Изучение взаимодействия заряженных частиц на примере многократного кулоновского рассеяния

Размещено на http://www.allbest.ru/

„Q„p„x„}„u„‹„u„~„Ђ „~„p http://www.allbest.ru/

Введение

Физика микромира стала неимоверно сложна. По мере усложнения и углубления теоретических знаний, усложняется и физический эксперимент.

В компьютерные программы моделирования в физике элементарных частиц закладываются только проверенные или ожидаемые свойства взаимодействия элементарных частиц. Численное моделирование составляет неотъемлемую часть современной фундаментальной и прикладной науки, причём по важности оно приближается к традиционным экспериментальным и теоретическим методам. Моделирование занимает промежуточное положение между теоретической подготовкой и непосредственным проведением эксперимента.

Целью данной курсовой работы является изучение взаимодействия заряженных частиц, на примере многократного кулоновского рассеяния, а так же его моделирование с помощью метода Монте-Карло и Mathematica.

1. Взаимодействие заряженных частиц с веществом

1.1 Упругое рассеяние

1.1.1 Сечение рассеяния

Упругое рассеяние заряженных частиц одной на другой - например, электрона на ядре атома - может быть описано методами классической механики. Для начала введем требуемые для дальнейшего понятия.

Отношение количества частиц dN, рассеянных на некотором центре в единицу времени, к плотности потока частиц J, падающих на центр, имеет размерность площади и называется сечением рассеяния:

d = dN/J. (1)

Обычно интересует количество частиц, рассеянных на определенный угол , называемый углом рассеяния (рис. 1.1). Считая, что угол рассеяния однозначно связан с прицельным параметром , находим количество частиц, рассеянных на угол, оно равно количеству частиц, попавших в кольцо с радиусами и + d:

.

(модуль взят потому, что производная обычно отрицательна: угол рассеяния уменьшается с увеличением прицельного параметра). Следовательно, дифференциальное сечение рассеяния на угол равно

(2)

Если же интересует сечение рассеяния в определенный телесный угол , то выражение для соответствующего сечения принимает вид

(3)

1.1.2 Центр масс

Суммарная энергия двух частиц - рассеивающей и рассеиваемой - может быть записана в виде

Индексы «С» означают, что начало координат для векторов положения частиц мы взяли в так называемом центре масс, положение которого определяется вектором

Радиус-вектор в произвольной системе отсчета r связан с радиус - вектором в системе центра масс соотношением.Складывая радиус-векторы и, получаем условие

. (4)

Центр масс всегда движется равномерно и прямолинейно. Действительно, законы движения частиц в произвольной системе отсчета имеют вид:

- сила, действующая на первую частицу со стороны второй частицы (, вводится аналогично). По третьему закону Ньютона, поэтому складывая оба приведенных выше выражения, подставляя выражения для радиус-векторов и используя (1.4), находим:

;

.

Следовательно, все, что может делать центр масс системы - это двигаться с постоянной скоростью.

Вводя вектор расстояния между частицами, получаем, что в системе центра масс радиус-векторы частиц могут быть выражены через r следующим образом:

Подставляя полученные соотношения в выражение для энергии, находим:

где - приведенная масса.

Когда масса одной из частиц намного больше другой (например, электрон и атом), приведенная масса приблизительно равна массе легкой частицы; если же массы частиц равны, приведенная масса равна половине массы частицы.

Таким образом, задача о движении двух частиц, энергия взаимодействия которых зависит только от расстояния между ними, может быть сведена к задаче о движении одной частицы с приведенной массой в поле внешних сил. Такое представление удобно, однако описание в системе центра масс, положение которого меняется со временем, может вызвать некоторые трудности в интерпретации результатов. Часто после получения решения в системе центра масс переводят ответ в неподвижную систему отсчета - так называемую лабораторную систему координат.

1.1.3 Кулоновское рассеяние частиц

Перейдем непосредственно к рассмотрению рассеяния частиц. Как было показано выше, такую задачу можно свести к задаче о рассеянии на центре одной частицы массой ; мы так и поступим, так как решение в этом случае будет не только просто, но и наглядно. Итак, рассмотрим рассеяние частицы, налетающей на центр с прицельным расстоянием, на угол (рисунок 1); частица взаимодействует с центром по закону Кулона. Рассеяние в поле дальнодействующего потенциала отличается от соударения двух шариков: частица начинает «чувствовать» центр задолго до подлета к нему, проходит мимо центра на некотором минимальном расстоянии , а затем удаляется по траектории, симметричной траектории подлета частицы. Так как частица движется всегда в одной плоскости, можно ввести в этой плоскости координаты r и, тогда угол , соответствующий минимальному расстоянию между частицей и центром , связан с углом рассеяния: .

