Метод Монте-Карло

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева»

Финансово - экономический факультет

Кафедра Логистика

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Экономико-математические методы и модели в логистике»

на тему:

«Метод Монте- Карло»

Вариант 10

Выполнила студентка группы Л-92

Очной формы обучения

Домишева Елена

Руководитель:

Товстоношенко В.Н

Красноярск 2012 г.



Содержание

Введение

1. Алгоритм Бюффона для определения числа Пи

1.1 Связь стохастических процессов и дифференциальных уравнений

2. Рождение метода Монте- Карло. Дальнейшее развитие и современность

2.1 Обычный метод Монте-Карло интегрирования

2.2 Интегрирование методом Монте-Карло

2.3 Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования

2.4 Алгоритм Метрополиса

2.5 Квантовый метод Монте-Карло

3. Применение метода Монте-Карло в логистике

Расчетная часть

Заключение

Список используемых источников

Введение

Целью данной курсовой работы является закрепление теоретической основы по дисциплине «Экономико-математические методы и модели в логистике», тщательно научиться разбираться в дисциплине экономико-математические методы и модели, а именно: научиться определять оптимальный размер заказа комплектующих изделий для производства продукции промышленного предприятия и делать прогнозы объема продаж готовой продукции со склада промышленного предприятия за определенный период. Кроме того, приобрести навыки практического применения экономико-математических методов для моделирования реальных экономических ситуаций, возникающих в различных логистических системах, что способствует повышению эффективного управления логистическими цепями поставок и является условием успешной деятельности предприятия.

Объектом работы являются логистические товаропотоки промышленного предприятия.

Предмет работы - экономико-математические методы и модели.

Основная задача курсовой работы заключается в возможности применения различных экономико-математических методов и моделей для совершенствования показателей логистической деятельности предприятия.

Метод Монте-Карло (методы Монте-Карло, ММК) -- общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. Используется для решения задач в различных областях физики, химии, математики, экономики, оптимизации, теории управления и др.

Метод статистических испытаний, численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных процессов и событий. Термин "М.-К. м." возник в 1949, хотя некоторые расчёты путём моделирования случайных событий осуществлялись статистиками и ранее. Широкое распространение метод получил только после появления быстродействующих вычислительных машин. Программы для расчётов по методу Монте-Карло на ЭВМ сравнительно просты и, как правило, позволяют обходиться без большой оперативной памяти.

1. Алгоритм Бюффона для определения числа Пи

Случайные величины использовались для решения различных прикладных задач достаточно давно. Примером может служить способ определения числа Пи, который был предложен Бюффоном еще в 1777 году. Суть метода была в бросании иглы длиной на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии друг от друга. Вероятность того, что отрезок пересечет прямую, связана с числом Пи:

, где

-- расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой;

-- угол иглы относительно прямых.

Этот интеграл просто взять: (при условии, что ), поэтому подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближенно определить это число. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.

В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглы. Результаты представлены в следующей таблице:

	Число бросаний	Число пересечений	Длина иглы	Расстояние между прямыми	Вращение	Значение Пи
Первая попытка	500	236	3	4	отсутствует	3.1780
Вторая попытка	530	253	3	4	присутствует	3.1423
Третья попытка	590	939	5	2	присутствует	3.1416

Комментарии:

Вращение плоскости применялось (и как показывают результаты -- успешно) для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку.

В третьей попытке длина иглы была больше расстояния между линиями, что позволило не увеличивая числа бросаний эффективно увеличить число событий и повысить точность.

1.1 Связь стохастических процессов и дифференциальных уравнений

Создание математического аппарата стохастических методов началось в конце XIX века. В 1899 году лорд Релей показал, что одномерное случайное блуждание на бесконечной решётке может давать приближенное решение параболического дифференциального уравнения. Андрей Николаевич Колмогоров в 1931 году дал большой толчок развитию стохастических подходов к решению различных математических задач, поскольку он сумел доказать, что цепи Маркова связаны с некоторыми интегро-дифференциальными уравнениями. В 1933 году Иван Петровский показал, что случайное блуждание, образующее Марковскую цепь, асимптотически связано с решением эллиптического дифференциального уравнения в частных производных. После этих открытий стало понятно, что стохастические процессы можно описывать дифференциальными уравнениями и, соответственно, исследовать при помощи хорошо на тот момент разработанных математических методов решения этих уравнений.

