Аналитическое исследование оптимального управления динамической экономической системой

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• Введение
• Глава 1. Оптимальное управление в модели трехсекторной экономики
• §1. Общее описание моделитрехсекторной экономики
• §2. Вывод дифференциальных уравнений для функций удельного капитала (основные динамические соотношения )
• Глава 2. Оптимальное управление инвестициями фондосоздающего сектора в модели трехсекторной экономики по отношению к функционалу
• накопленного удельного производства
• §1. Постановка задачи оптимального управления
• §2. Основное утверждение о необходимых условиях экстремума в форме принципа максимума Понтрягина
• 2.1 Теоретическая форма принципа максимума. (теорема 1)
• 2.2 Принцип максимума в рассматриваемой задаче оптимального управления (теорема 2)
• §3. Анализ условия максимума и структура функции оптимального управления
• Заключение
• Список литературы

• Введение
• В данной работе проводится аналитическое исследование оптимального управления динамической экономической системой. Под закрытой экономической системой понимается экономическая система национального уровня, ориентированная на замкнутый характер и достижение независимости от заграничных факторов (поставки из-за рубежа, зарубежные инвестиции). То есть, закрытая экономика - экономика, не имеющая экспортно - импортных отношений. Подобная экономика часто встречается во времена военных действия или тогда, когда в силу политических соображений страна переходит в режим изоляции от "враждебного" мира.
• Исследования, проведенные в данной работе основаны на принципе максимума Понтрягина. Теория данного принципа представлена в изданиях отечественной научной литературы [1], [2].
• В работах автора трехсекторной модели экономики [6],[7] исследуются некоторые задачи оптимального управления, которые отличаются от рассматриваемой в данной работе по форме поставноки, и по содержанию математических методов, а также по характеру полученных результатов.
• Рассмотрим отдельные аспекты о составе проведенного исследования и его итогах. Сначала приводим описание основных характеристик данной динамической экономической модели и формулируем математическую постановку задачи оптимального управления. Затем выводим аналитические соотношения: сопряженные уравнения, условия трансверсальности и условие максимума функции Понтрягина.На полученном условии максимума функции Понтрягина определяется аналитическая структура функции оптимального управления.

• Глава 1. Оптимальное управление в модели трехсекторной экономики
• §1. Общее описание модели трехсекторной экономики
• Для начала опишем теоретическую экономическую модель и в ее рамках сформулируем математическую задачу оптимального управления. Трехсекторная модель экономики была разработана В.А.Колемаевым. Экономику подразделяют на три сектора: материальный (нулевой) - вырабатывает предметы работы; фондообразующий (первый) - производство средств труда; потребительский (второй) сектор - производство предметов потребления.
• Для описания такой модели экономики будем использовать характеристики, которые представляют собой функции от времени:
• - количество (величина) произведенной продукции вом секторе,
• - капитал в ом секторе,
• - величина трудовых ресурсов в ом секторе,
• - количество инвестиций вый сектор,
• Кроме этого, заданы числовые параметры:
• - часть прироста единицы объема трудовых ресурсов за единицу времени во всей модели экономики,
• - часть выбывших за единицу времени главных (основных) производственных фондов в ом секторе,
• В работе использованы удельные характеристики, которые определяются по отношению к единице объема трудовых ресурсов. Следует ввести следующие обозначения:
• - фондовооруженность ого сектора экономики,
• - удельные инвестиции в ый сектор,
• - производительность труда в данном секторе,
• - удельный выпуск продукции ого сектора по отношению к единице объема трудовых ресурсов, занятых во всей экономической системе,
• - часть трудовых ресурсов ого сектора в общем объеме трудовых ресурсов, которые заняты во всей экономической системе,
• Чтобы описать эволюции данной экономической системы в трехсекторной модели экономики будем использовать следующие соотношения, выполняемые в любой фиксированный момент времени из заданного множества значений временного параметра.
• Производственная функция в каждом секторе представляет собой функцию Кобба-Дугласа
• где - заданные параметры
• Суммарное число занятых в производственной сфере и число занятых в j-ом секторе экономики изменяется с постоянным темпом прироста на данном интервале времени.

