ⁺¹)=f(xⁿ??ⁿ[f ??(xⁿ)]^?1f ?(xⁿ))?

? f(xⁿ) ? ??ⁿ(f ?(xⁿ), [f ??(xⁿ)]^?1f ?(xⁿ)),

або, як в методі самого скорішого спуска, вважаючи

?ⁿ = argmin_??0{f(xⁿ ? ?[f ??(xⁿ)]^?1f ?(xⁿ))}.

Можна показати, що методи Ньютона -- Рафсона для сильно випуклих функцій глобально квадратично сходяться (принаймні для описаних вище алгоритмів вибору кроку), причому оддалік точки мінімуму вони сходяться лінійно.

3. ОПТИМІЗАЦІЯ БАНКІВСЬКИХ ПОСЛУГ

3.1 Дослідження анкет і їх статистична обробка

Анкетування проводилося на протязі двох тижнів серед співробітників Банку, клієнтів Банку та пересічних громадян. Всього було опитано 94 особи. Отримані результати були занесені у спеціальну таблицю для подальшої обробки. Фрагмент первинної таблиці результатів опитування подано у табл.3.1.

Таблиця 3.1. Фрагмент таблиці первинної обробки анкет

Генеральна сукупність була розділена за категоріями опитаних на три групи: 1) Клієнти, 2) Співробітники, 3) Інші особи. Це було зроблено для відокремлення очікувань банківських працівників від бажань клієнтів та інших громадян.

Ураховуючи бажання клієнтів максимізувати свій прибуток і мінімізувати свої затрати у перебільшених розмірах вибірка "Клієнти" була поділена за ознакою логічності прийняття рішення щодо активно-пасивних операцій з банком. Для цього були розрахована різниця між середнім бажаним відсотком по кредиту та середнім бажаним відсотком по депозиту по кожному з клієнтів. Всі нульові та від'ємні результати не ураховувались, як економічно не доцільні.

Наприклад, один з клієнтів при анкетуванні вказав, що бажав би мати 17 процентів річних по депозиту, а максимальну кредитну ставку, за споживчим кредитуванням, вказав рівною 16 процентів річних. Інший клієнт запропонував прийняти в нього депозитний вклад з процентною ставкою 20 процентів річних і попросив кредит на купівлю житла під 15 процентів річних. Оскільки банк не є благодійною установою, а організацією, метою якої є прибуток, то такого роду дані були не враховані.

Для кожної вибірки було розраховано середні значення, дисперсію, середнє квадратичне відхилення та їх похибки за ставками по різним видах кредиту, депозиту та строками по різним видах кредиту, депозиту, з використанням формул 2.1, 2.2, 2.3, 2.5, 2.6.

Результати розрахунків зведені у табл. 3.2.-3.6.

Таблиця 3.2. Середні величини

Таблиця 3.3. Дисперсії

Таблиця 3.4. Середні квадратичні відхилення

Таблиця 3.5. Похибки середніх величин

Таблиця 3.6. Похибки дисперсії

Використавши парний двувибірковий t-тест для середніх для вибірок працівників та значимих клієнтів було встановлено з довірчою ймовірністю 0,95, що існує статистично достовірна різниця між думкою про відсоткові ставки клієнтів та працівників банку. t-статистика за різними видами процентних ставок (автокредитування - 5,4835, кредити на житло - 4,3099, споживчі кредити - 4,6289, депозити - 3,4814) у порівнянні з табличними значеннями t критичне однобічне = 1,7207 та t критичне двобічне = 2,0796 значно перевищує їх. І навпаки, думки клієнтів і працівників банку щодо строків за різними видами кредитів і депозиту збігаються (автокредитування - 1,2748, кредити на житло - 0,00, споживчі кредити - 1,7672, депозити - 1,8585).

Була сформульована гіпотеза про узгодженість думок співробітників банку та значимих для банку клієнтів щодо процентних ставок по кредитах та депозитах та строків за цими банківськими продуктами. Перевірка цієї гіпотези проводилася за допомогою модифікованого коефіцієнта конкордації.