В координатах r и выражение для энергии частицы записывается в виде

(5)?



Рисунок 1: Рассеяние частицы (1) на неподвижном центре (2): а - между частицей и центром действуют силы отталкивания; б - между частицей и центром действуют силы притяжения

где - энергия кулоновского взаимодействия;

и - заряды частиц; - параметр взаимодействия. Энергия в результате упругого рассеяния не изменяется:

(6)

( - скорость налетающей частицы на бесконечности, где частица еще не взаимодействует с центром), сохраняется также момент импульса относительно центра:

(7)

Выразим из (7) и подставим эту величину в (5), откуда выразим уже :

. (8)

Знак «-» соответствует движению частицы к центру - «до столкновения», т.е. до прохождения минимального радиуса, знак «+» - движению частицы от центра, т.е. «после столкновения».

Уравнения (7) и (8) позволяют записать уравнение для линии движения частицы в плоскости :

.

Интегрируя, находим выражение для угла при изменении расстояния между частицей и центром от до:

(9)

Найдем угол (соответствующийминимальному расстоянию между частицей и центром ). В точкечастица «поворачивает», изменяя знак производной с отрицательного на положительный, так что при. Следовательно, приполная энергия частицы равна

. (10)

Из условия (10) можно найти непосредственно, решив квадратное уравнение. Воспользуемся фактом того, что минимальный радиус является решением этого уравнения.?

При движении к центру в (8), (9) надо выбирать знак «-».

Тогда выражение для определения имеет вид:

(11)

Решаем интеграл. Потом находим

. (12)

Подставляя (12) в выражение (2), находим сечение рассеяния в полярный угол

(13)

а подставляя (12) в (3) - сечение рассеяния в телесный угол

(14)

Как видно из (13), (14), сечение рассеяния не зависит от знака , т.е. от знака зарядов частиц.

Сечение рассеяния (13) называется формулой Резерфорда. Интересно, что именно изучение рассеяния - частиц на атомах способствовало возникновению современной, так называемой, планетарной модели атома.

1.2 Ионизация

1.2.1 Лабораторная система координат

Для начала продолжим изучение взаимодействия частиц с точки зрения классической механики. Рассмотрим столкновение двух частиц с одинаковой массой, причем одна из частиц (вторая) до столкновения покоилась. Запишем законы сохранения энергии и импульса в лабораторной системе координат, отметив штрихом величины после столкновения:

Возводя в квадрат второе выражение, получаем соотношение которое может быть совместимо с законом сохранения энергии только в том случае, если косинус угла между векторами скоростей частиц после соударения равен нулю, т.е. сам угол = 90° - частицы после столкновения разлетаются под прямым углом.

,

Как было показаноранее, центр масс движется с постоянной скоростью. Таким образом, и до и после соударения центр масс имеет одну и ту же скорость; если до удара одна из частиц двигалась со скоростью, а другая покоилась, то центр масс перемещается с постоянной скоростью

.

Найдем теперь связь между углами рассеяния налетающей частицы в системе центра масс и в лабораторной системе координат (угол рассеяния - это угол отклонения частицы от направления первоначального движения).

В лабораторной системе координат закон сохранения импульса в проекциях на ось х, направленную вдоль первоначального движения первой частицы (рис. 1.2), запишется как

,

Рисунок 2: Диаграмма скоростей при рассеянии частиц одинаковой массы в лабораторной системе координат:

угол между

в проекции на ось у, перпендикулярную направлению движения -

Так как и получаем:

откуда

Таким образом, в лабораторной системе координат проекции скорости первой частицы после соударения на оси равны и В системе центра масс указанные проекции скорости равны соответственно и (центр масс движется вдоль оси х со скоростью). Косинус угла между векторами скорости первой частицы до и после столкновения в системе центра масс равен

где - скорость в системе центра масс до удара.?

