Метод потенциалов для решения транспортной задачи в матричной форме. Задача оптимального распределения ресурсов

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Факультет «Экономический»

Кафедра «Экономика, финансы и управление на транспорте»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»

Воронеж 2008

Задача №1

Метод потенциалов для решения транспортной задачи в матричной форме с ограничениями пропускной способности.

Задание:

1. Построить оптимальный план перевозок каменного угля с пяти станций А_i (i = 1,2,3,4,5), до девяти крупных потребителей, имеющих подъездные пути В_j (j = 1,2,…,9).

2. Определить объем тонно-километровой работы начального и оптимального планов перевозки грузов.

Исходные данные (вариант 67):

Данные о наличии ресурсов на пяти станциях отправления А_i приведены в таблице 1, данные о размерах прибытия груза В_j на девять станций назначения - в таблице 2.

Таблица 1 - Ресурсы станций отправления А_i (строки матрицы)

Номер станции отправления	Значение
А1	150
А2	160
А3	400
А4	150
А5	140
Итого:	1000

Таблица 2 - Объем потребности В_j получателя (столбцы матрицы)

Номер станции назначения	Значение
В1	135
В2	105
В3	95
В4	115
В5	85
В6	105
В7	90
В8	135
В9	135
Итого:	1000

Решение:

Расстояние перевозки от каждой i-й станции отправления до каждой j-й станции назначения указано в правом верхнем углу каждой клетки матрицы. В левом верхнем углу ряда клеток матрицы указаны ограничения пропускной способности.

Условием задачи установлено, что размер всех ресурсов у отправителей равен общей потребности получателей:

С учетом полученных условий необходимо найти такие неотрицательные значения величин объемов перевозок х_ij, при которых сумма произведений значений критерия С_ij на размер перевозок будет минимальной, т.е.

Первоначально строится начальный план базисного варианта способом наименьшего значения критерия.

Любой допустимый план является оптимальным тогда и только тогда, когда каждой строке и каждому столбцу матрицы могут быть присвоены некоторые числа U_i и V_j, называемые потенциалами и отвечающие условиям:

V_j - U_i ? C_ij для х_ij = 0; (1)

V_j - U_i = C_ij для d_ij > х_ij > 0; (2)

V_j - U_i ? C_ij для х_ij = d_ij; (3)

где V_j - потенциал j-го столбца;

U_i - потенциал i-й строки;

C_ij - расстояние перевозки от i-го поставщика до j-го потребителя;

х_ij - корреспонденция (размеры перевозок) от i-го поставщика до j-го потребителя;

d_ij - величина пропускной способности ij клетки.

Присвоение потенциалов начинают со строки, в которой среди базисных клеток имеется максимальное расстояние. Этой строке можно присвоить любой положительный потенциал, например, 100. Затем, используя условие оптимальности (2), находят потенциалы остальных строк и столбцов по формулам:

для j-го столбца

V_j = U_i + C_ij;

для i-й строки

U_i = V_j - C_ij.

Корреспонденция улучшения плана находится из следующего выражения:

х_ул = min [х_{ij четн}, (d_ij - х_ij)_нечетн]

	Вj
Аi	В1=135	В2=105	В3=95	В4=115	В5=85	В6=105	В7=90	В8=135	В9=135	Ui
	- 90	30	100	110	150	30 50	+ 60	80	90
А1=150	45					30	75			100
	х			1+40			х
	+ 10	40	45	50	- 25	70	30 15	30	10 30
А2=160	80				80					180
	х			1+20	х	1+10
	10 20	35	80	160	90	+ 80	- 70	40	60
А3=400	10	105				?	15	135	135	90
		х	1+20		1+25	1+90	х	х	х
	50	5	40	30	120	40	75	30	40 20
А4=150				95		55				220
				х		х
	15	15 25	10	20 35	+ 25	- 80	20	70	90
А5=140			95	20	5	20				180
			х		х	х
Vj	190	125	190	250	205	260	160	130	150

F(х) = 45·90 + 30·50 + 75·60 + 80·10 + 80·25 + 10·20 + 105·35 + 15·70 + 135·40 + 135·60 + 95·30 + 55·40 + 95·10 + 20·35 + 5·25 + 20·80 = 39700 ден. ед.