2. Рождение метода Монте-Карло

Сначала Энрико Ферми в 1930-х годах в Италии, а затем Джон фон Нейман и Станислав Улам в 1940-х в Лос-Аламосе предположили, что можно использовать связь между стохастическими процессами и дифференциальными уравнениями «в обратную сторону». Они предложили использовать стохастический подход для аппроксимации многомерных интегралов в уравнениях переноса, возникших в связи с задачей о движении нейтрона в изотропной среде.

Идея была развита Уламом, который, по иронии судьбы, также как и Фокс боролся с вынужденным бездельем во время выздоровления после болезни, и, раскладывая пасьянсы, задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс «сложится». Ему в голову пришла идея, что вместо того, чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторики, можно просто поставить «эксперимент» большое число раз и, таким образом, подсчитав число удачных исходов, оценить их вероятность. Он же предложил использовать компьютеры для расчётов методом Монте-Карло.

Появление первых электронных компьютеров, которые могли с большой скоростью генерировать псевдослучайные числа, резко расширило круг задач, для решения которых стохастический подход оказался более эффективным, чем другие математические методы. После этого произошёл большой прорыв и метод Монте-Карло применялся во многих задачах, однако его использование не всегда было оправдано из-за большого количества вычислений, необходимых для получения ответа с заданной точностью.

Годом рождения метода Монте-Карло считается 1949 год, когда в свет выходит статья Метрополиса и Улама «Метод Монте-Карло». Название метода происходит от названия коммуны в княжестве Монако, широко известного своими многочисленными казино, поскольку именно рулетка является одним из самых широко известных генераторов случайных чисел. Станислав Улам пишет в своей автобиографии «Приключения математика», что название было предложено Николасом Метрополисом в честь его дяди, который был азартным игроком.

Дальнейшее развитие и современность

В 1950-х годах метод использовался для расчётов при разработке водородной бомбы. Основные заслуги в развитии метода в это время принадлежат сотрудникам лабораторий ВВС США и корпорации RAND.

В 1970-х годах в новой области математики -- теории вычислительной сложности было показано, что существует класс задач, сложность (количество вычислений, необходимых для получения точного ответа) которых растёт с размерностью задачи экспоненциально. Иногда можно, пожертвовав точностью, найти алгоритм, сложность которого растёт медленнее, но есть большое количество задач, для которого этого нельзя сделать (например, задача определения объёма выпуклого тела в n-мерном евклидовом пространстве) и метод Монте-Карло является единственной возможностью для получения достаточно точного ответа за приемлемое время.

В настоящее время основные усилия исследователей направлены на создание эффективных Монте-Карло алгоритмов различных физических, химических и социальных процессов для параллельных вычислительных систем.

метод монте карло логистика

2.1 Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования

Предположим, требуется вычислить определённый интеграл



Рассмотрим случайную величину , равномерно распределённую на отрезке интегрирования . Тогда так же будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как

,

где -- плотность распределения случайной величины , равная на участке .

Таким образом, искомый интеграл выражается как

.

Но матожидание случайной величины можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.

Итак, бросаем точек, равномерно распределённых на , для каждой точки вычисляем . Затем вычисляем выборочное среднее:

.

В итоге получаем оценку интеграла:



Точность оценки зависит только от количества точек .

Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых строим такой же «столбик», определяя его ширину как , и суммируем их площади.

2.2 Интегрирование методом Монте-Карло

Предположим, необходимо взять интеграл от некоторой функции. Воспользуемся неформальным геометрическим описанием интеграла и будем понимать его как площадь под графиком этой функции.

Для определения этой площади можно воспользоваться одним из обычных численных методов интегрирования: разбить отрезок на подотрезки, подсчитать площадь под графиком функции на каждом из них и сложить. Предположим, что для функции, представленной на рисунке 1, достаточно разбиения на 25 отрезков и, следовательно, вычисления 25 значений функции. Представим теперь, мы имеем дело с n-мерной функцией. Тогда нам необходимо 25ⁿ отрезков и столько же вычислений значения функции. При размерности функции больше 10 задача становится огромной. Поскольку пространства большой размерности встречаются, в частности, в задачах теории струн, а также многих других физических задачах, где имеются системы со многими степенями свободы, необходимо иметь метод решения, вычислительная сложность которого бы не столь сильно зависела от размерности. Именно таким свойством обладает метод Монте-Карло.



