Экономическая кибернетика

zi=xi+yi.	Zi=Xi+Yi	(3а)
yi=izit	Yi =iZit	(3б)

где , - показатели акселерации стоимости продукта и продуцента в процессе циркуляции.

Уравнения сохранения и акселерации стоимости (3) образуют функции продуцирования продукционной системы, которые являются аналогом производственной функции производителя.

Утверждение 4. Поведение продукционной системы описывается послойными уравнениями переходов (изменений состояний за время t) элементов продукта и продуцента из начального состояния в конечное.

Пусть послойные уравнения переходов элементов продукта описывают поведение продукта

xi(t0+t)=xi(t0)+xi(t)	(4а)
yi(t0+t)=yi(t0)+yi(t)	(4б)
zi(t0+t)=zi(t0)+zi(t)	(4в)

Пусть послойные уравнения переходов элементов продуцента описывают поведение продуцента

Xi(t0+t)=Xi(t0)+Xi(t)	(5а)
Yi(t0+t)=Yi(t0)+Yi(t)	(5б)
Zi(t0+t)=Zi(t0)+Zi(t)	(5в)

Тогда послойные уравнения переходов элементов продукта и продуцента (4), (5) связаны отношениями:

присваивания дополнительной стоимости

yi(t0)=Yi(t0)	(6а)

капитализации присвоенной дополнительной стоимости

Xm=Ym,	(6б)

где m - индекс собственного капитала, mI.

Утверждение 5. Пусть продукционная система описывается послойными топологическими уравнениями (3) и уравнениями (4) и (5) переходов за время t. Тогда полные суммы простых изменений послойных элементов продукта и продуцента тождественно равны нулю

			(7а)
			(7б)

Утверждение 6. Рассмотрим полные суммы относительных изменений, описываемых оператором вида x=x/x₀.

Пусть продукционная система описывается послойными уравнениями (7) нулевых сумм простых изменений.

Тогда полные суммы относительных изменений элементов продукта и продуцента тождественно равны нулю

			(8а)
			(8б)

Утверждение 7. К относительным чувствительностям применим принцип инвариантности, который состоит в том, что полная сумма относительных чувствительностей тождественно равна нулю.

Пусть продукционная система описывается послойными уравнениями (8) нулевых сумм относительных изменений.

Тогда полные суммы относительных чувствительностей элементов продукта и продуцента тождественно равны нулю

			(9а)
			(9б)

Утверждение 8. Принцип инвариантности относительных чувствительностей устанавливает также тождественное равенство нулю двойных полных сумм относительных чувствительностей.

Пусть продукционная система описывается послойными уравнениями (9) нулевых сумм относительных чувствительностей.

Тогда двойные полные суммы относительных чувствительностей послойных элементов продукта и продуцента тождественно равны нулю

			(10а)
			(10б)

Двойные полные суммы относительных чувствительностей (10) описываются матрицей чувствительностей , для компонентов которой справедливы утверждения:

диагональные компоненты тождественно равны единице, ;

кососимметричные компоненты взаимнообратны, .

Значимость относительных чувствительностей состоит в том, что они описывают величины, называемые в экономическом анализе «финансовыми коэффициентами». Учитывая, что основное балансовое уравнение и топологические уравнения (3) имеют аддитивный характер, то и значения относительных чувствительностей сводятся к отношениям вида

.	(11а)

Таким образом, матрицы чувствительности задают полные матрицы финансовых коэффициентов.

Для основной стоимости элементы матрицы финансовых коэффициентов имеют вид

,	.	(11б)

Запишем полную матрицу финансовых коэффициентов для продукционной системы представленной послойными уравнениями стоимости продуцента и продукта в форме бизнес-компонента.

	Модель продуцента	Модель продукта
Уравнение основной стоимости	X11+X12=X21+X22	x11+x12=x22
Уравнение дополнительной стоимости	Y11+Y 12=Y22	y11+y12=y22
Уравнение полной стоимости	Z11+Z12=Z21+Z22	z11+z12=z22

В формулах продуцента и продукта использованы следующие элементы:

а) элементы баланса капитала (форма1)

X₂₂ - инвестированный капитал

X₂₁ - резервный капитал

X₁₂ - заемный капитал

X₁₁ - собственный капитал

б) элементы баланса прибыли/убытки (форма2)

Y₂₂ - валовый доход от инвестиций

Y₁₂ - плата за заемный капитал

Y₁₁ - прибыль

Полные матрицы финансовых коэффициентов для продукта и продуцента имеют вид

,	.	(11в)

Учитывая, что , матрицы коэффициентов можно считать кососимметричными.