Попарний розрахунок модифікованого коефіцієнта конкордації (2.11) кредитно-депозитних ставок та кредитно-депозитних строків представлений у вигляді матриці в табл. 3.7-3.10

Таблиця 3.7. Матриця коефіцієнтів конкордації (процентні ставки/клієнти банку)

Таблиця 3.8. Матриця коефіцієнтів конкордації (процентні ставки/співробітники банку)

Таблиця 3.9. Матриця коефіцієнтів конкордації (строки/клієнти банку)

Таблиця 3.10. Матриця коефіцієнтів конкордації (строки/співробітники банку)

Як видно з таблиць узгодження процентних ставок коефіцієнт конкордації наближений до одиниці. Тобто, думка опитуваних узгоджена. З протилежного боку, ми бачимо, що коефіцієнт конкордації строків менший. Це свідчить про неодностайність в думках щодо строків як у клієнтів банку, так і в співробітників.

Аналіз розрахунків показав, що узгодження між кредитно-депозитними ставками у клієнтів дещо вище ніж у працівників банку. Це вказує на більшу поміркованість у думках клієнтів.

Також на розгляд респондентів була запропонована ланка супроводжуючих продуктів банку, таких як особистий рахунок та пластикова картка. Ці продукти, при своїй невеликій собівартості, приносять неявний прибуток банку як у вигляді комісій за обслуговування, видачу готівки, безготівкове перерахування коштів і ін., так і у вигляді впізнання банку на ринку банківських послуг, що є багатозначущим критерієм при впровадженні та затвердженні нових банківських продуктів, та, як наслідок, додаткового прибутку.

Так, з точки зору працівників банку відкриття поточного рахунку клієнту при оформленні кредиту або депозиту є обов'язковою умовою. За це висловились 86 процентів опитаних. 5 процентів не визначилися з думкою про обов'язковість відкриття поточного рахунку, а 9 відсотків висловилися за відкриття поточного рахунку при наявності додаткових умов, як то гнучка система комісійних зборів, поліпшення якості обслуговування тощо. Щодо випуску пластикової картки, то 90 процентів опитаних працівників висловились за надання цієї послуги на пільгових умовах.

З іншого боку, клієнти банку не дуже натхненно сприймають ідею обов'язкового карткового рахунку. Лише 59 відсотків з загальної сукупності клієнтів та 50 відсотків значимих для банку клієнтів висловилися за обов'язкове відкриття поточного рахунку при оформленні кредиту чи депозиту. Відповідно 16 процентів та 23 проценті відмовилися від рахунку. 13 процентів загальної сукупності клієнтів та 14 процентів значимих для банку клієнтів не визначилися з цим питанням, а 11 процентів та 13 процентів відповідно запропонували інші умови, за яких вони погодилися б відкрити поточний рахунок.

Дещо краще виглядають справи з пластиковими картками. 70 відсотків клієнтів загальної сукупності підтвердили бажання мати пластикову картку у супровід основних банківських продуктів, показник значущих для банку клієнтів дещо нижчий, 59 процентів. 15 та 18 процентів відмовилися від цього додаткового продукту, незважаючи на пільгові умови оформлення. 11 та 14 процентів не визначилися з думкою, а 3 процента загальної кількості клієнтів та 9 процентів значимих клієнтів побажали б картку при деяких змінах в умовах, що пропонуються банком. Серед цих змін збільшення мережі банкоматів, можливість відкриття мультивалютної картки, можливість встановлення кредитного ліміту на картку.

Думки про співвідношення процентних ставок за кредитом та типами комісій розділилися. Так, більшість співробітників банку (68 процентів проти 27 процентів) вважають, що треба ставити більшу відсоткову ставку та брати одноразову комісію. Це зрозуміло, оскільки в такому випадку банк швидко заробляє кошти, які частково покривають розрив у ліквідності активно-пасивних операцій. Протилежну думку мають клієнти. В загальній сукупності 41 процент за одноразову комісію та більшу процентну ставку, оскільки в такому випадку в кінці довгого терміну кредиту загальна переплата за користування кредитними коштами менша, 41 процент за меншу відсоткову ставку та щомісячну комісію, оскільки не бажають витрачати одразу велику суму грошей, 13 процентів не визначилися з цим питанням, а 5 процентів вибрали інші варіанти, переважно формулюючи свої думки навколо термінів кредитування та своєї платоспроможності. У сукупності значимих для банку клієнтів ці співвідношення мають такий вид: 32 процента за одноразову комісію та більшу процентну ставку, 41 процент за меншу відсоткову ставку та щомісячну комісію, 18 процентів не визначилися, 9 процентів запропонували інші варіанти: відмовитися від комісій та кредитувати тільки на процентну ставку.