• ,
• В данной работе предполагается, что > 0.
• При = 0 объем трудовых ресурсов не меняется со временем, что не оправдано в реальных экономических системах.
• Выполняются соотношения, которые называются балансом инвестиций и балансом трудовых ресурсов:
• Имеются заданные значения параметров модели в начальный момент времени
• Отсюда получаем начальные значения для удельных параметром
• Динамика производственных фондов по секторам будет описываться дифференциальными соотношениями:
• Из соотношений для основных производственных фондов вытекают соответствующие соотношения для фондовооруженностей,
• (1.1.1)
• Далее введем обозначение
• Параметр является коэффициентом выбывания удельного капитала , который связан с выбыванием основных фондов и приростом величины трудовых ресурсов.
• Эти параметры полагаются известными.
• Главной целью данной работы является изучение влияния инвестиций в фондообразующий сектор экономики на показатели качества управления. Учитывая это, мы введем дополнительное положение о распределении инвестиций, которое не используется в исходной модели.
• То есть, после того, как определим объем инвестиций в фондообразующий сектор, распределим оставшиеся инвестиции между потребительским и материальным секторами в заданном отношении. Учитывая соотношение баланса инвестиций, получаем равенства
• где заданный фиксированный параметр,
• §2. Вывод дифференциальных уравнений для функций удельного капитала (основные динамические соотношения)
• Теперь получим динамическое соотношение, которое описывает изменение во времени параметров удельного капитала
• Эти соотношения носят названия дифференциальной связи и описывают изменение состояний системы при заданном управлении.
• Возьмем за основу динамические соотношения, характеризующие трехсекторную модель экономики, представленные в предыдущем разделе.
• (1.2.1)
• (1.2.2)
• (1.2.3)
• Обозначим
• Из (2.1) получаем
• (1.2.4)
• Учитывая, что получаем из соотношения (1.2.4)
• (1.2.5)
• Подставим (1.2.5) в левую часть равенства (1.2.4)
• (1.2.6)
• Разделим обе части равенства (1.2.6) на . Получим

• . (1.2.7)
• Обозначим
• . (1.2.8)
• Из (1.2.8) при получаем
• (1.2.9)
• с учетом вида управления уравнение (1.2.9) принимает форму
• (1.2.10)
• Теперь рассмотрим соотношение (1.2.8) при Заметим, что из (1.2.2) следует
• . (1.2.11)
• Из (2.11) следует
• (1.2.12)
• (1.2.13)
• Заметим, что
• (1.2.14)
• В то же время, с учетом представления для
• (1.2.15)
• (1.2.16)
• Из (1.2.12) с учетом (1.2.14), (1.2.15) получаем
• . (1.2.17)
• Аналогично из (1.2.13) с учетом (1.2.14), (1.2.16) получаем
• . (1.2.18)
• Воспользуемся вновь соотношением (1.2.8) и подставим в него выражение (1.2.17) при и выражение (1.2.18) при . Имеем
• (1.2.19)
• (1.2.20)
• удельный капитал понтрягин экономика
• Соотношения (1.2.10), (1.2.19), (1.2.20) образуют систему уравнений дифференциальной связи.
• (1.2.21)
• Данная система образует систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций которые выполняют в данной модели роль состояний. Найденные уравнения являются разрешенными относительно производных и правая часть зависит от параметра управления . В соответствии с терминологией, принятой в теории управления, набор функций связанных соотношениями (1.2.21), называется управляемым процессом.

