Построение модели организационной структуры фирмы

Q( t )--величина затрат на материальные ресурсы, будем рассматривать как линейную функцию от объема выпуска: Q( t ) = R( t ) + ₀ ,где ( 0<<<1) -- доля материальных ресурсов в общем объеме выпуска, ₀ ( ₀0 )--величина затрат материальных ресурсов, которая не зависит от объема выручки предприятия .

Зарплата управляющего зависит от размеров фирмы, точнее от размеров капитала и затрат труда (численности работников) с коэффициентами пропорциональности соответственно и C_M= C_M' W_av :

W_M = K( t ) + C_M L( t ).

Заметим, что + + + =,

K(0)=K₀, L(0)=L₀.

Функция цели с учетом сказанного выше может быть записана в виде:

здесь r--коэффициент дисконтирования, показывает неоднозначность одного и того же коэффициента в разное время.

Итак, задача сопряжения интересов собственников и управляющего фирмы имеет следующий вид:

при условиях

( 1 - )( 1 - 1 ) R( t ) + ( 1 - ) R _k( t ) = (5.5)

= W_M( t ) + W_av L( t ) + K( t ) + dK(t)/dt + ( t ) K( t ) + Q( t ),

R_k(t)= ( K+₀),

Q( t ) = R( t ) + ₀,

R(t)=F( K( t ),L( t ))=AK(t) L(t)^1-

K ( 0 ) = K₀ , K₀>0; L ( 0 ) = L₀ , L₀>0,

где K₀--собственный капитал фирмы в начальный момент времени t₀;

L₀--предельные затраты труда в начальный момент времени t₀ ( начальное количество работников ), +++ =, , 0<<<1, ₀0, l₀0, (t) _c .

Для исследования приведенной модели, используя функцию Лагранжа, составим систему уравнений Эйлера-Лагранжа и применим принцип максимума Понтрягина.

Используя функцию (K(t)/L(t))=F(K(t)/L(t),1), запишем функцию Лагранжа:

На основе функции Лагранжа составим систему уравнений Эйлера-Лагранжа:

Таким образом, получаем новую безусловную задачу:

при условиях L(0)= L₀ ,K ( 0 ) = K₀ .

Далее решая систему уравнений Эйлера-Лагранжа (5.7)-(5.9), получим

Пусть k(t)=K(t)/L(t), n(t)=(dL(t)/dt)/L(t), тогда K'(t)/L(t)=k'(t)+n(t)k(t).

Переходя к системе новых обозначений, получим:

k'(t)+n(t)k(t)=((1-)(1-1)-)(k(t))-(++_c-(1-)l)k(t)-

-(W_av+C_M)-( ₀- у(1-) ч ₀)=0 (5.15)

Для простоты примем ₀=0, ч₀=0, тогда равенство (5.15) будет иметь вид:

k'(t)+n(t)k(t)=((1-)(1-1)-)(k(t))-(++_c- у (1-) ч)k(t)-(W_av+C_M)=0 (5.16)

После математического исследования построенной модели мы в своей работе предлагаем провести качественный анализ полученной задачи оптимального управления.

Для этого мы предлагаем ввести фазовую переменную n(t) и рассматривать n(t) как управляющую переменную. Далее по определению отметим, функция (k(t)) удовлетворяет следующим ограничениям:

а) '(k(t))>0,

b) ''(k(t))<0,

c) '(k(t)), при k0,

d) '(k(t))0, при k,

Обозначим z(k)='(k)-(k), z'_t(k)=''(k(t))k'(t)k(t).

Тогда

k'(t)+n(t)k(t)=((1-)(1-1)-)(k(t))-(++_c-у (1-)ч)k(t)-(W_av+C_M)=0 (5.19)

Для исключения (t) из (5.17), (5.18) продифференцируем (5.18) по t и выясним поведение оптимального решения k(t). После дифференцирования

(5.18) по t получаем:

Из равенства выражений (5.17) и (5.20) получим выражение для производной функции k(t):

где U=((1-)(1-1)-)z(k)+(W_av+C_M),

V=[((1-)(1-1)-)z(k)+(W_av+C_M)][(1-+)'(k)+ ]+[(1-+)z(k)- C_M][r+(++_c-у (1-)ч)+( -(1-)(1-1) '(k)].

Анализ соотношения (5.21) позволяет построить шкалу проверки состояний фирмы. Для построения такой шкалы проведем следующие рассуждения.

В силу того, что [(1-+)(W_av+C_M)+(( 1-)(1-1)-) C_M]>0, а ''(k)<0 для k>0, получаем, что знаменатель дроби в равенстве (5.21) отрицателен. Поэтому dK(t)/dt=0 тогда и только тогда, когда U=0 или V=0. Легко показать, что функции U(k) и V(k) монотонно убывающие в силу свойств a)-b). Отсюда следует существование единственного корня k1(,) уравнения U=0 и единственного корня k2(,) уравнения V=0.

На рисунке 1.5.1 a) представлен график изменения поведения функции k(t) в зависимости от начальных значений параметров. Если начальное значение k₀=K₀/L₀ <k1, то производная (5.21) отрицательна, и следовательно функция k(t) убывает, причем k0, и фирма гибнет. Точка 0 является точкой устойчивого равновесия. При попадании начального значения k₀ в промежуток [k1,k2] знак производной (5.21) положителен, значения функции возрастают, причем размеры фирмы стабилизируются и стремятся к значению k2(,). При попадании k₀ в промежуток [k2,) производная отрицательна, функция вновь убывает. Таким образом, точка k1(,) является точкой неустойчивого равновесия, точки 0 и k2(,)--точки устойчивого равновесия, и k2(,) можно рассматривать как оптимальный размер фирмы значений параметров , , 1, , W_av, , , , ч,у и данной функции (k).

В особом случае, когда k1=k2, мы получаем рисунок 1.5.1 b), на котором видно, что для стабилизации размеров фирмы достаточно установить начальное соотношение труда и капитала больше, чем некоторое значение k2(,). Исследования в этом случае аналогично случаю различных корней.

a) b)

Рисунок 1.5.1. Поведение функции k(t)

a) случай различных корней ( k1k2 )

b) случай совпадающих корней ( k1=k2 ).

Построенная шкала проверки состояний фирмы справедлива в принятых выше предположениях о виде и свойствах функции (k) .