У зв'язку з цими дослідженнями прийнято рішення для подальших розрахунків використовувати по ставкам кредитно-депозитних операцій та по термінам тільки анкети, які заповнили клієнти, що мають значення для банку як потенційні споживачі.

3.2 Оптимізація банківських послуг

Для отримання доходу банку потрібно залучати кошти та розподіляти їх з деякою маржою. Банківська маржа - це різниця між середньозваженою ставкою доходу, що банківська установа отримує від підпроцентних активів, та середньозваженою ставкою витрат, що банківська установа виплачує за своїми підпроцентними зобов'язаннями. Крім маржі банківської, існують: біржова, страхова, торговельна.

Не треба також забувати про здатність банку забезпечити своєчасне виконання своїх грошових зобов'язань, яке визначається збалансованістю між строками і сумами погашення розміщених активів та строками і сумами виконання зобов'язань банку, а також строками та сумами інших джерел і напрямів використання коштів (надання кредитів, інші витрати) ліквідність активів і пасивів, тобто про ліквідність банку.

Було висунуто гіпотезу, що для максимізації прибутку банку треба скоротити строки надання кредитів та зменшити депозитні ставки водночас з збільшенням кредитних ставок та строків депозитів. Тобто виникає задача подвійної оптимізації. Виходячи з цього з одного боку маємо:

, (3.1)

де Р_д - процентна ставка за депозитом;

Р_к - процентна ставка за кредитом;

Т_к - строк за кредитом

З іншого боку

, (3.2)

де Р_д - процентна ставка за депозитом;

Т_д - строк за депозитом;

Р_к - процентна ставка за кредитом;

Очевидно, що часткова (3.1) та (3.2), яка і буде нашим функціоналом, повинна бути спрямована до мінімуму.

, (3.3)

де Р_д - процентна ставка за депозитом;

Т_д - строк за депозитом;

Р_к - процентна ставка за кредитом;

Т_к - строк за кредитом.

Встановимо обмеження на цей функціонал.

1) всі змінні повинні бути невід'ємними;

Р_д , Т_д , Р_к , Т_к > 0 (3.4)

2) ставка по депозиту не повинна перевищувати або дорівнювати ставці по кредиту;

Р_д < Р_к (3.5)

3) різниця між кредитною та депозитною ставкою повинна дорівнювати мінімально необхідному рівню маржі, що встановлений банком

Р_к - Р_д = М, (3.6)

де М - мінімально необхідний рівень маржі банку;

4) ставка за кредитом обмежена зверху та знизу розрахованою бажаною клієнтом середньої ± похибка ставкою

(3.7)

де - розрахована на підставі анкетних даних середня бажана клієнтами відсоткова ставка за кредитом;

- похибка середньої.

5) ставка за депозитом обмежена зверху та знизу розрахованою бажаною клієнтом середньої ± похибка ставкою:

(3.8)

де - розрахована на підставі анкетних даних середня бажана клієнтами відсоткова ставка за депозитом;

- похибка середньої;

6) строк за кредитом обмежений зверху та знизу розрахованою бажаною клієнтом середньої ± похибка строку

(3.9)

де - розрахована на підставі анкетних даних середній бажаний клієнтами строк кредиту;

- похибка середньої.

7) строк за депозитом обмежений зверху та знизу розрахованою бажаною клієнтом середньої ± похибка ставкою:

(3.10)

де - розрахована на підставі анкетних даних середній бажаний клієнтами строк депозиту;

- похибка середньої

8) ставка за депозитом повинна бути не менш ніж річний рівень інфляції.

Р_д > річний рівень інфляції (3.11)

9) ставка за кредитом повинна бути не менш ніж ставка рефінансування НБУ

Р_к > ставка рефінансування НБУ (3.12)

3.3 Аналіз отриманих результатів і оцінка економічної ефективності запропонованих методів

Після проведення чисельних експериментів було встановлено, що спочатку оптимізуються строки надання кредитів та розміщення депозитів. Це цілком логічно, оскільки на строки немає ніяких додаткових обмежень окрім побажань клієнтів, які вони висловили в своїх анкетах. Отже можна сказати, що банк піде на зустріч клієнтам по кредитним строкам тільки після того, як клієнти почнуть розміщати свої вільні кошти на якомога довший строк.

