Имитационное моделирование. Метод Монте-Карло

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

по дисциплине: Экономико-математические методы и модели

на тему

Имитационное моделирование. Метод Монте-Карло

Выполнил

Марков Григорий Геннадьевич

Введение

В исследовании операций широко применяются как аналитические, так и статистические модели. Каждый из этих типов имеет свои преимущества и недостатки. Аналитические модели более грубы, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-то допущений и упрощений. Зато результаты расчета по ним легче обозримы, отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. А, главное, аналитические модели больше приспособлены для поиска оптимальных решений. Статистические модели, по сравнению, с аналитическими, более точны и подробны, не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (в теории - неограниченно большое) число факторов. Но и у них - свои недостатки: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени, а главное, крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходятся искать «на ощупь», путем догадок и проб.

Наилучшие работы в области исследования операций основаны на совместном применении аналитических и статистических моделей. Аналитическая модель дает возможность в общих чертах разобраться в явлении, наметить как бы контур основных закономерностей. Любые уточнения могут быть получены с помощью статистических моделей.

Имитационное моделирование применяется к процессам, в ход которых может время от времени вмешиваться человеческая воля. Человек, руководящий операцией, может в зависимости от сложившейся обстановки, принимать те или другие решения, подобно тому, как шахматист, глядя на доску, выбирает свой очередной ход. Затем приводится в действие математическая модель, которая показывает, какое ожидается изменение обстановки в ответ на это решение и к каким последствиям оно приведет спустя некоторое время . Следующее «текущее решение» принимается уже с учетом реальной новой обстановки и т.д. В результате многократного повторения такой процедуры руководитель как бы «набирает опыт», учится на своих и чужих ошибках и постепенно выучивается принимать правильные решения - если не оптимальные, то почти оптимальные.

1. Имитационное моделирование. Метод Монте-Карло

1.1 Применение имитационного моделирования в экономике

За последние 3-4 года года картина рынка услуг, связанных с применением ИМ, изменилась кардинально. Если в 2003г. (первый ИММОД) спрос на ИМ со стороны бизнеса и государства только робко намечался, а в 2005г (второй ИММОД) происходило интенсивное знакомство потенциальных заказчиков с подобными технологиями, то сейчас можно с уверенностью полагать, что ИМ уже обосновалось в арсенале средств прогноза, анализа, и оптимизации.

Применяется ИМ пока не очень широко, но рост очевиден и в ближайшей перспективе он не прекратится: нынешнее состояние российского бизнеса и хозяйства вообще - это огромное пространство для улучшения, а, значит, и для применения наших с Вами умений и технологий.

Безусловным лидером по “осознанному спросу” и внедрениям ИМ является область логистики: перевозки, работа склада, политики закупок, и, шире, функционирование цепочек поставок. Объясняется это во-первых тем, что логистика в России переживает невероятный подъём, а во-вторых - сложным динамическим характером логистических процессов, обилием временных и причинно-следственных связей, размерностью задач.

Невозможность оптимизировать логистические системы “на коленке” (= в Excel'е) настолько очевидна, что заставляет сами компании искать более продвинутые технологии.

Если брать производство, то ИМ наиболее активно интересуются в металлургии, нефтегазовой отрасли, производстве стройматериалов, пищевых продуктов, то есть опять же в наиболее “горячих” отраслях. Потребность в моделировании возникает при модернизации производств, то есть при необходимости оценить и сравнить ещё не реализованные варианты, а также при желании оптимизировать текущие процессы.

Анализ производительности компьютерных систем и сетей при помощи ИМ был известен у нас давно, так что наблюдающийся спрос на это сейчас со стороны телекоммуникационных компаний вполне предсказуем, хотя и не очень велик. Более или менее массовый спрос ограничивается тремя перечисленными областями и, пожалуй, моделированием разного рода систем обслуживания и связанных с ними бизнес-процессов. Что касается таких традиционных (в мире) приложений как управление активами, портфелями проектов, моделирование потребительского рынка и конкуренции, управление персоналом в больших организациях, то здесь российские проекты с применением ИМ инициируются единичными “продвинутыми” энтузиастами из менеджмента компаний или банков. Успешные внедрения есть, но массового характера они не имеют.