В силу того, что в общем случае аналитическое выражение для k(t) не удалось получить, рассмотрим следующие упрощающие предположения:

пусть объем выпуска фирмы формируется на основе производственной функции Кобба-Дугласа:

F( K( t ),L( t ))=AK(t) L(t)^1- (5.22)

и пусть задана предельная норма замещения трудовых ресурсов капиталом. Для функции Кобба-Дугласа она имеет вид:

С учетом этих предположений уравнение (5.12) перепишем в виде:

Вводя далее следующие обозначения:

=((1-)(1-1)-)A(1-)/(b)(b/(1-))+(1-)-(++_c)-(W_av+C_M)(1-)/(b);

C=(1-)₀-₀ , ( * )

уравнение (5.24) запишем в виде:

Cчитаем, что мы рассматриваем промежуток времени в течение которого величины и C не зависят от времени t. В этом случае будем иметь неоднородное дифференциальное уравнение относительно фазовой переменной K(t) c начальным условием K( 0 )= K₀ :

Решая систему (5.25), получаем численное выражение для величины капитала фирмы:

K(t)=K₀e^t+C(e^t-1)/, при выполнении ( * ).

Следует заметить, что проведенный выше анализ задачи (5.1),(5.3) позволяет считать фактически доказанным следующее утверждение.

Утверждение.

Пусть функционирование некоторого экономического объекта описывается соотношениями (5.1),(5.3), причем производственная функция объекта формируется в виде функции Кобба-Дугласа (5.22), и пусть задана предельная норма замещения b (5.23), а функция заимствования определена в виде соотношения (5.2). Тогда величина капитала рассматриваемого экономического объекта в момент времени t определяется следующим образом:

K(t)=K₀e^t+C(e^t-1)/,

=((1-)(1-1)-)A(1-)/(b)(b/(1-))+(1-)-(++_c)-(W_av+C_M)(1)/(b),

C=(1-)₀-₀.

K(0)=K₀.

Доказанное утверждение имеет довольно широкое применение.

Во-первых, она может быть используема для оценки изменения величины капитала фирмы за исследуемый промежуток времени [t₀ ,T], причем варьируя управляющими параметрами , W_av, b, C_M , , можно выбрать целесообразную траекторию роста капитала анализируемого экономического объекта. Это возможно сделать, используя следующую оптимизационную задачу (5.26):

Данная задача позволяет определить параметры таким образом, чтобы фирма максимизировала объем произведенного продукта, и управляющий максимизировал собственный доход.

Во-вторых, можно исследовать величину изменения части параметров при остальных фиксированных.

Рассмотрим следующий пример. Пусть K₀=600000; A=1.5; r1=0.001; =0.02;=0.75; b=20000; =0.15; =0.005; =0.005; =0.01; =0.001; _c=0.005; W_av=2000; C_M=300; ₀=3000; ₀=4000, t=5. Тогда зависимость K() представлена в таблице 1.5.1:

Таблица 1.5.1. Изменение K(t) при изменении м.

м (%)	0.02	0.05	0.2	0.3	0.5	0.51
K (руб)	757744	746954	695266	6622811	602381	599509

Анализ проведенных расчетов позволяет сделать вывод, что при

[ 0; 0.5] наблюдается рост капитала фирмы. Причем, чем больше доля от объема выпуска идет на развитие фирмы, тем капитал будет выше.

В рассмотренном примере возьмем =0.05 и найдем зависимость изменения величины капитала фирмы при изменении величины выплаты средней заработной платы рабочим.

Таблица 1.5.2. Изменение K(t) при изменении W_av.

Wav (руб)	2000	3000	4000	5000
K (руб)	746954	687316	632443	581956

Результаты исследования показали, что при средней заработной плате рабочего выше величины 4500 траектория изменения капитала анализируемой фирмы будет убывать, и в конечном итоге фирма станет банкротом.

Сформулированная выше теорема позволяет при фиксированной предельной норме замещения b (5.23) выразить величину трудовых ресурсов фирмы:

Кроме того, зная величины K(t) и L(t), мы можем построить траекторию изменения объема выпуска фирмы R(t):

Управляющими параметрами в задаче (5.26) являются параметры: м, b, W_av. С помощью методов экспертного оценивания разрабатываются варианты возможных значений этих параметров, и дальнейший анализ позволяет определить состояние фирмы в определенный промежуток времени. Результаты проводимых расчетов сформируем в виде следующей таблицы 1.5.3.

Таблица 1.5.3. Таблица расчетов показателей фирмы в момент времени t=5.

Параметры управления	Результаты расчетов показателей функционирования фирмы в момент времени t=5
м	b	Wav	K(5)	L(5)	R(5)	бI(5)+(1-б)R(5), б=0.4
0.005	22750	10000	61481375	900	5704396	3456216
0.001*	22750	10000	61503786	901	5729680	3462277*
0.0009	22750	10000	61504346	901	5729719	3462071
0.00001	22750	10000	61508830	901	5730032	3460221

*-наилучший вариант выбора параметров управления

Таким образом, результаты проведенных расчетов позволяют составить прогноз развития экономического объекта, обладающего заданными характеристиками, за необходимый промежуток времени и выявить такой уровень управляющих параметров, который обеспечит эффективное развитие фирмы и поможет осуществить сопряжение интересов собственников и управляющего.

В заключение следует отметить, что предположение (5.2) достаточно грубо, т. к. ясно, что величина выдаваемого кредита зависит не только от величины собственного капитала фирмы, но и от перспективности возврата кредита и т. д.

Уточнить результаты удается в некоторых частных задачах. Рассмотрим задачи управления одной из распространенных в финансовой сфере фирм -- банком. Модели принятия решений, контроля, а также особенности рентноориентированного управления в банковской сфере будут описаны и проанализированы в следующей главе.

Глава 2. Моделирование процесса рентноориентированного управления фирм финансовой сферы

§1. Методы выбора и оптимизации инвестиционных решений в банковском бизнесе

Любой банк ожидает от инвестирования и эксплуатации инвестиционных объектов эффекта или положительных последствий, влияющих на оборачиваемость капитала, снижение уровня затрат, оптимизацию технологии, финансовых потоков и т.д. Если характер этого влияния определен, то говорят о надежных ожиданиях. На практике же многие ожидания, связанные с инвестированием, обычно ненадежны из-за множества разнообразных факторов -- поведения поставщиков, потребителей, конкурентов, персонала предприятия, из-за усложнения и роста динамики производственной деятельности фирмы, ухудшения политической, социально-экономической обстановки в стране, уровня новизны применяемых техники и технологий, рыночной конъюнктуры и т.д.