• Глава 2. Оптимальное управление инвестициями фондосоздающего сектора в модели трехсекторной экономики по отношению к функционалу накопленного удельного производства
• §1. Постановка задачи оптимального управления
• Рассмотрим математическую постановку задачи оптимального управления на заданном конечном интервале времени
• Определим функции, которые характеризуют состояния и управления в заданной системе. Будем рассматривать в качестве состояний системы значения функций фондовооруженности в каждом секторе
• В качестве параметра управления рассматриваем некоторую величину, которая связана с удельными инвестициями в фондообразующий сектор экономики.
• Обозначим управление как и будем называть величину функцией управления. Выясним экономическое содержание функции . Из условия баланса инвестиций (§ 1), выполняемого в любой момент времени следует оценка
• (2.1.1)
• Равенство в этом соотношении достигается в случае, когда то есть при Величина являет собой максимально возможное значение удельных инвестиций в фондосоздающем секторе. Следовательно, по экономическому содержанию функция представляет собой долю удельных инвестиций в первый (фондообразующий) сектор от максимально возможного объема удельных инвестиций, который совпадает с величиной удельного произведенного продукта данного сектора . Заметим также следующее
• Введем трехмерный параметр который характеризует состояние системы и одномерный параметр который характеризует управление.
• Далее методично опишем основные части задачи оптимального управления: целевой функционал и ограничения.
• Целевой функционал вводится в виде
• Первое слагаемое в данном показателе (интегральная часть целевого функционала) выражает накопленный (суммарный) удельный продукт, произведенный за фиксированный период . Сомножитель под знаком интеграла называется дисконтирующим. Он показывает формулу учета инфляции.([10],[11]).
• Второе слагаемое (терминальный член) целевого функционала учитывает влияние на цель управления конечных значений параметров фондовооруженности так как параметры выражают достигнутый уровень технологического развития в системе. Дисконтирующий множитель описан выше.
• . Рассмотрим в качестве основных ограничений систему соотношений (1.2.21). По форме эти соотношения представляют собой систему дифференциальных уравнений относительно функций состояний разрешенных относительно производной. Правая часть этих состояний зависит от функции управления . Такие соотношения в теории управления называются дифференциальной связью и описывают изменения состояния под воздействием управления.
• Предполагается, что заданы начальные значения для функций, описывающих состояния системы
• .
• Задание начальных значений естественно для реальных динамических систем.
• Определим ограничения на управления. Из соотношения (2.1.1) и неотрицательности удельных инвестиций вытекает:
• (2.1.2)
• То есть, множество допустимых управлений имеет вид Если предположить то Тогда следовательно, Тогда получаем Если функция управления принимает одно из значений 0 или 1, это означает, что либо инвестиции в первый сектор, либо инвестиции в нулевой и второй секторы являются нулевыми.
• Будем рассматривать следующую задачу
• (2.1.3)
• (2.1.4)
• (2.1.5)
• (2.1.6)
• Задача (2.1.3) - (2.1.6) представляет собой классическую задачу оптимального управления на заданном фиксированном конечном интервале времени и с закрепленным левым концом траектории. Целевой функционал является функционалом смешанного типа с интегральной и терминальной частями. Соотношения (2.1.4) называются дифференциальной связью и описывают динамику изменения состояния под воздействием управления . Величины предполагаются известными и задают начальные значения параметров состояний (удельного капитала). Равенства (2.1.5) определяют закрепленный левый конец траектории, описываемой набором функций состояний . Соотношение (2.1.6) является ограничением на управление и определяется возможными значениями параметра в рассматриваемой модели.

• §2. Основное утверждение о необходимых условиях экстремума в форме принципа максимума Понтрягина
• Приведем основные теоретические результаты, на которых будет строиться последующее решение поставленной задачи оптимального управления. В научной литературе ([1],[2],[5]) эти результаты называются принципом максимума Понтрягина.
• Рассмотрим следующую задачу оптимального управления (классическая или понтрягинская постановка)
• (2.2.1)
• (2.2.2)
• (2.2.3)
• (2.2.4)
• В задаче (2.2.1) - (2.2.4) присутствуют следующие объекты:
• состояние системы в момент времени
• управление системой в момент времени подынтегральная функция целевого функционала (интегрант);
• терминальная функция, задающая терминальную часть целевого функционала;
• функция, задающая ограничение (2.2.2), называемое дифференциальной связью;
• фиксированный вектор (число), задающий граничное условие для функции в момент (начальное состояние системы);
• заданное множество (множество допустимых управлений).
• Введем вспомогательную функцию в задаче (2.2.1) - (2.2.4), которая обычно называется функцией Понтрягина или гамильтонианом
• (Величины играют роль множителей Лагранжа в рассматриваемой экстремальной задаче с ограничениями. Вектор - функция называется сопряженной функцией или сопряженной переменной.
• 2.1 Теоретическая форма принципа максимума (теорема 1)
• Известен следующий результат в теории оптимального управления, который носит название принципа максимума Понтрягина.
• Теорема 1.
• Пусть - оптимальный управляемый процесс в задаче (2.2.1) - (2.2.4). Тогда найдутся не равные нулю одновременно множитель Лагранжа такие, что выполняются следующие соотношения:

