Математичне моделювання

Реферат

Тема: Математичне моделювання

1. Математичне моделювання

Вступні поняття

Під моделюванням розуміються методи одержання й дослідження моделей. Можна дати кілька визначень моделі.

Модель - це деякий об'єкт, що на різних етапах дослідження може заміняти досліджуваний об'єкт.

Модель - це цільовий образ об'єкта оригіналу, що відбиває найбільш важливі властивості для досягнення поставленої мети.

Модель - це або зроблена подумки, або матеріально реалізована система, що може відображати або відтворювати об'єкт дослідження, а також заміщати його з метою вивчення й подання нової інформації про об'єкт. Таким чином, створення кожної моделі завжди має яку-небудь мету.

Під метою розуміється кінцевий стан, при якому досліджуваний об'єкт досягає певної відповідності в часі й просторі з іншим об'єктом.

Серед основних цілей створення моделі можна виділити наступні:

Гносеологічні (пізнавальні);

Освітні;

Управлінські;

Експериментальні;

Творчі (проектування).

Для досягнення поставлених цілей модель повинна мати деякі властивості, які одночасно є й критеріями оцінки якості побудови моделі.

Серед властивостей моделі можна виділити наступні:

Ефективність;

Універсальність;

Стійкість;

Змістовність;

Адекватність;

Обмеженість;

Повнота;

Динамічність.

Властивість ефективності показує, наскільки правильним було створення й використання моделі для досягнення поставленої мети. Під універсальністю моделі розуміється можливість її застосування в інших задачах і для досягнення інших цілей. Стійкість моделі означає її правильну роботу в зовнішніх умовах, що змінюються, і екстрених ситуаціях. Властивість змістовності визначає кількість функції моделі.

Серед функцій моделі виділяють описову, інтерпретаторську, пояснювальну, вимірювальну функції.

Адекватність визначає відповідність моделі поставленій задачі. Модель завжди відображає об'єкт-оригінал не у всіх його властивостях і функціях. Таким чином, модель є обмеженою. Під повнотою моделі розуміється наявність відомостей про об'єкт-оригіналі, необхідних для досягнення поставленої мети. Динамічність визначає зміна моделі із часом.

Історія моделювання визначається серединою 20 століття, коли була опублікована монографія Норберта Вінера «Кібернетика або керування й зв'язок у тварині й машині».

Найважливішим у моделюванні є поняття інформації. Під інформацією можна розуміти наступне:

Це позначення змісту отриманого із зовнішнього миру в процесі нашого пристосування до нього. При цьому процес одержання й використання інформації є процесом нашого пристосування до випадків нашого середовища й нашої життєдіяльності в цьому середовищі.

Це сукупність, відчужена від творця й усуспільнена форма знання.

Це модель, тобто спрощене неадекватне подання знань.

Приміром, інформаційною моделлю знання можна вважати текст, закріплений на матеріальному носії. При цьому інформаційна модель дозволяє відокремити коштовну інформацію від несуттєвої, вибрати аналогії серед різних видів об'єктів і вибрати як робоча гіпотеза одне з можливих рішень.

2. Класифікація моделей

Єдиної класифікації моделей не існує, але можна виділити наступні типи моделей:

По способі моделювання:

Символічні або мовні;

Речовинні або матеріальні.

По збігу природи:

Фізичні збіги;

Приладові.

По призначенню:

Гносеологічні, для встановлення законів природи;

Інформаційні, для розробки методів керування;

По способі побудови моделей:

Теоретичні (аналітичні) - за даними про внутрішню структуру;

Формальні - по залежності між входом і виходом у систему;

Комбіновані.

По типі мови опису:

Текстові або дескриптивні;

Графічні (креслення, схеми);

Математичні;

Змішані.

По залежності параметрів моделі від просторових координат:

З розподіленими змінними (змінюються в просторі);

Із зосередженими змінними (не змінюються в просторі).

По залежності від змінних:

Незалежні;

Залежні.

За принципом побудови:

Стохастичні або імовірнісні;

Детерміновані (обумовлені).

По зміні вихідних змінних у часі:

Статичні або стаціонарні;

Динамічні або нестаціонарні.

По пристосовності моделі:

Адаптивні;

Неадаптивні

По способі пристосування, настроювання (для адаптивних моделей):

Пошукові (по мінімуму помилки);

Не пошукові.

По ступені відповідності оригіналу:

Ізоморфні (строго відповідному об'єкту);

Гомоморфні (відбиває деякі істотні властивості об'єкта).

По природі:

Матеріальні або геометричні подоби (фотографія);

Знакові, у тому числі графічні й математичні;

Дескриптивна.