Подставляя выражения для скоростей, находим:

Следовательно, угол рассеяния в системе центра масс в 2 раза больше угла рассеяния в лабораторной системе координат:

(15)

1.2.2 Ионизация электронами (I)

Задачу об ионизации атома электроном можно свести к задаче о взаимодействии двух электронов: налетающего и электрона оболочки, который мы будем считать свободным. При соударении электроны обмениваются энергией: налетающий электрон теряет энергию

(где E - энергия налетающего электрона на бесконечности); такую же энергию приобретает электрон оболочки. Если эта энергия превысит энергию ионизации I, т.е. энергию связи электрона с атомом, электрон покинет оболочку атома - произойдет ионизация атома.

Сечение ионизации в данном приближении совпадает с сечением Резерфорда упругого соударения двух электронов (13):

в котором следует записать приведенную массу через массу электронов:, а также выразить угол рассеяния в системе центра масс через угол рассеяния в лабораторной системе координат (15):

(16)

Подставляя связь угла рассеяния с энергией , получаем сечение рассеяния в зависимости от передаваемой при столкновении энергии:

(17)

Вообще передаваемая при столкновении энергия может меняться от 0 до Е, однако интересующий нас диапазон энергий - от I до Е.

Найдем полное сечение ионизации:

(18)

Обратим еще раз внимание, что задача об ионизации атома была сведена нами к взаимодействию двух электронов. Это означает, что параметр взаимодействия записывается как .

1.2.3 Ионизация произвольными частицами

Рассмотрим соударение частиц с произвольным соотношением масс. Пусть в лабораторной системе координат частица массой

имела до соударения скорость , частица массой покоилась.

В системе центра масс начальные скорости частиц равны:

(19)

так как начальная скорость их относительного движения равна .

В системе центра масс суммарный импульс частиц до столкновения равен нулю следовательно, после столкновения суммарный импульс частиц также будет равен нулю вследствие закона сохранения импульса. Тогда из закона сохранения энергии

следует, что, т.е. импульсы частиц и после соударения по абсолютной величине остаются такими же; в результате столкновения меняются только направления скоростей. Пусть после столкновения скорость первой частицы направлена по единичному вектору , тогда угол между и есть не что иное как угол рассеяния в системе центра масс.

Следовательно, скорости частиц после соударения можно записать как

(20)

Чтобы получить выражения для скоростей в лабораторной системе координат, следует к (20) прибавить скорость центра масс

Энергия, приобретаемая второй частицей в результате соударения:

(21)

где- максимальная энергия, которую может приобрести первоначально покоившаяся частица;- приведенная масса.

Естественно, и для соударения частиц с произвольными массами справедлива формула (13) - сечение Резерфорда в системе центра масс. Подставляя в него, находим:

(22)

При столкновении двух электронов и формула (22) переходит в (17), как и должно быть. Другой интересующий нас случай - столкновение налетающей -частицы и покоившегося электрона. При этом можно смело полагать, максимальная энергия, которую может получить электрон, равна.Дифференциальное сечение принимает вид:

 (23)

где параметр взаимодействия, так как -частица имеет положительный заряд, равный двум зарядам электрона. Интегрируя (23) от энергии ионизации I до Е, находим полное сечение ионизации:

. (24)

заряженный ионизация кулоновский частица

1.2.4 Ионизационные потери

Если известно полное сечение ионизации, можно грубо оценить потери энергии частицей на ионизацию в веществе на единицу длины ее пробега. Пусть J - плотность потока частиц, каждая из которых имеет энергию n - количество электронов в единице объема среды, тогда в объеме площадью dS и длиной dx будет содержаться ndSdx электронов. Энергия, которая будет затрачена потоком частиц на ионизацию объема dV за времяdt, определяется с помощью сечения ионизации:

(25)

Так как JdSdt = N есть общее количество частиц, которые пролетят через объем dV за время dt, то отношение общей энергии, затраченной всеми частицами на ионизацию, к этому числу частиц N даст энергию, которая теряется одной частицей на длине dx:

(26)

Формула (26) имеет оценочный характер, так как содержит параметр n, который означает количество электронов в единице объема, которые могут быть вырваны из атома частицей с энергиейт.е. число электронов, для которых. Для прочих электронов подсчитанное «напрямую» сечение (24) получится бессмысленно отрицательным.

Для оценок формула (26) вполне годится. Например, из (26) с использованием (24) следует, что потери энергии на единицу длины обратно пропорциональны энергии частицы: чем меньше энергия ионизирующей частицы, тем больший от нее будет «ионизирующий эффект». Также из (26) вытекает, что потери энергии на ионизацию частиц с зарядом ze пропорциональны .