1)

система сопряженных уравнений; (2.2.5)



2)

3)

условие трансверсальности в точке ; (2.2.6)

4)

5)

условие максимума функции Понтрягина. (2.2.7)

Заметим, что соотношение (2.2.7) можно записать в виде

(2.2.8)

Соотношения (2.2.7) и (2.2.8) имеют следующий смысл: функция Понтрягина достигает максимума по аргументу на множестве допустимых управлений при , то есть на оптимальном значении управления, при условии, что все остальные аргументы являются фиксированными. Условия (2.2.7) и (2.2.8) выполняются во всех точках непрерывности функции , то есть при всех , кроме, быть может, точек разрыва (скачков) функции оптимального управления .

Можно доказать, что в соотношениях (2.2.5), 2.2.6), (2.2.8) значение , то есть можно положить его равным или любому другому отрицательному числу ( в задаче на максимум).

На основе теоремы 1 получим систему необходимых условий экстремума в рассматриваемой задаче оптимального управления.

Заметим сначала, что в рассматриваемой задаче состояние системы - вектор - функция фондовооруженности (удельного капитала), функция управления - скалярная величина, представляющая собой долю инвестиций в системе.

Выпишем основные объекты, определяющие рассматриваемую задачу оптимального управления:

Интегрант (подынтегральная функция целевого функционала)

(2.2.9)

Терминальная часть целевого функционала (терминант)

, (2.2.10)

где функция предполагается аналитически заданной.

Функция, определяющая дифференциальную связь

(2.2.11)

вектор - функция векторных аргументов , компоненты которой определяются соотношениями

(2.2.12)

Для удобства выпишем сразу представление для функции Понтрягина

(2.2.13)

2.2 Принцип максимума в рассматриваемой задаче оптимального управления (теорема 2)

Теперь можно сформулировать утверждение о необходимых условиях экстремума в рассматриваемой задаче оптимального управления.

Теорема 2. Пусть - оптимальный управляемый процесс в исходной задаче оптимального управления. Тогда найдутся не равные нулю одновременно число и вектор - функция

такие, что выполняются следующие соотношения

1. Сопряженное уравнение

(2.2.14)

при

2.Условие трансверсальности

(2.2.15)

при

3. Условие максимума функции Понтрягина

(2.2.16)

при

Доказательство.

Применим теорему 1 к поставленной задаче оптимального управления. Для получения соотношений (2.2.5), (2.2.6), (2.2.8) определим необходимые вспомогательные объекты. Заметим предварительно, что в поставленной задаче .

Для нахождения матрицы частных производных воспользуемся соотношениями (2.2.12).

Получим

(2.2.17)

(2.2.18)

(2.2.19)

Равенства (2.2.17)-(2.2.19) задают элементы матрицы частных производных В сопряженном уравнении (2.2.5) фигурирует объект , который представляет собой транспонированную матрицу частных производных .

Из (2.2.17), (2.2.18), (2.2.19) получаем

(2.2.20)

Где транспонированная матрица .

Для нахождения вектора частных производных

воспользуемся равенством (2.2.9). Имеем

(2.2.21)

Тогда из соотношения (2.2.5) с учетом (2.2.20) ,(2.2.21) и условия получаем систему уравнений

(2.2.22)

Система дифференциальных уравнений относительно функций представляет собой систему сопряженных уравнений в рассматриваемой задаче оптимального управления.