Рисунок 1. Численное интегрирование функции детерминистическим методом

Рассмотрим систему из частиц описываемой функцией гамильтониана , где задает все степени свободы одной частицы (например ). Вектор задает одно состояние системы. Множество состояний системы составляет доступное ей фазовое пространство . Тогда среднее значение величины , являющейся функцией состояния системы, дается интегралом

(1.1)

где -- функция распределения, а в знаменателе находится статистическая сумма

(1.2)

Если система состоит из небольшого числа частиц и размерность пространства мала, то интеграл (1.1) можно вычислить, используя обычные формулы для приближенного численного вычисления интегралов с заданной точностью. Однако при большом , когда кратность интеграла становится большой, такой подход малопродуктивен, т.к. затраты на вычисления зависят экспоненциально от .

Другой способ, носящий имя метода Монте Карло^1.1, основан на стохастическом переборе точек в фазовом пространстве с предпочтительной выборкой тех областей из , которые дают существенный вклад в интеграл (1.1).

Таким образом, в соответствии с функцией распределения генерируется цепь состояний в фазовом пространстве, вдоль которой и вычисляется интеграл (1.1). При количестве элементов в цепи, стремящемся к бесконечности, мы получаем точное значение среднего. При конечной же длине цепи погрешность такого способа вычисления интеграла гораздо меньше погрешности получаемой обычными методами при тех же затратах.

Обычно генерируется марковская цепь, т.е. такая последовательность, в которой последующее состояние зависит только от настоящего состояния и не зависит «от прошлого». Математически это означает, что условная вероятность появления состояния после последовательности равна вероятности .

Один из возможных способов реализации марковского процесса, обладающего заданной функцией распределения, излагается ниже в параграфе 1.2.1. А сейчас мы конкретизируем вид распределения.

Для классической системы в тепловом равновесии при температуре функция распределения дается законом Больцмана:

(1.3)

Если часть , зависящая от импульсов, отделяется от координатной части, и энергия взаимодействия частиц не зависит от импульсов, как имеет место для пылевой плазмы (см. главу 3), а величина не зависит от импульсов частиц (например, конфигурации минимумов, корреляционные функции), то интеграл по импульсам в формуле () выносится из числителя и знаменателя и сокращается. Тем самым достаточно рассмотреть не все фазовое пространство, а только его конфигурационную часть.

Для квантовой системы среднее от величин, операторы которых диагональны в координатном представлении, описывается все той же формулой (1.1), где функция распределения теперь задается квадратом модуля волновой функции.

(1.4)

Однако для квантовой системы возможен и другой подход, использующий матрицу плотности . Тогда математическое ожидание величины , которой соответствует оператор , при любом значении температуры может быть вычислено по формуле

(1.5)

Этот интеграл можно взять при помощи метода Монте- Карло интегрирования по траекториям.



2.3 Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования

Рисунок 2. Численное интегрирование функции методом Монте-Карло

Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:

ограничим функцию прямоугольником (n-мерным параллелепипедом в случае многих измерений), площадь которого S_par можно легко вычислить;

«набросаем» в этот прямоугольник (параллелепипед) некоторое количество точек (N штук), координаты которых будем выбирать случайным образом;определим число точек (K штук), которые попадут под график функции;площадь области, ограниченной функцией и осями координат, S даётся выражением

Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.



2.4 Алгоритм Метрополиса

В алгоритме Метрополиса на каждом шаге марковского процесса по имеющейся конфигурации строится следующая изменением одной из степеней свободы (переворотом одного спина). Новая конфигурация принимается (т.е. спин переворачивается) с вероятностью, равной отношению гиббсовских весов новой и старой конфигураций

W₁₂ = exp[(E₁-E₂)/T]при E₁ < E₂ ; W₁₂ = 1при E₁ > E₂

где E₁, E₂ - энергии старой и новой конфигураций спинов соответственно. Если новая конфигурация отбрасывается, то старая используется в усреднении еще один раз. В асимптотическом пределе частота прохождения через данное состояние оказывается пропорциональной его вероятностному (гиббсовскому) весу. Средние вычисляются с использованием полученных конфигураций (более подробное описание алгоритма можно посмотреть у Казакова или Гулда и Тобочника). Алгоритм Метрополиса может быть легко применен для моделирования фазового перехода в XY модели.

