Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Задание 1. Интервалы устойчивости двойственных оценок

1. Анализ чувствительности оптимального решения задачи к изменению свободных членов

2. Пример практического применения интервалов устойчивости

3. Задача анализа дополнительно закупаемых объёмов ресурсов с целью обеспечения наименьшей эффективности планирования

4. Анализ чувствительности оптимального решения задачи к изменению коэффициентов целевой функции

Задание 2. Графический метод решения задачи линейного программирования

Задание 3. Анализ и прогнозирование экономических процессов с использованием моделей временных рядов

Задание 4. Модель управления запасами

Литература



Задание 1. Интервалы устойчивости двойственных оценок

1. Анализ чувствительности оптимального решения задачи к изменению свободных членов ограничений

Для изготовления определенного сплава из свинца, цинка и олова используется сырье из тех же металлов, отличающееся составом и стоимостью.

Сырье	Содержание в процентах
Компоненты	1	2	3	4	5
Свинец	10	10	40	60	70
Цинк	10	30	50	30	20
Олово	80	60	10	10	10
Стоимость, у. Е.	4	4,5	5,8	6	7,5

Определить, сколько нужно взять сырья каждого вида, чтобы изготовить с минимальной себестоимостью сплав, содержащий олова не более 30%, цинка не менее 10%, свинца не более 40%.

Математическая модель: Пусть х_i - доля сырья i-го вида в единице полученного сплава. Тогда функция цели (себестоимость единицы сплава в у.е.) запишется следующим образом:

.

Система ограничений будет иметь вид:



Запишем систему в каноническом виде:

Оптимальная симплекс-таблица:

	4	4,5	5,8	6	7,5	0	0	0	M	M
Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	В
4,5	X2	1,4	1	0	0	0	2	0	0	-0,2	0	0,4
0	X8	0,12	0	0	0,2	0,3	0,6	0	1	-0,46	0	0,12
5,8	X3	-0,4	0	1	1	1	-2	0	0	1,2	0	0,6
0	X7	0,12	0	0	0,2	0,3	-0,4	1	0	0,54	-1	0,32
	F	-0,02	0	0	-0,2	-1,7	-2,6	0	0	-6,06	0	5,28

Оптимальное решение: и оптимальное значение целевой функции: .

Экономически полученное решение интерпретируется следующим образом: для получения единицы сплава минимальной себестоимости необходимо взять 40% сырья №2 и 60% сырья №3. При этом сплав содержит ровно 30% олова, более 20% (точнее, 42%) цинка и менее 40% (28%) свинца. Минимальная себестоимость единицы сплава составляет 5,28 у.е. Оптимальные двойственные оценки .

Теперь найдём область устойчивости двойственных оценок к изменению свободных членов ограничений. Как известно, область устойчивости двойственных оценок - это область изменения свободных членов ограничений, при которой двойственные оценки не меняются. Неизменность двойственных оценок говорит о том, что не меняют своих номеров базисные и свободные переменные в решении.

В связи с вычислением интервалов устойчивости необходимо сделать замечание о знаках неравенств. Мы помним, что изначально их изменение мы учитывали (< на >), но знаки самих неравенств не меняли. Сейчас мы также не будем менять знаки второго и четвёртого неравенств, но примем во внимание обратный знак при расчёте конкретных значений. (Это делается для более наглядной экономической интерпретации интервалов устойчивости.)

Пусть свободные члены изменились на ,, и соответственно. Тогда оптимальное решение новой задачи (базисные компоненты) можно найти как:

.

Базисное решение вычисляется через матрицу, обратную к базисной, и свободные члены ограничений. Из оптимальной симплекс-таблицы получим матрицу, обратную к базисной, и оптимальное решение (базисные компоненты):

=>



Все элементы решения должны быть неотрицательны, иначе решение будет недопустимым, т.е. базисное решение остаётся оптимальным до тех пор, пока оно допустимое. Область устойчивости следующая:

.

