Ймовірнісна модель відповідного ринку ринкових активів - ЦП включає: 1) - ймовірнісний простір, що описує множину станів ринку (при цьому елементарна подія відповідає певному стану ринку) 2) - сукупність активів (ЦП), які інвестор може залучити до портфелю; 3) ефективності цих ЦП, так що є ВВ, що характеризує відносну доходність ЦП ,

У інвестора є можливість обирати портфель з певної сукупності допустимих портфелів . Під портфелем розуміється -вимірний вектор , що характеризує розподіл початкового капіталу інвестора між активами, так що є часткою загального вкладення , що припадає на -тий вид ЦП, . При інвестор вкладає частку капілалу в -тий ЦП, а при він бере цей ЦП у борг в кількості - (на одиницю наявного капіталу), тобто бере участь у ФО типу short sale (“короткої продажі”).

Середньо-дисперсійний аналіз грунтується на використанні двох характеристик ВВ : їх середніх (математичних сподівань) , що інтерпретуються як сподівані ефективності (відносні доходності) вкладень в -тий ЦП, та їх дисперсій , що інтерпритуються як міри ризику вкладення в -тий ЦП. Часто замість використовують рівносильну характеристику - середньоквадратичне відхилення . Отже (або ) характеризують варіативності ефективностей вкладень у ЦП і загалом інвестор прагне обирати вкладення з якомога меншими .

Сутність середньо-дисперсійного аналізу полягає у дослідженні двох двоїстих критеріїв поведінки інвестора: 1) максимізації сподіваної ефективності за заданому рівні ризику; 2) мінімізації ризику, тобто показника , при заданому рівні ефективності . Отже такий аналіз досліджує пари . Загалом, щодо вибору між окремими видами ЦП, задача є типовою проблемою так званої багатокритеріальної оптимізації, що не має однозначно розумного розв'язання. Найпростіший принцип домінування, за яким найкращим є той ЦП , параметри якого задавольняють вимоги на практиці можливо застосувати дуже й дуже рідко, і, крім того, він не використовує взаємозв'язків між ефективностями ЦП. Як правило на реальних ринках інвестори мають справу з ситуаціями, де нема домінування. Наприклад, для двох ЦП, , є ситуація коли і (або але ). Вихід полягає у пошуках певних компромісних рішень, що полягають у оптимізаціях характеристик портфелю в цілому з використанням додаткової інформації про коваріаційні зв'язки окремих ЦП

Введемо такі характеристики, як загальна ефективність портфелю , що очевидно дорівнює сумі

сподівана ефективність портфелю



дисперсія ефекту портфелю

Зауважимо, що поряд з в аналізі портфелю також часто використовують коефіцієнти кореляції ,

Приклад 1. Нехай випадкові ефекти ЦП є некорельованими (зокрема взаємно незалежними), так що при . Тоді

Припустимо, що інвестор вклав свої гроші рівними частками = Тоді середній сподіваний ефект та ризик портфелю складуть величини

, .

Поклавши

маємо, що

.

Отже при зростанні кількості ЦП, що є статистично незв'язаними між собою, ризик ризик портфелю обмежений і прямує до нуля при (доцільно робити вкладення в більш різноманітні набори ЦП). Це наслідок відомого в теорії ймовірностей закону великих чисел. Але на практиці припущення незалежності ефектів окремих ЦП часто не виконується.

Приклад 2. Нехай інвестор може формувати портфель з 6 ЦП, сподівані ефективності й ризики яких відомі й задані наступною таблицею , а ефективності - некорельовані:

	1	2	3	4	5	6
	11	10	9	8	7	6
	4	3	1	0,8	0,7	0,7

Якщо інвестор вкладає капітал порівно в ЦП 1 і 2, то буде не набагато меншим, ніж при купівлі ЦП 1: , але буде меншим ніж у найменш ризикового з двох ЦП:

Наступна таблиця дає і портфелей, складених порівну з перших двох, трьох і т.д. ЦП, характеристики яких дані в табл.1.

n	2	3	4	5	6
	10,5	10	9,5	9	8,5
	2,5	1,7	1,23	1,04	0,87

Ясно, що диверсифікація (diversification) дозволила зменшити ризик майже втричі при падінні сподіваної ефективності на 20%.

Розглянемо тепер випадки залежності ЦП, що ілюструють вплив кореляції.

Приклад 3. Нехай всі (випадок прямої кореляції). Тоді

При рівномірній диверсифікації маємо, що

тобто ризик портфелю є середнім арифметичним ризиків окремих ЦП, і, отже, якщо , то діє така двохбічна оцінка ризику портфелю: .