Если известен перечень альтернатив развития внешней деловой среды или обусловленных ими экономических результатов, то могут возникать как ситуации риска, в которых известна вероятность развития по тому или иному сценарию, так и ситуации неопределенности, в которых значения вероятности получить просто невозможно. Однако, собирая определенную информацию и зная методы ее обработки, анализа, прогноза, можно получить данные, снижающие ненадежность ожиданий, раскрыть причины и уровень возможных последствий. С помощью конструирования моделей и специальных методов оценки в рамках инвестиционного расчета можно определить значения целевых величин и в зависимости от динамики изменений основных параметров предприятия и внешней деловой среды при выборе решений ввести оценку степени важности этих величин. Если ни одна из этих альтернатив не окажется доминирующей, то выбор решения можно проводить на основе ряда правил и критериев. Рассмотрим эти очень важные вопросы подробнее.

Если существуют: конечное число рассматриваемых альтернатив действий А_j (j=1,..,J) и состояний окружающей среды Z_i (i=1,..,I), а также функция результатов, причисляющая каждой инвестиционной альтернативе однозначный эффект в форме стоимости капитала (СK_ji), выступающей единственно важной целевой величиной, то ситуацию принятия решений можно представить соответствующей матрицей (табл.2.1.1). Элементы матрицы (СК_ji) соответствуют значениям стоимости капитала, которые принимает альтернатива A_j при состоянии среды Z_i и исходя из которых инвестор или ЛПР с помощью некоторых правил принятия решений может обоснованно выбрать ту или иную альтернативу.

Таблица 2.1.1 Матрица принятия решений

Альтернотива	Состояние внешней деловой среды Z1 … Zi … ZI
A1 … Aj … AJ	CK11 … CK1i … CK1I … … … … … CKj1 … CKji … CKjI … … … … … CKJ1 … CKJi … CKJI

Правила принятия решений в ситуациях неопределенности. Неопределенность обусловливает появление ситуаций, не имеющих однозначного исхода (решений) для различных экономических, инвестиционных и других объектов.

Под неопределенностью следует понимать отсутствие, неполноту, недостаточность информации об объекте, процессе, явлении или неуверенность в достоверности информации.

К основным правилам принятия решений при неопределенности относятся:

правило Вальда, или правило максимина (maximin);

правило максимакса (maximax);

* правило Гурвица.

В соответствии с правилом Вальда (максимина) из альтернативных инвестиций (см. табл. 2.1.1) выбирают ту альтернативу А_j , которая при самом неблагоприятном состоянии внешней деловой среды Z_нi имеет наибольшее значение стоимости капитала СК_ji. Для этого в каждой строке матрицы решений для каждой альтернативы отмечают минимальное значение СК, после чего определяют максимальное значение среди отмеченных минимумов. Инвестиция А*, которой принадлежит максимальное значение, предлагается к реализации:

Инвестор, принимающий решение по правилу Вальда, имеет малую склонность к риску и высокую -- к фатализму и пессимизму: предполагая экстремально негативное развитие состояния внешней деловой среды, он считается с наименее благоприятным развитием для каждой инвестиционной альтернативы. Минимальные значения альтернатив приведены в графе «min»

табл. 2.1.2. Максимумом минимальных значений из приведенных в табл. 2 альтернатив является значение СК₂₄= 115.

Таблица 2.1.2. Выбор альтернатив инвестиций по ряду правил при ситуациях неопределенности

Альтернатива	Состояние внешней деловой среды	Результат	выбора правила
	Z1	Z2	Z3 Z4	Z5	min	max	Гурвица,б=0,4
A1 A2 A3 A4	180  160 120 80	150 135 90 10	110 130 120 115 70 100 60 50	125 145 110 70	110 115* 70 10	180* 160 120 80	66 + 72 = 138* 69 + 64 = 133 42 + 48 = 90 6 + 32 = 38

Оптимистический инвестор, напротив, для выбора альтернатив использует правило максимакса, выбирая инвестицию с наивысшим достигаемым значением стоимости капитала и не учитывая при принятии решения риска, связанного с неблагоприятным развитием состояния внешней деловой среды. Следовательно, оптимальная альтернатива A*, занесенная в колонку «max», определяется по формуле:

При использовании этого правила определяют максимальные значения для каждой строки матрицы решений и выбирают наивысшее из них (в табл. 2 это значение СК₁₁ = 180). Соответствующая стратегия (стратегия А₁) при этом считается оптимальной.

Основной недостаток правил максимина и максимакса при принятии решения заключается в использовании только одного варианта развития для каждой инвестиции. Таким образом, часть информации при этом не учитывается.

Правило Гурвица (правило оптимизма-пессимизма), сочетая правила максимина и максимакса, позволяет ЛПР выбирать оптимальную альтернативу А* по следующей формуле:

где б -- коэффициент оптимизма, б = [0, 1].

Если б = 1, то выбор альтернативы проводится по правилу максимакса, если б = 0 -- по правилу максимина. Инвестор, не любящий рисковать, может задать, например, б= 0,4, тогда для анализируемого примера (табл. 2) наивысшее значение целевой функции имеет альтернатива A₁ , и она будет наиболее выгодна, т.е. А* = А₁.

При применении правила Гурвица информации используется больше, чем при правилах максимина и максимакса в отдельности, но тем не менее не вся имеющаяся в распоряжении ЛПР информация.

Правила и критерии принятия решений в условиях риска. Ситуации риска соответствуют три условия:

наличие неопределенности;

необходимость выбора альтернатив;

возможность оценить вероятность реализации выбираемых
альтернатив [12].

Под ситуацией риска следует понимать сочетание, совокупность различных обстоятельств и условий, создающих обстановку вокруг того или иного вида деятельности.

К основным правилам и критериям принятия решений в ситуации риска относятся правило Байеса, му-критерий, или критерий среднего значения и стандартного отклонения, и критерий Бернулли.

