Задача оптимального управления опционами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• Введение
• 1. Методы оценки опционов
• 1.1 Классическая модель Блэка-Шоулза-Мёртона
• 1.2 Неструктурные модели оценки опционов
• 2. Теория оптимального управления для оценки опционов и основные предпосылки
• 2.1 Теория оптимального управления
• 2.2 Вариационные методы в задачах об оптимальном управлении
• 2.3 Связь между риск-нейтральной и физической плотностью вероятности
• 2.4 Функция полезности как функция с ограниченным изменением
• 3. Построение модели оценки опционов и ее применение на практике
• 3.1 Постановка и решение задачи оптимального управления как задачи вариационного исчисления
• 3.2 Оценка параметров физической функции плотности вероятности и функции полезности
• Заключение
• Список использованной литературы

Введение

В современной финансовой науке большая доля исследований посвящена оценке производных финансовых инструментов. Одним из видов таких инструментов является опцион, который представляет собой контракт, дающий его владельцу право, но не обязательство, купить или продать подлежащий актив по заранее установленной цене в определенный момент в будущем или на протяжении определенного промежутка времени до наступления этого момента.

На сегодняшний день существует огромное количество моделей, с помощью которых можно найти цену опциона. Чаще всего в рамках этих моделей опционы оцениваются в риск-нейтральном мире, в котором ожидаемая доходность любого актива равна безрисковой процентной ставке. Самой известной является классическая модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза-Мёртона. Несмотря на всю ее популярность, эту модель едва ли можно применять на практике ввиду большого количества нереалистичных предпосылок, одной из которых является предположение о том, что цена подлежащего актива подчиняется логнормальному распределению. Тем не менее, в финансовой литературе существует много альтернативных способов и теорий, с помощью которых представляется возможным оценивать опционы. Одним из таких способов является задача оптимального управления, которую мы и рассмотрим в данной работе.

Теория оптимального управления появилась в 50-х годах прошлого столетия в связи с необходимостью решения различных экономических задач, будь то поиск наилучшего (т.е. оптимального) управления летательными аппаратами, технологическим процессом на производстве и т.д. В настоящее время оптимальное управление уже стало обширной самостоятельной теорией в науке, которую, кроме всего прочего, используют для оценки таких производных контрактов как опционы. Несмотря на то, что чаще всего в литературе по количественным финансам задачу оптимального управления используют для оценки американских опционов и решают ее методом динамического программирования, в данной исследовательской работе мы решили пойти творческим путем и ставить задачу оптимального управления как задачу вариационного исчисления.

Для того, чтобы можно было решить такую задачу, рассмотрим формализм Якверта, согласно которому существует взаимосвязь между риск-нейтральной плотностью, физической ожидаемой плотностью и функцией неприятия риска, которая получается из функции полезности индивида. На функцию полезности, в свою очередь, будут наложены некоторые ограничения. Решив задачу оптимального управления, мы найдем вид функции плотности вероятности и первой производной функции полезности. Подставив их вместо риск-нейтральной функции плотности в модель, основанную на предположении о том, что цена производного финансового инструмента представляет собой дисконтированную с безрисковой ставкой будущую выплату по этому инструменту, мы получим готовую модель для оценки опционов.

Более того, если мы реконструируем и затем оценим функцию распределения базисного актива, на который выставлен опцион, то сможем изучать природу ожиданий участников рынка, т.е. извлекать информацию об ожиданиях инвесторов относительно цены этого актива непосредственно из премий по опциону. Таким образом, результаты данного исследования могут найти практическое применение.

Актуальность работы обусловлена тем, что эффективное прогнозирование динамики цен на рынке всегда будет оставаться одной из важнейших проблем, которые пытается решить финансовый аналитик. Более того, за последние 30 лет производные финансовые инструменты получили огромную популярность на финансовых рынках. Фьючерсы и опционы активно торгуются на биржах по всему миру. Множество различных видов форвардных контрактов, свопов, опционов и других деривативов выпускаются в обращение финансовыми институтами, менеджерами фондов и корпоративными казначеями на внебиржевые рынки. Сам рынок деривативов просто огромен, его объем во много раз превышает рынок акций, а стоимость базовых активов, по которым выписываются контракты, в несколько раз превышает мировой ВВП. Таким образом, мы находимся на том этапе, когда люди, работающие в финансах, просто обязаны знать, как работают опционы, как они используются, и, что самое главное, как их оценивать.

Объектом работы является оценка стоимости производных финансовых инструментов.

Предметом исследования является теория оптимального управления как способ оценки опционов.

Целью данной работы является постановка и решение задачи оптимального управления как задачи вариационного исчисления для нахождения вида функции полезности совместно с функцией плотности вероятности, которые мы рассматриваем в качестве функций управления в нашей задаче.

В соответствие с целью были определены следующие задачи: на основе детального анализа существующих способов оценки опционов показать несостоятельность классической модели Блэка-Шоулза-Мёртона; разобраться с теорией оптимального управления, научиться решать задачу оптимального управления в рамках задач вариационного исчисления; установить взаимосвязь между риск-нейтральной, физической функциями плотности вероятности и функцией полезности; для наложения необходимых ограничений на функционал представить функцию полезности как функцию с ограниченным изменением; составить и решить задачу оптимального управления для оценки опционов; проверить полученную модель на практике.