Далее мы убедимся, что выбирать W₁₂ можно различными способами. Для того, чтобы итерационный процесс в асимптотическом пределе приводил к распределению Гиббса достаточно, чтобы вероятности перехода удовлетворяли принципу детального равновесия

W₁₂ exp(-E₁/T) = W₂₁ exp(-E₂ /T) или W₁₂ / W₂₁ = exp[(E₁-E₂ )/T].

Используемое Java приложение основывается на программах приведенных в книге Гулда и Тобочника. Алгоритм Метрополиса (случайный переворот спина) последовательно применяется ко всем ячейкам решетки после чего выводятся "мгновенные" значения E_t, M_t и вычисляются средние по "марковскому" времени



<M>_M = 1/T ?_t=1,T M_t , <E>_M = 1/T ?_t=1,T E_t .

Теплоемкость C и магнитная восприимчивость ч системы могут быть определены по величине флуктуаций энергии и намагниченности из формул

C = d<E>/dT = n/T² (<E²> - <E>²) ,

ч = lim_{H> 0} d<M>/dT = n/T (<M²> - <M>²) .

Прямое моделирование методом Монте-Карло

Прямое моделирование методом Монте-Карло какого-либо физического процесса подразумевает моделирование поведения отдельных элементарных частей физической системы. По сути это прямое моделирование близко к решению задачи из первых принципов, однако обычно для ускорения расчётов допускается применение каких-либо физических приближений. Примером могут служить расчёты различных процессов методом молекулярной динамики: с одной стороны система описывается через поведение её элементарных составных частей, с другой стороны, используемый потенциал взаимодействия зачастую является эмпирическим.

Примеры прямого моделирования методом Монте-Карло:

-Моделирование облучения твёрдых тел ионами в приближении бинарных столкновений.

-Прямое Монте-Карло моделирование разреженных газов.

Большинство кинетических Монте-Карло моделей относятся к числу прямых (в частности, исследование молекулярно-пучковой эпитаксии).

Поскольку разреженный газ - это газ, в котором вероятность двойных столкновений много больше чем вероятность столкновений высокого порядка (тройных и т.д.), то метод применим для описания течений газа в свободно-молекулярном, переходном и континуальном режимах. Например, воздух удовлетворяет условию разреженности вплоть до давления в сотни атмосфер. Режим течения обычно определяется через число Кнудсена Kn.

Другое ограничение на применимость метода связано с нарушением условия о молекулярном хаосе, которое используется при выводе уравнения Больцмана. Возникновение статистической зависимости между моделирующими молекулами приводит необходимости увеличения числа моделирующих молекул. Для течений в около-континуальном режиме (Kn < 0.01) этот фактор вынуждает использовать параллельные вычислительные системы

В настоящее время метод прямого статистического моделирования Монте-Карло применяется для исследования течений таких разных масштабов как обтекание космических шатлов при входе в атмосферу Земли и течение газа внутри нано-устройств.

2.5 Квантовый метод Монте-Карло

Для изучения различных квантовых систем используется квантовый метод Монте-Карло, который основывается на формуле Зазуки-Троттера. Зазуки была доказана теорема эквивалентности о соответствии D-мерной квантовой системы и D+1-мерной классической системы. Основная идея алгоритма - преобразование квантовой D-мерной задачи в D+1-мерную путем введения <временных> срезов в пространстве мнимого времени и реализации процедуры Монте-Карло в пространстве <мнимое время - координата>.

Рассмотрим квантовый метод Монте-Карло на примере одномерной квантовой спиновой системы со спином S=1/2, которая описывается гамильтонианом:

(1),

где J-обменное взаимодействие, h-внешнее магнитное поле. В соответствии с формулой Зазуки-Троттера статсумма преобразуется следующим образом:

(2),

где Hj-локальные взаимодействия, такие что H=SjHj, а m - целое положительное число, называемое числом Троттера. Таким образом, система переходит в двухмерную модель с шахматным расположением четырех спинов. Графическое представление дано на Рис.1, где затемненные квадратики означают взаимодействия четырех спинов. На Рис.2 видно четырехспиновые конфигурации позволенные для S=1/2. Обычно такие конфигурации называют <плакетами>. Таким образом, в системе Lґm плакетов. При обновлении системы необходимо перевернуть все спины в плакете в силу закона сохранения. Преобразуя гамильтониан (1) с помощью спиноров



(3)

и принимая J_x=J_y=J^{^} получаем

(4).