Правило Байеса применяется, если известна вероятность наступления возможных состояний внешней среды p_i. Тогда в качестве критерия выбора можно использовать значение математического ожидания j-й альтернативы А. При наличии множества инвестиционных альтернатив оптимальная альтернатива А* находится по формуле:

где M[A_j] -- математическое ожидание (средневзвешенное значение);

СК_ji -- стоимость капитала j-й альтернативы при i-м состоянии внешней среды с вероятностью p_i его наступления.

Пример 1. Пусть имеется матрица решений (табл. 3) из четырех альтернатив при пяти возможных состояниях внешней среды с вероятностями их наступления p_i: p₁= 0,1; p₂=0,2; p₃=0,3; p₄= 0,4; p₅ = 0,2. Определить наилучшую альтернативу по правилу Байеса.

Таблица 2.1.3. Выбор наилучшей альтернативы инвестиций в условиях риска по правилу Байеса

Альтернотива	Состояние внешней деловой среды	M[Ai]
	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5
A1	180	150	110	130	125	158
A2	160	135	120	115	145	160*
A3	120	90	70	100	110	113
A4	80	10	60	50	70	62

Решение. В соответствии с приведенной выше формулой oпределим математическое ожидание каждой из предложенных альтернатив

Из расчета математического ожидания видно, что его значение у альтернативы А₂ выше, чем у остальных альтернатив. Поэтому в соответствии с правилом Байеса альтернатива А₂ принимается за оптимальную, т.е. А* = А₂ = 160.

Заметим, что элементы матрицы СК_ji выражают также полезность инвестиционных эффектов. Таким образом, изменение полезности по отношению к изменению значения стоимости капитала принимается пропорциональным, а отношение к риску -- нейтральным.

Критерий среднего значения и стандартного отклонения, или му-критерий, позволяет оценивать отношение инвестора к риску.

Рассматривая помимо математического ожидания М[х] дисперсию, или стандартное среднеквадратическое отклонение у результатов (стоимости капитала х, табл. 4), как степень риска в критерии принятия решения, можно отметить, что риск тем выше, чем выше значение у. Полезность альтернативных решений, так называемая полезность риска, зависит от М[х] и у и отражается функцией приоритетности риска, или коэффициентом вариации V.

Таблица 2.1.4. Расчетные формулы основных показателей уровня рисков

Показатель риска Расчетная формула
Математическое ожидание M[xi] стоимости капитала xi Дисперсия (вариация), Dx Среднеквадратическое отклонение, уx (стандартная девиация) Коэффициент вариации V,%

Характер функции приоритетности риска обусловливается отношением инвестора к риску: положительным (стремление к риску), отрицательным (боязнь риска) или нейтральным.

Отрицательное отношение к риску при одинаковом математическом ожидании выражается в стремлении инвестора выбрать из двух альтернатив ту, у которой меньше стандартное отклонение у_х, но при этом теряется некоторая часть информации.

Есть возможность замены математического ожидания М[x_j] и моментов риска целевых функций (например, стоимости капитала) на ожидаемую полезность (выгоду), при этом вместо монетарных целевых функций используется полезность, которую ЛПР связывает с целями и ожидаемой степенью их достижения с учетом личного отношения к риску.

По критерию Бернулли ЛПР способно оценить выгоду различных возможных инвестиций, отыскивая максимум «морального ожидания» (МО) для каждой альтернативы по следующей формуле:

где f(CK_ji)-- дегрессивно растущая функция полезности;

СК_ji -- стоимость капитала j-й альтернативы при i-м состоянии внешней среды; p_i -- вероятность его наступления.

С помощью теории полезности Бернулли можно определить функции полезности ненадежных результатов (ожиданий), например стоимости капитала. Для этого находят надежный результат, так называемый надежный эквивалент, имеющий сходную выгоду с двумя ненадежными результатами, характеризующимися определенными значениями вероятности получения. Функция полезности в ситуации риска выражает отношение к риску ЛПР: при его нейтральном отношении к риску надежный эквивалент соответствует значению ожидаемого результата, при положительном (отрицательном) отношении -- значение надежного эквивалента выше (ниже) значения ожидаемого результата.

С помощью функции полезности можно определить ожидаемые значения полезности альтернатив; при этом в величины полезности трансформируются все возможные результаты. Альтернатива, имеющая максимальное значение математического ожидания полезности, считается оптимальной. При нейтральном отношении к риску этот критерий соответствует правилу Байеса.

Управление риском сегодня -- отдельный вид предпринимательской профессиональной деятельности, связанный с выработкой целей риска, выбором альтернатив вложений капитала, выявлением факторов влияния деловой среды, оценкой степени риска, выбором соответствующей стратегии, приемов и методов, снижающих степень риска до приемлемого уровня.

Таким образом, мы рассмотрели правила и критерии принятия инвестиционного решения в банковском бизнесе, позволяющие в ситуации риска рассчитать наилучшую альтернативу вложения средств и выбрать такой метод управления, при котором прибыль банка будет максимальной.

§2. Особенности рентноориентированного управления коммерческих банков

В данном разделе мы попытались рассмотреть особенности и закономерности проблем рентноориентированного управления применительно к деятельности коммерческих банков. За основу модели выбора стратегии эффективного функционирования банка была взята модель, подробно описанная в первой главе.

В связи с достаточно сложной организационной структурой банковских систем были введены ряд основных принципов построения задачи. Основными из них являются следующие:

1. Деятельность банка в данном разделе будем рассматривать как производственная. В качестве конечного продукта нами будет считаться полный оборот материальных средств банка за определенный период времени. В связи с этим стало целесообразно введение нового принципа. Он заключается в том, что оборот банка в нашей задаче будет делиться на три части: первая идет на выплату комиссионных менеджеру, вторая - на текущие расходы банка, т. е. на продолжение и расширение его функционирования, третья же часть оборота по сути своей не является собственностью банка, а идет на выплаты процентов по вкладам юридических и физических лиц.

2. Общий капитал банка в каждый конкретный момент времени представляет собой совокупность двух различных капитальных средств:

K= К_соб+ К_вклад .