Теперь найдем условия трансверсальности в рассматриваемой задаче оптимального управления. Заметим, что функция определяющая терминальный член целевого функционала, предполагается аналитически заданной. Но тогда можно считать, что заданы и частные производные этой функции, а именно:

(2.2.23)

Теоретическая часть условий трансервальности для данного вида задач имеет вид (2.2.6). Как уже отмечалось, для данного вида задач с фиксированным временем и закрепленным левым концом траектории можно считать множитель Лагранжа (рассматриваемая задача на максимум). Правая часть соотношений (2.6) образуется при подстановке в производные, терминальной функции (2.23), предполагаемые заданными, значений аргументов

Таким образом, получаем из (2.2.6)

(2.2.24)

Полученные соотношения (2.2.24) определяют, что граничные условия для функций в точке которые являются решениями системы дифференциальных уравнений (2.2.22) заданы и выражаются явно через значения основных функций (состояний) .

Условия трансверсальности установлены.

Теперь выпишем условие максимума. Для этого необходимо найти явное представление для функции Понтрягина в рассматриваемой задаче оптимального управления. Теоретическая форма функции Понтрягина в классической задаче оптимального управления (2.2.1) - (2.2.4) имеет вид

Явное представление для функции Понтрягина в рассматриваемой задаче оптимального управления определяется формулой (2.2.13). Заметим, что объекты, входящие в формулу (2.2.13), имеют следующий характер:

вектор - функция сопряженных переменных (сопряженная функция); по содержанию она представляет собой множитель Лагранжа, соответствующий ограничению дифференциальной связи исходнй задачи оптимального управления;

вектор - функция, описывающая состояние системы в произвольный момент времени

скалярная функция, описывающая управление системой в произвольный момент времени

Воспользуемся общей теоретической формой принципа максимума (2.2.8). Тогда для рассматриваемой задачи оптимального управления получаем условие максимума в следующем виде

(2.25)

при

Условие максимума установлено. Теорема 2 доказана.

§3. Анализ условия максимума и структура функции опимального управления

После формулировки основного теоретического результата, а именно, теоремы о необходимых условиях экстремума в рассматриваемой задаче оптимального управления (теорема 2 §2 данной главы), дальнейшее исследование задачи заключается в исследовании системы соотношений, состоящей из необходимых условий экстремума (2.2.14), (2.2.15), (2.2.16) и ограничений исходной задачи оптимального управления. Такая система является весьма сложной, а различные системы соотношений, входящие в неё, связаны между собой. Полное исследование данной системы выходит за рамки настоящей работы.

Ключевую роль в системе, состоящей из необходимых условий и ограничений исходной задачи, является условие максимума функции Понтрягина. Известно, что данное условие позволяет определить общую структуру, то есть основные аналитические особенности функции оптимального управления. В связи с этим проведем анализ условия максимума (2.2.25) в рассматриваемой задаче оптимального управления.

Как уже было отмечено ранее (см п.2.1, §2 настоящей главы), содержание условия максимума заключается в следующем: если зафиксировать все аргументы функции Понтрягина, кроме параметра управления то данная функция достигает максимума на значении то есть на оптимальном значении параметра управления. Заметим дополнительно, что условие максимума, как и остальные необходимые условия, заведомо выполняется на оптимальном управляемом процессе то есть в данном случае при

Преобразуем аналитическое выражение функции Понтрягина (2.2.13), сгруппировав все члены, содержащие параметр управления

(2.3.1)

Введем обозначение

(2.3.2)

С учетом этого обозначения выражение для функции Понтрягина (2.3.1) можно переписать в виде

(2.3.3)

где функция задается формулой (2.3.2).