Матричные элементы гамильтониана (4) имеют следующий вид:

(5)

а также вычисляется матрица вероятностей участвующих в статсумме (2):

(6)

Теперь известно, с какой вероятностью четырехспиновая конфигурация (плакет) может перейти в другую конфигурацию при перевороте всех четырех спинов.

В процедуре Монте-Карло используются два типа переворотов: локальные и глобальные (Рис.1). Локальные перевороты происходят следующим образом: вычисляется произведение (WOld) матричных элементов W четырех затемненных плакетов вокруг локального переворота (незакрашенный плакет), затем переворачиваем четыре спина в этом незакрашенном плакете и снова считаем произведение (WNew) матричных элементов W, выбирается случайное число x в интервале [0..1] и сравнивается с WNew/WOld. Если x меньше этого значения то принимается новая конфигурация плакета, иначе остается старая. Таким образом мы проходим всю решетку. Глобальные перевороты: вычисляется произведение вероятностей затемненных плакетов находящихся по обе стороны от вертикальной линии (Рис.1 жирная вертикальная линия), затем переворачиваются все спины которые находятся на вертикальной линии и снова считается произведение вероятностей плакетов вдоль линии, дальше та же процедура как и с локальными переворотами. В вычислениях по методу Монте-Карло используются периодические граничные условия по троттеровскому и реальному направлению решетки. Один шаг Монте-Карло определяется поворотом всех спинов на решетке (решетка Lґ2m). Размер решетки выбирается по возможностям компьютера и зависит от оптимизации алгоритма вычислений. Из-за конечности размеров решетки, чтобы добиться большей достоверности результатов, обычно приходится проделывать большое количество шагов Монте-Карло, обычно это 3000-10000.

В процессе Монте-Карло могут вычисляются следующие термодинамические характеристики: энергия E, намагниченность M, восприимчивость, теплоемкость C, корреляционные функции: спин-спиновая R и четырехспиновая R⁴, корреляционный радиус взаимодействия спинов x.

(7),

где i=1..L, r=1..m.

3. Применение метода Монте-Карло в логистике

Обычно метод Монте-Карло реализуют в виде программы на универсальной ЭВМ. Ранее применялись механич. устройства, ныне всё чаще используют спец. моделирующие устройства с применением микропроцессоров. С помощью таких устройств получен ряд результатов в статистич. физике и квантовой теории поля.

Для реализации случайной величины в традиционно используют датчики, генерирующие случайную последовательность чисел, равномерно распределённых на интервале (0,1). Различают три типа случайных чисел. Истинно случайные числа можно вырабатывать, напр., преобразуя случайные сигналы от радиоактивного источника или от шумового диода. Таким способом можно достаточно быстро получать большие последовательности некоррелированных случайных чисел. В расчётах на ЭВМ используют псевдослучайные числа, полученные с помощью некоторого алгоритма. Назначение такого алгоритма - генерировать числа, которые похожи на случайные, хотя, строго говоря, они детерминированы. Необходимы спец. исследования и тесты, чтобы убедиться в достаточной случайности таких чисел (равномерность распределения, отсутствие корреляций и пр.). Квазислучайные числа также получают при помощи нек-рого алгоритма, причём в основу алгоритма закладывают требование равномерного заполнения точками заданного многомерного объёма. Известен ряд алгоритмов, дающих точки, распределённые в гиперкубе более равномерно, чем случайные и псевдослучайные. Следствием лучшей равномерности является более быстрая сходимость результата. Использование M.-К. м. в физике базируется гл. обр. на возможности его применения для вычисления интегралов, решения интегральных ур-ний и др.