Водночас з оптимізацією строків проводиться і оптимізація процентних ставок. Але тут існують певні, додаткові до побажань клієнтів, обмеження у вигляді ставки рефінансування НБУ, рівня інфляції в поточному періоді та банківської маржі. Тому, спочатку максимізується процентна ставка за депозитом, і вже від неї відкладається відсоткова ставка по кредиту на величину маржі. Із збільшенням маржі рівень ставки по кредиту збільшується до рівня максимальної ставки, після цього починається поступове зменшення депозитної процентної ставки до рівня поточної інфляції або найнижчої бажаної ставки за депозитом.

Останній момент не дуже бажаний з точки зору клієнтів, тому найкращим варіантом, для залучення коштів при нестачі ресурсів, є встановлення такого рівня маржі, при якому депозитна ставка - максимальна, але в такому випадку клієнту потрібно погодитися на розміщення депозиту на максимально розрахований термін та низку супроводжуючих продуктів банку.

Як приклад можна привести розрахунок оптимізації умов між авто кредитуванням та депозитами. Результати розрахунків показані в таблиці 3.11

Табл. 3.11 Таблиця розрахунків автокредит/депозит з різним рівням маржі

В такому випадку, макимізація прибутку відбувається за рахунок швидкого обороту коштів.

Запропонований метод було прийнято як альтернативний метод визначення умов надання банківських послуг в Дніпропетровській філії АБ "Правексбанк", що дозволило збільшити фінансовий результат за перші 5 місяців 2008 року на 6 процентів.

4. АВТОМАТИЗОВАНА ІНФОРМАЦІЙНА СИСТЕМА

Рис. 4.1 - Блок-схема програми

У поточній діяльності банку необхідно постійно та оперативно приймати рішення щодо умов надання банківських продуктів. Особливо у сфері індивідуального бізнесу. Тому необхідно щоб оптимізаційна задача вирішувалася максимально швидко і з найменшими зусиллями з боку користувача. Тому дійсна автоматизована інформаційна система "Optimа" призначена саме для визначення оптимальних умов за змінними вхідними данними. Принцип роботи системи можна представити на блок-схемі програми (рис. 4.1).

Для визначення оптимальних умов надання банківських послуг використовується комп'ютерна техніка. Вона повинна відповідати наступним вимогам:

· комп'ютер з процесором класа Pentium;

· 128 Mb оперативної пам'яті;

· 4,5 Mb вільного місця на жорсткому дискі;

· монітор, підтримуючий розширення 800х600 в режимі High color з частотою 75 Гц;

· миша та клавіатура.

Для проведення розрахунків на комп'ютері повинна бути встановлена операційна система Windows 98 або пізнішої версії та пакет програма MS Office 98, або пізнішої версії.

Вікно стартової сторінки містить:

ь кнопку під назвою „Початок роботи”, яка призначена для переходу на сторінку обробки анкетних даних з автоматичним роз'ясненням правил заповнення таблиці за допомогою MsgBox;

ь кнопку „Кінець роботи” для завершення роботи з програмою;

ь назву програми з індексом її поточної версії;

ь відомості про автора автоматизованої інформаційної системи.

Вікно заставки представлене на рисунку 4.2.



Рисунок 4.2 - Вікно стартової сторінки

Вікно обробки анкетних даних містить:

ь кнопку під назвою „До сортування”, яка призначена для переходу до вікна сортування анкет;

ь кнопку під назвою „До коефіцієнтів”, яка призначена для переходу до вікна статистичних значень та коефіцієнтів;

ь кнопку під назвою „До розрахунку”, яка призначена для переходу до вікна розрахунку оптимальних умов активно-пасивних операцій;

ь кнопку під назвою „На початок”, яка призначена для переходу до вікна стартової сторінки;

ь таблицю обробки анкет, до якої заносяться дані.

Вікно обробки анкетних даних представлене на рисунку 4.3.



Рисунок 4.3 - Вікно обробки анкетних даних

Вікно сортування анкет містить:

ь кнопку під назвою „До обробки анкет”, яка призначена для переходу до вікна обробки анкетних даних;

ь кнопку під назвою „До коефіцієнтів”, яка призначена для переходу до вікна статистичних значень та коефіцієнтів;

ь кнопку під назвою „До розрахунку”, яка призначена для переходу до вікна розрахунку оптимальних умов активно-пасивних операцій;

ь кнопку під назвою „На початок”, яка призначена для переходу до вікна стартової сторінки;

ь таблиці сортування за ознакою "Працівник" та "Клієнт, що має значення для банку";

ь таблиці проміжних розрахунків.