80 - 70 + 60 - 90 + 10 - 25 + 25 - 80 = - 90 < 0 - цикл подходит

r = {15; 45; 80; 20} =15

	Вj
Аi	В1=135	В2=105	В3=95	В4=115	В5=85	В6=105	В7=90	В8=135	В9=135	Ui
	- 90	+ 30	100	110	150	30 50	60	80	90
А1=150	30	?				30	90			100
	х	1+85		1+40			х	1+40	1+50
	+10	40	45	50	- 25	70	30 15	30	10 30
А2=160	95				65					180
	х			1+20	х	1+10		1+10
	10 20	- 35	80	160	90	+ 80	70	40	60
А3=400	10	105				15		135	135	180
		х				х		х	х
	50	5	40	30	120	40	75	30	40 20
А4=150				95		55				220
				х		х
	15	15 25	10	20 35	+ 25	- 80	20	70	90
А5=140			95	20	20	5				180
			х		х	х
Vj	190	215	190	250	205	260	160	220	240

F(х) = 39700 - 90·15 = 38350 ден.ед.

30 - 90 + 10 - 25 + 25 - 80 + 80 - 35 = - 85 < 0 - цикл подходит

r = {30; 65; 5; 105} = 5

	Вj
Аi	В1=135	В2=105	В3=95	В4=115	В5=85	В6=105	В7=90	В8=135	В9=135	Ui
	- 90	+ 30	100	110	150	30 50	60	80	90
А1=150	25	5				30	90			100
	х	х					х
	+ 10	40	45	50	- 25	70	30 15	30	10 30
А2=160	100				60					180
	х				х
	10 20	- 35	80	160	+ 90	80	70	40	60
А3=400	10	100			?	20		135	135	95
		х	1+15		1+20	х		х	х
	50	5	40	30	120	40	75	30	40 20
А4=150				95		55				135
	1+5		1+15	х		х
	15	15 25	10	20 35	25	80	20	70	90
А5=140			95	20	25					180
			х		х
Vj	190	130	190	165	205	175	160	135	155

F(х) = 38350 - 85·5 = 37925 ден.ед.

90 - 25 + 10 - 90 + 30 - 35 = - 20 < 0 - цикл подходит

r = {60; 25; 100} = 25

	Вj
Аi	В1=135	В2=105	В3=95	В4=115	В5=85	В6=105	В7=90	В8=135	В9=135	Ui
	90	30	100	110	150	30 50	60	80	90
А1=150		30				30	90			105
		х					х
	10	40	45	50	25	70	30 15	30	10 30
А2=160	125				35					165
	х				х
	10 20	35	80	160	90	80	70	40	60
А3=400	10	75			25	20		135	135	100
		х			х	х		х	х
	50	5	40	30	120	40	75	30	40 20
А4=150				95		55				140
				х		х
	15	15 25	10	20 35	25	80	20	70	90
А5=140			95	20	25					165
			х		х
Vj	175	135	175	170	190	180	165	140	160

План оптимальный.

F(х) = 37925 - 20·25 = 37425 ден.ед.

Ответ: F(х)_нач. = 39700 ден.ед.; F(х)_опт. = 37425 ден.ед.

Задача №2

Графический метод решения задачи оптимизации производственных процессов

Задание: Решить задачу линейного программирования графическим методом. Исходные данные (вариант 7):

Целевая функция: f(x) = x₁ + 2x₂ > max,

Ограничения: -x₁ - x₂ ? -1, x₁- 2x₂ ? 1.

Решение:

-х₁ - х₂ ? -1

х₁ - 2х₂ ? 1 (-1)

х₁ ? 0; х₂ ? 0

х₁ + х₂ ? 1

2х₂ - х₁ ? 1

х₁ + х₂ = 1

х₁ = 1 - х₂

Если х₁ = 0, то х₂ = 1;

если х₂ = 0, то х₁ = 1.

х₁ - 2х₂ = 1

х₁ = 1 + 2х₂

Если х₁ = 0, то х₂ = -1/2;

если х₂ = 0, то х₁ = 1.