В нейтронной физике основными задачами являются моделирование прохождения потока нейтронов в среде, расчёт коэффициента размножения нейтронов в ядерном реакторе, расчёт защиты реактора и др. Используют как прямое, так и косвенное моделирование. В первом случае в объёме реактора моделируют набор некоторого числа нейтронов с заданными скоростями (первое поколение). Для каждого нейтрона прослеживают его судьбу (поглощение, вылет из реактора, деление). Образовавшиеся в результате деления нейтроны - это второе поколение, судьбу к-рых прослеживают аналогично. После моделирования достаточно большого числа поколений можно оценить критичность режима реактора. Метод удобен тем, что позволяет учитывать любую геом. форму реактора, наличие неоднородных примесей и пр. Однако время расчётов может быть существенно больше, чем при косвенном моделировании, когда движение нейтронов описывают интегральным ур-нием переноса. Для решения уравнения составляют цепь Маркова. Характеристики поведения системы (в т. ч. и коэффициента размножения) являются функционалами от состояний этой цепи и могут быть оценены стандартными методами.

В физике элементарных частиц одним из первых применений M.-К. м. было моделирование электронно-фотонных ливней. Успех метода в приложении к этой задаче определяется тем, что классическое описание процесса, хотя и не представляет принципиальных трудностей, практически бесполезно из-за чрезмерно большого числа переменных. Решение проблемы с помощью M.-К. м. сводится к последовательному моделированию судьбы каждой частицы (гамма-кванта, электрона или позитрона), участвующей в процессе, и моделированию соответствующего элементарного акта взаимодействия. При этом возникают параметры вторичных частиц, судьбу которых прослеживают аналогично. Имеется ряд прикладных программ, работающих по этому принципу, однако для сверхвысоких энергий (~1 ТэВ) прослеживание всех частиц ливня требует нереально большого машинного времени.



Расчетная часть

Задание №1. Определение оптимального размера заказа комплектующих изделий

Годовая потребность в товаре (шт)	Число рабочих дней в году (дн)	Стоимость выполнения одного заказа (руб)	Цена единицы товара (руб)	Время поставки (дн)	Возможная задержка поставки (дн)	Доля от цены, приходящаяся на затраты по хранению
1480	215	250	300	6	3	1

Решение:

1. Определяем оптимальный размер заказа по формуле Sо = ,

где: Со - затраты на выполнение одного заказа (руб.);

А - потребность в заказываемом товаре в течение периода (шт.);

Cn - цена за единицу3 товара, хранимого на складе (руб.);

i - доля от цены, приходящаяся на затраты по хранению;

Sо - оптимальный размер заказа (шт.).

Sо = = 49,66 (ед)

Во избежание дефицита комплектующего изделия можно округлить оптимальный размер заказа в большую сторону, т.е. Sо = 50 ед.

2. Рассчитываем параметры системы управления запасами:

Таблица 2 - Расчет параметров управления запасами

Показатели	Алгоритмы расчета
1. Потребность (ед.)	1480
2. Оптимальный размер заказа (ед.)	50
3. Время поставки (дн.)	6
4. Возможная задержка поставки (дн.)	3
5. Ожидаемое дневное потребление (ед.)	1480 : 215 = 6
6. Срок расходования запаса (дн.)	50 : 6 = 8
7. Ожидаемое потребление за время поставки (ед.)	6.6 = 36
8. Максимальное потребление за время поставки (ед.)	(6 + 3) . 6 = 54
9. Гарантийный запас (ед.)	54 - 36 = 18
10. Пороговый уровень запаса (ед.)	18 + 36 = 54
11. Максимально желательный запас (ед.)	18 + 50 = 68
12. Срок расходования запаса до порогового уровня (дн.)	(68 - 54) : 6 = 2
13. Количество заказов	1480/50 = 29

3. По полученным данным строим графики движения запаса.

По полученным данным строится график движения запасов в системе координат: «Х» - время, «У» - объем запаса.

Объем запаса (ед) Максимальный желательный запас

Пороговый запас

Гарантийный запас

4 6 10 12 время (дн)

Рисунок 1 - Построение графика движения запасов

Задание №2. Прогнозирование объема продаж готовой продукции со склада промышленного предприятия

Условие:

За период с 2005 по 2010 годы известен объем продаж готовой продукции со склада промышленного предприятия. Сделать прогноз объема продаж 2015 года.

Исходные данные:



Таблица 3 - Объем продаж за 2005 - 2010 гг.