Вікно сортування анкет представлене на рисунку 4.4.



Рисунок 4.4 - Вікно сортування анкет

Вікно статистичних коефіцієнтів містить:

ь кнопку під назвою „До обробки анкет”, яка призначена для переходу до вікна обробки анкетних даних;

ь кнопку під назвою „До сортування”, яка призначена для переходу до вікна сортування анкет;

ь кнопку під назвою „До розрахунку”, яка призначена для переходу до вікна розрахунку оптимальних умов активно-пасивних операцій;

ь кнопку під назвою „На початок”, яка призначена для переходу до вікна стартової сторінки;

ь таблиці модифікованих коефіцієнтів конкордації

ь таблиці статистичних показників для даних з таблиць сортування.

Вікно статистичних коефіцієнтів представлене на рисунку 4.5.



Рис. 4.5 - Вікно розрахунку статистичних коефіцієнтів

Вікно розрахунку містить:

ь кнопку під назвою „До обробки анкет”, яка призначена для переходу до вікна обробки анкетних даних;

ь кнопку під назвою „До сортування”, яка призначена для переходу до вікна сортування анкет;

ь кнопку під назвою „До коефіцієнтів”, яка призначена для переходу до вікна статистичних значень та коефіцієнтів;

ь кнопку під назвою „На початок”, яка призначена для переходу до вікна стартової сторінки;

ь перемикачі між кредитними продуктами;

ь осередки визначення мінімальної рекомендованої маржі, коефіцієнту рівня інфляції та ставки рефінансування НБУ, які використовуються в подальших розрахунках;

ь кнопку під назвою „Розрахунок оптимальних умов”, яка призначена для визначення оптимальних умов з урахуванням думки клієнтів та інтересів банку у активно-пасивних операціях за допомогою настройки "Пошук рішення".

ь Осередок оптимальних умов.

Вікно розрахунку представлене на рисунку 4.6.

Рис. 4.6 - Вікно розрахунку оптимальних умов.

5. ОРГАНІЗАЦІЯ БЕЗПЕЧНИХ УМОВ ПРАЦІ ПРИ РОБОТІ З ЕЛЕКТРОННО-ОБЧИСЛЮВАЛЬНИМИ МАШИНАМИ

5.1 Шкідливі та небезпечні фактори

Згідно Закону України Про охорону праці від 14.10.92 № 2694-XII зі змінами і доповненнями охорона праці - це система правових, соціально-економічних, організаційно-технічних, санітарно-гігієнічних і лікувально-профілактичних заходів та засобів, спрямованих на збереження життя, здоров'я і працездатності людини у процесі трудової діяльності. Отже, основною метою служби охорони праці на будь-якому підприємстві є організація таких умов діяльності робітників, при яких впливання шкідливих та небезпечних факторів зводиться до мінімуму.

Умови праці на робочому місці, безпека технологічних процесів, машин, механізмів, устаткування, та інших засобів виробництва, стан засобів колективного та індивідуального захисту, що використовуються працівником, а також санітарно-побутові умови повинні відповідати чинному законодавству. Основним документом, що встановлюють вимоги безпеки та санітарно-гігієнічні вимоги до обладнання робочих місць користувачів електронно-обчислювальними машинами (далі - ЕОМ) і працівників, що виконують їх обслуговування, ремонт та налагодження, є Правила охорони праці під час експлуатації електронно-обчислювальних машин, затверджені Наказом Держнаглядохоронпраці від 10 лютого 1999 року N 21 (далі - Правила №21). Ці вимоги є обов'язковими для всіх працівників при організації та виконанні робіт, пов'язаних з експлуатацією, обслуговуванням, налагоджуванням та ремонтом ЕОМ, а також при проектуванні та реконструкції підприємств, їх виробничих об'єктів, споруд та робочих місць, обладнаних ЕОМ.

З метою виконання зазначених норм АБ „Правексбанк” в усіх його структурних підрозділах забезпечує функціонування системи управління охороною праці, а саме: створення відповідної служби та призначення посадових осіб, які повинні забезпечити вирішення конкретних питань охорони праці; слідкує за належним утриманням будівель і споруд, виробничого обладнання та устаткування, моніторинг їх технічного станом; організовує пропаганду безпечних методів праці та співробітництво з працівниками у галузі охорони праці.