Строим прямые уравнений ограничений и находим область допустимых решений (рис. 1).

х₂ ? - х₁ +1 - нижняя полуплоскость;

2х₂ ? х₁ -1 - верхняя полуплоскость.

Рис. 1 - Решением системы неравенств является т. С (0;1)

Ответ: х₁= 0

х₂ = 1

Задача №3

Применение симплекс-алгоритма для решения экономической оптимизированной задачи управления производством.

Исходные данные (вариант 7):

Целевая функция: f(x) = x₁ + 2x₂ -3х₃ > max.

Ограничения: x₁ + x₂ + х₃ = 25,

2x₁ - 3x₂ + 3х₃ ? 10;

x₁ - 3x₂ + 4х₃ ? 30.

Решение:

Т.к. дана задача на максимизацию целевой функции f, то она сводится к задаче на минимизацию функции -f.

Введем функцию q = -f = -x₁ - 2x₂ +3х₃

От ограничений неравенств переходим к ограничениям-равенствам, введя новые переменные х₄ и х₅:

х₄ = 2x₁ - 3x₂ + 3х₃ - 10; х₅ = -x₁ + 3x₂ - 4х₃ + 30.

Получим следующую основную задачу линейного программирования:

x₁ + x₂ + х₃ = 25

х₄ = 2x₁ - 3x₂ + 3х₃ - 10

х₅ = -x₁ + 3x₂ - 4х₃ + 30

q = -x₁ - 2x₂ +3х₃ > min

Выразим из 1-го уравнения х₁ через другие неизвестные и подставим это его выражение в другие уравнения, а также в уравнение для функции q. Получим:

x₁ = -x₂ - х₃ + 25

х₄ = -2x₂ - 2x₃ + 50 -3х₂ + 3х₃ - 10

х₅ = х₂ + x₃ - 25 + 3х₂ - 4x₃ + 30

q = x₂ + х₃ - 25 + 2х₂ + 3x₃

x₁ = -x₂ - х₃ + 25 (1)

х₄ = -5x₂ + х₃ + 40 (2)

х₅ = 4х₂ - 3x₃ + 5 (3)

q = -x₂ + 4х₃ - 25 (4)

Выразим х₂ из второго ограничения и подставим его выражение в первое и третье ограничения, а также в выражение для целевой функции:

5x₂ = х₃ - х₄ + 40

х₂ = 0,2х₃ - 0,2х₄ + 8

x₁ = -0,2x₃ + 0,2х₄ - 8 -x₃ + 25

х₂ = 0,2х₃ - 0,2х₄ + 8

х₅ = 0,8х₃ - 0,8x₄ + 32 -3x₃ + 5

q = -0,2x₃ + 0,2х₄ - 8 + 4х₃ - 25

x₁ = -1,2x₃ + 0,2х₄ + 17

х₂ = 0,2х₃ - 0,2х₄ + 8

х₅ = -2,2х₃ - 0,8x₄ + 37

q = 3,8x₃ + 0,2х₄ - 33

В выражении для функции q оба неизвестных входят со знаком «+». Поэтому можно утверждать, что найден оптимальный план: х₃ = х₄ = 0. Подставив эти значения в последнюю систему ограничений, получим и остальные неизвестные:

х₁ = 17; х₂ = 8; х₅ = 37;

Оптимальное значение функции q = - 33, следовательно

f(x) = 33 млрд.руб.

Ответ: f(x) = 33 млрд.руб.

Задача №4

Метод динамического программирования для выбора оптимального профиля пути.

Задание:

Требуется найти оптимальную трассу участка железнодорожного пути между пунктами А и В, из которых второй лежит к северо-востоку от первого. Местность, по которой пройдет магистраль, является пересеченной и включает лесистые зоны, холмы, болота, реку. Поэтому стоимость строительства равных по длине участков пути может быть различной. Требуется так провести дорогу из А в В, чтобы суммарные затраты на сооружение участка были минимальны.

План прокладки пути разобьем на ряд возможных шагов, на каждом из которых стоимость строительства известна. Каждый шаг строительства является прокладкой пути между двумя рядом расположенными узлами. Все узлы пронумерованы, и в соответствии с номером варианта дана стоимость сооружения элемента пути между узлами.

Исходные данные - (вариант 67).

Решение:

Задачу решаем методом динамического программирования, последовательно двигаясь от конца трассы к ее началу, при этом на каждом шаге процесса выбирая то направление трассы, которое дает меньшую стоимость ее строительства от рассматриваемого пункта до пункта В (рис. 2).



Рис. 2

Ответ: Минимальные затраты на сооружение участка А - В составят W = 131 ден.ед.

Задача №5

Задача оптимального распределения ресурсов.

Задание (вариант 67):

Предприятие имеет свободных К млрд. руб. средств, которые оно может вложить в пять различных производственных программ. При этом прибыль от каждой из программ зависит от объема инвестиций. Эти зависимости f_i известны и имеют следующий вид:

f(х) = bx - ax²

и конкретно:

f₁(х₁) = 0,18x₁ - 0,05x₁²;

f₂(х₂) = 0,16x₂ - 0,04x₂²;

f₃(х₃) = 0,14x₃ - 0,02x₃²;

f₄(х₄) = 0,12x₄ - 0,02x₄²;

f₅(х₅) = 0,1x₅ - 0,01x₅² млрд.руб.

где х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ - инвестиции в программы, млрд.руб. Их общий объем равен К = 8,5 млрд.руб.

Требуется найти неотрицательные объемы инвестиций х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ соответствующие наибольшей общей прибыли

П = f₁(х₁) + f₂(х₂) + f₃(х₃) + f₄(х₄) + f₅(х₅).

Решение:

Возможны следующие варианты:

1) Все средства передаются первой программе;

2) Средства распределяются между первой и второй программами;

3) Средства распределяются между первой, второй и третьей программами;

4) Средства распределяются между первой, второй, третьей и четвертой программами;

5) Средства распределяются между первой, второй, третьей, четвертой и пятой программами.

Рассмотрим все 5 вариантов.

1) К₁ = х₁ = 8,5

П₁ = f₁(х₁) = 0,18 8,5 - 0,05 8,5² = - 2,08 млрд.руб. < 0, следов-но убыток.

2) К₂ = х₁ + х₂

П₂ = f₁(х₁) + f₂(х₂)

0,18 - 2 0,05х₁ = 0,16 - 2 0,04х₂

х₁ + х₂ = 8,5

0,1х₁ - 0,08х₂ = 0,02

х₁ = 8,5 - х₂

0,1 (8,5 - х₂) - 0,08х₂ = 0,02

0,85 - 0,1х₂ - 0,08х₂ = 0,02

0,85 - 0,18х₂ = 0,02

0,18х₂ = 0,83

х₂ = 4,61

х₁ = 8,5 - 4,61 = 3,89

П₂ = 0,18 · 3,89 - 0,05 3,89² + 0,16 4,61 - 0,04 4,61² = 0,7 - 0,757 + 0,738 - 0,85 = - 0,169 млрд.руб. < 0, следов-но убыток.

3) К₃ = х₁ + х₂ + х₃

П₃ = f₁(х₁) + f₂(х₂) + f₃(х₃)

0,18 - 0,1х₁ = 0,16 - 0,08х₂

0,16 - 0,08х₂ = 0,14 - 2 · 0,02х₃

х₁ + х₂ + х₃ = 8,5

0,18 - 0,1х₁ = 0,16 - 0,08х₂

0,16 - 0,08х₂ = 0,14 - 0,04х₃

х₁ + х₂ + х₃ = 8,5

0,1х₁ - 0,08х₂ = 0,18 - 0,16 · 50

0,08х₂ - 0,04х₃ = 0,16 - 0,14

х₁ + х₂ + х₃ = 8,5

5х₁ - 4х₂ = 1 (1)

4х₂ - 2х₃ = 1 (2)

х₁ + х₂ + х₃ = 8,5 (3)

Из 2 - го ур - ия: х₃ = 2х₂ - 0,5

5х₁ - 4х₂ = 1

х₁ + х₂ + 2х₂ - 0,5 = 8,5

5х₁ - 4х₂ = 1 (1)

х₁ + 3х₂ = 9 (2)

Из 2 - го ур - ия: х₁ = 9 - 3х₂

5 (9 - 3х₂) - 4х₂ = 1

45 - 15х₂ - 4х₂ = 1

19х₂ = 44

х₁ = 9 - 3 · 2,316 = 2,052

х₃ = 2 · 2,316 - 0,5 = 4,132

П₃ = 0,18 · 2,052 - 0,05 · 2,052² + 0,16 · 2,316 - 0,04 · 2,316² + 0,14 · 4,132 - 0,02 · 4,132² = 0,369 - 0,21 + 0,37 - 0,215 + 0,578 - 0,34 = 0,552 млрд.руб.

4) К₄ = х₁ + х₂ + х₃ + х₄

П₄ = f₁(х₁) + f₂(х₂) + f₃(х₃) + f₄(х₄)

0,18 - 0,1х₁ = 0,16 - 0,08х₂

0,16 - 0,08х₂ = 0,14 - 0,04х₃

0,14 - 0,04х₃ = 0,12 - 0,04х₄

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 8,5

0,1х₁ - 0,08х₂ = 0,18 - 0,16

0,08х₂ - 0,04х₃ = 0,16 - 0,14 · 50

0,04х₃ - 0,04х₄ = 0,14 - 0,12

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 8,5

5х₁ - 4х₂ = 1 (1)

4х₂ - 2х₃ = 1 (2)

2х₃ - 2х₄ = 1 (3)

х₁ + х₂ + х₃ +х₄ = 8,5 (4)

Из 3 - го ур - ия: х₄ = х₃ - 0,5

5х₁ - 4х₂ = 1

4х₂ - 2х₃ = 1

х₁ + х₂ + х₃ + х₃ - 0,5 = 8,5

5х₁ - 4х₂ = 1 (1)

4х₂ - 2х₃ = 1 (2)

х₁ + х₂ + 2х₃ = 9 (3)

Из 2 - го ур - ия: х₃ = 2х₂ - 1

5х₁ - 4х₂ = 1

х₁ + х₂ + 2 (2х₂ - 1) = 9

5х₁ - 4х₂ = 1

х₁ + х₂ + 4х₂ - 2 = 9

5х₁ - 4х₂ = 1 (1)

х₁ + 5х₂ = 11 (2)

Из 2 - го ур - ия: х₁ = 11 - 5х₂

5 (11 - 5х₂) - 4х₂ = 1

55 - 25х₂ - 4х₂ =1

29х₂ = 54

х₂ = 1,862

х₁ = 11 - 5 1,862 = 1,69

х₃ = 2 · 1,862 - 1 = 2,724

х₄ = 2,724 - 0,5 = 2,224

П₄ = 0,18 1,69 - 0,05 1,69² + 0,16 1,862 - 0,04 1,862² + 0,14 2,724 - 0,02·2,724² + 0,12 2,224 - 0,02 2,224² = 0,3 - 0,143 + 0,298 - 0,139 + 0,381 - 0,148 + 0,267 - 0,1 = 0,716 млрд.руб.

5) К₅ = х₁ + х₂ + х₃ + х₄ +х₅

П₅ = f₁(х₁) + f₂(х₂) + f₃(х₃) + f₄(х₄) + f₅(х₅)

0,18 - 0,1х₁ = 0,16 - 0,08х₂

0,16 - 0,08х₂ = 0,14 - 0,04х₃

0,14 - 0,04х₃ = 0,12 - 0,04х₄

0,12 - 0,04х₄ = 0,1 - 0,02х₅

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ = 8,5

0,1х₁ - 0,08х₂ = 0,18 - 0,16

0,08х₂ - 0,04х₃ = 0,16 - 0,14

0,04х₃ - 0,04х₄ = 0,14 - 0,12

0,04х₄ - 0,02х₅ = 0,12 - 0,1

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ = 8,5

0,1х₁ - 0,08х₂ = 0,02

0,08х₂ - 0,04х₃ = 0,02 50

0,04х₃ - 0,04х₄ = 0,02

0,04х₄ - 0,02х₅ = 0,02

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ = 8,5

5х₁ - 4х₂ = 1 (1)