1.3 Тормозное излучение

1.3.1 Дипольное излучение

Тормозное излучение возникает при ускоренном движении заряженных частиц в электрическом поле (создаваемом другими заряженными частицами) и сопровождается потерей энергии излучающих частиц. Именно этот механизм мешал становлению планетарной модели атома в классической постановке: считалось, что электроны, вращающиеся вокруг ядра, растеряют всю свою энергию на излучение и «попадают» на ядро, дискредитировав тем самым планетарную модель. Как известно, ситуацию реанимировал Н. Бор, введя квантовое описание внутриатомного движения, однако нас будет интересовать не оно, а сам механизм тормозного излучения, причем в классической постановке. Прежде чем рассмотреть его непосредственно, изложим общие принципы классической теории электромагнитного излучения.?

Запишем уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме:

(27)

Здесь Е - напряженность электрического поля; H - напряженность магнитного поля; j - плотность электрического тока; -диэлектрическая постоянная; - магнитная постоянная;, где с - скорость света,

Запишем связь с векторомА, который называем векторным потенциалом:

(28)

Подставив (28) во второе уравнение (27), получим

(29)

Следовательно, напряженность электрического поля равна частной производной вектор-потенциала по времени с точностью до слагаемого, представляющего собой градиент некоторого скалярного потенциала:

(30)

Подстановка (30) удовлетворит (29), так как ротор градиента равен нулю.

Таким образом, вместо того чтобы искать непосредственно напряженности электрического и магнитного полей, можно найти векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля, после чего по формуле (28) можно будет восстановить напряженность магнитного, а по (30) - электрического поля.

Запишем уравнение для определения векторного потенциала. Для этого подставим в первое уравнение (27) выражения (28) и (30), в результате получим:



(31)

так как.Далее, заметим, что потенциалы определены не однозначно: к векторному потенциалу можно прибавить градиент произвольной функции, что изменит также скалярный потенциал, но не изменит напряженностей электрического и магнитного полей. Чтобы устранить эту неоднозначность, потребуем выполнения дополнительного условия, налагаемого на потенциалы:

(32)

Условия типа (32) называются калибровкой потенциалов; в данном случае используется калибровка Лоренца. Так как согласно (32) первый член слева в (31) равен нулю, то для векторного потенциала получаем уравнение

(33)

Количество энергии, излучаемой в единицу времени в единичный телесный угол, определяемый полярным углом и азимутальным углом , можно найти, умножив плотность потока энергии в направленииnна площадь элементарной площадки сферы оно равно:

(34)

Полное количество энергии, излучаемое в единицу времени во всех направлениях, находится путем интегрирования (34) по всем углам:

 (35)

В рассматриваемом приближении излучение системы зарядов обусловлено переменным во времени дипольным моментом этой системы, поэтому излучение, описываемое (35), называется дипольным излучением.

1.3.2 Излучение при кулоновском рассеянии

Заряженные частицы, пролетая одна мимо другой, представляют собой не что иное, как систему с переменным во времени дипольным моментом, следовательно, кулоновское, рассеяние, рассмотренное нами ранее, должно сопровождаться также потерей энергии на излучение согласно (35).

Рассмотрим столкновение двух заряженных частиц в системе центра масс, тогда дипольный момент

где- вектор расстояния между частицами;- приведеннаямасса;

. Для выражения (35) требуется вторая производная от дипольного момента по времени, которая в случае, когда масса и заряд частиц остаются постоянными, равна:

(36)

Далее будем считать, что потери на излучение малы, так что задачу можно разделить на два этапа: сначала найти уравнение для фазовой линии движения заряженных частиц, а затем вычислить энергию, излучаемую за все время пролета частиц.

Вернемся к уравнению (9) связи между rи, в котором угол отсчитывается от направления движения частицы в сторону угла рассеяния, так что значению = 0 соответствует, находим после интегрирования:

(37)

для > 0, т.е. для отталкивания одноименно заряженных частиц, и

(38)

для < 0, т.е. для притяжения разноименно заряженных частиц.

Здесь - угол, соответствующий минимальному расстоянию между частицами; Е - энергия частиц; М - момент импульса.