Теперь найдём интервалы устойчивости (интервал устойчивости двойственных оценок к изменению правой части ограничения или i-го ресурса - такое множество i-го ресурса, при котором двойственные оценки не меняются):

1),:

=> ,

2),:

=> ,

3),:

=> ,.

4),:

=> ,.



Полученные результаты экономически означают, что свободный член в первом ограничении может меняться от 0,5 до 1,26, но экономического смысла это ни какого не имеет, т.к. сумма составляющих долей сплава всегда 100%. Содержание олова в новом сплаве варьируется от 10% до 60%, цинка - от нуля ( не имеет экономической интерпретации) до 42% и свинца - от 28% до 100% (аналогично случаю с цинком не может быть объяснена экономически). Возможны также различные комбинации изменений, которые описывает область устойчивости (интервалы устойчивости являются своеобразными частными случаями области устойчивости). При данных изменениях ресурсов двойственные оценки не изменятся, а значит и номера базисных переменных также не изменятся.

Изобразим область устойчивости двойственных оценок к изменению свободных членов ограничений графически. Для этого, исходя из экономических соображений и наглядности графика, построим его в координатах и , т.е. . Получим:



2. Пример практического применения интервалов устойчивости

Изменим условие задачи следующим образом:

а) содержание олова в новом сплаве не должно превосходить 15%;

Интервал устойчивости для олова - это . 15% или 0,15 входят в этот интервал, следовательно двойственные оценки не изменятся и оптимальное решение будет (при ).

.

По третьей теореме двойственности найдём значение критерия при этом решении:

=> .

б) содержание цинка должно быть не менее 45%;

Интервал устойчивости для цинка - . Т.к. содержание цинка в сплаве должно быть не более 42%, а т.к. 0,45 не входит в интервал устойчивости двойственных оценок, то двойственные оценки и номера базисных переменных сменятся ().



.

Решение недопустимое. Но если бы оно было допустимым, то оно было бы и оптимальным, а значит, оценки бы удовлетворяли критерию оптимальности. Полученное решение является псевдопланом и можно использовать двойственный симплекс-метод.

	4	4,5	5,8	6	7,5	0	0	0	0	0
Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	В
4,5	X2	1,4	1	0	0	0	2	0	0	-0,2	0	0,4
0	X8	0,12	0	0	0,2	0,3	0,6	0	1	-0,46	0	0,12
5,8	X3	-0,4	0	1	1	1	-2	0	0	1,2	0	0,6
0	X7	0,12	0	0	0,2	0,3	-0,4	1	0	0,54	-1	-0,03
	F	-0,02	0	0	-0,2	-1,7	-2,6	0	0	-6,06	0	5,28

Определим, какую из переменных выведем из базиса. В данном случае это будет единственная отрицательная переменная . Введём в базис одну из свободных переменных, у которой коэффициент разрешающей строки отрицателен. Разрешающий столбец выбирается по минимальному по модулю отношению оценок к отрицательным коэффициентам разрешающей строки. Переменой, вводимой в базис будет . После стандартных преобразований однократного замещения получим новую симплекс-таблицу:

	4	4,5	5,8	6	7,5	0	0	0	0	0
Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	В
4,5	X2	2	1	0	1	1,5	0	5	0	2,5	-5	0,25
0	X8	0,3	0	0	0,5	0,75	0	1,5	1	0,35	-1,5	0,075
5,8	X3	-1	0	1	0	-0,5	0	-5	0	-1,5	5	0,75
0	X6	-0,3	0	0	-0,5	-0,75	1	-2,5	0	-1,35	2,5	0,075
	F	-0,8	0	0	-1,5	-3,65	0	-6,5	0	2,55	6,5	5,475



Как видим, оценки по-прежнему удовлетворяют критерию оптимальности и все базисные переменные неотрицательны, значит, решение допустимое и оптимальное. Новое решение задачи . Оптимальное значение критерия . Это означает, что для производства единицы сплава необходимо взять 25% второго сырья и 75% третьего сырья. При этом доля цинка в новом сплаве будет ровно 45%, олова 22,5% и свинца 32,5%. Минимальная стоимость тонны сплава будет 5,475 у.е.