4х₂ - 2х₃ = 1 (2)

2х₃ - 2х₄ = 1 (3)

2х₄ - х₅ = 1 (4)

х₁ + х₂ + х₃ +х₄ + х₅ = 8,5 (5)

Из 4 - го ур - ия: х₅ = 2х₄ - 1

5х₁ - 4х₂ = 1

4х₂ - 2х₃ = 1

2х₃ - 2х₄ = 1

х₁ + х₂ + х₃ +х₄ + 2х₄ - 1 = 8,5

5х₁ - 4х₂ = 1 (1)

4х₂ - 2х₃ = 1 (2)

2х₃ - 2х₄ = 1 (3)

х₁ + х₂ + х₃ + 3х₄ = 9,5 (4)

Из 3 - го ур - ия: х₄ = х₃ - 0,5

5х₁ - 4х₂ = 1

4х₂ - 2х₃ = 1

х₁ + х₂ + х₃ + 3 (х₃ - 0,5) = 9,5

5х₁ - 4х₂ = 1

4х₂ - 2х₃ = 1

х₁ + х₂ + 4х₃ - 1,5 = 9,5

5х₁ - 4х₂ = 1 (1)

4х₂ - 2х₃ = 1 (2)

х₁ + х₂ + 4х₃ = 11 (3)

Из 2 - го ур - ия: х₃ = 2х₂ - 0,5

5х₁ - 4х₂ = 1

х₁ + х₂ + 4 (2х₂ - 0,5) = 11

5х₁ - 4х₂ = 1

х₁ + х₂ + 8х₂ - 2 = 11

5х₁ - 4х₂ = 1 (1)

х₁ + 9х₂ = 13 (2)

Из 2 - го ур - ия: х₁ = 13 - 9х₂

5 (13 - 9х₂) - 4х₂ = 1

65 - 45х₂ - 4х₂ = 1

49х₂ = 64

х₂ = 1,306

х₁ = 13 - 9 1,306 = 1,246

х₃ = 2 1,306 - 0,5 = 2,112

х₄ = 2,112 - 0,5 = 1,612

х₅ = 2 · 1,612 - 1 = 2,224

П₅ = 0,18 1,246 - 0,05 1,246² + 0,16 1,306 - 0,04 1,306² + 0,14 2,112 - 0,02 2,112² + 0,12 1,612 - 0,02 1,612² + 0,1 2,224 - 0,01 2,224² = 0,224 - 0,078 + 0,209 - 0,068 + 0,296 - 0,089 + 0,193 - 0,052 + 0,222 - 0,049 = 0,808 млрд.руб.

Ответ: Максимальное значение прибыли П₅ = 0,808 млрд. руб.

Распределение инвестиций: х₁ = 1,246 млрд. руб.

х₂ = 1,306 млрд. руб.

х₃ = 2,112 млрд. руб.

х₄ = 1,612 млрд. руб.

х₅ = 2,224 млрд. руб.

Задача №6

Метод экспертных оценок для отбора кандидата из кадрового резерва на должность руководителя.

Задание:

Требуется методом экспертного ранжирования из группы кадрового, включающего в себя семь кандидатов, отобрать наиболее достойного, по мнению коллектива, из 10 экспертов.

После коллективного ранжирования экспертами степени подготовленности и личностных свойств всех представителей группы кадрового резерва и выбора лучшего из них определить степень согласованности мнений группы экспертов.

Исходные данные (вариант 67):

Каждый Э_j эксперт оценивает степень подготовленности каждого члена группы кадрового резерва, сопоставив ему целое число - его ранг k_ij, т.е. номер члена группы в порядке убывания оценки степени подготовленности. Первый ранг имеет тот, кто, по мнению эксперта, подготовлен лучше других, второй - менее подготовлен, но лучший из оставшихся.

Принято, что эксперты отличаются уровнем компетентности, которую можно оценить вероятностью получения экспертом достоверной оценки. Тогда каждый эксперт получает весовой коэффициент, значение которого лежит в пределах 0 < а_j ? 1 для Э - го эксперта.

Решение:

Для решения задачи составим матрицу мнений экспертов в виде таблицы 1.