Теперь перепишем условие максимума с учетом нового представления для функции Понтрягина (2.3.3)

(2.3.4)

Согласно содержанию условия максимума, изложенному выше, функция Понтрягина достигает максимума при при условии, что остальные переменные являются фиксированными. Но тогда соотношение (2.3.4) можно записать в виде

(2.3.5)

Заметим, что в рассматриваемой задаче оптимального управления функция имеет смысл удельного объёма производства ( производительности труда) в первом секторе и удовлетворяет условию

Тогда

. (2.3.6)

При фиксированных значениях значение функции также является фиксированным. Отсюда следует, что функцию можно рассматривать как линейную функцию от с коэффициентом Множество допустимых управлений в рассматриваемой задаче Но максимум линейной функции на отрезке достигается в одной из граничных точек этого отрезка, то есть в данном случае при если и при если Таким образом, оптимальное значение параметра управления , на котором достигается максимум функции Понтрягина, определяется знаком вспомогательной функции

Возможен, правда, случай, когда при некоторых значениях выполняется условие Тогда функция Понтрягина не зависит явно от параметра управления В этом случае условие максимума не дает возможности определить оптимальное значение параметра управления .

Из предыдущих рассуждений следует, что в рассматриваемой задаче оптимального управления функция определяется следующим соотношением

(2.3.7)

где так называемое особое управление, которое не определяется непосредственно из условия максимума функции Понтрягина.

Соотношение (2.3.7) задает структуру оптимального управления. Эту структуру можно описать следующим образом.

Если функция обращается в ноль только в изолированных точках, то есть меняет знак в этих точках, то оптимальное управление является кусочно - постоянной функцией, которая принимает только два значения: 0 и 1.

Точки называются точками переключения управления. В этих точках функция оптимального управления имеет разрыв первого рода (скачки). В остальных точках функция не определяется из условия максимума. Обычно в указанных точках функция доопределяется по непрерывности справа: .

Если же функция обращается в ноль по некоторым интервале:

где - замкнутый интервал, то на этом интервале управление является особым и не определяется из условия максимума. Нахождение такого управления представляет собой весьма сложную отдельную задачу.



Заключение

В работе была рассмотрена трехсекторная инвестиционная модель, являющаяся одним из вариантов трехсекторной динамической модели функционирования национальной экономики.

В первой главе приводится общее описание динамической трехсекторной модели экономики и выводится система динамических соотношений для функций удельного капитала в трехсекторной инвестиционной модели.

Во второй главе работы приводится общий теоретический результат о необходимых условиях экстремума в общей задаче оптимального управления с фиксированным интервалом времени и закрепленным левым концом траектории.

На основе этого общего результата формулируется и доказывается теорема и необходимых условиях экстремума в рассматриваемой задаче оптимального управления в трехсекторной динамической инвестиционной модели. Эта теорема является основным утверждением проведенного исследования.



Список литературы

1. Арутюнов А.А., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения.-М.:Факториал Пресс, 2006. -144 с.

2. Алексеев В.М., Фомин С.В., Тихомиров В.М. Оптимальное управление.-М.:Физматлит, 1979. -418 с.

3. Ашманов С.А., Математические модели и методы в экономике, М.: Изд-во Московского университета, 1980.

4. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление, Учебник для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - 3-е изд.-М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. - 488 с.

5. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / Пер. с англ. Г. И. Жуковой, Ф. Я. Кельмана М.: Айрис - Пресс, 2002. - 553 с.

6. Колемаев В.А. Математическая экономика. / В.А.Колемаев. - М:Юнити Дана, 2002 - 399 с.

7. Колемаев В.А. Трехсекторная модель экономики // Сб. науч. Тр. Международной академии информатизации. М.:Копия-Принт, 1997.

8. Шнурков П.В. Оптимальное управление задачи инвестициями в закрытой динамической модели трехсекторной экономики: математическая постановка задачи и общий анализ на основе принципа максимума.

9. /П.В.Шнурков, В.В.Засыпко // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Сер. Естественные науки. -2014. - вып. 2 с. 101-115.

10. Шнурков П.В. Аналитическое исследование задачи оптимального управдения инвестициями в закрытой динамической модели трехсекторной экономики.

11. /П.В.Шнурков, В.В.Засыпко // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Сер. Естественные науки. -2014. - вып. 4 с. 101-120.

12. Leonard D., Long N. Optimal control theory and static optimization in economics. Cambrodge Univ. Press, 1992.

13. Sethi S.P., Thompson G.L. Optimal control theory: applications to management

14. science and economics. Second edition, Springer, 2000.

Размещено на Allbest.ru