Основными источниками, использованными в данной работе для подготовки теоретической базы, послужили следующие книги: Введение в оптимальное управление (В.Д. Ногин); Вариационное исчисление (И.М. Гельфанд, С.В. Фомин); Элементы теории функций и функционального анализа (А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин); Financial Modelling Under Non-Gaussian Distributions (Eric Jondeau, Ser-Huang Poon and Michael Rockinger); Options, Futures and Other Derivatives (John C. Hull).

Все расчеты были произведены в программном обеспечении MachCad 13 и MachCad 15, что позволило существенно упростить вычисления и обработку данных.

1. Методы оценки опционов

1.1 Классическая модель Блэка-Шоулза-Мёртона

Существует множество моделей оценки справедливой стоимости опционов, однако самой известной является модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза-Мёртона. Разработанная в начале 1970-х годов, эта модель имела огромное влияние на финансовую систему в целом, а также на способы определения теоретической стоимости и хеджирования деривативов трейдерами. Фишер Блэк и Майрон Шоулз использовали модель CAPM, чтобы определить связь между требуемой рыночной доходностью на опцион с требуемой доходностью на акцию. Black, F., Scholes, M., 1973. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy 81, P. 637-654. Подход Роберта Мёртона был более общим, поскольку не был основан на предпосылках модели CAPM. Более того, Мёртон первым опубликовал работу, раскрывающую математическое обоснование модели, а также ввел термин "модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза".

Рассмотрим основные предпосылки, лежащие в основе этой модели John C. Hull. Options, Futures, and Other Derivatives - 8th ed. Pearson Education Inc. 2012. P. 299-309.:

· на рынке отсутствует арбитраж, то есть невозможно получить безрисковую прибыль;

· можно брать и давать любое количество денег в долг по безрисковой ставке;

· можно занимать и давать в долг любое количество, даже дробное, акций (это включает возможность короткой продажи);

· по всем вышеперечисленным операциям отсутствуют транзакционные издержки;

· ставка доходности по безрисковому активу остается постоянной в течение всего срока действия опциона;

· по подлежащему активу не выплачиваются дивиденды;

· цена базового актива S_t подчиняется геометрическому броуновскому движению, которое задается стохастическим дифференциальным уравнением вида:

dS_t = S_t µdt + S_t уdW_t, (1.1)

где dS_t обозначает мгновенное изменение цены, µ - это ожидаемая доходность актива, у - волатильность ценового процесса, и W_t - это винеровский процесс такой, что dW_t ~ N(0, dt).

В основе логики вывода этой модели лежит так называемая концепция безрискового хеджирования John C. Hull. Options, Futures, and Other Derivatives - 8th ed. Pearson Education Inc. 2012. P. 309-311.. Рассмотрим ее подробнее.

Предположим, что цена производного актива равна f_t(S_t,t). Чтобы получить динамику ценового процесса f, применим Лемму Ито:

(1.2)

Теперь составим портфель, состоящий из 1 единицы производного актива и короткой позиции по f_S единицам подлежащего актива. Стоимость портфеля Р_t в таком случае будет равна:

Р_t = f - f_S S_t,

с ценовой динамикой

d_tР_t = d f - f_S dS_t .

Если подставить в данное уравнение d_tf и dS_t, полученные выше из уравнений (1.1) и (1.2), мы имеем:

(1.3)

Динамика этого портфеля является безрисковой, поскольку выражение dW_t имеет нулевой коэффициент. Чтобы избежать арбитража, мгновенная доходность этого портфеля должна быть равна безрисковой ставке доходности. Отсюда получаем, что изменение стоимости портфеля равно:

d_tР_t = r_tР_t dt = r(f - f_S S_t) dt, (1.4)

Приравняв выражения (1.3.) и (1.4.), мы получим:

(1.5)

Это и есть фундаментальное дифференциальное уравнение в частных производных Блэка-Шоулза-Мёртона. С помощью замены некоторых переменных можно свести это уравнение к уравнению теплопроводности, решить которое можно, используя преобразования Фурье Jondeau E., Poon S-H. and Rockinger M. Financial Modelling Under Non-Gaussian Distributions. Springer Finance, 2006. P. 373-376.. Затем, если разделить решение на две части и обратно заменить переменные, то мы получим знаменитую формулу Блэка-Шоулза-Мёртона для цен европейских опционов на покупку и на продажу:

f_t (S_t, t) = C_t (S_t, t) = S_t N (d₁) - K e -^{r (T - t)}N (d₂)

f_t (S_t, t) = P_t (S_t, t) = K e -^{r (T - t)}N (-d₂) - S_t N (-d₁),

где

Функция N(x) - это кумулятивная функция распределения вероятностей стандартного нормального распределения, S_t- текущая цена базового актива, K - это страйк опциона, (T - t) - время до исполнения.

Главным и, пожалуй, единственным неоспоримым преимуществом модели оценки опционов Блэка-Шоулза-Мёртона является простота ее вычисления. Однако, несмотря на всю ее популярность, она имеет множество недостатков, которые, прежде всего, связаны с нереалистичностью ее предпосылок. На самом деле, ни одно из предположений, заложенных в основе этой модели, полностью не выполняется в реальном мире. Чаще всего модель используется только как примерное приближение, поскольку слепое использование модели приводит к недооценке множества рисков. Например, недооценка выбросов приводит к риску экстремального изменения или "риску хвостов"; предположение об отсутствии транзакционных издержек недооценивает риск ликвидности; предпосылка о стационарности процесса приводит к риску волатильности; из предпосылки о непрерывности времени и непрерывности торговли следует так называемый "риск разрыва" Yalincak, Orhun Hakan, Criticism of the Black-Scholes Model: But Why is It Still Used?: (The Answer is Simpler than the Formula) (July 22, 2012)..

Несмотря на то, что существуют различные способы захеджировать все эти риски, модель Блэка-Шоулза все равно можно назвать несостоятельной. Следствием одной из предпосылок этой модели, а именно то, что цены подлежащего актива подчиняются броуновскому движению, является логнормальность распределения цен. В результате этого волатильность, выведенная из формулы Блэка-Шоулза-Мёртона (так называемая вмененная волатильность), должна быть постоянной для всех цен исполнения и на всех сроках до погашения исполнения. Однако практика показывает, что это совсем не так. Если изобразить зависимость вмененной волатильности у от цены исполнения K на графике, то окажется, что опционы, чья цена исполнения намного выше и ниже наблюдаемой цены базового актива, имеют более высокую волатильность, чем опционы, у которых страйк примерно равен цене акции. В результате этого график будет иметь форму так называемой "улыбки" John C. Hull. Options, Futures, and Other Derivatives - 8th ed. Pearson Education Inc. 2012. P. 335.

Таким образом, мы видим, что предположение о логнормальности распределения цен не выполняется, а это значит, что нам нужна более общая модель ценообразования опционов.

Существует огромное количество финансовой литературы, посвященной оценке опционов. Все подходы, которые там описываются, можно разделить на две основные категории: структурные и неструктурные Jondeau E., Poon S-H. and Rockinger M. Financial Modelling Under Non-Gaussian Distributions. Springer Finance, 2006. P. 383.. Модели, относящиеся к первому подходу, предоставляют полное описание динамики цены базового актива, а иногда и их волатильности. Напротив, неструктурные модели ничего нам не говорят о динамике цен, поэтому являются более привлекательными для нас.

1.2 Неструктурные модели оценки опционов

В литературе по количественным финансам существует подход, использующий риск-нейтральную оценку, благодаря которому можно получить общую формулу для оценки производных финансовых инструментов. Этот подход строится на предположении о нейтральности инвесторов к риску (т.е. они не требуют дополнительной премии за риск). Следовательно, в таком риск-нейтральном мире любой актив должен приносить доходность, равную безрисковой ставке. Для того, чтобы перейти от оценки в реальном мире к риск-нейтральной, необходимо использовать так называемую мартингальную меру J. M. Harrison and D. M. Kreps, Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets, Journal of Economic Theory 20 (1979), P. 381-408.. В основе этой идеи лежит концепция совершенного хеджирования и принцип отсутствия арбитража.

В своих работах Харрисон и Плиска показали, что отсутствие арбитража равносильно существованию эквивалентной мартингальной меры J. M. Harrison and S. R. Pliska, Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading, Stochastic Processes and Their Application 11 (1981), P. 215-260.. Если любая операция может быть захеджирована, что возможно только при условии полноты рынка, то существует уникальная мартингальная мера и, следовательно, цена любого производного финансового инструмента определяется как дисконтированная по безрисковой ставке ожидаемая выплата по этому инструменту в момент его исполнения, под этой мартингальной мерой J. M. Harrison and S. R. Pliska, A stochastic calculus model of continuous trading: complete markets, Stochastic Processes and Their Application 15 (1983), P. 313-316..

Чтобы стало более понятно, рассмотрим европейский опцион-колл. Ожидаемые выплаты в момент исполнения опциона в риск-нейтральном мире будут равны

а цена самого опциона будет задаваться следующим выражением:



где - функция выплат для опционов на покупку (0 будет принимать в том случае, если текущая (S_T) цена меньше цены исполнения (K), то есть когда опцион умирает),

- некоторая функция плотности вероятности, по которой мы взвешиваем эту функцию выплат.

Цена опциона-пут, соответственно, будет равна:

Поскольку считается, что опционы являются составной частью хорошо захеджированного портфеля, заведомо приносящего безрисковую ставку John C. Hull. Options, Futures, and Other Derivatives - 8th ed. Pearson Education Inc. 2012. P. 635-638. (а такую ставку приносит портфель, если его держатели не требуют вознаграждения за риск, а, следовательно, они риск-нейтральны), то и функция плотности вероятности такая, которая соответствует риск-нейтральному распределению. Таким образом, q(S_t) - это так называемая риск-нейтральная плотность вероятности (RND).

Итак, суть неструктурных моделей ценообразования опционов состоит в оценке риск-нейтрального распределения и дальнейшей его подстановке в вышеописанную формулу. Сами неструктурные подходы можно разделить на три типа моделей: непараметрические, полупараметрические и параметрические Jondeau E., Poon S-H. and Rockinger M. Financial Modelling Under Non-Gaussian Distributions. Springer Finance, 2006. P. 389-409..

Суть параметрических моделей заключается в непосредственном выражении функционального вида риск-нейтральной функции плотности, однако без ссылки на какой-либо закон движения цены. К ним относятся модели-смеси различных распределений, (например, смесь логнормальных распределений или смесь гипергеометрических функций), а также большое количество распределений, учитывающих моменты третьего и выше порядка (обобщенное бета-распределение и т.д.).

Полупараметрические и непараметрические модели предлагают некоторое приближение к истинному виду RND. К примеру, риск-нейтральное распределение может быть получено как разложение Эджворта вокруг логнормальной плотности или, к примеру, как разложение в полиномы Эрмита.