в) в новом сплаве должно быть менее 40% олова и более 30% цинка;

Запишем область устойчивости двойственных оценок, учитывая новые изменения (; ):

.

Решение является допустимым, а значит, и оптимальным. Значение критерия найдём по третьей теореме двойственности:

=>

г) менее 60% олова и более 40% цинка;

В данном случае изменения составляют: увеличение содержания олова на 30% и цинка на 30%, т.е и . Поэтому



Решение недопустимое, но является псевдопланом, поэтому, руководствуясь рассуждениями, аналогичными пункту б), решим задачу двойственным симплекс-методом.

	4	4,5	5,8	6	7,5	0	0	0	0	0
Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	В
4,5	X2	1,4	1	0	0	0	2	0	0	-0,2	0	0,4
0	X8	0,12	0	0	0,2	0,3	0,6	0	1	-0,46	0	0,12
5,8	X3	-0,4	0	1	1	1	-2	0	0	1,2	0	0,6
0	X7	0,12	0	0	0,2	0,3	-0,4	1	0	0,54	-1	-0,1
	F	-0,02	0	0	-0,2	-1,7	-2,6	0	0	-6,06	0	5,28

Оптимальная симплекс-таблица:

	4	4,5	5,8	6	7,5	0	0	0	0	0
Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	В
4,5	X2	2	1	0	1	1,5	0	5	0	2,5	-5	0.5
0	X8	0,3	0	0	0,5	0,75	0	1,5	1	0,35	-1,5	0,15
5,8	X3	-1	0	1	0	-0,5	0	-5	0	-1,5	5	0,5
0	X6	-0,3	0	0	-0,5	-0.75	1	-2.5	0	-1.35	2,5	0,25
	F	-0,8	0	0	-1,5	-3,65	0	-6,5	0	2,55	6,5	5,15

Получим следующее решение: , . Таким образом, для изготовления нового сплава необходимо взять 50% сырья №2 и 50% сырья №3.



3. Задача анализа дополнительно закупаемых объёмов ресурсов с целью обеспечения наибольшей эффективности планирования

линейное программирование временной экономический

Предположим, что появилась возможность покупать сырьё у других поставщиков по более низкой цене: цинк по 2 у.е., а за олово и свинец, т.к. согласно экономическому смыслу задачи они являются "антиблагами", мы получаем большую доплату от их поставщика: 1,5 у.е. и 0,5 у.е. соответственно. Руководитель предприятия выделил на закупку ресурсов 3 у.е.

Решение:

По ранее полученным результатам мы знаем, что предприятие тратит минимум средств (5,28 у.е.) когда в полученном сплаве ровно 30% олова, 42% цинка и 28% свинца (будем считать для удобства, что для производства 10 тонн сплава необходимо 3 тонны олова, 4,2 тонны цинка и 2,8 тонн свинца). Т.к. олово и свинец мы получаем с доплатой, то возьмём их в полном объёме, необходимом для производства сплава. От "покупки" олова мы получим , а от свинца - , т.е. всего 5,9 у.е. (в связи с их доходностью, а не убыточностью временно исключим их из рассмотрения).

Будем вести анализ закупок цинка. На первой итерации мы не закупаем цинк, т.к. в этом случае он бы приносил больше убытка (двойственная оценка равна нулю по сравнению с предлагаемой ценой в 2 у.е.). Решив новую задачу без производства олова и свинца, мы безусловно выйдем за границы области устойчивости двойственных оценок. Кроме того, сменится решение: двойственная оценка цинка увеличится до 3 и новое значение целевой функции понизится до 4 у.е. Вычтем из этих затрат на производство сплава доход от получения олова и цинка: . Это значит, что на производство сплава мы не только не тратим средств, но и получаем прибыль 1,9 у.е.

С увеличением двойственной оценки цинка становится выгодно покупать его. Но мы располагаем суммой денег только 3 у.е. и можем закупить на них 1,5 тонн вместо 2 необходимых. Теперь нам нужно производить только 0,5 тонны цинка. На второй итерации мы получаем такое же решение: критерий равен 4 у.е. и двойственная оценка цинка, которого мы производим 3 тонны, равна 4.