Перейдем к определению полной энергии, излучаемой при столкновении заряженных частиц:

где скорость потери энергии d/dt определяется по (35). Используя выражение для момента импульса (4), можно выразить

Далее, подставляя для дипольного момента (36), получаем:



Подставляя (37) и / или (38), находим при тогда излучаемая энергия:

(39)

1.3.3 Потери на излучение

слой вещества толщиной dx. Пусть в единице объема вещества содержится n атомов, при взаимодействии с ядром каждого из них частица теряет энергию. В слое толщиной dx находятся ядер, для которых прицельный параметр равен, суммарные потери энергии частицы составляют:

При рассмотрении медленно (по сравнению со скоростью света) движущейся частицы при пренебрежении ее взаимодействием с ядрами на малых расстояниях, иначе говоря, с малым прицельным параметром, получаем:

(40)

Можно считать, что пределы применимости (39) начинаются примерно при , т.е. при . Тогда для потерь энергии на единицу длины получаем

(41)

Формула, определяющая потери энергии на излучение на единицу длины электроном, скорость которого близка скорости света:

(42)

2. Метод Монте-Карло

2.1 Случайные числа и их применение при решении физических задач

При решении многих физических (и не только физических) задач необходимы случайные числа. И, следовательно, нам необходим механизм получения случайных чисел или генератор случайных чисел.

Различают три способа получения случайных величин:

- таблицы случайных чисел;

- генераторы случайных чисел;

- метод псевдослучайных чисел.

2.1.1 Таблицы случайных чисел

Табличный метод основан на использование заранее созданных таблиц случайных чисел с различными распределениями. В ходе расчёта, когда требуется значение случайной величины, берется значение из таблицы. Необходимо отметить, что составить хорошую таблицу случайных чисел не так просто, как это может показаться. Поэтому составленные таблицы тщательно проверяются с помощью специальных статистических тестов. Такой метод ввиду низкой скорости вычислений в настоящее время практически не используется.

2.1.2 Генераторы случайных чисел

В качестве генераторов случайных величин используют, к примеру, шумы электронных приборов. Так можно получить случайные числа с распределением типа орел-решка. Однако и этот метод не свободен от недостатков, так как трудно проверить «качество» вырабатываемых чисел. Наиболее известным прибором для получения равномерно распределенных случайных чисел является рулетка.

Моделирование случайных величин. При решении различных задач приходится моделировать различные случайные величины. Поэтому возникает задача: как это сделать?

В настоящее время для решения этой задачи предложена идея конструктивного задания случайных процессов (Н. Винер, П. Леви). Идея состоит в том, чтобы моделировать все распределения исходя из одной «стандартной» случайной величины.

Таким распределением является равномерное распределение случайной величины на отрезке [0,1]. Значения же других случайных величин можно получить путем преобразования из «стандартной». Обычно процесс получения некоторой случайной величины путем преобразования одного или нескольких значений из «нестандартного» называют розыгрышем случайной величины . Мы рассмотрим несколько методов розыгрыша для разных распределений. Отметим, преимущества и недостатки использования случайных чисел

Недостатки:

- Необходимо специальное устройство.

- Неповторимость результатов.

Достоинства:

- Числа, получаемые при помощи этих генераторов являются действительно случайными.

2.1.3 Генераторы псевдослучайных чисел

В настоящее время при расчетах используют не случайные величины, а числа, имитирующие их поведение. Такие числа, получаемые по какой-либо формуле и имитирующие значение случайной величины называются псевдослучайными числами.

Большинство алгоритмов для получения псевдослучайных чисел имеют вид

 (43)

В качестве элементарного примера, рассмотрим метод середины квадратов, который был предложен Дж. Нейманом для получения равномерно распределенной величины в промежутке от до .

Выберем произвольное действительное число с знаками после запятой, которое лежит от до и возведем его в квадрат:

Из середины берем цифры и получаем число и возводим его также в квадрат

Аналогично процедуре получения находим число

Выполняя эту процедуру раз получим набор чисел

,

имитирующих поведение случайной величины равномерно распределенной в промежутке . Отметим сразу, что от этого метода вычислители отказались, так как в последовательностях, построенных таким образом, получается больше чем нужно малых чисел. Отметим, достоинства и недостатки псевдослучайных чисел.

Достоинства:

- Скорость генерирования псевдослучайных чисел очень большая.

- Затрачивается мало памяти.

- Данную последовательность случайных чисел можно легко воспроизвести.

Недостатки:

- Ограниченность количества случайных чисел .