Значить при повній кореляції диверсифікація не дає позитивного ефекту: ризик не зменшується при . Додатня кореляція між ефективностями ЦП має місце, коли їхні ринкові курси визначаються тим же самим фактором , причому він впливає на них в один бік. Наприлад, нехай зміна курсової оцінки акцій електричної і транспортної компаній і пропорційні зміні цін на нафту . Тоді ефективності гри на курсах цих компаній , де - початкові ціни акцій. Отже диверсифікація закупівлею обох типів акцій марна: ефективність портфелю випадкова й обумовлюється випадковістю цін нафти.

Приклад 4. Нехай є повна зворотня кореляція . Для розуміння сутністі досить розглянути портфель з двох ЦП (n=2). Тоді маємо, що

Отже, якщо , то (тобто портфель є безризиковим). Наприклад, при безризиковим буде портфель, в якому на кожні 3 ЦП виду 1 приходиться 2 ЦП виду 2.

Загальний висновок: при повній зворотній кореляції ЦП можливий такий розподіл вкладень між окремими видами ЦП, що ризик повністю знімається. Практично ж повна зворотня кореляція між ЦП є досить рідким явищем.

5.2 Задачі формування оптимального портфелю ЦП Марковітца та Тобіна

Задача формування оптимального портфелю Марковітца полягає у виборі часток ризикових ЦП в портфелі інвестора при відомих сподіваних ефективностях та коваріаціях всіх цих ЦП, які мінімізують ризик портфелю при заданому рівні його сподіваної ефективності . Припускаючи, що коваріаційна матриця векторів ефективностей ЦП є строго додатньо визначеною (так що і існує обернена матриця ) маємо таку задачу опуклого квадратичного програмування:

Є дві форми цієї задачі Марковітца: перша - більш проста для аналітичного дослідження- коли припускаються операції short-sale при купівлі ЦП (це означає, що нема додаткових умов на знаки величин ) і друга - більш складна, коли не дозволяються операції short sale (тобто всі ).

Якщо ввести вектор-стовпчик , вектор-стовпчик і одиничний вектор-стовпчик 1 розмірності , що складається з одиниць, то задачу (1) можна записати в більш короткій матричній формі:

де позначає операцію транспонування, так що є вектор-рядком

При припустимості операцій short sale відсутні додаткові обмеження на вектор і екстремальна задача (2) легко розв'язується застосуванням стандартного методу множників Лагранжа. Позначимо через функцію Лагранжа задачі (2): , де і - множники Лагранжа. Умова екстремуму дає рівняння звідки оптимальний портфель має вигляд

Підставляючи (3) до обмежень задачі (2) маємо два лінійних рівняння для знаходження невідомих множників Лагранжа і :

Розв'язавши (4) відносно і і підставивши знайдені значення і до виразу (3) знайдемо явний вираз оптимального портфелю

де

Зауважимо, що отриманий розв'язок (5) є лінійним відносно . Звідси випливає, що дисперсія портфелю є опуклою (вниз) функцією від , і таке ж твердження є справедливим і для ризику

При неможливості інвестора брати участь в операціях short sale (купляти ЦП в борг) до задачі (2) слід приєднати обмеження нерівність невід'ємності припустимих векторів

В такому разі уявлення про властивості розв'язку задачі (2) можна отримати застосовуючи загальну теорему Куна-Таккера про умови екстремуму загальної задачі опуклого програмування, що є фактично узагальненням методу Лагранжа. За деталями теореми Куна-Таккера і наступних, заснованих на ній результатах, ми посилаємо зацікавленного читача до книг [18] і [19]. В цілому сутність методу полягає в тому, що вводяться додаткові множники Лагранжа , де множник відповідає нерівності Розв'язок задачі (2), (7), виражений через ці множники має вигляд

де і визначаються рівностями

а множники і вектор задовольняють умови так званої “додаткової нежорсткості”

тобто або або При зміні змінюється й число змінних , що дорівнюють нулеві, але інші змінні визначаються з лінійної системи рівнянь, в яку входить лінійно. Ця властивість призводить до кусково-лінійної залежності в будь-якому діапазоні зміни . Залежність ризику від для задачі (2), (7) залишається опуклою, причому виконується природня властивість, за якою при більшій свободі правил гри можна досягти кращіх результатів (крива ризику при дозволі short sale лежить нижче ніж крива ризику при забороні short sale - рис.1).

В загальному випадку задачі без short sale (2), (7) явних формул для оптимального портфелю (які залежать тільки від параметрів задачі й не залежать від множників Лагранжа) отримати не вдається і тому тут використовуються численні добре розроблені обчислювальні методи нелінійного програмування.