	4	4,5	5,8	6	7,5	0	0	0	0	0
Св	Б.П.	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	В
4,5	X2	1,4	1	0	0	0	2	0	0	-0,2	0	0,4
0	X8	0,12	0	0	0,2	0,3	0,6	0	1	-0,46	0	0,12
5,8	X3	-0,4	0	1	1	1	-2	0	0	1,2	0	0,6
0	X7	0,12	0	0	0,2	0,3	-0,4	1	0	0,54	-1	0,32
	F		0	0				0	0		0

Таким образом, мы получили оптимальное решение расходования выделенных 3 у.е.: "закупать" с доплатой 4 тонны олова и 5 тонн свинца и покупать по цене 2 у.е. 1,5 тонны цинка. При таком плане предприятие получит прибыль от производства сплава в размере 1,9 у.е.

4. Анализ чувствительности оптимального решения задачи к изменению коэффициентов целевой функции

Определим интервал устойчивости решения к изменению стоимости сырья, то есть, в каких пределах могут меняться цены на сырьё, чтобы план выпуска сплава не изменился.

Для этого рассмотрим два случая: изменение цен (коэффициентов целевой функции) происходит на сырьё, использующееся при производстве сплава (базисные переменные) и не использующееся (свободные переменные).

Пусть, сначала, меняется цена второго и третьего ресурсов (базисные переменные).

а).

Тогда оптимальная симплекс-таблица будет иметь вид:

Для того, чтобы решение оставалось оптимальным, необходимо, чтобы все оценки были неположительными (для задачи на минимум):

=> ,

Это значит, что цена первого ресурса может меняться от нуля (бесплатный, недефицитный ресурс) до 4,514 у.е. (отрицательный коэффициент в целевой функции в данном случае не имеет экономического смысла, т.к. свидетельствует о получении ресурса с доплатой. В этом случае ресурс выступает в роли антиблага). Критерий изменится на .



Задание 2. Графический метод решения задачи линейного программирования

Условие задачи:

При производстве двух видов продукции используется четыре типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объём каждого ресурса приведены ниже

ресурсы	Норма затрат ресурсов на товары	Общее кол-во ресурсов
	1го вида	2го вида
1	2	2	12
2	1	2	8
3	4	0	16
4	0	4	12
Прибыль (ден.ед)	2	3

Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден.ед.,второго - 3 ден.ед.

Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль от её реализации.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к её элементам и получить решение графическим методом. Что произойдёт если решать на минимум, и почему?

Решение задачи:

Сформулируем экономико-математическую модель задачи:

Обозначим через x₁,x₂- нормы затрат продукции 1го и 2го вида продукции.

Целевая функция имеет вид F(x)=2x₁+3x₂ -> max прибыль от реализации всей продукции.

Ограничения по ресурсам:

2х₁+2х₂<12- расход 1го вида сырья

х₁+3х₂<8-расход 2го вида сырья

4х₁<16- расход 3го вида сырья

4х₂<12-расход 4го вида сырья

2.Поиск оптимального плана выпуска продукции.

Решение задачи выполним с помощью надстройки Exсel Поиск решения.

Вводим исходные данные. С помощью функции СУММПРОИЗВ опишем целевую функцию, а потом введем данные для левых частей ограничений.



Предприятие получит максимальную прибыль, равную 14 ден.ед, при затратах на продукцию 1го вида =4, а 2го =2.



Найдём точки через которые проходят прямые, для этого приравниваем данные ограничения и подставляем по очереди х₁=0 и х₂=0, получаем:

2х₁+2х₂=12 - (6;0) и (0;6)

Х₁+2х₂=8 - (4;0) и (0;8)

4х₁=16 - (4;0)

4х₂=12 - (0;3)

Определим область допустимых значений для этого в каждое из неравенств подставим точку (например (1;1) и если неравенство верно, то обозначим штрихами ту сторону плоскости к которой и относится подставляемая точка, в противном случае штрихи в обратную сторону. Теперь зная плоскости заштрихуем фигуру, где эти плоскости пересекаются, получается четырёхугольник. По его углам мы будем искать максимум и минимум функции.