Непараметрические модели не ставят своей целью получить явный вид риск-нейтральной функции плотности, а лишь пытаются наиболее точно описать реальный ценовой процесс. Эти модели включают в себя принцип максимальной энтропии для получения RND, биноминальные деревья, методы сплайновой подгонки и ядерной оценки, где вообще не делается никаких предположений относительно вида RND.

Итак, в данной главе мы изучили классическую модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза-Мёртона, разобрали ее основные достоинства и недостатки, а затем рассмотрели альтернативный метод оценки опционов, согласно которому цену производного финансового инструмента можно вычислить как ожидаемое значение будущих выплат, дисконтированном по безрисковой ставке. В результате мы получили формулу для оценки опционов, которую можно использовать, если нам известен вид риск-нейтральной функции плотности вероятности. Забегая вперед, можно сказать, что данная формула нам пригодится для постановки задачи оптимального управления, теорию которой мы рассмотрим в следующей главе.

2. Теория оптимального управления для оценки опционов и основные предпосылки

2.1 Теория оптимального управления

В данной главе будет изучена теория оптимального управления, затем продемонстрирован метод постановки и решения задачи оптимального регулирования как задачи вариационного исчисления, а также рассмотрены необходимые теории и предпосылки, благодаря которым представляется возможным применение этой задачи для оценки производных финансовых инструментов, в частности, опционов.

Математическая теория оптимального управления зародилась в 1950-х годах в качестве специального отдела теории дифференциальных уравнений. Ее основы заложены в работах двух школ - советского академика Л.С. Понтрягина и американского ученого Р. Беллмана. В то время развитие современных методов в соответствующих разделах классической математики и механики было вызвано к жизни потребностями таких новых областей науки и техники, как освоение космического пространства, сверхзвуковая авиация и автоматизация управления производственными процессами с применением вычислительных машин. Именно блестящее открытие Л.С. Понтрягина Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. и его сотрудников Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Физматгиз, 1961. - принцип максимума, которое дает строгое математическое обоснование теории оптимального управления, отвечающей запросам новой техники, а также метод динамического программирования Беллмана R. E. Bellman, Dynamic programming, Princeton University Press, Princeton N J, 1957., с успехом применяются для синтеза оптимальных режимов управления многочисленными техническими объектами.

После того как были установлены принцип максимума и метод динамического программирования, появилась тенденция рассматривать теорию оптимального управления в рамках вариационного исчисления. В данной исследовательской работе мы тоже пойдем по этому пути. Для этого в первую очередь выясним, что представляет собой задача оптимального управления, а уже затем рассмотрим связь теории оптимальных процессов с классическими вариационными задачами.

Фундаментальные понятия в теории оптимального управления - это система (объекта) и управление. Не вдаваясь в детализацию понятия системы, можно отметить, что систему обычно рассматривают как упорядоченное представление об объекте исследования с точки зрения поставленной цели. Упорядоченность заключается в целенаправленном выделении составляющих ее элементов, установлении их взаимодействия и взаимосвязи между собой и с внешней средой. Состояние системы - это еще один не менее важный термин, который непосредственно относится к любой системе. Всякая система (которая изменяется во времени определенным образом), может находиться в одном из некоторого числа конечных состояний в каждый момент времени. Именно переход из одного состояния в другое с течением времени говорит о функционировании данной системы. Ногин В.Д. Введение в оптимальное управление: Учебно-методическое пособие. - СПб: Изд-во "ЮТАС", 2008. С. 30.

Системы бывают двух типов: неуправляемые, на которые человек не способен оказывать никакого воздействия, и управляемые, состояние которых может меняться при определенном воздействии человека в зависимости от преследуемых им целей. Под управлением в таком случае понимается воздействие, которое способно изменить текущее состояние системы, а значит, и ее дальнейшее функционирование, причем таким образом, что в результате такого изменения достигаются заранее поставленные цели. Там же.

Итак, если у нас есть некоторая система, для которой необходимо найти наилучший с той или иной точки зрения режим работы, то это ведет к определенной математической задаче, которую можно записать следующим образом.

Пусть следующая система дифференциальных уравнений описывает закон изменения состояния некоторого объекта с течением времени

(2.1)

или в форме векторов

2.2

где f ⁱ (x, u) - это определенные и непрерывные функции для всех x X и всех u ? (? - некоторая фиксированная область k-мерного пространства). Поскольку мы рассматриваем объект, состояние которого в каждый момент времени может быть однозначно охарактеризовано определенным конечным набором n числовых параметров, а наша система эволюционирует во времени, то эти числовые параметры x¹, …, xⁿ являются функциями времени t. Ногин В.Д. Введение в оптимальное управление: Учебно-методическое пособие. - СПб: Изд-во "ЮТАС", 2008. Далее, задав функцию u = u (t), значения которой принадлежат ?, мы получим новую систему

(2.2)

которая имеет определенное решение при заданном начальном значении x(t₀) = x₀.

Функции называются функциями управления. Если мы зададим эти функции на отрезке времени от t₀ до t₁ и начальное значение x₀ в момент t₀, то у нас получится некоторая траектория, то есть решение нашей системы (2.1). Кротов В.Ф., Лагома Б.А., Лобанов С.М. и др. Основы теории оптимального управления / Под ред. В.Ф. Кротова. М.: Высшая школа, 1990. С. 86-92.

Совокупность функций u_i (t) отрезка [t₀, t₁] и начальной точки x₀ называется "управлением" и будет обозначаться следующим образом:

Далее, пусть у нас имеется некоторая функция f ⁰ (x¹, …, xⁿ, u₁, …, u_k), для которой определены ее частные производные

для всех x X и всех u ?. Тогда, если каждому управлению U поставить в соответствие число

(2.4)

то мы получим, что J[U] будет являться функционалом (то есть функцией, аргумент которой тоже функция), определенным на множестве управлений. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматлит, 1961, С. 221. Управление U = (u(t), t₀, t₁, x₀) можно считать оптимальным в том случае, если для любого произвольного управления

переводящего данную точку x₀ в точку x₁ (т. е. для которого соответствующая траектория x^*(t) удовлетворяет условию x^*() = x₁), выполняется неравенство

. (2.5)

Наша задача заключается в поиске необходимых условий оптимальности управления (и отвечающей этому управлению траектории). Для ее решения добавим к системе уравнений

еще одно уравнение

в котором функция f₀ (x, u) определяет тот функционал (2.4), который надо минимизировать. Вместе с этим дополним начальные условия

(2.6)

еще одним условием

(2.7)

Очевидно, что если U - некоторое допустимое управление и x = x(t) - решение системы

(2.8)

соответствующее этому управлению и начальным условиям (2.6), (2.7), то

Таким образом, задачу оптимального управления можно сформулировать следующим образом: найти такое реализующее определенную цель допустимое управление U, при котором решение x(t) системы (2.8), удовлетворяющее начальным условиям (2.6), (2.7), давало бы возможно меньшее значение x⁰ (t₁), то есть для которого функционал J[U] принимает наименьшее возможное значение. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. Серия: Теоретические основы технической кибернетики. Пер. с англ. М.: Наука. 1968. С. 26.

Итак, мы ознакомились с теорией оптимального управления, научились составлять задачу оптимального управления, а также выяснили, какие начальные условия задавать и какой функционал нужно минимизировать. В следующем разделе мы покажем, как задачу оптимального управления можно представить в виде задачи вариационного исчисления.

2.2 Вариационные методы в задачах об оптимальном управлении

Как мы уже говорили ранее, очень часто теорию оптимального управления рассматривают в рамках вариационного исчисления, поэтому становится необходимым рассмотреть связь задачи об оптимальном управлении с традиционными задачами вариационного исчисления.

Очевидно, что интеграл

который был рассмотрен выше в качестве функционала, зависит от n + k функций x¹, …, xⁿ; u₁, …, u_k, т. е. определен на некотором классе кривых в (n+k+1)-мерном пространстве. Наши функции x¹, …, xⁿ; u₁, …, u_k связаны уравнениями (2.1). В таком случае, у нас получается задача на условный экстремум. Поскольку оптимальная траектория x(t), которую мы ищем, начинается в точке x₀ и кончается в точке x₁ (это граничные условия), то в указанном (n+k+1)-мерном пространстве допустимыми будут являться те кривые, концы которых лежат на двух (k+1)-мерных плоскостях, определяемых заданными значениями и координат x¹, …, xⁿ. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматлит, 1961, С. 222.

Таким образом, задачу об оптимальном управлении можно рассматривать как видоизменение задачи на условный экстремум. Только ее особенность заключается в том, что в задачах об оптимальном регулировании заранее фиксируется определенный класс допустимых управлений, значения которых лежат в некоторой фиксированной области.

Теперь рассмотрим простейшую вариационную задачу и покажем, что она представляет собой частный случай задачи об оптимальном управлении.

Допустим у нас есть функционал вида

(2.10)

и наша задача заключается в отыскании среди кривых, проходящих через точки

и

той, на которой этот функционал достигает минимума.

Чтобы представить такую задачу как задачу оптимального управления, достаточно функционал (2.10) переписать в виде

(2.11)

а уравнения

(2.12)

взять в качестве системы (2.1). Там же. С. 223. Таким образом, мы получили задачу вариационного исчисления, в которой подынтегральное выражение не зависит явно от t. Как решать такие задачи нам известно, подробно рассмотреним этот вопрос в 3 главе.

Теперь, когда мы умеем решать задачи оптимального управления как задачи вариационного исчисления, остается выяснить, как с их помощью можно оценивать опционы. В литературе по количественным финансам чаще всего используют задачу оптимального управления, называемую задачей об оптимальной остановке, для оценки американских опционов, либо, наоборот, оценивают вмененную волатильность цены базового актива методом динамического программирования. Тем не мене, в данном исследовании было решено пойти другим путем. Однако, прежде чем мы приступим к постановке и решению нашей задачи оптимального управления, необходимо изучить некоторые дополнительные теории и предпосылки.

2.3 Связь между риск-нейтральной и физической плотностью вероятности

В данной части исследования мы рассмотрим формализм Йенса Якверта, согласно которому существует связь между агрегированным (т.е. в масштабах всего рыка) риск-нейтральным и субъективным (наблюдаемым) распределениями вероятностей и функцией неприятия риска. В своей работе Якверт утверждает, что в каждом состоянии мира риск-нейтральная вероятность равна субъективной, умноженной на поправку на неприятие риска. Субъективной вероятностью в данном случае служит предположение инвестора о вероятности наступления определенного события, а риск-нейтральной - это цена, умноженная на безрисковый доход, которую инвестор заплатил бы для получения 1$ в этом состоянии мира (цена умножается на безрисковую доходность, чтобы получить распределение вероятностей, равное единице). Если инвестор является нейтральным к риску, то эти две вероятности равны между собой. Когда вводится поправка на избегание риска, то учитываются такие предпочтения инвестора, когда он ценит 1$ больше в том случае, если его богатство находится на низком уровне.