Первыми из них являются непосредственно собственный капитал банка (К_соб). В начальный момент времени t₀ им являются собственные средства банка. Вторую часть капитальных средств банка составляют средства вкладчиков этого банка (К_вклад), т. е. средства населения и организаций, находящиеся на счетах в этом банке. Следует отметить тот факт, что эти материальные активы находятся лишь во временном распоряжении банка. Таким образом, здесь мы имеем право говорить о том, что вкладчики позволяют банку использовать их средства с целью получения определенной доли от полученной в результате банковских операций прибыли.

На основе всех сделанных нами дополнительных предположений становится возможным следующее заключение. Поскольку капитал банка состоит из двух частей: собственных средств и средств вкладчиков, то задача оптимального управления в свою очередь также делится на две отдельные подзадачи. Первая из них сводится к задаче эффективного использования банком своего собственного капитала, а вторая - к задаче оптимального использования средств вкладчиков, то есть способы привлечения средств населения в банк и реальное их использование.

С учетом всех сделанных предположений построим модель оптимального использования банком собственного капитала. Необходимо обеспечить максимальный прирост собственного капитала, используя собственные средства банка и средства вкладчиков с учетом программы разделения прибыли, то есть учитывая величину доли менеджера в общем обороте банка, под которым мы будем понимать объем денежных средств полученных банком за определенный временной промежуток.

Математическая формулировка: максимизировать функционал

при условии

I(t)= R(t)+ W_M , 0<<1, (2.2)

I(t) -- совокупный доход менеджера,

r -- положительный уровень дисконтирования,

весовой коэффициент, 01;

R(t)--общий объем выпуска,

--доля менеджера в обороте банка;

W_M--оплата труда менеджера.

Текущий доход менеджеров складывается из заработной платы и дохода от продаж (2), где

R(t)=F(K(t),L(t))--производственная функция банка, (2.3)

L(t)--численность работников в банке

K(t)=К_соб + К_вклад--капитал банка.

Заметим, что в данной модели нас интересует оптимальное использование лишь собственных средств банка. Таким образом, без ограничения общности предположим, что К_вклад = const.

Пусть (K(t)/L(t))=F(K(t)/L(t),1).

Будем рассматривать производственную функцию в виде производственной функции с постоянной эластичностью замещения (CES). Она представляет собой функцию затрат капитала и труда, и имеет вид

F(L,K_соб)=[сL^-з+(1-с)K^-з_соб]^-1/з , (2.4)

В модели предполагается, что общий оборот банка делится на три части; первая с весом коэффициентом является дополнительным доходом управляющего, вторая с весовым коэффициентом в -является приростом собственного капитала банка и идет на продолжение его жизнедеятельности, на его развитие, третья часть с весом коэффициентом щ=1-- в по сути своей не является собственностью банка, а идет на выплату процентов по вкладам юридических и физических лиц и на выплату полного размера вклада в указанный срок. В данной задаче мы будем рассматривать только ту долю от общего оборота банка, которая является дополнительным доходом управляющего и ту, которая необходима банку для продолжения своей эффективной работы.

Итак, рассмотрим структуру расходов той части от общего оборота банка, которая идет на продолжение его нормального функционирования:

вR(t)=W_M(t)+W_avL(t)+K_соб(t)+K'_соб(t)+(t)K_соб(t) (2.5)

0<д<1;

(t) _c;

_c--доля оборота банка, идущая его собственнику в виде платы за акции;

W_M--оплата труда менеджера;

W_av--средняя стоимость единицы труда;

K_соб(t)--амортизация капитала;

--уровень амортизации капитала K_соб(t);

K'_соб(t)--величина прироста собственного капитала;

в--норма отчислений на продолжение и расширение деятельности;

(t)--прибыль держателей акций, если (t)>0 и их потери, если (t)<0 в расчете на единицу вложений.

Зарплата управляющего зависит от размеров банка, точнее от размеров собственного капитала банка и затрат труда ( численности работнико):

W_M= C_mL(t)W_av+K_соб(t); (2.6)

0<<1,

0 < + 1,

C_m>0,

где C_m и --доли от фонда заработной платы и собственного капитала, на основе которого формируется оплата управляющего.

Перепишем целевой функционал (2.1), используя формулы ( 2.2 )-(2.6 )

при условиях

R(t) =W_M+W_avL(t)+K_соб(t)+K'_соб(t)+(t)K_соб(t); (2.8)

0 < ++ 1,

C_M>0,

(t) _c;

K_соб ( 0 ) = K⁰_соб, K⁰_соб>0;

L ( 0 ) = L⁰ , L⁰ >0.

Здесь K⁰_соб --собственный капитал банка в момент времени t₀;

L⁰ --пределные затраты труда в начальный момент времени t₀ ( начальное количество работников );

В модели (2.7)-(2.8) прибыль (t) отрицательно влияет на подынтегральную функцию в (2.7), поэтому мы можем положить (t)= _c , имея в виду максимизацию целевого функционала (2.7).

Итак, получаем задачу

при условиях

R(t) =W_M+W_avL(t)+K_соб(t)+K'_соб+(t)K_соб(t)

0 < ++ 1,

(t)=_c ,

C_M>0,

K_соб ( 0 ) = K⁰_соб, K⁰_соб>0;

L ( 0 ) = L⁰ , L⁰ >0.

Таким образом, построенная задача является задачей оптимального управления с фазовыми переменными K(t) и управляющими параметрами L(t) и м.

Для математического анализа построенной модели, используя функцию Лагранжа, составляем систему уравнений Эйлера-Лагранжа. Решая данную систему, получим:

Так как производственная функция F( K, L)--непрерывная, неубывающая, вогнутая вверх, однородная функция первого порядка однородности, то функция (K/L), полученная из функции F(K , L), удовлетворяет следующим свойствам:

'(k(t))>0,

''(k(t))<0,

'(k(t)), при k0,

'(k(t)) 0, при k

Для упрощения преобразований введем в рассмотрение следующую функцию:

z(k)= [с+(1-с)k^-з]^{-(з+1)/ з}(-с).

Тогда проводя дальнейшие преобразования, используя соотношение (2.5), а также систему уравнений Эйлера-Лагранжа, составленную для задачи (2.3)-(2.4), учитывая также введенную функцию z(k), приходим к следующему равенству:

где U=в[с+(1-с)k^-з]^-(з+1)/з(-с)+W_av(1+C_m);

V=[+(1-)k^-з]^-(з+1)/з(-)[вбг+(1-б+бм)(г+д+р_c)+(1- б+бм)r]+W_av(1+C_m)((1- б+бм)(1-)[+(1-) k^-з]^-(з+1)/зk^-з-1+бг)- б C_m(г+д+р_c)- в[+(1-)k^-з]^-(з+1)/з(1-с)+r).