Построим вектор градиент, он для нашей функции F(x)=2х₁+3х₂ max будет стремится к точке (2;3), на рисунке он показан стрелкой. Теперь построим перпендикулярно ему линию, так называемую линией уровня, ведя её по направлению векора найдём максимум этой функции, это пересечение двух прямых в точке 1, и координаты этой точки (4;2). А минимум в точке 2, и координаты её (6;0).

При максимуме F(x)=2*4+3*2=8+6=14

При минимуме F(x)=2*6+3*0=12+0=12

Если решать на минимум эту функцию, то задача не будет иметь решений, т.к. система ограничений не совместима, верхних ограничений нет.



Задание 3. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

Условие задачи:

В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t)(млн.руб) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд этого показателя приведён ниже.

t	Y(t)
1	45
2	43
3	40
4	36
5	38
6	34
7	31
8	28
9	25

· Проверить наличие аномальных наблюдений

· Построить линейную модель

Y(t)=a₀+а1_t , параметры которой оценить МНК

· Оценить адекватность построенных моделей , используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7)

· Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации

· По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p=70%)

· Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически

· Вычисления провести с точностью до одного знака после запятой

Решение задачи:

Сгладим Y(t) с помощью простой скользящей средней. Выберем интервал сглаживания m=3. Скользящее среднее находим по формуле:

Y(t) =?_t / m -арифметическая средняя

Y(2)=(45+43+40)/3=42,67

Y(3)=(43+40+36)=39,67 и т.д.

t	Yt	Y(t)
1	45	---
2	43	42,67
3	40	39,67
4	36	38,00
5	38	36,00
6	34	34,33
7	31	31,00
8	28	28,00
9	25	---

Определим наличие тренда Yp(t) методом Фостера - Стюарта.

Сравним каждый уровень данного временного ряда у(t), начиная со второго, со всеми предыдущим, при этом определим две последовательности:

Ut= 1, если больше всех предыдущих, 0, в противном случае

Lt= 1, если меньше всех предыдущих, 0, в противоположном случае

Составим таблицу:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ut	---	0	0	0	0	0	0	0	0
Lt	---	1	1	1	0	1	1	1	1

Вычислим величины s и d

S= ?( Ut+Lt)

D= ?(Ut-Lt)

Найдём расчётные значения t-критерия Стьюдента для средней и для дисперсии. Значения m,--d₁,d₂ берём из таблицы.

При уровне значимости a=0,05 найдём табличное значение t-критерия Стьюдента и сравним t_s и t_d .

s=	7
d=	-7
	m=3,858	d1--=1,288	d2=1,964
		I--s-m--I
	ts=	d1		ts=	(7-3,858)/1,288=	2,44
	td=	I--d-_--I		td=	7/1,964=	3,56
		d2
	a=_,_5
	ta=2,36
	т.к ta<td	, то тренд есть, закономерность есть
	т.к ta<ts	,то тенденции в дисперсии есть

Построим линейную модель Y_p(t)= a₀+a₁t, параметры которой оценим методом наименьших квадратов.

t	Yt	t2	tyt
1	45	1	45
2	43	4	86
3	40	9	120
4	36	16	144
5	38	25	190
6	34	36	204
7	31	49	217
8	28	64	224
9	25	81	225
45	320	285	1455
a0n+a1 ?t=?yt
a0 ?t+ a1 ?t2= ?tyt
9a0+45a1=320		I-5
45a0+285a1=1455
-	45a0-225a1=-1600
	45a0+285a1=1455
60a1=-145
	a1=-2,42
a0=(320-45*(-2,42))/9=47,64
Получаем линейную модель
Yp(t)=47,64-2,42t
t	1	9
Yp(t)	45,22	25,89

Построим адаптивную модель Брауна Y_p(t)=a₀+a₁t с параметром сглаживания а=0,4 и а=0,7; выберем лучшее значение а; по первым пяти точкам временного ряда оценим начальные значения а₀ и а₁, с помощью метода наименьших квадратов для линейной функции.