Если последовательность вычисляется по формуле



то эта последовательность обязательно периодическая. Происходит это из-за того, что в ячейках памяти ЭВМ можно записать конечное число нулей и единиц и рано или поздно одно из значений , например совпадает с одним из предыдущих и тогда:

где

- длина периода.

2.2 Общая схема метода Монте-Карло

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину , математическое ожидание которой равно : .

Практически же поступают так: производят испытаний, в результате которых получают возможных значений ; вычисляют их среднее арифметическое и принимают в качестве оценки (приближённого значения) искомого числа :

.

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину , как найти её возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания его оценкой .

2.3 Оценка погрешности метода Монте-Карло

Пусть для получения оценки математического ожидания случайной величины было произведено независимых испытаний (разыграно возможных значений ) и по ним была найдена выборочная средняя , которая принята в качестве искомой оценки: . Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения , следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка . Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надёжностью): .

Интересующая нас верхняя грань ошибки есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Рассмотрим следующие три случая.

Случайная величина распределена нормально и её среднее

квадратичное отклонение известно. В этом случае с надёжностью верхняя граница ошибки

, (44)

где - число испытаний (разыгранных значений ); - значение аргумента функции Лапласа, при котором , - известное среднее квадратичное отклонение .

Случайная величина распределена нормально, причём её среднее квадратическое отклонение неизвестно. В этом случае с надёжностью верхняя граница ошибки

, (45)

где - число испытаний; - «исправленное» среднее квадратичное отклонение, .

Из изложенного следует, что метод Монте-Карло тесно связан с задачами теории вероятностей, математической статистики и вычислительной математики. В связи с задачей моделирования случайных величин (в особенности равномерно распределённых) существенную роль играют также методы теории чисел.

Среди других вычислительных методов, метод Монте-Карло выделяется своей простотой и общностью. Медленная сходимость является существенным недостатком метода, однако, могут быть указаны его модифификации, которые обеспечивают высокий порядок сходимости при определённых предположениях. Правда, вычислительная процедура при этом усложняется и приближается по своей сложности к другим процедурам вычислительной математики. Сходимость метода Монте-Карло является сходимостью по вероятности. Это обстоятельство вряд ли следует относить к числу его недостатков, ибо вероятностные методы в достаточной мере оправдывают себя в практических приложениях. Что же касается задач, имеющих вероятностное описание, то сходимостью по вероятности является даже в какой-то мере естественной при их исследовании

2.4 Многократное рассеяние

Пусть t - длина пути, пройденного электроном между двумя актами дискретных столкновений, Е - энергия, - скорость электрона. Азимутальный угол многократного рассеяния разыгрывается, с учетом трех членов разложения

(46)

(47)

где ф - приведенный угол

(48)

(49)

а B - является решением трансцендентного уравнения

(50)

с точностью

(51)

где

(52)

среднее число упругих столкновений на пути t. Для приближенного учета потерь энергии вместо Е и ² мы используем и , где 1 и 2 относятся к началу и концу пути t.

Для выборки значений из распределения Мольер выражение можно представить в виде следующего разложения с последующим применением метода Батлера:

(53)

3. Реализация метода Монте-Карла для многократного кулоновского рассеяния заряженных частиц

3.1 Рассеяние электрона на атомных электронах

Сечение рассеяния электрона на атомных электронах (или сечение образования - электронов) может быть записано в виде (формула Меллера):

(54)

Здесь

m - масса электрона, Z - атомный номер, - классический радиус электрона.

,

где Е - энергия электрона.

,

где Т - кинетическая энергия отдачи электрона (электрона с меньшей энергией). Кинематическая область для переменной :

(55)

Сокращение области в два раза по сравнению с е⁺е ^- рассеиванием связано с тождественностью вторичных электронов.

Т_min - пороговая (минимальная) энергия первичного электрона, начиная с которой процесс можно рассматривать как дискретный. Как и в случае е⁺е ^- рассеивания, величина Т_min берется такой, чтобы атомные электроны можно было считать свободными. Разложение Батлера для данного процесса примет вид:

(56)

(57)

(58)

Для того чтобы розыгрывать энергию отдачи электрона (напомним, электрона с меньшей энергией) необходимо:

1. Разыграть переменную из :

 (59)

- случайное число.

2. Проверить для из (6) условия , если оно выполняется, то принимаем значение , если нет, т.е. , то начинаем с 1.