Применение имитационного моделирования когда заказчиком выступает государство: инфраструктурные проекты от городского до федерального уровня, моделирование внештатных ситуаций, требующих государственного вмешательства, военные применеия ИМ. В России работы этого типа ведутся, их немало, количество их растёт, но оценить объём мы сейчас не можем. Наконец, последняя группа - это области, где, в отличие от мировой практики, интерес к ИМ в Россиии близок к нулю. Причём если в моделировании, скажем, различных политик в области социальной сферы и здравоохранения, в демографическом и эпидемиологическом моделировании наблюдается хоть какая-то активность, о проектах в области сельского хозяйства или экосистем неизвесто ничего.

Одним из основных препятствий роста практического применения ИМ в России была и остаётся нехватка квалифицированных кадров, что может звучать странно для страны с такими университетскими традициями и наконец-то прекратившимся оттоком мозгов. Действительно, ИМ в том или ином виде преподаётся во многих вузах, но преподаватели часто не могут (или не сильно хотят) вывести студента за рамки чисто “научных” или игрушечных проблем в пространство задач, востребованных в реальной жизни.

1.2 Понятие имитационного моделирования

В современной литературе не существует единой точки зрения по вопросу о том, что понимать под имитационным моделированием. Так существуют различные трактовки:

- в первой - под имитационной моделью понимается математическая модель в классическом смысле;

- во второй - этот термин сохраняется лишь за теми моделями, в которых тем или иным способом разыгрываются (имитируются) случайные воздействия;

- в третьей - предполагают, что имитационная модель отличается от обычной математической более детальным описанием, но критерий, по которому можно сказать, когда кончается математическая модель и начинается имитационная, не вводится;

Попробуем проиллюстрировать процесс имитационного моделирования через сравнение с классической математической моделью.

Этапы процесса построения математической модели сложной системы:

1. Формулируются основные вопросы о поведении системы, ответы на которые мы хотим получить с помощью модели.

2. Из множества законов, управляющих поведением системы, выбираются те, влияние которых существенно при поиске ответов на поставленные вопросы.

3. В пополнение к этим законам, если необходимо, для системы в целом или отдельных ее частей формулируются определенные гипотезы о функционировании.

Критерием адекватности модели служит практика.

Трудности при построении математической модели сложной системы:

- Если модель содержит много связей между элементами, разнообразные нелинейные ограничения, большое число параметров и т. д.

- Реальные системы зачастую подвержены влиянию случайных различных факторов, учет которых аналитическим путем представляет весьма большие трудности, зачастую непреодолимые при большом их числе;

- Возможность сопоставления модели и оригинала при таком подходе имеется лишь в начале.

Эти трудности и обуславливают применение имитационного моделирования.

Оно реализуется по следующим этапам:

1. Как и ранее, формулируются основные вопросы о поведении сложной системы, ответы на которые мы хотим получить.

2. Осуществляется декомпозиция системы на более простые части-блоки.

3. Формулируются законы и «правдоподобные» гипотезы относительно поведения как системы в целом, так и отдельных ее частей.

4. В зависимости от поставленных перед исследователем вопросов вводится так называемое системное время, моделирующее ход времени в реальной системе.

5. Формализованным образом задаются необходимые феноменологические свойства системы и отдельных ее частей.

6. Случайным параметрам, фигурирующим в модели, сопоставляются некоторые их реализации, сохраняющиеся постоянными в течение одного или нескольких тактов системного времени. Далее отыскиваются новые реализации.

Применение имитационного моделирования.

К имитационному моделированию прибегают, когда:

- дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;

- невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;

- необходимо сымитировать поведение системы во времени.

Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между ее элементами или другими словами -- разработке симулятора (англ. simulation modeling) исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов.

Имитационное моделирование позволяет имитировать поведение системы во времени. Причём плюсом является то, что временем в модели можно управлять: замедлять в случае с быстропротекающими процессами и ускорять для моделирования систем с медленной изменчивостью. Можно имитировать поведение тех объектов, реальные эксперименты с которыми дороги, невозможны или опасны. С наступлением эпохи персональных компьютеров производство сложных и уникальных изделий, как правило, сопровождается компьютерным трёхмерным имитационным моделированием. Эта точная и относительно быстрая технология позволяет накопить все необходимые знания, оборудование и полуфабрикаты для будущего изделия до начала производства. Компьютерное 3D моделирование теперь не редкость даже для небольших компаний.