Составим таблицу и решим систему уравнений:

t	Yt	t2	tyt
1	45	1	45
2	43	4	86
3	40	9	120
4	36	16	144
5	38	25	190
15	202	55	585
a0n+a1 ?t=?yt
a0n+a1 ?t2=?tyt
5a0+15a1=202 I-3
15a0+55a1=585
-	15a0-45a1=-606
15a0+55a1=585
10a1=-21
a1=-2,1
a0=(202-15*(-2,1))/5=46,7
Линейная модель
Yp(t)=46,7-2,1t

С использованием параметров а₀ и а₁ по модели Брауна находим прогноз на один шаг (к=1), вычисляя последовательно:

1) Yp (t,k)=a0(t-1)+a1(t-1)k, где k=1
2) Et =Y(t)-Yp(t,1)
3) a0(t)=a0(t-1)+a1(t-1)+Et(1-b2)
4) a1(t)=a1(t-1)+Et(1-b)2
Возьмём a=0,4, b=1-a=0,6
1-b2=1-0,62=1-0,36=0,64
(1-b)2=a2=0,42=0,16
t	Y(t)	a0	a1	Yp(t)	Et	Et2
0		46,70	-2,10
1	45	44,86	-2,04	44,60	0,40	0,16
2	43	42,94	-2,01	42,82	0,18	0,03
3	40	40,33	-2,16	40,93	-0,93	0,86
4	36	36,78	-2,50	38,18	-2,18	4,75
5	38	36,66	-1,91	34,28	3,72	13,84
6	34	34,27	-2,03	34,75	-0,75	0,57
7	31	31,45	-2,23	32,24	-1,24	1,54
8	28	28,44	-2,42	29,22	-1,22	1,49
9	25	25,37	-2,59	26,02	-1,02	1,03
10				22,78
сумма					-3,03	24,26
Yp(1,1)=46,70-2,10=44,60
E1=45-44,60=0,40
a0(1)=46,70-2,10+0,40*0,64=44,86
a1(1)=-2,10+0,40*0,16=-2,04 и т.д.



Теперь составим таблицу для модели Брауна с параметром сглаживания а=0,7.

Возьмём а=0,7
b=1-a=0,3
1-b2=1-0,32=1-0,09=0,91
(1-b)2=a2=0,72=0,49
t	Y(t)	a0	a1	Yp(t)	Et	Et2
0		46,70	-2,10
1	45	44,96	-1,90	44,60	0,40
2	43	43,01	-1,93	43,06	-0,06
3	40	40,10	-2,46	41,07	-1,07
4	36	36,15	-3,26	37,64	-1,64
5	38	37,54	-0,76	32,89	5,11
6	34	34,25	-2,12	36,78	-2,78
7	31	31,10	-2,67	32,13	-1,13
8	28	28,04	-2,88	28,43	-0,43
9	25	25,01	-2,96	25,15	-0,15
10				22,05
сумма					-1,75
Yp(1,1)=46,70-2,10=44,60
Et=45-44,60=0,40
a0(1)=46,70-2,10+0,40*0,91=44,96
a1(1)=-2,10+0,40*0,49=-1,90 и т.д.
	?E2t
Sy= v	n-2
Для модели 1 (а=0,4)
Sy1= v24,26/7=1,86
Для модели 2 (а=0,7)
Sy2= v39,38/7=2,37
Т.к. Sy1<Sy2, то модель Брауна с параметром сглаживания а=0,4-лучшая



Оценим адекватность построенных моделей на основе исследования:

Составим таблицы для линейной модели и модели Брауна (а=0,4)