За принципом моделювання:

Фізичні моделі, у тому числі геометричні (модель літака);

Аналогові моделі мають або подібну структуру зі структурою об'єкта (структурна модель) або виконують подібні до об'єкта функції (функціональна модель). Принцип аналогії є основним принципом моделювання. Прикладом аналогії є дослідження економічних систем за допомогою дослідження «потоку» електрики в ланцюзі.

Символічні моделі - це абстрактні математичні рівняння (нерівності).

За допомогою даної класифікації можна визначити модель із різних точок зору.

У результаті сучасних досліджень можна створити управлінську (кібернетичну) модель, у якій відбиваються аспекти структурної, функціональної, інформаційної й математичної моделі. При цьому будь-яку систему можна вивчати на двох рівнях:

Теоретичному, або фундаментальними методами;

Емпіричному, або прикладними методами.

Фундаментальні методи пояснюють і пророкують майбутні відкриття, а прикладні методи дозволяють вирішувати окремі, не глобальні проблеми.

На емпіричному рівні система вивчається через зв'язки із зовнішнім середовищем, через властивості й відносини між об'єктами системами. На першому етапі вивчення системи створюється дескриптивна модель, що не містить керуючих факторів. На другому етапі створюється конструктивна модель, що дозволяє виявити існуючі фактори з метою ефективного керування ними.

3. Класифікація об'єктів (систем) по їхній здатності використовувати інформацію

Система являє собою обмежену й взаємозалежну єдність різних об'єктів живої й неживої природи.

Користуючись даною класифікацією можна виділити 7 типів систем:

Просте перетворення.

де, I - вхідна інформація; O - вихідна інформація.

Власна мета відсутня. Безперервні вказівки йдуть від зовнішнього джерела, і при цьому реалізуються 3 операції:

прийом;

переробка, або перетворення;

вихідний вплив.

Приклад: процес перетворення замовлення в товари, звукові підсилювачі.

Просте сортування

Система має два виходи й один вхід. Правила сортування реалізовані в блоці перетворення. Це прості операції пошуку й розпізнавання.

Зворотний зв'язок.

А - блок одержання помилки.

С - блок формування сигналу зворотного зв'язку.

У - виконавчий механізм.

Дуга СА - зворотний зв'язок.

Дуга АВ - помилка.

Частина вихідного сигналу рівняється із установленим на вході сигналом, і аналізуються неузгодженості. Звичайно зворотний зв'язок зменшує помилку й називається негативним зворотним зв'язком, тому що спрямовано протилежно дії. Прикладом є система планування, де аналізується стійкість, час запізнювання й здійснюється контроль. Також прикладом є рух антени радара.

Сортування зі зворотним зв'язком

Система з автоматичною зміною мети, або зворотний зв'язок другого порядку

У цій системі реалізується вибір при зміні зовнішніх умов.

А - рецептор.

B - ефектор.

С - прийняття рішень.

D - вибірка з пам'яті.

E - пам'ять.

За такою схемою реалізується процес навчання будь-якої організації.

Система зі свідомою зміною мети, або зворотний зв'язок третього порядку

F - переробка інформації.

Свідомість - це подання про об'єкт, про мету, про керування рецептором і ефектором; про процеси, пов'язаних з пам'яттю.

Пам'ять - це колективне знання, де реалізуються зберігання, пошук, обробка даних.

У цих системах з великого об'єму зовнішньої інформації вибирається така, що необхідна суб'єктові (людині, організації). Така система може управляти власним ростом і розвитком.

4. Етапи створення моделі

1 - система (об'єкт, явище, процес).

2 - опис системи.

3 - постановка задачі.

4 - математична модель.

5 - несуперечність висновків у рамках моделі.

6 - рішення задачі.

7 - перевірка адекватності

8 - уточнення моделі.

При вивченні будь-якого об'єкта шляхом моделювання потрібно виконувати ряд обов'язкових, перерахованих вище етапів.

Дуга (1 - 2) - спостереження експерименту.

Дуга (2 - 3) - формалізація абстракції, тобто опис істотних факторів і зв'язків між ними.

Дуга (3 - 4) - конструювання елементів моделі.

Дуга (4 - 5) - вивчення моделі.

Дуга (5 - 6) - вибір методів рішення.

Дуга (6 - 7) - порівняння висновків з реальними фактами.

Рішення, отримане на моделі, дійсно тільки доти, поки некеровані параметри зберігають свої значення, і співвідношення між параметрами моделі залишаються постійними. Якщо рішення виходить з-під контролю, то губиться можливість керування їм, тоді встановлюється процедура підстроювання рішення.

Тому що модель завжди лише частково відображає дійсність, то вона може бути гарної, якщо буде точно пророкувати вплив змін у системі на загальну ефективність всієї системи. Рішення можна оцінити, зіставивши результати, отримані по моделі, з раніше отриманими даними, або з даними практичних випробувань.