Осуществляя далее качественный анализ полученной модели подобно тому, как представлено в первом разделе, мы делаем вывод о существовании единственного корня уравнения U=0 и единственного корня уравнения V=0. Таким образом, существуют корни k₁(б,м, в) и k₂(б,м, в), определяющие поведение оптимального решения k(t).

Далее введем некоторые упрощающие предположения. Будем считать, что задана предельная норма замещения трудовых ресурсов капиталом. Для функции CES она имеет вид:

, т. е.

В этом случае уравнение (2.10) примет вид:

Введем обозначение

Дифференциальное уравнение (2.12) запишем в вид K'(t)-K(t) о=0. Из которого легко получить численное выражение для величины капитала банка. Таким образом, можно сформулировать следующее утверждение.

Утверждение

Пусть имеется задача оптимального управления банком вида (2.1)-(2.2), объем оборота банка формируется на основе производственной функции CES, т. е. F(L,K_соб)=[сL^-з+(1-с)K^-з_соб]^-1/з , где 0<з<1 и задана предельная норма замещения b трудовых ресурсов капиталом. Тогда задача оптимального управления банком (1)-(2) разрешима и величина капитала рассматриваемого банка в момент времени t равна:

K(t)=Ce^tо ,

где С=К₀=const,

В [15] были сформулированы теоремы, в которых представлены формулы для вычисления оптимальной доли управляющего м в обороте банка. Приведем их.

Теорема 1.

Пусть выполнены условия:

1)z(k(t))?0, tє[0,...,T], z(k(0))<0;

2)| z(k(0)) | ?(C_m+1)W_av;

3) k'(t)?0, t;

4) k(T)=k₁,

т. е. закреплен правый конец фазовой кривой. Тогда оптимальное значение м* существует и определяется следующим образом

м*=1+

Теорема 2.

Пусть выполнены условия:

1)z(k(t))?0, tє[0,...,T];

2) ?z(k(T)) ? ;

3) k'(t)?0, t.

Тогда оптимальное значение м* существует и определяется следующим образом

м*=

Пример вычисления оптимальной доли м* управляющего в обороте банка

Пусть имеются следующие данные:

W_av=50,

C_m=0,06,

с=0,37,

з=0,25,

K₀=150.

Решая данную задачу в среде Excel, воспользовавшись формулой м*=получим м*=0,087.

Таким образом, нами была поставлена и решена задача выбора оптимальной стратегии эффективной работы банка. Корме того, нам удалось сформулировать утверждения, позволяющее в аналитическом виде выразить величину капитала рассматриваемого экономического объекта и рассчитать долю управляющего в общем обороте банка.

§3. Модель контроля за состоянием дебиторских счетов

Одним из возможных методов рентноориентированного управления банковскими системами является метод контроля за состоянием дебиторских счетов.

Рассмотрим следующие предположения: в каждом бухгалтерском периоде каждый рубль, относящийся к данной системе счетов, будем относить к одной из категорий -- выплата, долг, безнадежный долг дебиторской задолженности, пусть

р₁₀ --вероятность того, что один рубль, взятый в кредит в начале периода t, будет выплачен в начале периода t+1,

р₁₂ =D - вероятность того, что один рубль, взятый в кредит в начале периода t, будет потерян как безнадежный долг к началу периода t+1.

р₁₁ - вероятность того, что один рубль, взятый в кредит в начале периода t, не будет выплачен в начале периода t+1, но и не будет потерян как безнадежный долг в начале периода t+1,

тогда р₁₀ + р₁₁ + р₁₂ =1.

i--ставка рефинансирования,

r--процентная ставка по кредитам в течение одного временного периода,

t=0,1,2,..-- временные периоды ( банковские дни )

С--совокупная сумма предоставленных кредитов,

K--постоянные издержки за один период содержания активного счета,

B^{^}=1/(1+i)--дисконтирующий множитель.

C учетом рассмотренных предположений модель контроля за состоянием дебиторских счетов будет иметь следующий вид:

H=M-L-Cmax,

при условиях

B= (1+r) /(1+i), B>1, Bp₁₁<1,

(1+r) p₁₁1,

где

Н-- величина ожидаемой прибыли от предоставления кредита С ,

М--величина ожидаемых платежей кредитному учреждению от предоставления кредита С,

L--величина всех ожидаемых постоянных издержек.

Теорема.

Пусть выполнено условия

В(1 -D)> 1, (1)

C[B(1-D(1+i))-1] K(i+r)²i/(r+i+ri), (2)

тогда максимум ожидаемой прибыли рассчитывается на основе соотношения:

H(p₁₀)=M(p₁₀)-L(p₁₀)-C,

Если условие (2) не выполняется, то Н(р₁₀) < 0 при любом возможном значении доли выплат p₁₀ .

Приведенная модель рассмотрена применительно к банковской системе. Следует указать, что она может быть использована в ситуации, когда производитель в соответствии с договором поставляет товар на реализацию предприятиям розничной торговли по оговоренной цене, но эти предприятия могут рассчитываться за товар только после его реализации. Если производитель уверен в выполнении предприятиями их обязательств, то возможна поставка товара в кредит с использованием некоторой процентной ставки. Аналогичная ситуация может возникнуть и при наличии партнерских отношений между поставщиком сырья и производителями, закупающими данное сырье и производящими с поставщиком расчеты через определенный временной промежуток после получения сырья.

Глава 3. Программный комплекс задач оптимального использования средств коммерческих банков

§1. Блок-схема задач оптимального развития фирм с рентноориентированным управлением

Проиллюстрируем задачи, поставленные в данной работе, в виде блок-схемы. Данная блок-схема имеет иерархическую структуру. Самая первая задача--задача проверки наличия рентноориентированного управления. Решение данной задачи осуществляется на основании данных, характеристик фирмы методами экспертного оценивания.