Период (год)	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Объем продаж (тыс. тонн)	320	470	540	710	1025	1300

Решение:

По исходным данным выравнивания и прогнозирования первоначально строим график:

Рисунок 2 - Динамика изменения объема продаж за период 2005 - 2010гг

Из графика видна тенденция изменения объема продаж готовой продукции, которая идет по прямой линии. Следовательно, связь между данными признаками может быть описана уравнением прямой:

Ух = а + в ^. х, где

Ух - объем продаж готовой продукции (тыс.тонн);

х - период рассматриваемый (год);

а, в - параметры.

Для определения параметров а и в, расчет ведем в табличной форме:

период	Объем продаж (млн.руб), У	Х	Х2	ху	Ух=728+96*х=
2005	320	-5	25	-1600	248
2006	470	-3	9	-1410	440
2007	540	-1	1	-540	632
2008	710	1	1	710	824
2009	1025	3	9	3075	1016
2010	1300	5	25	6500	1208
Итого	4365	0	70	6735	4368
2011		7			1400
2012		9			1592
2013		11			1784
2014		13			1976
2015		15			2168

Полученные значения подставим в формулы а =и в =, найдем параметры а и в:

а = =728 тыс.тонн

в = 96 тыс.тонн

Уравнение прямой примет вид:

Ух = 728 + 96 ^. х

Подсчитаем теоретические уровни ряда для каждого года.

Сопоставляя у = 37705 тыс.тонн и теоретическое значение Ух = 13288 тыс.тонн, видим весьма незначительные отклонения расчетных уровней от фактических, что подтверждает правильность выбора математического уравнения.

Для прогнозирования объема продаж готовой продукции промышленного предприятия продолжим графу 5 числами, следующими за указанным числом, т.е. далее рассматриваемый период будет 7, 9, 11.,13,15.

На 2011 год:

Х = 7, тогда Ух = 728+96 ^. 7 = 1400 тыс.тонн

На 2012 год:

Х = 9, тогда Ух = 728+96 ^. 9= 1592 тыс.тонн

На 2013 год:

Х=11,тогда Ух = 728+96 ^. 11= 1784 тыс.тонн

На 2014:

Х=13, тогда Ух=728+96 ^. 13=1976 тыс.тонн

На 2015:

Х=15, тогда Ух=728+96 ^. 15=2168 тыс.тонн



Заключение

По окончанию выполнения курсовой работы по дисциплине « Экономико- математические методы и модели в логистике» была дастигнута поставленная цель, а именно: научились определять оптимальный размер заказа комплектующих изделий для производства продукции промышленного предприятия и делать прогнозы объема продаж готовой продукции со склада промышленного предприятия за определенный период. Были приобретены навыки практического применения экономико-математических методов для моделирования реальных экономических ситуаций, возникающих в различных логистических системах, что способствует повышению эффективного управления логистическими цепями поставок и является условием успешной деятельности предприятия.



Список использованных источников

1. Бродецкий, Г.Л. Экономико-математические методы и модели в логистике: потоки событий и системы обслуживания: учеб. пособие / Г.Л. Бродецкий. - М.: Академия, 2009. - 272 с.

2. Владимирова, Л. П. Прогнозирование и планирование в условиях

3. рынка : учеб. пособие / Л. П. Владимирова. - М. : Дашков и К, 2001. - 400 с.

4. Гаджинский, А. М. Логистика : учебник / А. М. Гаджинский. -

5. 11-е изд., перераб. и доп. - М. : Дашков и К, 2005. - 432 с.

6. Дж.Гласс, Дж.Стенли. Статистические методы в прогнозировании. М.: Прогресс, 2006.

7. Логинов, В.Н. Управленческие решения: модели и методы: учеб. пособие. / В.Н. Логинов - М.: Альфа- Пресс, 2011. - 310 с.

8. Модели и методы теории логистики: Учебное пособие.- 2-е изд. /под ред. В.С.Лукинского. - СПб.: Питер, 2008. - 448 с.

9. Николайчук, В.Е. Логистический менеджмент: учебник / В.Е. Николайчук. -М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2010. - 980 с.

10. Плоткин Б.К., Экономико-математические методы и модели в логистике: Учебное пособие / Б.К. Плоткин, Л.А. Делюкин - СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2010. - 96 с.

11. Товстоношенко, В.Н. Экономико-математические методы и модели в логистике: учеб. пособие / В.Н. Товстоношенко. - Красноярск: Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т., 2010. - 80 с.

Размещено на Allbest.ru