В таблице 1 по каждому Э_j столбцу х_i числу из группы резерва присваивается k_ij ранг - целое число от 1 до n.

Получаем матрицу мнений экспертов размерностью N·n, в которой сумма элементов любого столбца равна

Наиболее подготовленного кандидата из группы на основе коллективной оценки выбирают после расчета среднего ранга для каждого из кандидатов:

,

На первом месте будет кандидат, имеющий минимальный ранг, что будет соответствовать усредненному мнению коллектива из N экспертов.

Если мнения экспертов сильно расходятся, то необходимо ввести процент достоверности, т.е. согласованности экспертов. Согласованность экспертов определяется степенью рассеянности средних рангов .

Степень рассеяния определяется с помощью дисперсии средних рангов:

,

;

М(k) - математическое ожидание среднего ранга.

В таблице для краткости обозначений принято:

Таблица 1 - Расчет коэффициента согласованности

Номер члена группы	Оценка эксперта
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	4	3	4	4	2	5	4	1	3	7	3,72	3,70	0,09
2	7	7	5	7	1	6	7	7	4	5	5,59	5,60	2,56
3	5	4	3	3	5	3	3	3	7	2	3,78	3,80	0,04
4	3	6	7	6	3	7	6	6	6	3	5,21	5,30	1,69
5	6	1	2	1	4	2	2	2	1	4	2,63	2,50	2,25
6	2	3	6	5	6	4	5	5	5	1	4,06	4,20	0,04
7	1	2	1	2	7	1	1	4	2	6	2,81	2,70	1,69
Уровень компетентности аi	0,9	0,8	0,7	0,6	0,8	0,9	0,6	0,9	0,7	0,9	7,8		8,36

При полном совпадении мнений экспертов дисперсия имеет максимальное значение:



Критерий согласованности экспертов представляется в виде отношения:

,

Ответ: Выбран кандидат №5, имеющий минимальный ранг.

Мнение экспертов согласовано не очень хорошо (лишь на 30%).

Задача №7

Метод экстраполяции динамического ряда.

Задание:

Установить параметры линейной однофакторной модели расчета потребности в трудовых ресурсах, которые потребуются при росте использования оборудования за установленный период времени до 90% его мощности.

Исходные данные (вариант 7):

Временной ряд роста численности обслуживающего персонала установленного оборудования:

t1 = 2	t9 = 25
t2 = 6	t10 = 27
t3 = 10	t11 = 29
t4 = 12	t12 = 30
t5 = 13	t13 = 34
t6 = 17	t14 = 35
t7 = 21	t15 = 38
t8 = 22

Решение:

Экстраполяция динамического ряда производится по уравнению прямой:

y = a + bt,

где y - необходимое количество рабочих;

t - порядковый номер динамического ряда;

a, b - параметры уравнения.

Задача состоит в определении уровня динамического ряда за пределами взятого базисного периода через определение значений параметров уравнения (a, b). Базисный период принимается по исходным данным, t_баз = 15.

Параметры модели определяются из соотношений:

; ;

;

,

где N - число мест базисного периода, N = 15.

Таблица 1 - Характеристики для расчета параметров линейной модели прогноза численности трудовых ресурсов

ti	yi		yi·ti
1	2	1	2
2	6	4	12
3	10	9	30
4	12	16	48
5	13	25	65
6	17	36	102
7	21	49	147
8	22	64	176
9	25	81	225
10	27	100	270
11	29	121	319
12	30	144	360
13	34	169	442
14	35	196	490
15	38	225	570
120	321	1240	3258

;

а = 21,4 - 2,464 8 = 1,688

Тогда

y = 1,688 + 2,464 t

Для N + 1 года y_N+1 = 41,112.

Ответ: y = 1,688 + 2,464 t

Список использованной литературы

1. Экономико-математическое моделирование. Учеб. для ВУЗов / Под ред. А.Д. Дрогобыцкого. - М.: Экзамен, 2004.

2. Карпелович Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. - М.: Физматгиз, 1963.

3. Нестеров Е.П. Транспортные задачи линейного программирования. - М.: Транспорт, 1971.