Для фирм с рентноориентированным управлением были сформулированы задачи оптимального управления без учета кредита, с учетом кредита и задачи оптимального функционирования банка. В данном комплексе представлены как задачи, ранее рассмотренные в других работах, так и задачи разработанные в данной дипломной работе, выделенные в блок-схеме другим цветом. В каждой из таких задач для фирмы или банка с заданными характеристиками определена оптимальная траектория роста капитала, рассчитано выражение для оптимальной доли управляющего в общем обороте заданного экономического объекта. Кроме того, рассмотрена задача оптимального управления в условиях неопределенности банка, рассчитаны показатели эффективности работы банка, а также решены ряд вспомогательных задач.

Разработка всех программ, необходимых для решения данных задач, проводилась в среде Delphi 6, которая является средой быстрой разработки приложений (RAD) и имеет большую библиотеку визуальных компонентов (VCL), позволяющую создать мощные пользовательские интерфейсы.



§2. Расчет показателей эффективности работы банка

Рассчитаем показатели эффективности работы банка, применительно к задаче, описанной в главе 2, оптимального использования средств заемщиков. Определить долю потерь D. Согласно существующей практике и законодательству суммы просроченных долгов взыскиваются по судебному иску. С момента подачи иска прекращается начисление процентов. При этом кредитующее учреждение имеет резерв для восполнения сумм, утраченных и ходе невыполнения заемщиками своих обязательств, т.е. кредитующее учреждение подает судебный иск и восполняет до исполнения судебного решения утраченную сумму из резерва. Таким образом, целесообразно считать сумму, на которую подан иск, потерянным долгом. Так как в приведенной модели вычисляется доля потерь за каждый бухгалтерский период, то эту долю можно вычислить следующим образом: на начало периода t доля потерь D_t равна среднепериодному отношению всех исковых сумм на этот момент времени к общей сумме дебиторской задолженности. Если с момента начала операций прошло Т периодов и в настоящий момент времени общая задолженность равна С и банк подал иски на обшую сумму S, то средняя доля потерь в течение одного периода составляет

D=S/(TC).

Процентная ставка по кредитам зависит от величины периодов, на которые разбивается весь срок, в течение которого оценивается эффективность работы банка. В приведенном ниже примере этот период равен одной неделе. Таким образом, при ставке рефинансирования 21% годовых и процентной ставке 30% годовых при недельном периоде имеем

r=0.3/52=0/006, t=0.21/52=0.004,

считая количество недель в году равным 52.

Аналогично рассчитывается среднепериодная доля выплат. Предположим, что по прошествии T периодов величина совокупных выплат по кредитам равна R при совокупной задолжности на момент времени T в размере С. Тогда величина p₁₀ на данный момент времени рассчитывается по формуле p₁₀ =R/(TC).

Доля суммы, остающейся в качестве долга, находится из соотношения

p₁₁ =1- p₁₀ -D.

Несмотря на то, что при данной методике параметры марковского процесса фактически представляют собой переменные величины, мы можем использовать приведенные выше формулы. Смысл их при этом состоит в ответе на следующий вопрос: какова будет эффективность работы банка при условии, что текущие параметры в последующем будут неизменными? Если показатели таковы, что эффективность работы банка неудовлетворительная, то какие показатели должны измениться в результате изменений кредитной политики для улучшения эффективности? В качестве индикаторов эффективности работы банка в соответствии с приведенной выше моделью рассматриваются следующие показатели:

1. Индикатор R₁ риска будущих потерь. Этот показатель равен

R₁ = p₁₁ (1+r).

Значение этого показателя при удовлетворительной работе банка должно быть меньше единицы. Если этот показатель превосходит единицу, то это свидетельствует о том, что по данной группе счетов происходит накопление задолженности за счет ее роста по процентам или за счет выдачи больших новых кредитов. Сохранение данной ситуации приведет в будущем к невозврату кредитов и большим суммам судебных исков.

2. Индикатор R₂ риска принципиальной убыточности кредитных операций. Вычисляется по формуле

R₂=(1+r)(1-D(1+i))/(1+i)-1.

При удовлетворительной работе банка этот показатель должен быть как минимум положительным. Если этот показатель отрицателен, то в случае отсутствия изменений в кредитной политике банка кредитные операции будут принципиально убыточными, то есть банк понесет убытки даже в том случае, если издержки по велению данной группы счетов будут равны нулю.

3. Индикатор R₃ риска нерентабельности операций. Вычисляется по формуле

где К - сумма постоянных однопериодных издержек по ведению счетов, знак sign означает, что число R₃ равно 1. если выражение в скобках положительное, и равно -1, если это выражение отрицательно. Это соответственно означает, что банк будет иметь прибыль или убытки за счет данных кредитных операций при сохранении текущей ситуации.

4. Индикатор Р оптимальности потока выплат по кредитам. Вычисляется по формуле

При рентабельности кредитных операций максимальную прибыль банк получает в том случае, когда величина р₁₀ совпадает с величиной

Естественно, что в реальных условиях этого добиться невозможно, то есть невозможно определить идеальный график выплат, абсолютно соблюдаемый заемщиками, так, чтобы среднепериодные выплаты были бы в точности равны заданной величине. Поэтому индикатор Р показывает, насколько поток выплат близок к идеальному. При точном совпадении Р = 0. Таким образом, при рентабельной работе банка следует (если это возможно) добиваться уменьшения показателя Р.

Таким образом, использование данных показателей риска приводит к следующим рекомендациям по управлению рисками, описанные ниже.

При ведении группы дебиторских счетов, в первую очередь, следует добиться того, чтобы показатель R₁ риска будущих потерь был меньше единицы. После достижения уровня риска ниже единицы следует оценить принципиальную рентабельность кредитных операций, то есть вычислить показатель R₂ риска принципиальной убыточности кредитных операций. Если этот показатель отрицателен, то за счет внесения изменений в кредитную политику следует добиваться его положительности.

Далее рассматривается индикатор R₃ риска нерентабельности операций. Необходимо, чтобы этот показатель равнялся 1.

Если индикатор R₃=1, то можно оптимизировать, насколько возможно, поток осуществляемых выплат, уменьшая значение показателя Р.