Yp(t)=47,64-2,42t
t	Yt	Yp(t)	Et	точки пиков	Et2	(Et-Et-1)2	Et/Yt	EtEt-1	(t-tsr)2
1	45	45,2	-0,2		0,0		0,0		16
2	43	42,8	0,2	1	0,0	0,2	0,0	0,0	9
3	40	40,4	-0,4	0	0,2	0,3	0,0	-0,1	4
4	36	38	-2	1	3,9	2,5	0,1	0,8	1
5	38	35,6	2,4	1	6,0	19,5	0,1	-4,8	0
6	34	33,1	0,9	0	0,7	2,5	0,0	2,1	1
7	31	30,7	0,3	0	0,1	0,3	0,0	0,2	4
8	28	28,3	-0,3	0	0,1	0,3	0,0	-0,1	9
9	25	25,9	-0,9		0,8	0,3	0,0	0,3	16
10		23,5
11		21,1
45	320	320	0,0	3,0	11,8	26,1	0,2	-1,6	60
Yp(t)=25,37-2,59k
t	Yt	Yp(t)	Et	точки пиков	Et2	(Et-Et-1)2	Et/Yt	(t-tsr)2
1	45	44,6	0,4		0,2		0,0	16
2	43	42,8	0,2	0	0,0	0,0	0,0	9
3	40	40,9	-0,9	0	0,9	1,2	0,0	4
4	36	38,2	-2,2	1	4,7	1,6	0,1	1
5	38	34,3	3,7	1	13,8	34,8	0,1	0
6	34	34,8	-0,8	0	0,6	20,0	0,0	1
7	31	32,2	-1,24	1	1,5	0,2	0,0	4
8	28	29,2	-1,22	0	1,5	0,0	0,0	9
9	25	26	-1		1,0	0,0	0,0	16
10		22,8
11		20,2
45	320	345,8	-3,0		24,3	57,9	0,3	60

Случайная остаточной компоненты по критерию пиков

Точки пиков находим начиная с t=2.

Если (E_t>E_t-1 и E_t>E_t+1) или (E_t<E_t-1 и E_t<E_t+1), то очка пиков есть и ставим 1, иначе ставим 0.

Для обоих моделей количество точек пиков р=3

p>[2/3(n-2)-2v(16n-29)/90]

p>[2/3(9-2)-2v(16*9-29)/90]

3>2, т.к. количество точек пиков превышает заданное число,то свойство случайности остаточной компоненты выполняется. Модели адекватны.

Независимость уровней ряда остатков по d-критерию

d1=1.08

d2=1.36

d=? (E_t-E_t-1)2/?E_t²

Линейная модель

d=26.1/11.8=2.21

т.к. d>2, то вычислим d^/

d^/=4-d=1.79

Модель Брауна

d=57.9/24.3=2.39

d^/=4-d=1.61

т.к. для обеих моделей d^/>d2, то свойство независимости уровней ряда выполняется. Модели адекватны.

Нормальность закона распределения уровней остаточной компоненты на основе R/S-критерия

Линейная модель

E_max= 2.44

E_min=-1.97

S_y=v?E²_t/n-1

S_y=v11.8/8=1.21

R/S =(E_max-E_min)/S_y

R/S=(2,44+1,97)/1,21=3,64

Модель Брауна

E_max=3.72

E_min=-2.18

S_y=v24.3/8=1.74

R/S=(3.72+2.18)/1.74=3.39

Для обеих моделей расчётное значение R/S попало в интервал (2,7;3,7), значит свойство нормальности распределения выполняется. Модели адекватны.

ОБЕ МОДЕЛИ АДЕКВАТНЫ, ТК ВСЕ РАССМОТРЕННЫЕ КРИТЕРИИ ВЫПОЛНЯЮТСЯ.

Оценим точность построенных моделей:

Среднее квадратическое отклонение

Линейная модель

d=v?E_t²/(n-2)

d=v?1.8/7=1.3_

Модель Брауна

d=v24,3/7=1,86

Средняя по модулю ошибка

S=1/n? I E_t/y_tI 100%



Линейная модель

S=0,2*100/9=2,4%

Модель Брауна

S=0,3*100/9=3,8%

Т.к. для обеих моделей S<5%,то модель Брауна и линейная модель являются точными.