Багато критеріальні задачі звичайно вирішуються як послідовність одно критеріальних задач. Критерій оптимізації, у цьому випадку, називається цільовою функцією. Потім формуються обмеження, і вибирається один з наступних методів рішення:

Дедуктивний, або аналітичний.

Індуктивний, або чисельний.

Метод Монте-Карло, або статистичних випробувань.

5. Поняття про життєвий цикл систем

Під життєвим циклом будь-якої системи розуміється проміжок часу, що проходить між усвідомленням необхідності в цьому виробі й усвідомленні його непотрібності. Між цими моментами існує ряд етапів.

Приміром, в економіці це наступна послідовність:

Маркетинг.

Проектування й розробка.

Матеріально-технічне постачання виробничих процесів.

Підготовка й розробка технологічних процесів.

Виробництво.

Контроль, проведення випробувань і спостережень.

Упакування й зберігання.

Реалізація виробу.

Монтаж, експлуатація.

Технічна допомога.

Утилізація.

Модель об'єкта повинна будуватися так, щоб будь-який фрагмент був доступний на кожному етапі життєвого циклу.

Взаємодія моделі й об'єкта дослідження відбувається на декількох етапах:

Моделювання у віртуальному світі об'єктів реального миру.

Створення й розвиток віртуального миру.

Втілення об'єктів віртуального миру в реальному світі.

Будь-який об'єкт можна представити як «чорний ящик», на який впливають різні фактори.

Потім виконується формалізація, і об'єкт представляється в наступному виді:



Y - вектор вихідних параметрів.

X - вектор контрольованих вхідних змінних. (Поєднує дії змінних U, Z).

E - випадкова адитивна перешкода (сумарна), що характеризує вплив випадкових збурювань.

F (B,x) - параметрична функція, що здійснює перетворення значень Х у Y, або це модель досліджуваного об'єкта.

Предметом дослідження моделі є визначення виду моделі й параметрів моделі. Щирого значення параметрів системи довідатися неможливо, можна одержати тільки оцінку параметрів будь-якої моделі (вектора В). Змінюючи значення параметрів Х можна спостерігати зміна поводження вихідних значень Y, або підтримувати Y на постійному рівні.

Зміна Х визначається або об'єктивними можливостями існування даного фактору, або нормативами. Чим менше кількість керованих факторів, тим краще управляти системою в цілому.

Вхідні параметри вважаються незалежними, або екзогенними.

Вихідні параметри вважаються залежними, або ендогенними.

6. Моделі прогнозування

Існує множина математичних моделей, за допомогою яких вирішуються ті, або інші задачі. У всіх сферах діяльності людини важливим моментом є прогнозування наступних подій. Зараз існує більше 100 методів і методик прогнозування, Умовно їх можна розділити на фактографічні й експертні. Фактографічні методи засновані на аналізі інформації про об'єкт, а експертні - на судженнях експертів, які отримані при проведенні колективних або індивідуальних опитувань. Серед фактографічних методів можна виділити наступні:

Статистичні методи.

Методи аналогії.

До статистичних методів ставляться апроксимація, інтерполяція, , методи дослідження тимчасових рядів.

До методів аналогії ставляться моделі планування експерименту, а також математичної, історичної й іншої аналогії.

Серед моделей прогнозування можна виділити наступні:

7. Моделі апроксимації

Методи апроксимації застосовні до детермінованих і статистичних систем.

Апроксимація - наближення (з панцира.).

Вибір апроксимуючої функції F(B,x) пов'язаний з рішенням задачі. Для цього застосовується критерій мінімізації квадратичної помилки.

Постановка задачі.

Нехай проведено N(x_I,y_I) досвідів, де

x_I - вхідний параметр;

y_I - вихідний параметр.

Необхідно підібрати модель єднальну x і y.

Через крапки (x_I,y_I) можна провести криву, що, у свою чергу, може проходити через ці крапки або перебувати поблизу даних крапок.

В апроксимації для одержання параметрів моделі використовується Мнк-Критерій (метод найменших квадратів). Кращої вважається та модель, для якої сума квадратів відхилень досвідчених значень, від теоретичних буде мінімальною.

Для цього формується цільова функція або критерій оптимізації.

S = ? (y_I - F(B, x_I))² - min.

Далі треба досліджувати функцію на екстремум. Невідомими будуть коефіцієнти моделі B. Найбільше просто перебувають параметри, якщо F(B, x_I) являє собою поліном n-ний ступеня. При цьому формується система лінійних рівнянь, порядок якої на одиницю більше ступеня полінома.