Рассмотрим теперь конкретный пример. Приведенная ниже таблица 2.1 отражает состояние группы дебиторских счетов, где период равен одной неделе, то есть в конце каждой недели проверяется состояние определенной группы счетов. Эти цифровые данные не являются реальными данными, взятыми в каком либо банке, поскольку при составлении этого примера было необходимо продемонстрировать возникновение всех описанных возможных ситуаций, что не всегда бывает не практике. Тем не менее, не представляет никакого труда составить данную сводную таблицу по любой группе реальных счетов. Для этого необходимы следующие данные:

Годовая процентная ставка и ставка рефинансирования.

Общая сумма задолженности на момент начала исследования.

Общая сумма вновь выданных кредитов в течение каждой недели данной группе предприятий.

Общая сумма выплат по кредитам от предприятий данной группы, полученная в течение каждой недели.

Общая сумма исков, предъявленная данной группе предприятий.

6. Еженедельные издержки по ведению данной группы счетов.

В таблице 2.1 приведены эти данные в течение 35 недель. Годовая процентная ставка составляет 30% , ставка рефинансирования равна 21%. Сумма ежедневных издержек составляет 250 руб. На 10-й неделе банк выставил иск на 20000 руб. по возврату кредита. Затем на 11-й неделе выставил еще один иск (другому предприятию) на сумму 20000 руб., и общая сумма иска составила 180000. Затем на 17-й неделе в результате переговоров с заемщиком была возвращена часть исковой суммы в размере 80000 руб. и общая сумма иска уменьшилась до 140000 руб. и т.д.

Разработана программа по расчету параметров, характеризующих эффективность работы банка ( фрагмент программы представлен на рисунках 2.1, 2.2). В таблице 2.2 приведены полученные данные. По итогам со 2-й по 35-ю неделю превышение допустимого показателя риска будущих потерь не зафиксировано. В течении периода с 11-й по 18-ю недели фиксировалась будущая убыточность данных кредитных операций. В результате проведенных мероприятий положение было исправлено, начиная с 19-й недели. Аналогичная ситуация повторилась в течении периода с 22-й по 26-ю недели.

По итогам 35 недель банк выдал дополнительных кредитов на сумму 2263000 руб. Получено выплат по кредитам 3020000 руб. Чистая (недисконтированная ) прибыль с учетом издержек составила 748250 руб.

Таблица 2.1

Неделя	Долг	Выдано	Получено	Иски
1	1500000		0	0
2	1508654	100000	50000	0
3	1567646	100000	100000	0
4	1626979	200000	110000	0
5	1827461	50000	180000	0
6	1817889	80000	280000	0
7	1808261	10000	310000	0
8	1798578	10000	330000	0
9	1798897	50000	350000	0
10	1839448	30000	380000	20000
11	1849945	30000	680000	40000
12	1588829	10000	880000	40000
13	1406669	40000	890000	40000
14	1444726	30000	900000	40000
15	1472946	40000	1200000	40000
16	1219713	300000	1220000	220000
17	1507096	80000	1370000	140000
18	1444579	80000	1520000	60000
19	1382163	80000	1580000	0
20	1410253	40000	1730000	0
21	1307754	20000	1770000	0
22	1295184	10000	1810000	50000
23	1272194	15000	1870000	50000
24	1233986	20000	1910000

Подобные документы

• Моделирование экономических систем

  Сущность экономико-математической модели, ее идентификация и определение достаточной структуры для моделирования. Построение уравнения регрессии. Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической спецификации. Верификация модели.
  
  контрольная работа [73,9 K], добавлен 23.01.2009
  

• Оптимизация структуры отделения ОАО КБ "Пойдем" методом имитационного моделирования

  Статические и динамические модели. Анализ имитационных систем моделирования. Система моделирования "AnyLogic". Основные виды имитационного моделирования. Непрерывные, дискретные и гибридные модели. Построение модели кредитного банка и ее анализ.
  
  дипломная работа [3,5 M], добавлен 24.06.2015
  

• Теоретико-системные основы математического моделирования

  Гомоморфизм - методологическая основа моделирования. Формы представления систем. Последовательность разработки математической модели. Модель как средство экономического анализа. Моделирование информационных систем. Понятие об имитационном моделировании.
  
  презентация [1,7 M], добавлен 19.12.2013
  

• Имитационное моделирование жизненного цикла товара на примере ООО "Стимул"

  Теоретические основы имитационного моделирования. Пакет моделирования AnyLogic TM, агентный подход моделирования. Разработка имитационной модели жизненного цикла товара ООО "Стимул", модели поведения потребителей на рынке и специфика покупателей.
  
  курсовая работа [2,0 M], добавлен 26.11.2010
  

• Основные понятия и методы экономико-математического моделирования

  Понятие и типы моделей. Этапы построения математической модели. Основы математического моделирования взаимосвязи экономических переменных. Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии. Оптимизационные методы математики в экономике.
  
  реферат [431,4 K], добавлен 11.02.2011
  

• АРТ-моделирование на фондовом рынке

  Основы финансового анализа рынка ценных бумаг. Основы модели АРТ. Методологические подходы к анализу фондового рынка. Теоретические и практические аспекты АРТ-моделирования: воплощение теоретических посылок в модель. АРТ-моделирование в практика.
  
  курсовая работа [2,9 M], добавлен 27.03.2008
  

• Основы теорий систем и системного анализа

  Характеристика простых и сложных систем, их основные признаки. Общие принципы и этапы экономико-математического моделирования. Назначение рабочего этапа системного анализа - выявление ресурсов и процессов, композиция целей, формулирование проблемы.
  
  контрольная работа [47,7 K], добавлен 11.10.2012
  

• Математические модели в экономике

  Цель математического моделирования экономических систем: использование методов математики для эффективного решения задач в сфере экономики. Разработка или выбор программного обеспечения. Расчет экономико-математической модели межотраслевого баланса.
  
  курсовая работа [1,3 M], добавлен 02.10.2009
  

• Модель развития экономики Украины

  Эффективность макроэкономического прогнозирования. История возникновения моделирования экономики в Украине. Особенности моделирования сложных систем, направления и трудности моделирования экономики. Развитие и проблемы современной экономики Украины.
  
  реферат [28,1 K], добавлен 10.01.2011
  

• Экономико-математические модели

  Основные понятия и типы моделей, их классификация и цели создания. Особенности применяемых экономико-математических методов. Общая характеристика основных этапов экономико-математического моделирования. Применение стохастических моделей в экономике.
  
  реферат [91,1 K], добавлен 16.05.2012
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам