Рис. 27. Временные ряды остатков денежных средств четырех кластеров

Можно видеть, что даже после удаления типичных дней с аномальными продажами, ряды имеют множество пиков. Видно, что ряды имеют схожие характеристики: различная волатильность, восходящие и нисходящие тренды. Поэтому предварительный анализ перед построением модели будет проведен на примере синего кластера.

Рис. 28. Гистограмма средних остатков денежных средств в торговых точках синего кластера

Распределение данного кластера, хоть и напоминает по форме кривую Гаусса, но сильно отличается от нормального распределения. Также гистограмма показывает наличие тяжелых хвостов: частоты имеют высокое значение на большинстве интервалов. Подобное поведение данных указывает на возможность применения ARCH/GARCH и ARFIMA моделей. Для проверки этого предположения необходимо также рассмотреть коррелограмму.

Рис. 29. Коррелограмма временного ряда синего кластера

На коррелограмме видно, что все автокорреляции имеют высокие положительные значения и значимы не менее чем на 15 лагах. Кроме того, корреляции не убывают с гиперболической скоростью, а имеют синусоидальные колебания. На лагах, кратных семи, корреляции резко возрастают. Данные признаки говорят о наличии длинной памяти во временном ряду. Процессы с длинной памятью прогнозируются с помощью модели ARFIMA.

На периодограмме также наблюдается недельная сезонность. Наибольшее значение логарифм периодограммы принимает на частоте 0,02 .

Рис. 30. Периодограмма временного ряда синего кластера

Как уже было отмечено в 1 главе, процесс ARFIMA достаточно трудно отличить от обычных I(1) c помощью тестов малой мощности, Дики-Фуллера и Филипса-Перрона, а тест KPSS состоятелен при стационарных процессах с длинной памятью, но необходимо большое количество наблюдений. Поэтому наиболее надежным является использование R/S анализа. Проведем R/S анализ и найдем экспоненту Херста Н - меру, используемую для анализа процессов с длинной памятью:

1. H>0.5 процесс персистентен (монотонно следующий вдоль детерминированного тренда) и имеет положительную автокорреляцию-- сохраняет имеющуюся тенденцию.

2. H=0.5 - тенденции не выражено.

3. H<0.5 процесс характеризуется антиперсистентностью и отрицательной автокорреляцией--любая тенденция стремится смениться противоположной.

Экспонента Херста рассчитывается с помощью следующих формул:

где H - экспонента Херста; n - длина временного ряда

R - размах временного ряда; S - стандартное отклонение;

Кроме того, найдя экспоненту Херста, можно вычислить предполагаемое значение дробной разности модели ARFIMA по формуле

Таблица 13

Значения экспоненты Херста для кластеров остатков денежных средств

Можно видеть, что значения экспоненты имеет схожие значения для всех кластеров. Значение экспоненты больше 0,5, что говорит о персистентности процесса. Также данные ряды называются трендоустойчивыми, то есть, если в данных на определенном промежутке времени наблюдался восходящий или нисходящий тренд, то данные ряды будут сохранять этот тренд еще какое-то время. Наблюдения ряда не являются независимыми, они сохраняют данные о том, что было на предыдущих интервалах. Также можно предположить, что расчетное значение дробной разности в модели будет близко к значениям, полученным с помощью экспоненты Херста. Экспонента Херста подтверждает возможность использования модели ARFIMA. Для всех кластеров была оценена модель ARFIMA. Результаты оценивания приведены в табл. 14.

Таблица 14

Результаты оценивания модели ARFIMA для четырех кластеров

*** - Значимость на уровне 0,001

Недостатком данной модели является сложность вычисления оценок параметров: в модель невозможно добавить сезонный фактор, вычисления не производятся для больших лагов. Поэтому в модель были включены лаги AR(1) и MA(1), так как коррелограмма показала значимость на первом лаге. Все полученные оценки модели значимы на уровне 0,001. Полученная разность модели наиболее близка к расчетной для зеленого и черного кластеров. Несмотря на схожесть поведения рядов, оценки имеют существенно различающиеся значения. Оценка AR(1) значительно меньше у зеленого кластера, в то время как MA(1) наоборот больше, чем у остальных. Константа отражает среднее значение ряда.

Еще одним недостатком данной модели является сложность прогнозирования будущих наблюдений, а также краткосрочный интервал прогнозирования. Для упрощения вычислений модель ARFIMA может аппроксимироваться с помощью формулы:

Расчет страховой суммы представлен на примере красного кластера. Были предсказаны значения остатков денежных средств в точках в 2017 году.

Рис. 31. Прогноз остатков денежных средств модели ARFIMA в торговых точках красного кластера на 2017 год

Наибольшая страховая сумма была спрогнозирована для красного кластера: среднее значение ряда равно 252 тысячам рублей, а верхняя граница доверительного интервала не превосходит 400 тысяч. Страховые суммы для зеленого и синего кластера отличаются незначительно. Во всех кластерах, кроме красного, наблюдается небольшой спад остатков денежных средств.

Таблица 15

Характеристики прогноза ARFIMA на 2017 год для четырех кластеров

Итак, нами была построена адекватная модель для прогнозирования остатков денежных средств без выбросов. Оптимальной моделью для прогнозирования является модель ARFIMA. Были получены значимые оценки модели ARFIMA для лагов AR(1) и MA(1), также в модель вошла константа, отражающая среднее значение временного ряда. Был построен прогноз для остатков денежных средств на 2017 год и рассчитаны страховые суммы, требуемые для страхования исследуемых рисков.

3.3.2 Прогнозирование временных рядов остатков денежных средств с выбросами с использованием модели ARIMA с интервенцией

В данном параграфе моделируются временные ряды остатков денежных средств без исключения выбросов с помощью модели ARIMA с интервенцией. Данная модель учитывает наиболее высокие непостоянные скачки, резко меняющие среднее значение. Рассмотрим графическое изображение временных рядов без исключения выбросов.

Рис. 32. Остатки денежных средств с выбросами в торговых точках в четырех кластерах

Можно видеть, что стабильное поведение ряда сменяется резкими скачками. Данные скачки могут сильно влиять на оценку моделей, поэтому важно экзогенно ввести в модель даты, в которые интервенции (выбросы) происходят, и учесть их влияние. Также необходимо понимать природу интервенций: влияют ли они на общий тренд модели или происходят и исчезают внезапно. В случае изучаемых данных, изменения временные и на общее поведение ряда не влияют. Это объясняется особенностью исследуемой предметной области - поведением покупателей электроники. Большая часть продаж приходится на праздничные дни и выходные, после чего спрос возвращается к обычным значениям.

Для построения модели необходимо знать номера наблюдений, в которых происходят скачки. Наиболее простым способом обнаружения интервенций является графический анализ. Как правило, для данных остатков денежных средств интервенции в несколько раз превышают другие значения. Далее оценки модели подтвердят или опровергнут значимость интервенции. Можно видеть (табл. 16), что некоторые значения интервенций в кластерах повторяются.

Таблица 16

Номера дат (наблюдений) предполагаемых интервенций в четырех кластерах

Для определения лагов в модели ARIMA с интервенцией применяются те же методы, что и для обычной ARIMA модели. В предыдущем параграфе были рассмотрены характеристики данных без выбросов и выявлена недельная сезонность. Поэтому в модель ARIMA с интервенцией будет включен сезонный AR(1)₇ лаг. Также были подобраны обычные AR и МА лаги путем исключения незначимых значений. Результат оценки ARIMA с интервенцией показан на примере зеленого кластера (табл. 17), остальные оценки приведены в приложении (прил.1).

Таблица 17

Результаты оценивания модели ARIMA с интервенцией для зеленого кластера

Параметр Delta отвечает за значимость интервенции. Так как в данной модели интервенции задаются с помощью бинарных фиктивных переменных, значимые значения Delta должны быть близки к единице. Показатель Omega отражает коэффициент при бинарной переменной. Для зеленого кластера наблюдения 952 и 986 не являются интервенциями, несмотря на то, что оценки их параметров значимы. Наибольшее влияние оказывает интервенция с номером 360. Также в модели значимы AR лаги, как сезонный, так и обычный.

Рис. 33. Прогноз остатков денежных средств зеленого кластера в 2017 году

Прогнозирование для данной модели имеет те же недостатки, что и прогнозирование модели ARFIMA. Основным результатом прогнозирования является 95% доверительный интервал для остатков денежных средств в 2017 году (табл. 18).

Таблица 18

Характеристики прогноза на 2017 год модели ARIMA с интервенцией по четырем кластерам

Согласно данной модели, в красном и синем кластере в 2017 году произойдет большой спад. Также в этих кластерах верхняя граница доверительного интервала почти в 4 раза больше среднего значения. Черный и зеленый кластеры спрогнозированы более достоверно: в них наблюдается небольшой рост, а страховые суммы равны 198 и 133 тысячи соответственно.

Выводы по главе 3

Точки были разбиты на четыре кластера методом k-средних. При кластеризации учитывались не только значения ряда и его первой разности, но и характеристики выбросов, а именно даты, в которые они происходили. Значимость различий между средними хотя бы двух кластеров подтверждена дисперсионным анализом.

Для всех кластеров, кроме черного, страховые суммы, рассчитанные моделью ARFIMA, превышают значения прогноза с интервенцией. Это может быть объяснено тем, что для модели ARFIMA были удалены лишь некоторые выбросы и влияние на среднее значение не было полностью исключено. Однако прогнозы модели ARFIMA кажутся более достоверными, так как модель с интервенцией предсказывает значительный рост и спад остатков денежных средств, хотя до 2017 года тренды не наблюдаются.

Таким образом, в данном параграфе были получены значимые оценки модели ARIMA с интервенцией. Данная модель определяет значимость скачков остатков денежных средств и их влияние на оценки модели. Кроме интервенций в модель вошли лаги AR(1) и AR(1)₇. Страховые суммы, полученные с помощью модели c интервенцией, ниже оценок модели ARFIMA и показывают значительный спад и рост остатков денежных средств.

Обе модели могут быть использованы для прогнозирования страховых сумм остатков денежных средств в точках. Модель ARFIMA хорошо прогнозирует временные ряды с малым числом выбросов. В данном случае ритейлер может исключать выбросы и отдельно страховать денежные средства в праздничные дни с более высокой суммой. Это поможет снизить общий уровень страховых сумм для обычных дней. Модель ARIMA с интервенцией позволяет учесть влияние выбросов на среднее значение ряда. Она проверяет значимость экзогенно значимых выбросов и более точно предсказывает страховые суммы.

Заключение