Здесь - случайное число. Энергию отдачи электрона рассчитываем по формуле:

(60)

3.2 Розыгрыш дискретной случайной величины

В начале задаются константы:

m=0.1;

Tmin=0.55;

Z=1;

r0=2.82;

Создание необходимой функции:

sigma [eps_, En_]:=Module[{sigm=0, g=En/m},

b=(g²-1)/g²;

sigm=(2Pi*r0²*Z)/((g-1)*b)*1/(eps² (1-eps)²)*(1 - (2g²+2g-1)/g²*eps*(1-eps)+((g-1)/g)²*eps²*(1-eps)²);

sigm

];

Функция режекции (из разложения Батлера):

gg [eps_, En_]:=Module[{g=0},

=En/m;

g=4/(92-10+5)*((-1)²*eps² - (22+2-1)*eps/(1-eps)+2/(1-eps)²);

g

];

Розыгрыш дискретной случайной величины:

Eps [En_]:=Module[{1=RandomReal[1],2=RandomReal[1], eps=0, eps0=Tmin/(En-m)},

eps=eps0/(1-1 (1-2eps0));

While[2<gg [eps, En],2=RandomReal[1]; eps=eps0/(1-1 (1-2eps0))];

eps

];

Коэффициент из разложения Батлера:

alph [En_]:=Module[{g=En/m, eps0=Tmin/(En-m), qq=0},

qq=(2Pi*r0²*Z)/((g-1)*g²)*(9g²-10g+5)/4*(1-2eps0)/eps0;

qq

];

Функция розыгрыша длины свободного пробега (используется коэффициент из разложения Батлера):

t [En_]:=Module[{1=RandomReal[1], tt=0},

temp=alph[En];

tt=-Log[1]/temp;

While [tt<0.1 || tt>0.4,1=RandomReal[1]; tt=-Log[1]/temp;];

tt

];

Косинус угла отклонения частицы (по 2 энергиям):

cos3 [En1_, En3_]:=Module[{p1=, p3=},

cos=(m²+(En1+m)*En3-En1*m)/(p1*p3);

cos

];

Энергия электрона:

En3 [En_, eps_]:=En - (En-m)*eps;

3.3 Проверка кулоновского рассеяния

Задаем начальное значение энергии электрона:

E1=1.3;

Строим график функции:

Plot [sigma[x, E1], {x, Tmin/(E1-m), 0.5}, PlotRange {{0. 46,0.5}, {34. 3,35.4}}]

Создаем массив из 1000 значений переменной и строим гистограмму:

cc=Table [sigma[Eps[E1], E1], {1000}];

Histogram [cc, PerformanceGoal«Speed»]

Table [t[E1], {10}];

Рисунок 3: График функции Меллера (распределение вероятности)

Рисунок 4: Гистограмма заданного массива.

3.4 Реализация многократного рассеяния

Задаем начальное значения энергии электрона:

E1=9;

Задаем значения минимальной энергии, при которой считаем, что электрон «остановился'':

Emin=1.3;

Создаем стек для хранения параметров частиц и задаем параметры влетающего электрона: stack={{0,0,0, E1}};

Создаем массив для хранения параметров провзоимодействовавших электронов и делаем его пустым:

result={{}};

result=Delete [result, 1];

Создаем массивы для хранения координат стрелок и текста значений энергии на рисунке.

Первый массив делаем пустым, а во второй записываем координаты и значение энергии влетающего электрона:

ww2=Table [Arrow[{{0,0}, {1,1}}], {1}];

ww2=Delete [ww2,1];

ww3=Table [Text[E1, {0, dy}], {1}];

Начало цикла для обработки всех частиц (идет пока стек не пустой):

While [Length[stack]>0,

Записываем в массив результатов первый элемент стека:

result=Append [result, stack[[1]]];

Копируем текущие значения координат, угла отклонения и энергии в промежуточные переменные:

x1=stack[[1,1]]; y1=stack[[1,2]];

tet1=stack[[1,3]]; Etemp=stack[[1,4]];

Удаляем первый элемент стека:

stack=Delete [stack, 1];

Разыгрываем длину свободного пробега:

tt=t[Etemp];

Добавляем в массив хранения стрелок стрелку от текущего положения в последующее (для отображения на рисунке):

ww2=Append [ww2, Arrow[{{x1, y1}, {x1+tt*Cos[tet1], y1+tt*Sin[tet1]}}]];