Якверт получил свое знаменитое соотношение из условия равновесного ценообразования, при котором риск-нейтральная функция плотности (RND) может быть выражена в терминах стохастического дисконтирующего фактора или ядра ценообразования. В таком случае цена актива представляет собой мартингал под физическим вероятностым распределением агрегированного потребления, умноженный на стохастический дисконтирующий фактор. Aпt-Sahalia Y., Lo A.W., Nonparametric Estimation of State-Price Densities Implicit in Financial Asset Prices, 1988, Journal of Finance, 53, P. 499.

Рассмотрим подробнее эту идею. Предположим, что в нашей экономике существует единственный товар S, который можно потреблять и инвестировать, а все значения выражаются в единицах этого товара; отсутствует дополнительный экзогенный доход; все инвесторы стремятся максимизировать функцию полезности, при условии соблюдения обычных бюджетных ограничений. Они могут потреблять товар в день t или же в некоторый фиксированный день T в будущем. Существует только один рисковый актив и одна безрисковая облигация, которыми можно торговать в любой момент от t до T. Введем следующие обозначения: U(.) - функция полезности, W_T -конечная стоимость богатства инвестора в момент времени T. Также предполагается, что является U возрастающей строгой функцией для всех допустимых значений W, и дважды дифференцируемой. Единственная информация об активах, которой руководствуется инвестор, принимая решение - это функция плотности вероятности W_T. Aпt-Sahalia Y., Lo A.W., Nonparametric Risk Management and Implied Risk Aversion, 2000, Journal of econometrics, 94, P. 4-5.

Тогда в день t равновесная цена рискового актива S_t с ликвидационной выплатой в момент T равна

под наблюдаемой (субъективной) вероятностью. - это стохастический дисконтирующий фактор или предельная норма замещения между потреблениями сегодня и в день T.

В условиях равновесия для инвестора будет оптимальным инвестировать все свое богатство в рисковый актив в каждый момент времени t < T, а затем потреблять конечную стоимость актива в день T, W_T = S_T.

Если мы обозначим как p(.) субъективную функция плотности W_T, то равновесную цену S_t можно переписать как:

где функция

это риск-нейтральная плотность вероятности (RND). Coutant, S., "Implied Risk Aversion in Options Prices Using Hermite Polynomials." Manuscript presented at Workshop on Estimating and Interpreting Probability Density Functions, Bank of International Settlements, Basel, Switzerland (June 14). P. 3-5.

Таким образом, Якверт получил свое знаменитое соотношение, приравняв два подынтегральных выражения, равных единице. Это сделано при условии того, что цена находится в равновесии (т.е. представляет собой мартингальный процесс). Дробь - это соотношение предельных полезностей будущего и текущего богатства, где в знаменателе находится предельная полезность текущей цены. Поскольку текущая цена в момент t нормированная, т.е. равна единице, то ее предельная полезность равна некоторой постоянной C.

Теперь рассмотрим, как Якверт восстановил функцию неприятия риска из двух распределений. Он предполагал, что существует однопериодная экономика, где есть один репрезентативный инвестор, обладающий одной единицей богатства, целью которого является максимизация полезности Jackwerth J.C. Recovering Risk Aversion from Option Prices and Realized Returns. The Review of Financial Studies, Vol. 13, No. 2 (Summer, 2000), P. 436 . Тогда задача максимизации полезности от будущего богатства будет иметь вид:

где W - будущее богатство;

p - субъективная вероятность;

U - функция полезности;

л - теневая цена бюджетного ограничения, которая, по сути, является множителем Лагранжа;

r - безрисковая ставка процента;

q - риск-нейтральная вероятность;

t - временной горизонт.

Дифференцируя по переменной W, получаем условие первого порядка, которое необходимо для равновесия. Якверт говорит, что в условиях равновесия инвестор склонен удерживать рыночный портфель. Тогда, если x - это совокупные дивиденды от рыночного портфеля, которым он владеет, условие равновесия будет выглядеть следующим образом:

Дальнейшее нахождение функции неприятия риска приводит к проблеме, которая заключается в том, что мы не можем оценить теневую цену л. Однако Якверт обходит эту проблему, просто продифференцировав функцию полезности по "x" еще раз:

Теперь можно записать функцию абсолютного неприятия риска через распределения риск-нейтральной и субъективной вероятности:

Аналогично можно получить и относительное неприятие риска RRA:

Стоить уточнить, что Якверт называл плотность вероятности объективного процесса субъективной, потому что никто на рынке не знает на самом деле, каким генератором в действительности порождены случайные цены. Вероятность, которая является физической, то есть которую мы наблюдаем, он называл субъективной, тем самым подчеркивая, что это реконструкция. Иначе говоря, это то, что получается в представлении лиц, принимающих решения на рынке, которые наблюдают за ценами опционов и имеют некоторую функцию полезности.

Таким образом, из формализма Якверта следует, что мы можем найти риск-нейтральную функцию плотности, если нам известно наблюдаемая (субъективная) функция плотности p(x), и мы знаем функцию полезности индивида. Она будет иметь следующий вид:

где C - нормировочная постоянная.

