Для антисипативної схеми зі складною номінальною обліковою ставкою при нарахуванні процентів раз за базову одиницю часу сім`я номінальних ставок , для яких відповідні релятивні ставки еквівалентні d, задовольняють рівняння звідки ефективна облікова ставка для ставок має вигляд звідки

Розглянемо тепер динаміку зміни капіталу фінансового фонду, куди розміщений початковий капітал і наприкінці -го року вноситься додаткова сума , при умові використання коштів на інвестиції за річною ставкою .

є балансовим капіталом фонду наприкінці -го року. Враховуючи, що % дохід від балансу попереднього року є , маємо таке рівняння динаміки

Якщо помножити (8) на і просумувати по всім то отримаємо кінцевий капітал на рік :

Сучасна вартість (для =0) акумульованого капіталу підраховується дисконтуванням, тобто множенням (9) на , де - дисконт-фактор за ставкою . Тоді

.

Переписавши рівняння (8) у вигляді та підсумувавши це по знайдемо загальний приріст капіталу фонду

,

що складається з сумарного процентного доходу й суми всіх проміжних депозитів.

В ряді країн отримані (юридичними а іноді й фізичними особами) процентні дивіденди обкладаються податком , що зменшує нарощену суму. Нехай нарощена сума до сплати податку (tax-free) - , а після сплати і ставка податку на проценти є . Тоді після нарахування простих процентів з находимо, що

Тобто податок фактично зменшує процентну ставку з величини до величини .

В довгострокових операціях при оподаткуванні складних процентів можливі варіанти: 1) податок нараховується відразу за весь термін (на всю суму інтересу); 2) податки нараховуються послідовно наприкінці кожного року. У випадку 1) сума податку складає , а нарощена сума:

У випадку 2) сума податку змінюється з роками за законом

.

Досі в усіх випадках всі суми грошей вимірювалися за номіналом (на бралися до уваги зменшення реальної купівельної спроможності грошей через інфляцію). Інфляцію необхідно щонайменше врахувати у двох випадках : при розрахунку реальної нарощеної суми та при вимірюванні реальної ефективності ФО. Розглянемо ці проблеми.

Вимірювання купівельної спроможності грошей є однією з головних задач державної фінансово-економічної статистики і з цією метою обчислюється індекс цін (індекс росту споживчих цін). Якщо середній споживчий кошик в економіці включає назв товарів у кількостях , а ціна за одиницю товару в момент часу , то вартість кошику є . Індекс за час від до , є безрозмірною величиною , а темп інфляції за цей період є відносним приростом вартості попиту: . Звичайно темп інфляції вимірюється у процентах . Тоді . Середній індекс рангу цін та темп інфляції за проміжок в часових одиниць визначаються як

.

Оскільки інфляція є ланцюговим процесом (тобто ціна в поточному періоді підвищується на відносно рівня попереднього періоду), то

.

Якщо сталий очікуваний (або прогнозований) темп інфляції за період, то за періодів .

Тоді для реальної вартості нарощеної суми за час у випадку простої процентної ставки маємо, що

,

а у випадку складної процентної ставки

.

При буде “ерозія” капіталу, а при - реальне зростання капіталу. При у випадку простих процентів нарощення зі ставкою компенсує інфляцію.

Щоб запобігти знеціненню грошей застосовують корекцію ставки процентів на величину, що називається інфляційною премією; так скоректована ставка називається брутто-ставкою . У випадку простих процентів за ставкою ставку знаходять з умови рівності відповідних коефіцієнтів нарощення: або . Ставку в разі складних процентів знаходять з рівності або . На практиці часто останнім членом нехтують і покладають .

2.4 Неперервне нарахування процентів і неперервне дисконтування

В сучасній практиці фінансових інституцій за електронних методів виробництва та реєстрації ФО проценти на значні суми нараховуються щоденно і навіть за періоди в декілька годин. Тому тут стають у нагоді моделі неперервного нарахування процентів, що досить добре наближають дискретні розрахунки.

Схему неперервного нарахування складних процентів можна одержати граничним переходом для схем з релятивними ставками для періоду конверсії в базового періоду часу, що відповідають даній ефективній ставці , пов'язаній з базовою одиницею часу. Неперервне нарахування процентів є граничним для описаної моделі при , оскільки тоді період конверсії стає нульовим. При цьому існує границя

яка називається силою росту (force of interest) або неперервною ставкою процентів. Відповідних коефіцієнт нарощування за довільний час

і отже нарощування інвестиції описується формулою

Застосовуючи подібний граничний перехід для антисипативної схеми з релятивними обліковими ставками , що відповідають ефективній обліковій ставці на базову одиницю часу, , маємо, що

.

При умові еквівалентності ставок і маємо, що і, отже . Очевидно, що гранична неперервна схема нарахування складних процентів буде тією ж самою як для декурсивної, так і для антисипативної схеми. При цьому зокрема, , що дає значення так званого складного коефіцієнта дисконтування для будь якого часу у вигляді

що дає наступний вираз сучасної вартості PV (present value) для суми на момент

Відмітимо, що при сталих ефективній ставці , номінальній неперервній ставці коефіцієнт нарощення залежить тільки від довжини часового інтервалу і є оберненою величиною до . Зауважимо також, що і похідна .

Через випадкові коливання курсів цінних паперів й інших високоліквідних фінансових активів (валют, дорогоцінних металів) можливо вважати при моделюванні, що процентні ставки подібних активів змінюються неперервно в часі, тобто є функцією часу. Це означає, що залежить і від і від, причому

Через рівність

маємо ще одну інтепретацію сили росту . З (6) випливає, що

а коефіцієнт дисконтування для проміжку має вигляд

Зокрема при і проміжку

Приклад 1. Нехай на проміжку часу [0, 5) прогнозується ступінчаста зміна сили росту зі значеннями 0,2 при , 0,15 при і 0,1 при . Тоді за формулою (8) маємо, що

Приклад 2. Збудувати неперервну модель зміни капіталу фінансового фонду з початковим капіталом , якщо його капітал інвестується під неперервну ставку та мають місце нові надходження з інтенсивністю (це неперервний аналог дискретної моделі параграфу 2.3).

Динаміку зміни капіталу за нескінченно малий проміжок часу від до можна описати як приріст капіталу за рахунок процентного доходу

і нових надходжень :

.

Тобто, є розв'язком неоднорідного диференціального рівняння

,

який, як відомо, має форму

що при узгоджується з формулою (7).

Задачі та вправи

1. При якій річній ставці складних процентів за 9 років сума на депозиті подвоїться?

2. Рахунок „СБ-100” в сбербанку обіцяє 2,9% за 100 днів. Скільки це складає річних процентів?

3. Знайти суми в 1990, 1995, 2005, 2010 роках, еквівалентні сумі 10 000 грош. Од. В 2000 році при ставці 8% річних в разі простих та складних процентів.

4. Банк облікував вексель під 70% його номіналу за півроку до терміну його погашення. Яка доходність (ефективність) операції для банку?

5. Яку ставку повинен призначити банк, щоб при річній інфляції в 12% реальна ставка була б 6%?

6. Б.Франклін заповів мешканцям Бостону Ј1000 на таких умовах: 1) гроші давати під 5% річних молодим ремісникам; 2) через 100 років з накопичень (за складними процентами) Ј100 000 віддається на будівлю суспільних споруд; 3) гроші, що залишилися віддати під тіж самі проценти ще на 100 років; 4) після цього терміну накопичену суму поділити між мешканцями Бостону та Массачузетської громади, котрій передати Ј3 000 000. Скільки грошей одержали мешканці Бостону через 200 років після смерті Франкліна (1790 рік)?

7. Показати, що ефективна ставка більша за номінальну.

Глава 3. Потоки платежів, ренти, ануїтети та планування капітальних інвестицій.

3.1 Потоки платежів та їх класифікація

Сучасні фінансово-банківські операції часто носять протяжний у часі характер та складаються не з разового платіжу, а з деякої послідовності платежів в часі. що називається потоком платежів (cash flow). Прикладами є погашення позики частинами, орендна плата, інвестування у виробництво, виплата пенсій тощо.

Для опису потоку платежів треба знати моменти виплат та величини виплат (суми) в моменти Тоді називаються членами потоку платежів. В нерегулярному потоці членами можуть бути як додатні (надходження), так і від'ємні величини (виплати), а відповідні платежі можуть виконуватися через різні інтервали часу.

Регулярний поток платежів, всі члени якого додатні, а часові інтервали між сусідніми платіжами однакові, називаєтсья фінансовою рентою або просто рентою. В англомовній літературі ренти називаютсья ануїтетами (annuity). Ренти дуже часто зустрічаються у економічній, фінансовій та страховій практиці. Їх простими прикладами є квартплата, внески для погашення споживчаго кредиту, пенсійні платежі, регулярна виплата процентів за банківським депозитом або за цінними паперами, тощо. Спочатку розглядалися тільки щорічні виплати (anno-рік латиною), звідки й походить назва ануїтет.

Окрім члена ренти (rent) , періоду ренти (rent period, payment period) рента характеризуєтсья також терміном ренти (term) та діючою процентною ставкою . При характеризації окремих видів рент необхідні додаткові умови й параметри. При рента називається постійною, а в противному випадку змінною. Виплата ренти може відбуватися - разів на рік , а нарахування процентів на платежi разів на рік, Подібні ренти називаютсья дискретними () - кратним рентами (при l=m=1 - річними рентами). Зустрічаються ренти, де платіжі такі часті, що практично ренту можна розглядати як неперервну.

Якщо виплата відбуваєтсья наприкінці кожного періоду часу, то рента називається рентою постнумерандо або звичайною (ordinary annuity), а якщо на початку кожного періоду - то рентою пренумерандо або авансованою (annuity due). Іноді виплати відбуваються в певний момент внутрішній для періоду. За терміном ренти поділяються на безумовні або вірні (annuity certain) які передбачають точні дати виплат, особливо початкову й кінцеву, та умовні (contingent annuity), де дата першої і (або) останньої виплат залежить від того чи відбудеться деяка подія (взагалі випадкова). Тому число членів умовної ренти зарані невідомо. Типові приклади такого роду дають різні страхові ренти (ануїтети), наприклад пожиттєва сплата пенсії (до смерті клієнта) (life annuity). При рента називається безстроковою (довічною) (perpetuity). Якщо період ренти співпадає з періодом конверсії %, то рента називаєтсья простою, а в противному разі - загальною. По відношенню початку терміну ренти та обраного моменту, що передує початку ренти, ренти поділяються на миттєві та відкладені (instant and differed annuity).

Головними розрахунками, пов'язаними з потоками платежів та рент є методи обчислення нарощених сум (майбутньої вартості) та сучасної вартості (на момент t₀). заданого потоку платежів. Розглянемо загальну постановку задачі. Припустимо, що є потік платежів Y_k, що сплачуються через час t_k після початкового моменту часу, . Загальний термін виплат складає одиниць часу (напр., років). Необхідно визначити нарощену суму на кінець терміну, коли проценти нараховуються раз на одиницю часу за складною ставкою . Тоді очевидно, у випадку ренти постнумерандо (що вказується індексом 1 в позначеннях) при

де дисконт-фактор.

Сучасна вартість потоку платежів є його узагальненою оцінкою на деякий попередній момент часу (у миттєвої ренти - на початок терміну). Нарощена сума (майбутня вартість) - це оцінка потоку на кінець терміну. Очевидно, що між та існує проста функціональна залежність:

3.2 Постійні ренти пренумерантдо та постнумерандо

Довічні ренти.

Безпосереднє використання загальних формул розрахунку типу (1) та (2) при великих n та їх загальний аналіз є ускладненими. У випадку постійних рент вирази (1) та (2) можна значно спростити та компактизувати.

Позначаючи випадок ренти пренумерандо індексом 0 (зокрема,

, ,

виведемо спрощені формули для та постійних рент та . Для спрощення будемо приймати, що та , , а

.

Тоді для ренти пренумерандо маємо.

Для ренти постнумерандо маємо

Для вартості рент з одиничними виплатами в актуарній та фінансовій математицi застосовують спеціальні позначення:

тобто

Нарощені вартості в моменти n рент постнумерандо та пренумерандо з одиничними виплатами позначаютсья відповідно як

Звідси

Величини та називають коефіцієнтами дисконтування, а та - коефіцієнтами нарощення рент. Якщо величина процентної ставки фіксована, то в нижньому індексі часто пишуть замість просто .

Корисність та зручність введених величин полягає в тому, що в загальному випадку

Наведені позначення введені наприкінці ХІХ ст. Міжнародним Союзом Актуаріїв.

Вкажімо основні властивості коефіцієнтів дисконтування та нарощення рент, залишаючи їхню перевірку читачеві як самостійну вправу.

Якщо , тo і для довільних .

Випадок трактується як відсутність виплат і тому звичайно приймається, що .

, n1 .

, .

При довільних та , , .

При та довільному , .

,.

Якщо та необмежено зростає, тo

Останній граничний випадок, коли відповідає довічним (безстроковим) рентам. Коефіцієнти дисконтування таких рент мають наступні властивості:

А.

В.

Приклад 1. Кредит в сумі 5 млрд. грн. погашується 12 рівними щомісячними внесками. Процентна ставка за кредитом в місяць. Знайти щомісячний внесок при платежі; а) постнумерандо; б) пренумерандо.

а) для внесків постнумерандо знаходимо з рівняння еквівалентності: млрд. Оскільки , то грн.

б) для внесків пренумерандо знаходимо з рівняння еквівалентності: . Оскільки , то

грн.

Приклад 2. Нехай щорічно сплачується безстрокова рента з грн. Знайти ренти постнумерандо й пренумерандо з і . Тут , .

Оскільки , тo, . Тому постумерандо складає відповідно та грн., а пренумерандо - та грн.

Приклад 3. Знайти суму вкладу на рахунок недержавного пенсійного фонду, щоби він сплачував за ним своїм клієнтам щомісячно грн. Фонд інвестує свої кошти за сталою ставкою в місяць.

Тут доцільно наближено використати модель безстрокової ренти з щомісячним платіжом грн при . Застосуємо схему виплат наприкінці та початку кожного місяця. В першому випадку маємо

грн.,

а в другому

грн.

Приклад 4. Знайти довічних рент пренумерандо і постунумерандо, де сума в сплачуєтсья разів на рік.

Позначимо відповідні ренти як і . Тoді

Якщо є неперервний безстроковий потік платежів з інтенсивністю виплат , що починаєтсья в момент 0, і сила росту процентів є , то відповідна сучасна вартість такої неперервної довічної ренти та її коефіцієнт дисконтування (що відповідає випадку ) складають

Якщо є щорічна довічна рента з довільними платіжами (в моменти 0, 1, 2,…), то її є рядом Таку ренту можна зобразити сумою постійних довічних рент, де перша має член з моменту 0, друга - член з моменту 1, третя - член з моменту 2 тощо. Тоді початкової змінної довічної ренти виражається згідно з вищевказаними результатами у вигляді

Цей вираз є корисним, коли різниці величин R_k більш прості ніж самі .

Приклад 5. Нехай є зростаючий безстроковий потік платежів, що має експоненційний ріст , Знайти цього потоку при умові, що .

Маємо, що

.

3.3 Відстрочені, - кратні та неперервні ренти.

Найпростіші змінні ренти.

Розглянемо узагальнення базових рент попереднього параграфу, коли 1-ша з послідовності одиничних виплат відбуваєтсья в момент для пренумерандо і в момент , для постнумерандо, де додатній час, яким в силу його малості можна практично нехтувати. Подібний поток платежів називаєтсья відстроченою на одиниць часу рентою, а його в момент 0 позначають як для виплат постнумерандо, , . При відстрочена рента збігається з базовою.

Оскільки

то при начисленні відстроченої ренти можливо використовувати формули (7) з пункту 3.2 при довільних значеннях , включаючи дробові. Разом з тим при будь-яких цілих та

Таким чином, при цілому для обчислення коефіцієнтів дисконтування відстроченої ренти можливо використовувати як (1) так і (2), а при довільному , включаючи дробові, тільки (7) з 3.2. З фінансових міркувань, коефіцієнти дисконтування (1)-(2) відстроченої ренти при збігаються з та .

Розглянемо тепер - кратні ренти. Нехай за рік відбуваєтсья рівновіддалених виплат з грош. од. кожна, причому % нараховуються також разів, Загальне число виплат за років є , а загальна їх сума при складає грош. од. Для ренти постнумерандо виплати відбуваються та проценти нараховуються в моменти

а для ренти пренумерандо - моменти

Передостання операція постнумерандо і остання операція пренумерандо відбуваютсья в момент .

Позначимо коефіцієнти дисконтування рент та у випадку виплат і конверсій відповідно через та , а коефіцієнти нарощення - та . Для спрощення іноді опускаємо індекс в проміжних результатах.

Приводячи вартість виплат в до моменту 0, маємо

.

Оскільки , то за формулою зв'язку з

.

Отже,

Аналогічно

.

Тому, як це випливає з фінансових міркувань,

Проводячи подібні підрахунки для , отримаємо

(пропонуємо читачеві як вправу довести це). Граничний перехід в (5) і (6) при та дає рівності

що узагальнює відповідні результати для однократних рент на -кратні. Потрібно зауважити, що -кратна рента з та номінальною річною ставкою еквівалентна однократній ренті з періодом років, та ставкою за період та терміном періодів, бо через рівність маємо, що .

Нехай на інтервалі часу рента сплачується так часто, що її практично можна вважати неперервною, коли різниця між схемами постнумерандо і пренумерандо щезає. Позначимо неперервної ренти з постійною інтенсивністю 1 гр.од. за одиницю часу при неперервному нарахуванні % з постійною інтенсивністю через . Оскільки за інтервал часу при малому буде сплачено гр.од., а приведена на момент 0 цієї суми є , то після підсумовування по інтервалу та переходу до границі при маємо, що

де - будь-яке невід'ємне число (необов'язкове ціле). Якщо , то , що узгоджується з елементарними фінансовими міркуваннями. Оскільки при неперервній конверсії , та при з (8) випливає, що

Нехай h довільне дійсне невід'ємне число, а - відстроченої на неперервної ренти з інтенсивністю 1 на інтервалі часу . Тоді

Тобто відстрочену неперервну ренту можна виразити через миттєву:

.

Міркуючи, подібно до виводу формули (8) маємо для коефіцієнтів нарощення неперервної миттєвої ренти рівність ,

звідки

З (9) ,

та при довільних

і

Використовуючи, що при довільних

маємо з (11), що ,

На заключення параграфу розглянемо ще найпростіші випадки змінних рент, коли їхні члени змінюються за арифметичною та геометричною прогресією.

Якщо члени ренти R₀ змінюються у арифметичній прогресії , де перший член і - різниця прогресії, то її є

.

Якщо члени ренти змінюються у геометричній прогресії ( - знаменник прогресії), то її є

.

Читачеві пропонується довести останні дві рівності як вправу.

3.4 Задача оцінки інвестиційних та комерційних проектів

Узагальнені моделі потоків платежів.

Теорія інвестицій (капіталовкладень) є складним та цікавим розділом фінансової теорії та фінансової математики. Ми далі розглянемо деякі відносно прості методи аналітичної оцінки ефективності інвестиційних та інших комерційних проектів, де спочатку вкладаються кошти в деяку сферу (виробництво, будівельну галузь, торгівлю, цінні папери тощо), а потім вони поступово повертаютсья, приносячи інвестору певний прибуток. Задача інвестора - на базі даних про проекти до їх початку та відповідному прогнозі на період реалізації проектів вибрати оптимальний варіант вкладання своїх грошей, оцінивши доходність проектів. Це складна задача, що містить в собі ряд моментів невизначеності та ризику.

У відповідному фінансовому аналізі доцільно йти від простих моделей до більш складних, що враховують більшу кількість факторів та параметрів. Тут розраховані на широке застосування моделі не повинні бути занадто складними. Навіть прості моделі разом з експертними оцінками динаміки майбутніх значень показників дозволяють отримувати оцінку доходності проекту, що вивчається для прийняття рішення про інвестування. Ми не будемо користуватися тут складними ймовірнісними моделями, залишаючись у сфері детермінованих методів. Для цього нам необхідно побудувати модель детермінованого потоку грошових видатків та надходжень у інвестиційному проекті, що розглядаєтсья з різними за знаками та величиною платіжами спочатку в дискретному, а потім в неперервному варіанті.

Почнемо із узагальнення дискретного потоку платежів, що вивчався раніше.

Нехай є деякий інвестиційний проект, що починаєтсья в момент часу з капіталовкладаннями грош.од., а потім в моменти часу , відбуваютсья видатки і/або надходження (доходи) грош.од. - транзакції. Вважаємо, що обрана одиниця часу (напр.рік) та взагалі кажучи .

Введемо вектори , , та позначимо потоки видатків і надходжень відповідно через та

Тоді цих потоків відповідно дорівнюють

,

,

де - коефіцієнт дисконту на інтервалі .

У фінаналізі для інвестора його видатки вважаються від'ємними величинами, а доходи - додатними. Тоді - початкова інвестиція, а - нетто-платіж інвестора у момент (при це видаток, при дохід). Тепер можна розглянути один нетто-потiк , . Чиста PV (Netto Present Value=NPV) цього потоку складає

Аналогічно, чиста AV (Netto Accumulated Value=NAV) потоку на довільний момент складає

Зокрема, при oтримаємо з (2) всіх платежів потоку

Звичайно при оцінці проекту його доходність порівнюють з середньоринковою (тобто тією що панує на ринку в момент аналізу проекту). Тут при визначенні короткострокових ринкових ставок доходності звичайно орієнтуютсья на ставки банківського % , а для середньо та довгострокових інвестицій - на показники доходності за державними цінними паперами з відповідним терміном погашення. Це в першу чергу стосуєтсья інвестицій у цінні папери. Якщо ж аналізуєтсья проект інвестицій у виробництво, будівництво, торговлю тощо, то необхідно використати середньогалузеві показники доходності аналогічних по класу підприємств.

Враховуючи, що завжди , та при неперервному нарахуванні % з інтенсивністю на рік

а при для довжини інтервала часу при

маємо в цьому випадку просту форму формул (1)-(3)

Розглянемо тепер модель неперервного потоку платежів. Часто у фірми поряд з великими та рідкими платіжами (скажімо, щомісяця) відбуваються часті невеликі видатки (щоденно), які при теоретичному аналізі можна описувати моделлю неперервного потоку платежів. При помірних ставках це дає невелику методичну похибку підрахунку але розрахунки стають прозорими та простими. Більші похибки в прогнозі та вносять похибки у оцінки величини платежів та . Приймемо за базову одиницю часу рік і те, що на видатки відбуваютсья неперервно з інтенсивіністю грош.од. на рік, а платежі - неперервні з інтенсивністю в рік, . Тоді неперервна інтенсивність нетто-потоку платежів в момент є . Отже величина платіжу на малому інтервалі приблизно дорівнює

(тут відповідає видаткам, доходам, нейтральному стану).

Вважаючи, що і неперервні або кусково-неперервні функції, шляхом розбиття інтервалу часу на малі проміжки при , підсумовуванню відповідних платежів та граничному переходу при , маємо, що сума всіх платежів на є інтегралом

звідки платіж на інтервалі, є

Якщо , то на проміжку сумарний платіж при малому має наближення

.

Тому дисконтування його на момент 0 приблизно становить , а після підсумовування по розбиттю на такі малі проміжки та граничному переходу при маємо, що дисконтоване значення всього неперервного потоку нетто-платіжів складає

Модель неперевного потоку дозволяє аналізувати проекти буз значних викладень та доходів на відносно коротких проміжків часу.

Для середньо- та довгострокових проектів потік готівки є змішаним поряд з великими платіжами, що відносно різні існують інтервали часу, де платіжі можна вважати практично неперервними. Тут необхідні дискретно-неперервні моделі потоку платежів на проміжку . Для побудови таких моделей потрібно задати: а) послідовного , , моментів і послідовінсть сум платежів в ці моменти; б) вказати підінтервали на , де неперервних платежів відмінна від 0. Тоді через формули (1) та (8) на момент 0 змішаного дискретно-неперервного потоку платежів буде

Аналогічно, цього потоку в момент є



де - коефіцієнт нарощення на .

Зауважимо, що формально математично коефіцієнти нарощення та дисконтування взаємозамінні, бо при

через властивість інтегралу

та формули

, .

Розглянемо тепер зрівноважуючий час для серії позичкових платежів. Нехай боржник зобов'язався погасити борг послідовними платіжами величиною в моменти відповідно. Тобто є однобічний потік платежів . Сума всіх недисконтованих платежів є , а вага в ній s-того платіжу , .

Боржник пропонує кредитору погасити борг одним платіжом в момент . Кредитор пропонує боржнику (дебітору) зроботи платіж x в момент , що визначається з умови еквівалентності потоків платежів та при відомому , тобто в момент . Момент називаєтсья зрівноважуючим часом для даного потоку платежів при фіксованому .

Задача. Показати, що при , тобто вигідніше для боржника, а - для кредитора.

3.5 Внутрішня норма доходності інвестиційного проекту

Для вибору найкращих варіантів вкладання коштів застосовують кілька розроблених методик. Найчастіше вони засновані на застосуванні таких 4-х показників порівняння варіантів: 1) чиста поточна вартість; 2) внутрішня норма доходності; 3) період окупносіт; 4) індекс рентабельності.

Першим показником є проекта, що співпадає з відповідного потоку платежів, що була вже розглянута. Дійсно, каже про недоречність для інвестора відповідного варіанту потоку платежів при даних, та . Серед варіантів з потрібно обирати той, де більша, але це потрібно ще порівняти із вкладанням грошей на банківський депозит, що може бути більш рентабрельним і до того ж значно менш ризиковим.

Для цієї мети прислуговує інший показник - внутрішня норма доходності (Internal Rate of Return=IRR): , де є коренем рівняння

яке називається рівнянням вартості або доходності проекту на момент 0. Смисл рівняння (1) той, що на момент потоку видатків та потоку доходів збігаються, тобто прокет при є безприбутковим.

Якщо у рівняння (1) є єдиний додатний корінь , то він називається ставкою доходності проекту або внутрішньою нормою доходності (IRR) за базову одиницю часу. Якщо , де - ринкова ставка процента, то проект потрібно відхилити, а при він потенційно гідний, але серед таких варіантів, потрібно обрати варіант з найбільшим значенням .

Якщо поток платежів заданий, то

недисконтована сума всіх нетто-платежів на термін проекту. З фінансових міркувань та сенсу випливає, що потрібно відхилити всі варіанти з та розглядати тільки варіанти з . Далі при дуже великих маємо:

,

де початкова інвестиція.

Приклад 1. Нехай в момент 0 інвестор вкладає у проект суму грошей , розраховуючи отримувати наприкінці кожного року сталу суму доходу де - норма доходності за 1 рік.

Обчислимо . Тут рівняння (1) приймає вигляд полінома від :

де - коефіцієнт дисконтування. Оскільки , то після підстановки та скорочення на маємо . Очевидно, що - єдиний корінь цього полінома, що є IRR проекта.

Приклад 2. Нехай є схема погашення боргу , що взятий на років за річною ставкою з умовою виплати наприкінці кожного року процентів в сумі та повертанням наприкінці року первісної суми боргу . Тоді за допомогою ренти постнумерандо (3) можна записати у вигляді . Скорочуючи, обидві частини рівності на отримаємо формулу , що еквівалентна рівності (*) прикладу 1.

Має місце таке твердження про достатні умови існування IRR.

Пропозиція. І. Якщо у потоці всі від'ємні платежі передують всім додатним або навпаки, то визначена. ІІ Більш загально, нехай та

- накопичена сума всіх нетто-платежів інвестора від моменту до включно. Якщо , і після виключення нульових значень послідовність має рівно одну зміну знаку, то рівняння доходності (1) має єдиний додатний корінь, тобто - визначена.

Доведення цього можна знайти у [25]. Зауважимо, що потік платежів прикладу 1 задовольняє умови пропозицій. Зауважимо ще, що рівняння вартості можливо подати у вигляді та звести задачу до знаходження коренів полінома з цілими степенями змінної або якщо обрати базову одиницю так, щоб всі були цілими числами.

3.6 Термін окупності капіталовкладень,індекс рентабельності інвестиційного проекту та врахування інфляції

Третім показником ефективності інвестиційних проектів є термін окупності капіталовкладень (payback period), за котрий можна повернути інвестовані в проект кошти.

Розглянемо випадок дискретного потоку платежів та приймемо, що всі платежі віднесені до середини місяця (або іншої базової одиниці), причому інвестиції робляться у перші місяць, а потім йдуть доходні місяці:

.

Тоді загальний обсяг інвестицій , а термін окупності без приведення сум грошей до одного моменту часу можливо знайти шялхом послідовного акумулювання щомісячних доходів, поки вони не перервищують :

.

Інакше кажучи, термін окупності задовольняє нерівність

В найбільш простому випадку, коли інвестиції у розмірі |c₀|=k здійснюються тільки раз, а всі надходження рівні c₁ умови (1) мають вигляд

В більш складному, але краще обгрунтованому варіанті потрібно спочатку привести всі грошові суми до одного моменту часу - моменту завершення інвестицій, а потім визначати термін окупності проекта. Це вточнене значення (present value payback period) буде більше за первісне.

Індекс рентабельності (benefit cost ratio або Present Value Index) проекту є відношенням суми всіх дисконтованих грошових доходів від інвестицій до суми всіх дисконтованих інвестиційних видатків.

Якщо індекс менший , то проект відхиляєтсья. а серед проектів з індексом перевага віддається проекту з найбільшим індексом, але він може мати не найбільшу .

Приклад. Нехай є проекти і . Для всіх доходів є , а інвестиції становлять . Для відповідно та . Відомо, що проекту більше за те, що є у .

Тоді індекси рентабельності цих програм відповідно дорівнюють

.

Тому за рентабельностю більш переважний. Але дозволяє інвестувати більше коштів і має більшу , тобто економічно він може бути більш вигідним. Отже iндекс рентабельності не є однозначним критерієм ефективності проекту.

Зупинимося тепер на врахуванні інфляції у інвестиційних проектах. Розглянемо простий випадок, коли інвестор може одержати або дати кредит під однаковий процент та його можливості одержати кредит необмежені. Рівень інфляції для різних компонентів майбутнього потоку платежів, взагалі кажучи, може бути різним (напр., зарплата може зростати більш повільно ніж ціна на матеріали).

Розглянемо випадок, коли всі компоненти платежів за період мають ту ж інфляцію з прогнозною ставкою (темпом) за базову одиницю часу. Припустимо, що всі платежі індексуються із врахуванням , так що прогнозні оцінки

, i

для параметрів дискретно-неперервного потоку платежів приймають вигляд:

, .

Тому дисконтована на момент 0 вартість потоку платежів при ставці за базову одиницю часу складає

де визначаєтсья рівністю

,

тобто можна інтерпретувати як ставку % із врахуванням інфляції, причому при інвестиції не мають смислу.

Якщо ж причому та достатньо малі (наприклад, не перевищують 0,05-0,1), то з порівняння формул (2) та (1) з 3.5. дають

де справа інфляцію враховано переходом від до .

Позначаючи IRR в лівій частині (4) через , а справа через маємо

.

Звідки , де ставка доходності проекту без врахування інфляції. Якщо досить мале, то .

На закінчення зробимо декілька загальних зауважень про методику вибору інвестиційного проекту.

Подані чотири фінансових показники ефективності проектів не дозволяють однозначно вибирати один з можливих варіантів інвестувань. Тому застосовуючи такий підхід.

Перш за все всі суми, що враховуються вивільняють від податків. Потім, якщо для фірми особливо важливий період окупності, то спочатку на його основі відхиляють всі неприпустимі варіанти. Якщо цей показник не важливий, то його зовсім не застосовують. Далі застосовують два з трьох показників, , IRR та норму рентабельності. Аналітики фірми на основі досвіду фірми ранжують ці показники. Наприклад, в США частіше за все віддають перевагу парі IRR-, а на другому місці пара -IRR. Якщо ж при виборі проекту за допомогою обраної пари зустрічаютсья помітні розбіжності, то застосовують ще й третій показник або проводять поглиблений аналіз проблеми.

Західний досвід показує, що крупні фірми використовують висвітлений апарат фінаналіза значно частіше, ніж дрібні. (для дрібних фірм проекти є дрібномаштабними та більш очевидними для аналізу).

Задачі та вправи

1. Визначити нарощену наприкінці 6 року суму від постійної ренти постнумерандо з членом 15 тис. грн. при ставці в 20% річних.

2. Яку суму необхідно внести у банк (пенсійний фонд), щоб довічно одержувати наприкінці кожного року ренту в 10 тис. грн. при річній ставці 5%?

3. Правило об'єднання рент: знаходяться PV рент складових і підсумовуються, а потім підбирається рента сума з такою ж PV і потрібними іншими параметрами. Знайти ренту суму для двох річних рент: перша терміном 5 років з членом 1000, а друга -5 і 800. Річна ставка - 8%.

4. В суді з'ясувалося, що з вини Пенсійного фонду пану N протягом 10 років недоплачували 100 грн. пенсії щомісячно. Суд зобов'язав фонд виплатити гроші з процентами (12% річних). Яка сума виплати?

5. Чи може PV скінченої річної ренти бути меншою її річного платіжу.

6. В потоці платежів дозволяється переставляти платежі. Як їх потрібно переставити, щоб потік мав найбільшу PV? Чи має це якесь практичне значення?

7. Інвестиційний проект передбачає початкову інвестицію в 4000 грош. од. З наступним грошовим доходом при 8% в 1000 г.о., термін проекту - 6 років. Знайти NVP та термін окупності.

8. Розглянути задачу створення з доходів фонду для погашення інвестиційного кредиту. При цьому в банку береться кредит під проект зі ставкою i, доходи від проекту розміщуються в інший банк з більшою ставкою j. Розрахувати підсумкові характеристики (необхідні дані - за вашим розсудом).

Глава 4. Проблеми оцінювання цінних паперів і моделювання динаміки їх вартості

4.1 Цінні папери. Оцінювання акцій і парадокс Модільяні-Міллера

Цінні папери (ЦП) є найважливим класом сучасних фінансових інструментів, які представ-ляють грошові документи, що підтверджують право володіння або кредитних відносин й ін-ших фінансових зобов'язань і визначають взаємовідносини між їхнім емітентом та власни-ком , а також, як правило, передбачають виплату доходу у вигляді дивидентів або процентів і можливість передачі грошових й інших прав, що випливають з цих документів третім осо-бам. Звичайно ЦП поділяють на 3 класи: 1) пайові ЦП ( різні типи акцій); 2) боргові зобов'язання (облігації, сертифікати, векселі); 3) похідні ЦП або деривативи (форвардні контракти, фьючерси, опціони). Акції - це ЦП, які випускаються акціонерним підприємством (товариством) - звичайно це компанія або корпорація - і дають право: 1) на частку основного (статутного) фонду підприємства; 2) на одержання частки доходу від діяльності підприємства; 3) на участь в управлінні підприємством. Боргові зобов'язання підтверджують позичкові відносини між інвестором (кредитором) та емітентом (особою, що випустила документ). Деривативи закріплюють право їх власника на продаж або купівлю основних ЦП або деяких стандартизованих товарів в майбутньому.

Акції є ЦП без встановленого строку обігу, який свідчить про внесення акціонером коштів на здійснення діяльності підприємства, дає йому право брати участь в розподілі прибутків й управлінні; розподілі залишків підприємства в разі його ліквідації. За ознаками обсягів реалізації прав акціонера акції поділяються на звичайні, конвертовані й привелійовані, а за способом відображення обігу - на іменні та на пред'явника. Оцінка акцій здійснюється за їхньою номінальною, теоретико-економічною, емісійною та ринковою ціною. Перші дві ціни є основою для визначення емісійної та ринкової цін, а також для розподілу дивидендів. Емітентом акція продається за емісійною ціною , а на вторинному ринку ЦП (де акцію продає інший інвестор) вона має ринкову ціну . Остання залежить від взаємодій попиту й пропозиції, дій трейдерів й спекулянтів фондового ринку, економічної кон'юнктури та багатьох інших чинників та нерегулярно (хаотично) коливається за своєю величиною.

На відміну від боргових ЦП з фіксованим доходом ефективність операцій з акціями може бути прогнозавана тільки умовно. Акції придбають щоб заробити на дивидендах, а також, можливо, на різниці між ціною в моменти купівлі й продажу. Власники досить великих обсягів акцій (пакетів) можуть мати реальний вплив на управління підприємством. Залежність ефективності від цін й дивидендів має вигляд де - ціна купівлі, - ціна продажу. Дивиденди виплачуються з прибутку і тільки власники контрольного пакету акцій вирішують яку частину прибутку направити на виплату дивидендів. Послідовність таких рішень формує дивидендну політику корпорації. Сума дивидендів на кожну акцію вельми цікавить акціонерів та тих хто вирішують питання про можливість придбання акції. Однак існує (досить обгрунтована) точка зору що ці хвилювання марні. У своїй знаменитій роботі Міллер і Модільяні^))* Модільяні Франко (н.1918) американський вчений в галузі фінансової математики, лауреат нобелевської премії з економіки за 1985р. Міллер Мертон (н. 1923) американський вчений в галузі математичної економіки, лауреат нобелевської премії з економіки за 1990р.^* (Miller M.H., Modigliani F. Dividend policy, growth and valuation of shares. - J. of Business, v. 3y, 1961, p. 411-433) висловили параксальне твердження: в умовах конкурентної економіки дивидендна політика не впливає на ефективність інвестування в акції. Цей ММ-парадокс викликав бурхливу дискусію, що не припиняється й досі. Подамо міркування Міллера-Модільяні в спрощеній формі.

Нехай в момент купівлі акції корпорація мала капітал поділений на акцій. Формально теоретична ціна акції - це частка капіталу, що припадає на неї: . За квартал фірма заробила прибуток , що складає частку від її початкового капіталу, та виділила частку з неї на сплату дивидендів, так що на кожну акцію припало . (Число акцій припускається незмінним). Капітал , що залишився у розпорядженні корпорації й здатний приносити прибуток, дорівнює . Нова ціна акції . Підставляючи ці вирази ціни й дивидендів у формулу ефективності, переконуємося, що вона не залежить від дивидендної політики і визначається тільки продуктивністю фірми:

Висновок формально бездоганний але викликає сумніви. Частина опонентів вказує на те, що реальна ефективність ринкової операції з акціями не дорівнює ефективності в “об'єктивних” цінах, бо ринкові ціни відрізняються від формально-теоретичних. Нехай інвестор не продає акцію. При зберіганні продуктивності фірми, капітал, вкладений в акцію, буде мати ефективність , що визначається тільки продуктивністю. Капітал, отриманий як дивиденд, можна вкласти в довільну ФО. Тому дивидендна політика фірми не має значення, якщо подібні капіталовкладення мають ту ж ефективність, що й капіталовкладення в дану фірму. Ця властивість ідеальної конкуренції економіки й забезпечує справедливість твердження Міллера-Модільяні. В реальній же економіці інвестор може вкласти дивидент і з іншою ефективністю, орієнтуючись на поточну кон'юнктуру.

Повернемось до оцінки акції. Можливо розглянути ситуації, коли акція не змінює власника, або ж зосередитися на власній ціні акції незалежно від власника. Все що отримує власник - це дивиденти, що надходять в різні моменти і тому потрібно враховувати їх дисконти. Приведена до початкового моменту (купівлі акції) сума дивидендів дає теоретичну оцінку акції , де - ставка процента реінвестиції дивидентів, а - дивидент за квартал Найпростіший прогноз дивидендів базується на припущеннях про незмінність продуктивності капіталу корпорації та її дивидендної політики. Тоді капітал за кожен квартал змінюється з коефіцієнтом росту та через кварталів стає , а відповідний дивиденд за квартал є , Тепер можливо обчислити прогноз ціни акції як PV потоку дивидендів

Тобто прогноз ціни акції відрізняється від її формального значення як частки капіталу корпорації множником і залежить від дивидендної політики - коефіцієнта Однак, коли акціонер не може досягти більшої ефективності, реінвестуючи дивиденди в інші ФО, то він вкладає їх в акції тієї ж корпорації. Тоді , і прогнозна ціна не залежить від дивидендної політики, співпадаючи з формальними значеннями. Оскільки в умовах ідеальної конкуренції економіки відсутня можливість більш ефективних конкурентних вкладень, то ММ - парадокс тоді є виправденим.

Ми не будемо торкатися тут проблем оцінювання боргових ЦП, які в цілому є менш складними ніж для акцій. Відповідні результати можна знайти у книгах [5], [12], [20].

4.2 Проблема прогнозування динаміки цін ЦП. Фінансова інженерія, технічний і фундаментальний аналіз

Проблема моделювання динаміки цін ЦП та їхнього прогнозування є вельми складною, що знаходиться далеко від свого розв'язання в теперішній час. Під впливом ринкових сил ці ціни хаотично коливаються в часі. В різних розділах сучасної фінансової математики та фінансової інженерії поширені різні погляди й підходи до вказаної проблеми.

Так, наприклад, в сучасній стохастичній математиці, що займається аналізом деривативів, основною концепцією, на якій будується поняття ефективного ринку є припущення про те, що ціни миттєво асимілюють нову інформацію і встановлюються таким чином, що не дають можливостей “десь купити дешевше а в іншому місці негайно продати дорожче”, тобто не створюють, як прийнято казати, арбітражних можливостей.

В главі 6 висвітлено як концепція раціонально побудованого, правильно функціонуючого фінансового ринку втілюється в те, що (нормовані) ціни акцій на такому ринку описуються спеціальним типом випадкових процесів - мартингалами, що відповідає тому економічному припущенню, що в цих умовах найкращий (в середньоквадратичному сенсі) прогноз майбутньої ціни є її теперішнє значення (тобто прогноз носить тривіальний характер). В той же час в економетриці фінансових ринків і в фінансовій інженерії робляться значні зусилля в побудові адекватних моделей динаміки цін ЦП та прогнозуванні цін на базі спеціальних методів аналізу емпіричних даних. Коротко торкнемося з'ясування ймовірнісно-статистичної структури цін як випадкових процесів.

Нехай - випадковий процес з дискретним часом , що описує зміну ціни акції і . Якщо випадкова послідовність є мартингалом відносно потоку -алгебр подій , що породжується цінами , тобто умовні сподівання , то величини утворюють мартингал-різницю і при умові є некорельованими: .

Але це не означає незалежності і некорельованості або . Аналіз даних фінансових ринків свідчить, що так і є: послідовності і є корельованими і, крім того, спостерігається ще й феномен кластерності (зкученості) величин по групах з великими й малими значеннями. Припущення що , де - незалежні стандартно нормальні ВВ, і неадекватно до реальних даних і тому припускається що є - вимірними невід'ємними ВВ. Величини називаються волатильностями (мінливостями) цін. Отже реальні волатильності є стохастичними (випадковими). Таким чином задача зводиться до “правильного” опису властивостей . Перша нелінійна модель часових рядів для опису ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity- авторегресійна умовна неоднорідність), введена в 1980 р. Р.Енгелем; за якою , дала можливість “ухопити” ефект кластерності. ARCH-модель породила велику кількість споріднених моделей часових рядів, створених для опису й інших ефектів реальних статистичних даних. Найбільш відома серед них GARCH-модель (generalized ARCH), введена Т. Боллерелевом в 1987 р., в якій

.

Подібний шлях базується на надії збудови при такому підході нетривіальних нелінійних прогнозів і разом з тим цін .

В сучасній статистиці фінансових ринків і в сучасній інженерії поширені й числені інші підходи до моделювання динаміки цін . Зокрема, різноманітні моделі нелінійних часових рядів, що застосовуються безпосередньо до процесів , методи статистичного моделювання Монте-Карло тощо. В той же час серед реальних учасників фондового ринку (дилерів, брокерів, трейдерів й фінансових спекулянтів) надзвичайно широко застосовуються такі методи фінансової інженерії як фундаментальний та технічний аналіз фінансових ринків. Такі фінансові експерти як “фундаменталісти”, “техніки”, “кількісні аналітики” впевнені в можливості передбачення “майбутнього руху цін ЦП”, напрямів й величин майбутніх значень цін, відносно того, акції яких компаній і коли слід купувати й продавати.