Перечитываем координаты («переносим» частицу на t):

x1=x1+tt*Cos[tet1];

y1=y1+tt*Sin[tet1];

Вычисляем энергии вторичных частиц (с большей и меньшей энергией):

Esmall=(Etemp-m)*Eps[Etemp]+m;

Ebig=Etemp+m-Esmall;

Если значение энергии частицы с меньшей энергией больше минимальной, записываем ее параметры в конец стека:

If [Esmall>Emin,

Рассчитываем угол отклонения частицы с меньшей энергией:

tetSmall=ArcCos [cos3 [Etemp, Esmall]] (2*RandomReal[1] - 1);

Добавляем в массив хранения координат и значений энергии для отображения текста на рисунке:

ww3=Append [ww3, Text [Esmall, {x1, y1-dy}]];

stack=Append [stack, {x1, y1, tet1-tetSmall, Esmall}]];

Если значение энергии частицы с большей энергией больше минимальной, записываем ее параметры в начало стека:

If [Ebig>Emin,

Рассчитываем угол отклонения частицы с большей энергией:

tetBig=ArcCos [cos3 [Etemp, Ebig]]*(2*RandomReal[1] - 1);

Добавляем в массив хранения координат и значений энергии для отображения текста на рисунке:

ww3=Append [ww3, Text [Ebig, {x1, dy+y1}]];

stack=Prepend [stack, {x1, y1, tet1+tetBig, Ebig}]];

]

Создаем массив кругов с координатами частиц для отображения на рисунке:

ww1=Table [Disk[{result[[i, 1]], result[[i, 2]]}, 0.005], {i, Length[result]}];

создаем модуль для создания рисунка (со стрелками, точками, со значениями энергий):

Manipulate [Which[type== «стрелки», Graphics[{Red, ww1, Blue, ww2}],

Type== «точки», Graphics[{Red, ww1}],

Type== «значенияэнергии», Graphics[{Red, ww1, Blue, ww2, Black, ww3}]], {type, {«стрелки», «точки», «значенияэнергии»}}, ControlTypePopupMenu].

Рисунок 5: Многократное рассеяние заряженной частицы при энергии налетающей частицы 9 МЭВ

Рисунок 6: Многократное рассеяние заряженной частицы при энергии налетающей частицы 6 МЭВ

Рисунок 7: Многократное рассеяние заряженной частицы при энергии налетающей частицы 4 МЭВ

Рисунок 8: Многократное рассеяние заряженной частицы при энергии налетающей частицы 100 МЭВ



Рисунок 9: Многократное рассеяние заряженной частицы при энергии налетающей частицы 2 МЭВ

Рисунок 10: Многократное рассеяние заряженной частицы при энергии налетающей частицы 5 МЭВ

Заключение

При прохождении через вещество частицы претерпевают многократное рассеяние. Если заряженная частица движется в плотной среде, то, проходя мимо различных ядер этой среды, она будет рассеиваться каждым из них на некоторый угол и, среднее значение которого тем больше, чем меньше масса движущейся частицы и чем меньше ее скорость. Этот процесс упругих рассеяний частицы в кулоновском поле ядер, мимо которых она движется, называется многократным кулоновским рассеянием.

Метод Монте-Карло в задачах переноса частиц в веществе сводится к построению большого числа траекторий частиц.

В результате проделанной курсовой работы было изучено взаимодействия заряженных частиц, на примере многократного кулоновского рассеяния, а так же его моделирование с помощью метода Монте-Карло и Mathematica.

Список использованных источников

1. Широков, Ю.М. Ядерная физика / Ю.М. Широков, Н.Г1. Юдин. - М.: Наука, 1972.

2. Сивухин, Д.В. Атомная и ядерная физика: учеб. пособие. В 2 ч. Ч. 2. Ядерная физика/ Д.В. Сивухин. - М.: Наука, 1989.

3. Михайлов, В.М. Ядерная физика / В.М. Михайлов, О.Е. Крафт. - JL: Лен. универ., 1988.

4. Наумов, А.И. Физика атомного ядра и элементарных частиц / А.И. Наумов. - М.: Просвещение, 1984.

5. Мухин, К.Н. Экспериментальная ядерная физика. В 2 г./ К.Н. Мухин. - М.; Атомиздат, 1988.

Размещено на Allbest.ru