Умножая матрицы коэффициентов на единичный вектор, получим полные системы уравнений финансовых коэффициентов для продукта и продуцента:

в матричной форме

,	;	(11г)

в алгебраической форме

,	.	(11д)

Аналогичный вид имеют матрицы финансовых коэффициентов для слоев дополнительной стоимости.

Утверждение 9. Определим основные соотношения чувствительностей, входящими в описания продукта и продуцента. Отношение дополнительной стоимости, полученной за некоторый период времени t, к основной или полной, называют “рентабельностью”.

Пусть определены следующие виды рентабельности:

_i(x_i)=y_i/x_i , _i(z_i)=y_i/z_i - основная и полная рентабельность продукта;

_i(X_i)=Y_i/X_i , _i(Z_i)=Y_i/Z_i - основная и полная рентабельность капитала продуцента.

Тогда рентабельности продуцента и продукта связаны соотношениями типа формул Дюпона

i(Xi)=i(xi)N(xi),	i(Zi)=i(zi)N(zi),	(12)

где N(x_i)=x_i/X_i , N(z_i)=z_i/Z_i - оборачиваемость капитала продуцента в стоимости продукции.

Утверждение 10. Пусть продукционная система описывается уравнениями (9) нулевых сумм относительных чувствительностей.

Тогда полные суммы рентабельностей продукта и продуцента, взвешенных по чувствительностям, тождественно равны нулю

,	.	(13а)
,		(13б)

Переходя к финансовым коэффициентам (11) запишем уравнения взвешенных рентабельностей

,	.	(13в)

Полные системы уравнений основной рентабельности в матричной форме

,	.	(13г)

Полные системы уравнений основной рентабельности в алгебраической форме

,	.	(13д)

Пример. Рассмотрим уравнение для рентабельности собственного капитала (13д), в котором положим ₂₁=0

.

Из уравнения для финансовых коэффициентов (11д) определим коэффициент инвестиций

.

Перепишем уравнение для рентабельности собственного капитала

.

Группируя члены относительно финансовых коэффициентов, получим известную формулу «финансовый рычаг»

.

Пример.

Полные суммы относительных изменений элементов продукта и продуцента тождественно равны нулю (8).

Полные системы уравнений относительных изменений в матричной форме

,	.	(13г)

Полные системы уравнений относительных изменений в алгебраической форме

,	(13д)
.	(13д)

Первое уравнение относительных изменений перепишем в виде

.	(13д)

Из уравнения для финансовых коэффициентов (11д) определим коэффициент инвестиций

.

Подставляя коэффициент инвестиций перепишем уравнение относительных изменений в виде

.	(13д)

Упорядочивая слагаемые по финансовым коэффициентам получим

.	(13д)

4. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

Компонентная модель продукционной системы

Компонентная модель продукционной системы определена для интервала времени t=t₂t₁

Момент времени t1	Интервал времени t=t2t1	Момент времени t2
Состояние продукта	Переход за время t t2t1	Состояние продукта
x22=x11+x12	x i(t)	x22=x11+x12
y22=y11+y12	y i(t)	y22=y11+y12
z22=x22+y22		z22=x22+y22
Присваивание		Присваивание
Y11(t1)= y11(t1)		Y11(t2)= y11(t2)
Состояние продуцента	Переход за время t t2t1	Состояние продуцента
X21+X22=X11+X12	Xi(t)	X21+X22=X11+X12
Y11+Y12=Y22YТ	Yi(t)	Y11+Y12=Y22YТ
Капитализация		Капитализация
X11(t1)= X11(t0)+Y11(t1)		X11(t2)= X11(t1)+ Y11(t2)

Технологическая расчетная таблица (Пример расчета)

1. Момент времени t₁

	Состояние продуцента	Состояние продукта
	X22	X21	X11	X12	z22	x22	y22=Y22	YТ	Y12	Y11
	200	0	100	100	190	150	50	30	10	10