Имитация, как метод решения нетривиальных задач, получила начальное развитие в связи с созданием ЭВМ в 1950х -- 1960х годах.

Можно выделить две разновидности имитации:

- Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний);

- Метод имитационного моделирования (статистическое моделирование).

Виды имитационного моделирования

Агентное моделирование -- относительно новое (1990е-2000е гг.) направление в имитационном моделировании, которое используется для исследования децентрализованных систем, динамика функционирования которых определяется не глобальными правилами и законами (как в других парадигмах моделирования), а наоборот, когда эти глобальные правила и законы являются результатом индивидуальной активности членов группы. Цель агентных моделей -- получить представление об этих глобальных правилах, общем поведении системы, исходя из предположений об индивидуальном, частном поведении ее отдельных активных объектов и взаимодействии этих объектов в системе. Агент -- некая сущность, обладающая активностью, автономным поведением, может принимать решения в соответствии с некоторым набором правил, взаимодействовать с окружением, а также самостоятельно изменяться. Дискретно-событийное моделирование -- подход к моделированию, предлагающий абстрагироваться от непрерывной природы событий и рассматривать только основные события моделируемой системы, такие как: «ожидание», «обработка заказа», «движение с грузом», «разгрузка» и другие. Дискретно-событийное моделирование наиболее развито и имеет огромную сферу приложений -- от логистики и систем массового обслуживания до транспортных и производственных систем. Этот вид моделирования наиболее подходит для моделирования производственных процессов. Основан Джеффри Гордоном в 1960х годах. Системная динамика -- парадигма моделирования, где для исследуемой системы строятся графические диаграммы причинных связей и глобальных влияний одних параметров на другие во времени, а затем созданная на основе этих диаграмм модель имитируется на компьютере. По сути, такой вид моделирования более всех других парадигм помогает понять суть происходящего выявления причинно-следственных связей между объектами и явлениями. С помощью системной динамики строят модели бизнес-процессов, развития города, модели производства, динамики популяции, экологии и развития эпидемии. Метод основан Джеем Форрестером в 1950 годах.

1.3 Метод Монте-Карло как разновидность имитационного моделирования

имитационный моделирование математический

Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием «The Monte Carlo method». Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В СССР первые статьи о методе Монте-Карло были опубликованы в 1955--1956гг.

Любопытно, что теоретическая основа метода была известна давно. Более того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, т. е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины' вручную--очень трудоемкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.

Само название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом.

Идея метода чрезвычайно проста и состоит она в следующем. Вместо того, чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. В действительности конкретное осуществление случайного процесса складывается каждый раз по-иному; так же и в результате статистического моделирования мы получаем каждый раз новую, отличную от других реализацию исследуемого процесса. Что она может нам дать? Сама по себе ничего, так же как, скажем, один случай излечения больного с помощью какого-либо лекарства. Другое дело, если таких реализаций получено много. Это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан обычными методами математической статистики. После такой обработки могут быть получены любые интересующие нас характеристики: вероятности событий, математические ожидания и дисперсии случайных величин и т. д. При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования, заставляем ее «работать на нас».

Нередко такой прием оказывается проще, чем попытки построить аналитическую модель. Для сложных операций, в которых участвует большое число элементов (машин, людей, организаций, подсобных средств), в которых случайные факторы сложно переплетены, где процесс -- явно немарковскпй, метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического (а нередко бывает и единственно возможным).

В сущности, методом Монте-Карло может быть решена любая вероятностная задача, но оправданным он становится только тогда, когда процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического расчета. Приведем пример, когда метод Монте-Карло возможен, но крайне неразумен. Пусть, например, по какой-то цели производится три независимых выстрела, из которых каждый попадает в цель с вероятностью 1/2. Требуется найти вероятность хотя бы одного попадания. Элементарный расчет дает нам вероятность хотя бы одного попадания равной 1 -- (1/2)3 = 7/8. Ту же задачу можно решить и «розыгрышем», статистическим моделированием. Вместо «трех выстрелов» будем бросать «три монеты», считая, скажем, герб--за попадание, решку -- за «промах». Опыт считается «удачным», если хотя бы на одной из монет выпадет герб. Произведем очень-очень много опытов, подсчитаем общее количество «удач» и разделим на число N произведенных опытов. Таким образом, мы получим частоту события, а она при большом числе опытов близка к вероятности. Ну, что же? Применить такой прием мог бы разве человек, вовсе не знающий теории вероятностей, тем не менее, в принципе, он возможен.