Взагалі існують три головних методи практично-емпіричного, частково алгоритмизованого й наділеного кількісними індикаторами підходу до аналізу фондових ринків: фундаментальний аналіз, технічний аналіз та інтуїтивний підхід до аналізу. Фундаментальний аналіз вивчає рух цін ЦП за допомогою врахування числених макроекономічних, мікроекономічних та менеджеріальних чинників. Він сприяє визначенню можливого тренду (тенденції) динаміки ринкових цін, але для визначення конкретних моментів здійснення ФО та угод його як правило недостатньо через хаотичні коливання цін (так званих “цінових тиків”). Тут застосовується технічний аналіз. Одним із головних принципів останнього є врахування того, що ринкові ціни відображують (разом із впливом інших чинників) сподівання й дії всіх учасників ринку. В результаті ціни й обсяги продажу відображують кожну операцію, здійснену численною армією трейдерів. Інтуїтивний підхід до аналізу сповідується незначною кількістю трейдерів і засновується на їхньому досвіді та інтуїції. Цей підхід, як правило, не призводить до довгострокових успіхів.

Якщо основне завдання школи технічного аналізу- розробка технологій і методів (в основному графічних й кількісних) зглажування спекулятивних коливань цін, то головна задача школи фундаментального аналізу - формування й прогнозування нових трендів динаміки цін. Сполучення обох підходів в цілому дозволяє знижувати ризик ФО та підвищувати їх ефективність. При цьому кваліфіковані трейдери використовують й інші аналітичні й технологічні інструменти сучасної фінансової інженерії й аналізу (напр., економетричні методи, методи нейронних сіток, методи імітаційного статистичного моделювання тощо) для прийняття стохастичних фінансових рішень.

Логіка фундаментального аналізу базується на тому, що існує можливість оцінити “справжню” (або “внутрішню”) вартість ЦП, і що ринок з часом більш-менш “правильно” оцінить цю “внутрішню” вартість. Такий аналіз бере до уваги всі суттєві макро- і мікроекономічні чинники, включаючи інвестиційну привабливість даного сегменту ринку, галузі, підприємства, ретельне вивчення фінансово-господарського становища підприємства та перспектив його діяльності. І на базі цього будує прогнози кон'юнктури ринку, його сегментів, місця підприємства в галузі, його майбутнього фінстану, прибутковості тощо з врахуванням теорій “життєвого циклу” галузей, підприємств та їхньої продукції. Числені агенства й аналітики фондового ринку здійснюють рейтингові оцінки підприємств та їхніх ЦП за різноманітними складними методиками, що включають різні статистичні показники, коефіцієнти, індикатори тощо.

Технічний аналіз розробив численні графічні методи візуалізації цінової динаміки та короткочасних трендів цін включаючи “біржові графіки”, “лінійні графіки цін закриття”, “точкові діаграми”, “діаграми японських світників” тощо, методи аналізу цих графічних зображень, які включають зглажування цінових коливань, аналіз різноманітних ринкових станів і “графічних фігур” (“плечові моделі”, “блюдця”, “прямокутники”, “прапори”, “клини”, “V-формації” тощо). Кількісні меттоди технічного аналізу використовують численні кількісні показники й індикатори руху цін, включаючи різноманітні рухомі середні (“мувінгси”), індекси відносної сили- RSI, “стохастики”, MACD, DMI, показники розбіжності -“дивіргентси” тощо. Значне місце в сучасному технічному аналізі зайняла “хвильова теорія Елліота” цінової динаміки, що спирається на аналітичний апарат, пов'язаний з числами Фібоначчі. Значне місце в технічному анвлізі віддається психології учасників фондового ринку, методам управління капіталом трейдерів та їхній торговельній тактиці. Для більш детального ознайомлення з технічним й фундаментальним аналізом можна звернутися, напр. до посібників [9], [14].

Глава 5. Стохастичний аналіз портфельних інвестицій. Теорії портфелю Марковітца й Тобіна, моделі САРМ і АРТ

5.1 Портфель цінних паперів та його характеристики

Розглянемо ФО, що полягає у покупці ЦП по відомим цінам і продажу їх в майбутньому по зарані невідомим ринковим цінам (при цьому інвестор, маючи ЦП може розраховувати на одержання деяких проміжних виплат, напр. дивідендів на акції, теж зарані невідомих). Емпіричний досвід, накопичений економічними агентами на фінансових ринках ЦП, знайшов своє втілення у таких відомих висловах як “Don't put all your eggs in one basket”, “Nothing ventured, nothing gained” (“Не складай всі яйця до одного кошика”, “Не ризикуючи не виграєш”). Подібні ідеї застосування випадковості, а не уникання її та диверсифікації ризиків при цьому й лежать в основі підхода. Г. Марковітца^* Марковітц Гаррі (н. 1927 р.) -американський вчений у галузі математичної економіки, лауреат нобелевської премії з економіки 1990р.^* до теорії портфельних інвестицій, викладеного ним в 1952р. в роботі “Portfolio selection”, опублікований в “Journal of Finance” vol. 7, №1, p. 77-91, що відіграла визначну роль у становленні теорії й практики фінансового менеджменту, фінансової інженерії й фінансової математики. Метод дослідження портфельних інвестицій, запропонований Марковітцем отримав назву “середньо-дисперсійного аналізу” (mean-variance analysis).

Модель портфельних інвестицій грунтується на таких припущеннях: 1) інвестор прагне сформувати оптимальний (в певному розумінні) портфель з багатьох ринкових активів (а не інвестувати, напр., в один тип акцій чи певну галузь економіки); 2) інвестиційний горизонт є визначеним; 3) не враховуються накладні витрати (типу комісійних брокерам, витрати на переєстрацію прав власності тощо). В моделі інвестор, маючи певний капітал на початку періоду, формує в момент часу портфель зі скінченної кількості різноманітних активів на термін інвестиційного горизонту . В кінці періоду він реалізує всі активи портфелю, перетворюючи його в капітал (в грошовій формі). Купівля й продаж активів здійснюється за ринковими цінами, а відносна доходність (ефективність) інвестиції , де - фіксована величина, а - випадкова величина (ВВ), через що й R є ВВ.