2. Момент времени t₂

	Состояние продуцента	Состояние продукта
	X22	X21	X11	X12	z22	x22	y22=Y22	YТ	Y12	Y11
	210	10	110	100	200	160	40	25	10	5

Рентабельность собственного капитала

а) элементные рентабельности капитала

₂₂=Y₂₂/X₂₂ - рентабельность инвестиций

_T=Y_T/X₂₂ - рентабельность налогообложения (ставка суммарного налога)

₁₂=Y₁₂/X₁₂ - рентабельность заемного капитала (ставка кредита)

_P=_{22T 12} - рентабельность защитных элементов

б) финансовые коэффициенты:

k=1k₂₁ - финансовый коэффициент активов

k₂₁=X₂₁/X₁₁ - финансовый коэффициент резервного капитала

n=X₁₂/X₁₁- финансовый коэффициент заемного капитала

Рентабельность собственного капитала

11=k(22T)+n(22T12)

«Золотое сечение налогов».

Рентабельность защитных элементов

_P=_22T12

Отклонение рентабельности от компенсации налогов

=n_Pk_T.

Рентабельность собственного капитала

₁₁=k₂₂s.

Метод живучести.

Уравнение “живучести” бизнеса

₁₁= k k _T +n _P

Уравнение “живучести” элементов защиты от налогов

_P=1 _{T 12}

Отклонение эффективность от компенсации налогов

=n _P k _T.

В уравнениях “живучести” использованы элементы:

₁₁=₁₁/₂₂- эффективность налогообложения;

_T= _T /₂₂- эффективностью защитных элементов;

₁₂=₁₂/₂₂- эффективностью кредитных ресурсов (заемного капитала).

k=1X₂₁/X₁₁ - финансовый коэффициент активов

n=X₁₂/X₁₁- финансовый коэффициент заемного капитала

Нормальным для экономического объекта является состояние, при котором _P>0 (режим нормальной живучести). Состоянию _P 0 соответствует режим нулевой (отрицательной) живучести, при котором недоступен эффект компенсации налогов и нецелесообразно использование кредитов.

Литература

Экономическая кибернетика: Учебное пособие; Донецкий гос.ун-т.-Донецк ДонГУ,1999.-397с.

Лысенко Ю.Г., Петренко В.Л., Тимохин В.Н., Филиппов А.В. Экономическая динамика: Учебное пособие; Донецкий гос.ун-т.-Донецк ДонГУ,2000.-176с.

Лысенко Ю.Г., Макаров К.Г., Петренко В.Л., Филиппов А.В. Леверидж. Экономические приложения.- Донецк ДонГУ Юго-Восток, 1999.-104с.

Алдохин И.П.,Кулиш С.А. Экономическая кибернетика. Харьков " Вища школа",1983 г.

Колемаев В.А. Математическая экономика. Учебник для вузов. -М.: ЮНИТИ, 1998.- 240с.

Чувствительность систем управления. Розенвассер Е..Н., Юсупов Р.М. -М.:Наука. Главнвя редаккция физ.-мат. литературы.1981.-464с.

Лапа В.Г. Математические основы кибернетики. Киев,"Вища школа", 1974 г.

Оскар Ланге, Оптимальные решения. Москва,"Прогресс", 1967 г.

Т.Г.Ли, Г.Э.Адамс, У.М.Гейнз. Управление процессами с помощью вычислительных машин. Моделирование и оптимизация.(пер.с англ.), Москва "Сов.радио", 1972 г.

Математическая экономика на персональных компьютерах, (пер.с япон.). Под ред.М.Кубонива;-Москва,"Финансы и статистика", 1991 г.

Кобринский Н.Е., Майминас Е.З., Смирнов А.Д. Экономичкская кибернетика. Москва, Из-во АН СССР, 1982 г.

О.Ланге Введение в экономическую кибернетику Москва, «Прогресс», 1968 г.

Бир С.Т. Кибернетика и управление производством (пер.с англ.), Москва, Г.И. ФМЛ, 1963 г.

Маслаков Г.М., Тимонiн Ю.О., Тимонiн О.Ю. Інваріанти бiзнес-процесiв. Вiсник ЖIТI. - 1997. - N5. - С. 203-207.