Заметим, что в данной формуле финансовая переменная x (или как мы ее выше обозначали в качестве богатстваW_T) всегда относится к следующему периоду. То есть мы всегда смотрим на предельную полезность в определенный момент в будущем, а функция p(x) каждый раз восстанавливается, то есть это реконструкция также для следующей точки во времени. Таким образом, в нашей модели и риск-нейтральная функция плотности, и наблюдаемая (субъективная) будут относиться к будущему периоду Т (сроку экспирации опциона).

Теперь, когда мы можем получить RND, зная наблюдаемую функцию плотности и функцию полезности, остается изучить предпосылки, исходя из которых можно будет найти функцию полезности.

2.4 Функция полезности как функция с ограниченным изменением

В данном разделе рассмотрим подход к полезности индивида как функции с ограниченным (конечным) изменением. Такой подход к функциям полезности обусловлен условием их аддитивности, которое рассматривали в своих работах Фишберн Fishburn, P. C. A General Axiomatization of Additive Measurement with Applications, 1992, Naval Research Logistics, Vol. 39, P. 741-755., Поллак Pollak, R. A The Review of Economic Studies, Vol. 38, No. 4 (Oct., 1971), P. 401-414, Тверски Krantz, D. H., Luce, R. D., Suppes, P., and Tversky, A. (1971) "Foundations of Measurement (Additive and Polynomial Representations)", Vol. 1. Academic Press, New York. и другие исследователи. В терминах математики, функция U является аддитивной функцией полезности тогда и только тогда, когда существует n функций uⁱ(x_i) таких, что

где X обозначает вектор (x₁, …, x_n). Pollak, R. A The Review of Economic Studies, Vol. 38, No. 4 (Oct., 1971), P. 401

Итак, начнем с определения функции с ограниченным изменением. Функция f(x), определенная на отрезке a?x?b, называется функцией с ограниченным изменением, если существует такая постоянная C, что, как бы не был разбит отрезок [a, b] точками

a = x₀ < x₁ < … < x_n = b,

выполнялось неравенство

Для таких функций справедлива следующая теорема: "Всякая функция с ограниченным изменением может быть представлена как разность двух монотонно неубывающих функций". Там же, С. 335.

Обратное утверждение, кстати говоря, тоже верно: любая функция, которую можно представить как разность двух монотонных функций, имеет ограниченное изменение. Если говорить о функции полезности, то, к примеру, во второй главе книжки "Handbook of the Equity Risk Premium" автор как раз представляет рекурсивно функцию полезности в виде разности двух неубывающих сумм с параметром. Donaldson, J., & Mehra, R. Risk-Based Explanations of the Equity Premium. In Handbook of the Equity Risk Premium (2008), P. 48.

Из указанной выше теоремы следует, что "всякая функция с ограниченным изменением имеет почти всюду конечную производную". Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (4-е изд.). М.: Наука, 1976, С. 335. Таким образом, в рамках данного подхода мы накладываем на функцию полезности условие конечного математического ожидания ее первой производной, то есть предельной полезности.

Это условие соответствует знаменитому результату американского экономиста Джозефа Стиглица. В своей работе Стиглиц доказал, что, для того, чтобы по крайней мере часть торгуемых производных финансовых инструментов была информационно эффективна, функция полезности репрезентативного лица, принимающего решения, должна принадлежать к семейству функций с постоянной величиной относительного неприятия риска RRA = 0 (Constant Relative Risk Aversion). Gale, Ian L. and Stiglitz, Joseph E., A Simple Proof that Futures Markets are Almost Always Informationally Inefficient (December 1989). NBER Working Paper No. 3209. P. 3-5.

Итак, в данной главе была разобрана теория оптимального управления и показан способ решения задачи оптимального управления как простейшей задачи вариационного исчисления, рассмотрена связь между наблюдаемой, риск-нейтральной функцией плотности и функцией полезности, а также введена предпосылка конечного математического ожидания функции полезности в русле подхода к ней как функции с ограниченным изменением. Теперь, когда все теоретические аспекты работы изучены, можно приступить к составлению и решению задачи оптимального управления для оценки опционов, а также проверке полученной модели на практике.

3. Построение модели оценки опционов и ее применение на практике

3.1 Постановка и решение задачи оптимального управления как задачи вариационного исчисления

В предыдущих главах была разобрана вся необходимая теоретическая база, а в данной главе построим модель, с помощью которой можно будет оценивать опционы.

В нашей задаче оптимального управления будем управлять своим отношением к риску (через функцию полезности) и вероятностной картиной мира (через наблюдаемую функцию плотности вероятности, представляющую субъективную картину мира с точки зрения участника рынка). Такой подход можно обосновать, ссылаясь на литературу по методологии экономической науки, в которой присутствует идея о выборе не только отношения к факту, но и методу выработки этого отношения. Becker G. The Economic Approach to Human Behavior // Rational Choice. Oxford: Blackwell. 1986. P. 111. Иными словами, лицо, принимающее решения, сам выбирает точку зрения (функцию полезности), то есть точка зрения не привинчена к лицу, принимающему решения.

