Урожайность пшеницы зависит от количества внесенных удобрений и погодных условий. Фермер может вносить на 1 гектар , или центнеров удобрений. Погодные условия характеризуются тремя состояниями: , и . Урожайность пшеницы с одного гектара составляет центнеров при внесении центнеров удобрений и состоянии погоды . Рыночная цена на зерно составляет ден. ед., если было внесено ц/га удобрений. Стоимость одного центнера удобрений составляет S ден. ед.

Требуется определить, какое количество удобрений следует вносить в почву, чтобы получить как можно большую прибыль, если: а) известны вероятности состояний природы ; б) о вероятностях состояний природы ничего определенного сказать нельзя.

Указание. Составить платежную матрицу, рассчитав значении прибыли по формуле: , .

Исходные данные:

РЕШЕНИЕ:

Одним из участников рассматриваемой ситуации является фермер, который должен вносить удобрения в почву для получения хорошего урожая пшеницы. Если описанной ситуации придать игровую схему, то фермер выступит в ней в качестве сознательного игрока А, заинтересованного в максимизации прибыли с 1 гектара земли. Вторым участником является в буквальном смысле природа (игрок П), то есть внешние природные условия.

Так как фермер на 1 гектар земли может вносить разное количество центнеров удобрений, то чистыми стратегиями игрока А будут следующие стратегии:

- А₁: вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли;

- А₂: вносить 4 ц. удобрений на 1 гектар земли;

- А₃: вносить 6 ц. удобрений на 1 гектар земли.

Природа может реализовать одно из трех состояний: П₁, П₂, П₃.

Таким образом, платежная матрица игры будет иметь размер 3х3.

Вычисляем значении прибыли по формуле: , .

h₁₁ = 9*5 - 4*2 = 37; h₂₃ = 5*9 - 4*4 = 29;

h₁₂ = 9*9 - 4*2 = 73; h₃₁ = 3*13 - 4*6 = 15;

h₁₃ = 9*6 - 4*2 = 46; h₃₂ = 3*15 - 4*6 = 21;

h₂₁ = 5*10 - 4*4 = 34; h₃₃ = 3*11 - 4*6 = 9;

h₂₂ = 5*12 - 4*4 = 44;

Итак, платежная матрица принимает вид (таблица 4.1)

В платежной матрице нет доминируемых стратегий игрока А, поэтому матрица не требует упрощений.

а) для определения оптимальной стратегии игрока А по критерию Байеса вычислим среднее значение (математическое ожидание) выигрыша при использовании каждой из возможных стратегий по формуле: . Получаем:

= 37*0,3 + 73*0,4 + 46*0,3 = 54,1;

= 34*0,3 + 44*0,4 + 29*0,3 = 36,5;

= 15*0,3 + 21*0,4 + 9*0,3 = 15,6.

Оптимальной по критерию Байеса является стратегия , так как именно ей соответствует наибольшее из чисел :

Таким образом, располагая информацией о возможных состояниях природы, наиболее выгодным для фермера будет использование стратегии А₁ - вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли. Среднее значение ожидаемой прибыли в этом случае составит 54,1 ден. ед.

б) для определения оптимальной стратегии игрока А с использованием максимаксного критерия, применим формулу: .

Получаем:

m₁ = {37; 73; 46} = 73;

m₂ = {34; 44; 29} = 44;

m₃ = {15; 21; 9} = 21;

Оптимальной по максимаксному критерию является стратегия , так как именно ей соответствует наибольшее из чисел :

Таким образом, в расчете на самое благоприятное стечение обстоятельств, наиболее выгодным для домовладельца будет использование стратегии - вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли. Прибыль, потраченная при этом от продажи зерна, составит 73 ден. ед.

Определим оптимальную стратегию игрока А по критерию Вальда:

w₁ = min {37; 73; 46} = 37;

w₂ = min {34; 44; 29} = 29;

w₃ = min {15; 21; 9} = 9.

Следовательно, оптимальной по критерию Вальда является стратегия - вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли. При этом минимальная прибыль составит 37 ден. ед.

Для определения оптимальной стратегии игрока А с использованием критерия Сэвиджа составим матрицу рисков. В каждом столбце платежной матрицы определим максимальный элемент и вычтем из него все элементы данного столбца. В первом столбце максимальным является элемент h₁₁ = 37, во втором - h₁₂ = 73, в третьем - h₁₃ = 46.

Матрица рисков представлена в таблице 4.2.

Таблица 4.2

Определим максимальный риск при использовании каждой стратегии.

Получаем:

r₁ = max {0; 0; 0} = 0,

r₂ = max {3; 29; 17} = 29,

r₃ = max {22; 52; 37} = 52.

Таким образом, оптимальной по Сэвиджу является стратегия - вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли.

Для определения оптимальной стратегии по критерию Гурвица найдем показатель критерия по формуле , .

Получаем:

?₁ = 0,8*37 + (1 - 0,8)*73 = 44,2;

?₂ = 0,8*29 + (1 - 0,8)*44 = 32,0;

?₃ = 0,8*9 + (1 - 0,8)*21 = 11,4.