У загальному випадку для знаходження параметрів формується система диференціальних рівнянь. Наприкінці формується система лінійних рівнянь, яку можна вирішувати точними методами (метод Крамера, Гауса, зворотної матриці). Коли система вирішена, тобто, знайдені параметри моделі, можна виконати прогнозування значень y.

Якщо обиране x перебуває усередині елементарного інтервалу ?x, те говорять про прогнозування в сьогоденні. Якщо x менше x₀, або x більше x_N, то мова йде про екстраполяцію.

8. Моделі інтерполяції

В інтерполяції, на відміну від апроксимації, виробляється мінімізація лінійної помилки. Також, на відміну від апроксимації, де крива стосовно крапок досвідів може розташовуватися будь-яким образом, а саме перебувати поблизу цих крапок, або проходити через деякі з них, крива інтерполяції, або інтерполяційний поліном обов'язково проходить через всі крапки кривої, які називаються вузлами.

Найбільш простий підхід до одержання інтерполяційної моделі був запропонований Лагранжем. Тому що поліном проходить через кожну досвідчену крапку, то потрібно скласти стільки рівнянь, скільки проведено досвідів. У лівій частині рівняння формується поліном, що проходить через i-тую крапку. У правій частині формується вектор значень y. У результаті виходить система лінійних рівнянь n-ого порядку, де n - число досвідів, а ступінь інтерполяційного полінома на одиницю менше числа досвідів.

Кількість досвідів повинне обов'язково бути більше п'яти, інакше результати інтерполяції будуть не придатні для прогнозування. Тому що метод інтерполяції вимагає проходження моделі через всі крапки, то накладаються певні умови на досвідчені значення. Різниці i-ого порядку повинні бути приблизно однакові малі. Добре інтерполюються монотонні функції.

Обоє розглянутих методу ставляться до методів дослідження детермінованих моделей.

9. Аналіз тимчасових рядів

Тимчасові ряди відбивають тенденцію зміни параметрів системи в часі, тому вхідним параметром х є момент часу.

Вихідний параметр y називається рівнем ряду. У випадку відсутності яскраво виражених змін протягом часу, загальна тенденція зберігається. Ряд можна описати рівнянням виду

Y_T = F (t) + E_T ,

Де, F (t) - детермінована функція часу.

E_T - випадкова величина

У тимчасових рядах проводиться операція аналізу й згладжування тренда, що відбиває вплив деяких факторів. Для побудови тренда застосовується Мнк-Критерій.

Існують моментальні й інтервальні ряди. У моментальних рядах відбиваються абсолютні величини, за станом на певний момент часу, а в інтервальних - відносні величини (показник за рік, місяць, і т.д.). Дослідження даних за допомогою рядів дозволяє в багатьох випадках більш чітко представити детерміновану функцію. При цьому розраховуються базисні й ланцюгові показники (приріст, коефіцієнт росту, коефіцієнт росту, темп росту, темп приросту, і ін.). Під базисними показниками розуміють, показники, які співвідносяться до початкового рівня ряду. Ланцюгові показники ставляться до попереднього рівня.

Прогноз явищ по тимчасових рядах складається із двох етапів:

Прогноз детермінованого компонента.

Прогноз випадкового компонента.

Обидві проблеми пов'язані з аналізом результатів парних експериментів. На відміну від апроксимації й інтерполяції аналіз тимчасових рядів містить у собі методи оцінки випадкових компонентів. Тому прогнозування за допомогою тимчасових рядів є більше точним.

Дослідження рядів має велике значення й для технічних, і для економічних систем.

Висновки

Будь-яка інформація може бути отримана на підставі минулого досвіду, а саме теорії перевіреною практикою (наукові факти, методики й розрахунки, досвід кожної людини).

Нова інформація може бути отримана шляхом спостереження, тобто, вивченням системи без втручання в її функціонування. Також вона може бути отримана шляхом експерименту, тобто, вивчаючи систему при цілеспрямованому впливі на її параметри.

Модель досліджується для того, щоб можна було управляти досліджуваним об'єктом або системою, на підставі отриманої по моделі інформації. Управління системи пов'язане з поліпшенням його характеристик або її стабілізацією, тобто з можливістю прогнозування поводження систем.

Література

1. Губарєв В.В. Концептуальні основи інформатики. - К., 2001.

2. Івченко Б. П., Мартищенко Л.А. Інформаційна мікроекономіка Частина 1: Методи аналізу й прогнозування. - 1997

3. Турчак К. Чисельні методи. - К., 2002.

4. Шелобаєв С.И. Математичні методи й моделі в економіці, фінансах і бізнесі. - К., 2000р.

5. Черчмен У., Акоф Р., Арноф Я. Введення в дослідження операцій. - К., 2006