Нам известно из первой главы, что цена производного финансового инструмента равна ожидаемым будущим выплатам, продисконтированным с безрисковой ставкой, которые нужно взвесить по риск-нейтральной функции плотности. Поскольку RND - это ненаблюдаемая функция плотности, и вообще существует она только в риск-нейтральном мире, во второй главе мы обратились к формализму Якверта, благодаря которому можно найти эту функцию плотности, зная наблюдаемую функцию плотности и функцию полезности индивида, точнее ее первую производную. Тогда в нашей формуле для оценки производных финансовых инструментов мы можем заменить RND вот такой функцией:

Таким образом, инвестор может выбирать функцию полезности, а от нее же зависит весовая функция, т.е. функция риск-нейтральной плотности. Получается, что объективно у нас это физическая плотность, а риск-нейтральная подстраивается под выбранную спецификацию функцию полезности.

Итак, мы получили задачу оптимального управления, которая ставится как вариационная. Решение этой задачи подразумевает нахождение неизвестной функции полезности, вернее ее предельной полезности, и плотности вероятности распределения подлежащего актива, которые бы отвечали целевой задаче по минимизации расходов на вхождение в позицию.

Чтобы решить задачу вариационного исчисления, первым делом необходимо составить функционал. В нашем случае функционал будет состоять из финансовой переменной x, ее функции распределения и функции плотности вероятности; выражения, которым задается цена опциона; энтропии по Шеннону; ограничений на моменты функции плотности вероятности субъективного распределения; условия конечного математического ожидания производной функции полезности.

Стоит уточнить, что энтропия является мерой неопределенности. Руководствуясь принципом Infomax, согласно которому рыночные цены несут в себе максимум информации, мы требуем, чтобы исторические цены наблюдаемого процесса показывали наибольшую неопределенность, что соответствуем максимуму информационной энтропии. Информационная энтропия по Клоду Шеннону определяется выражением

где минус соответствует уменьшению неопределенности с каждым новым сообщением, то есть уменьшению энтропии. Te Sun, H., Kobayashi, K.: Mathematics of Information and Coding (American Mathematical Society, 2002), P. 19-20. Тогда для максимизации энтропии по Шеннону данное подынтегральное выражение должно входить в наш минимизируемый функционал без знака "минус".

Что касается ограничений на моменты, то они нужны для того, чтобы искомое распределение как можно точнее описывало наблюдаемый процесс. Для этого ограничимся первыми тремя моментами - математическим ожиданием, стандартным отклонением и асимметрией. Поскольку ограничения по центральным и начальным моментам дают одинаковый результат, то для упрощения дальнейших выкладок целесообразнее использовать начальные моменты распределения.

В результате наложения всех ограничений функционал примет следующий вид:

где t - время,

x - цена подлежащего актива,

y = y(x) - функция распределения вероятности цены подлежащего актива,

- функция плотности вероятности наблюдаемого распределения,

б, в, г - имеют природу множителей Лагранжа при ограничениях на первый, второй и третий центральные моменты,

u = u(x) - функция полезности,

- первая производная функции полезности (предельная полезность),

- функция выплат по производному финансовому инструменту,

- цена производного финансового инструмента, где для упрощения конструкции был изъят элемент exp(-r·ф), поскольку время все равно сохраняется через функцию плотности,

- условие конечного математического ожидания первой производной функции полезности в русле подхода к полезности как функции с ограниченным изменением (поскольку наш функционал интегрируется, то такое выражение под интегралом есть ни что иное как математическое ожидание производной функции полезности ).

Чтобы минимизировать интеграл от этого функционала и решить поставленную вариационную задачу, необходимо решить дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа в частных производных. Будылин А.М.: Вариационное исчисление (Москва, 2001), 34 c. Поскольку наша вариационная задача подразумевает нахождение двух неизвестных функций - плотности вероятности и полезности, составим два уравнения Эйлера-Лагранжа для каждой искомой функции.

Решив первое уравнения, которое имеет вид

относительно функции плотности вероятности, мы получили:

Из второго уравнения Эйлера-Лагранжа

тоже выражаем функцию плотности как

Поскольку функцию выплат для опционов мы знаем, то остаются неизвестными функция плотности , которая является производной некоторой функции распределения по "x", и функция , которая является первой производная функции полезности , также по "x".

Приравняв правые части выражений, которые мы имеем для функции , получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка для производной функции полезности (функция ). Решение этого уравнения можно найти методом Бернулли. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. - 12-е изд. - М.: Айрис Пресс, 2014. 336 с.

В результате получаем вид первой производной u(x):

где K - константа.

Сама функция полезности - это интеграл от такого выражения, то есть

Поскольку в явном виде этот интеграл не берется, то можно, к примеру, представить подынтегральное выражение в виде полиномиального ряда, и тогда мы сможем легко проинтегрировать полученный многочлен.

Теперь, зная вид производной функции полезности, а также вид функции выплат для опционов, мы можем найти, как выглядит функция плотности вероятности наблюдаемого распределения базового актива. Для случая, когда подставляем функцию выплат для опционов-колл, получаем:

и для опционов-пут:

где N - нормировочная постоянная, K - страйк.

Таким образом, нам удалось решить поставленную задачу оптимального управления как задачу вариационного исчисления. В результате мы нашли вид первой производной функции полезности и вид функции плотности вероятности. Подставив эти функции вместо риск-нейтральной функции плотности вероятности в формулу для нахождения ожидаемых значений будущих выплат, дисконтированных с безрисковой ставкой процента (из главы 1.2.), мы получим готовую модель для оценки опционов. Остается лишь провести параметризацию этих функций на реальных рыночных данных, чему посвящена заключительная часть этой работы.