Следовательно, оптимальной является стратегия - вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли.

Для определения оптимальной стратегии игрока А с использованием критерия Лапласа определим средние арифметические значения «выигрыша» домовладельца по формуле , .

Получаем:

= (37 + 73 + 46)/3 = 156/3 = 52;

= (34 + 44 + 29)/3 = 107/3 = ;

= (15 + 21 + 9)/3 = 45/3 = 15.

Оптимальной по критерию Лапласа является стратегия - вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли, так как ей соответствует наибольшее из чисел :

Таким образом, если все состояния природы представляются равновозможными, то для обеспечения средней прибыли в размере 52 ден. ед. фермеру следует придерживаться стратегии - вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли.

Для наглядности все результаты вычислений приведем в сводной таблице 4.3.

Таблица 4.3

Вывод: Проведенное по совокупности статистических критериев исследование возможных вариантов внесения удобрений на 1 гектар земли позволяет сделать следующее заключение:

а) при наличии достоверной информации о состоянии природы фермеру следует вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли (стратегия ). При этом ожидаемая прибыль составит 54,1 ден. ед.

б) при отсутствии информации о состоянии природы фермеру также следует вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли (стратегия ). Такое решение продиктовано на основании всех критериев, не использующих вероятностный подход. Заметим, что максимальная прибыль при выборе данной стратегии составит 37 ден. ед. при самых неблагоприятных погодных условиях.

Задача 5-2

Для реконструкции и модернизации производства выделены денежные средства в объеме 100 тыс. ден. ед., которые следует распределить между четырьмя цехами. По каждому из цехов известен возможный прирост выпуска продукции в зависимости от выделенной ему суммы x ? 100.000 (возможные значения x и приведены в таблице). Необходимо так распределить средства, чтобы максимально увеличить выпуск продукции производства в целом.

ТРЕБУЕТСЯ:

1. Основываясь на принципах динамического программирования, построить математическую модель поставленной задачи в виде функциональных уравнений Беллмана (числовые данные взять из таблиц).

2. Найти оптимальное распределение средств, обеспечивающее максимальный прирост выпуска продукции.

PЕШЕHИЕ.

1. Системой S в данном случае является предприятие из 4-х цехов, в которое вложена сумма 100.000 ед. Состояния и управления системы S однозначно взаимосвязаны - это способы распределения суммы между цехами. Для осуществления инвариантного погружения задачи будем считать, что вместо суммы 100.000 ед. вкладывается сумма y: 0?у?100.000. Состояния системы искусственно разобьем на этапы: начальный (нулевой), первый, второй и третий этапы соответственно означают, что сумма y распределяется между четырьмя цехами, тремя цехами, двумя цехами и вся сумма y выделяется одному цеху. Нумерацию этапов удобнее проводить в обратном порядке: третий этап - m = 1, второй этап - m = 2, первый этап - m = 3, нулевой этап - m = 4. Тогда функция Беллмана, имеющая смысл максимальной прибыли при распределении суммы y между m цехами, запишется в виде:

Если при m = 1 … k-1 функция B(y, m) уже построена, то функциональное уравнение Беллмана для данной задачи принимает вид:

Пpи m = 1 дополнительно имеем:

2. При m = 1 функция Беллмана уже построена, т.е.

При m = 2 уравнение из функционального уравнения Беллмана имеет вид:

Так как функции и заданы таблично, то для определения максимума функции при каждом y составляем таблицу значений этой функции:

Подчеркнутые значения являются максимальными в строке, т.е. являются значениями функции Беллмана B(y, 2). Они выписаны в предпоследнем столбце. В последний столбец выписаны значения x, при которых достигается максимум функции Эти значения обозначены и их можно считать управлениями. Смысл - средства, выделяемые второму цеху, при оптимальном распределении суммы y между двумя цехами.

Аналогично, при m = 3

Составляем таблицу значений функции

Как и выше - сумма средств, выделяемых третьему цеху, при оптимальном распределении суммы y между тремя цехами.

При m = 4

Составляем таблицу значений функции

В двух последних столбцах этой таблицы получены значения функции Беллмана B(y, 4) и соответствующие им управления - т.е. количества средств, выделяемых четвертому цеху при распределении суммы y между четырьмя цехами. После этого составляем сводную таблицу значений функции Беллмана и соответствующих ей управлений:

С помощью таблицы функции Беллмана для данной задачи можно произвести распределение любой суммы у от 0 до 100 между k цехами 1 ? k ? 4. В клетке стоит максимальная прибыль от этого распределения, а в клетке стоит сумма, выделяемая k-му цеху. Распределим сумму 100 между 4-мя цехами. По клетке максимально возможная прибыль равна 82. 4-му цеху следует выделить 40 тыс. $. На первые три цеха остается 60 тыс. $. По клетке 3-му цеху выделяется 20 тыс. $. На первые два цеха остается 40 тыс. $. По клетке 2-му цеху выделяется 40 тыс. $. Тогда 1-му цеху средства не выделяются.