Метод Монте-Карло- это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

2. Практическая часть

Даша Василькова - менеджер салона фирмы «Мерседес-Бенц» в Москве. В последние 100 месяцев объем продаж колеблется от 5 до 11 новых автомобилей. Частоты различных объемов продаж:

Даша считает, что продажа будет идти в тех же объемах еще 24 месяца. Время выполнения заказа на поставки распределяется следующим образом:

Даша Василькова каждый раз заказывает 25 автомобилей и делает новый заказ, когда запас в магазине снижается до 10 автомобилей. Новый заказ можно делать только после выполнения предыдущего. Проимитируйте эту стратегию в течении 24 месяцев. Используйте для имитации случайные числа с начала второй строки таблицы случайных чисел.

Считайте что:

а) начальный запас составляет 30 автомобилей

б) затраты на хранение одной автомашины составляет в месяц 550 000 р.

в) одна упущенная продажа приносит убыток в среднем 3 330 000 р.

г) один заказ обходится в 500 000 р.

1. Сколько заказов придется сделать за два года?

2. С какими издержками связана данная стратегия (тыс.р.)?

Решение

Построим таблицу интегрального распределения вероятности и установим интервалы случайных чисел:

Сымитируем продажу автомобилей за 24 месяца:

ПЗ - поступление заказа (шт.)

ЗНН - запас на начало (шт.)

СЧ - случайное число

ОП - объем продаж (шт.)

КЗ - конечный запас (шт.)

ПП - потери продаж (шт.)

ДЗ - делать заказ

СИМ - срок использования месяцев

Сумма затрат за 2 года = 6*500 000 + 214*550 000 + 29*3 330 000 =

= 3 000 000 + 117 700 000 + 96 570 000 = 120 700 000 + 96 570 000 = = 217 270 000

Ответы: 1. Шесть заказов придется сделать за 2 года.

2. Издержки с данной стратегией составят 217 270 000 р.

Заключение

Основным недостатком аналитических моделей является то, что они неизбежно требуют каких-то допущений. Приемлемость этих допущений далеко не всегда может быть оценена без контрольных расчетов, а производятся они методом Монте-Карло. Статистические модели не требуют серьезных допущений и упрощений. В принципе, в статистическую модель «лезет» что угодно -- любые законы распределения, любая сложность системы, множественность ее состояний. Главный же недостаток статистических моделей -- их громоздкость и трудоемкость. Огромное число реализации, необходимое для нахождения искомых параметров с приемлемой точностью, требует большого расхода машинного времени. Кроме того, результаты статистического моделирования гораздо труднее осмыслить, чем расчеты по аналитическим моделям, и соответственно труднее оптимизировать решение (его приходится «нащупывать» вслепую). Правильное сочетание аналитических и статистических методов в исследовании операций -- дело искусства, чутья и опыта исследователя. Нередко аналитическими методами удается описать какие-то «подсистемы», выделяемые в большой системе, а затем из таких моделей, как из «кирпичиков», строить здание большой, сложной модели.

Список литературы

1. Акулич И.А. Математическое программирование в примерах и задачах.- М.: Высшая школа, 2007. - 224с.

2. Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач по исследованию операций. - М.: Изд-во МГУ, 2008. - 256с.

3. Исследование операций в экономике. Учеьное пособие для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: Юнити, 2009. - 407с.

4. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. - Спб: Питер, 2008. - 464с.

5. Невежин В.П., Кружилов С.И. Сборник задач по курсу «Экономико-математическое моделирование». - М.: ОАО «Издательский Дом «Городец»», 2007. - 320с.

6. Николаев В.Н., Матвеев В.В. Принятие решений в микроэкономике и бизнесе: Учебное пособие / ЧКИ МУПК. - Чебоксары, 2008. - 292с.

7. Таха Х. Введение в исследование операций. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2009. - 407с.

Приложение

Таблица случайных чисел

Размещено на Allbest.ru