Построим точечный и интервальный прогноз:

Точечный прогноз

Линейная модель

Точечный прогноз получаем подставив у-ие

Yp(t)=47.64-2.42t значений t=10 и t=11

Получаем

Yp(t)=47.64-2.42*10=23.5

Yp(t)=47.64-2.42*11=21.1

Модель Брауна

В таблице модели Брауна на последнем шаге получаем модель:

Yp(n+k)=25.37-2.59k. Подставим к=1 и к=2,получим

Yp(t)=25.37-2.59*1=22.8

Yp(t)=25.37-2.59*2=20.2

Интервальный прогноз

Линейная модель

t_a=2.36

S_y=d=1.30 нашли ранее

S_np=S_yv1+1/n+(tn+1-tsr)²/?(t-tsr)²

S_np(10)=1,30*v1+1/9+(10-5)²/60=1,61

S_np (11)=1,30*v1+1/9+(11-5)²/60=1,70

Тогда



Y_p(10)-S_npta<Y₁₀<Y_p(10)+S_npta

23.5-1.61*2.36<Y₁₀<23.35+1.61*2.36

19.68<Y₁₀<27.27

Y_p(11)-S_npta<Y₁₁<Y_p(11)+S_npta

21.1-1.70*2.36<Y₁₁<21.1+1.70*2.36

17.04<Y₁₁<25.07

Модель Брауна

t_a=2.36 S_y=d=1.86 нашли ранее

S_np=S_yv1+1/n+(tn+1-tsr)²/?(t-tsr)²

S_np(10)=1,86*v1+1/9+(10-5)²/60=2,30

S_np (11)=1,86*v1+1/9+(11-5)²/60=2,44

Тогда

Y_p(10)-S_npta<Y₁₀<Y_p(10)+S_npta

22,8-2,30*2.36<Y₁₀<22,8+2,30*2.36

17,34<Y₁₀<28,22

Y_p(11)-S_npta<Y₁₁<Y_p(11)+S_npta

20,2-2,44*2.36<Y₁₁<20,2+2,44*2.36

14,44<Y₁₁<25,95

Выполним двухвыборочный F-тест для дисперсии, двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями и регрессию с помощью Excel:



Задание 4. Рассчитать параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий

Условие задачи:

Затраты на заказ партии посуды равны 200руб., затраты на хранение продукции 10 руб.в сутки, интенсивность потребления товара 5 шт.в день, цена товара-120 руб.за штуку. Определите оптимальный размер заказа, цену покупки и совокупные затраты на заказ и хранение. Постройте график циклов изменения запаса товара.

Решение задачи:

Параметры:

М=10 руб/сут (затраты на хранение), К=200 руб (затраты на заказ), h=5шт/сут (интенсивность потребления), С=120 руб/шт (цена товара)

Оптимальный размер заказа

Q_опт=v(2К*М/h)=v(2*200*10/5)?28,28 шт

Длительность цикла

Т=С/М=120/10=12 сут

Цена покупки

Р= Q_опт*С=28,28*120=3393,6 руб

Совокупные затраты

Z(Q)=(K*M)/Q+(h(S-M)*Q)/2S+C*M=1329.64 руб.



Литература

1. Орлова И.В., Половинков В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб.пособие.-2-е изд., испр. И доп.- М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2010

2. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В., Половинков В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебное пособие для вузов.- Изд 2-е.-М.: ЮНИТИ,2005

3. Просветов Г.И. Математические методы в экономике: учебно-методическое пособие.-М.: Издательство РДЛ,2004

4. Гончаренко В.М. Математические модели и методы исследования операций. Руководство к решению задач. М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, 2006.

5. Винюков И.А., Попов В.Ю., Пчелинцев С.В. Линейное про-граммирование. Учебное пособие для подготовки бакалавров.М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, 2009.

6. http://www.aup.ru/books/i008.htm

Размещено на Allbest.ru