В 1958 р. Д.Тобін знайшов, що розв'язання задачі вибору оптимального портфеля інвестора спрощується й набуває нових особливостей, якщо врахувати наявність на фінансовому ринку крім ризикових ЦП безризикових (або практично безризикових) ЦП типу урядових облігацій з фіксованим доходом або казначейських векселів і включити безризикове вкладання в подібний актив з часткою яку позначають як, а відповідну ставку доходності як (Tobin D. Liquidity preference as behavior toward risk. - Rev. of Econ. Studies, v.25, №1, p.65-86)^))* Тобін Джеймс (н. 1918) - американський вчений в галузі математичної економіки, лауреат нобелевської премії з економіки 1981 року.^*

Тому і в теорії і на практиці основною задачею є правильний розподіл капіталу між безризиковими й ризиковими вкладеннями. Позначимо через і сподівану ефективність і дисперсію ефективності всієї ризикової частини портфелю. Ефективність комбінованого вкладення (тобто об'єднаного портфелю з безризикової й ризикової частин з відповідними частинами та ) є випадковою: де - ефективність ризикової частини, а - процентна ставка (ефективність) безризикової частини. Тоді сподіване значення ефективності складає величину

а дисперсія визначається тільки ризиковою частиною й дорівнює

. Тому і

Це разом з (*) призводить до рівності

тобто зв'язок між і є лінійним (див рис. 2) (звичайно вважається, що ).



Якщо весь капітал вкладається у безризикові ЦП, то то ефективність є , а ризик є нульовим; якщо ж весь капітал вкладається у ризикові ЦП то сподівана ефективність складає , а ризик є Довільному проміжному рішенню відповідає одна з точок на відрізку прямої, що пов'язує граничні, прості рішення. Однак, якщо можливо брати безризикові папери в борг , то є досяжною будь-яка сподівана ефективність, що супроводжується відповідно зростаючим ризиком. Теорія тільки вказує, які будуть наслідки рішення інвестора.

Задача Тобіна вибору оптимального портфелю має вигляд:

Функція Лагранжа задачі Тобіна (10) дорівнює

де і - множники Лагранжа. Умови екстремуму

і

призводять до системи лінійних рівнянь для і і : , звідки

Виключаючи з обмежень задачі (10) отримуємо, що або . Підстановка сюди з (11) дає рівняння для , з якого маємо явну формулу для

що дозволяє перетворити (11) в явний вираз розв'язку задачі (10)

де для скорочення записів введено позначення

Істотньо, що величина входить тільки до скалярного множника при Отже, структура ризикових вкладень не залежить від :

Мінімальна дисперсія портфелю має вигляд

Звідси випливає лінійний зв'язок сподіваної ефективності отриманого портфелю та його середньоквадратичного відхилення (ризику):

При оптимальний портфель складається тільки з ризикових ЦП, а, отже, повинен бути оптимальним і серед всіх можливих варіантів тільки ризикових ЦП. Однак мінімальні дисперсії всіх портфелей тільки з ризиковими ЦП для різних даються розв'язанням задачі Марковітца (2). Таким чином точка на прямій (16), що відповідає лежить й на кривій . Це єдина загальна точка цих ліній через єдиність оптимального портфелю ризикових ЦП, і тому пряма (16) дотикається до кривої саме в цій точці (рис.3). Тими ж самими властивостями характеризується й розв'язок задачі Тобіна при додаткових обмеженнях невід'ємності змінних (випадок заборони short sale). В цьому разі, подібно до відповідної задачі Марковітца, розв'язок може бути представлено у формі

,

де - множники, що задовольняють разом з компонентами умовам доповнювальної нежорсткості (9). Ненульові визначаються спільно з ненульовими з лінійної системи рівнянь, права частина якої пропорційна .

Звідси випливає, що й пропорційний , а, отже, структура ризикових вкладень не повинна залежати від цього скалярного множника.

Хоч гіпотеза Тобіна про можливість чисто безризикових вкладень практично некоректна, можливо довести, що при наявності слаборизикових вкладень розв'язок задачі Марковітца (2) є близьким до розв'язку задачі Тобіна (10), побудованої на базі нехтування слабким ризиком. Тим самим структура сильноризикових вкладень майже не залежить від схильності інвестору до ризику.

5.3 Ризик портфелю і внесок кожного активу в сподівану ефективність портфелю

Серед економістів поширена думка, що або є найбільш розумною мірою ризику портфелю ЦП. Але вона може бути запереченою.

Приклад 1. Нехай для двох видів акцій 1 і 2 але дійсні ефективності залежать від випадкових ситуацій “а” (що має ймовірність 0,2) і “б” (що має ймовірність 0,8). Курс акцій 1 в ситуації “а” зростає на 5% і при “б” - на 1,25%; відповідні величини для акцій 2 складають -1% і 2,75%. Відповідні сподівані ефективності і співпадають:

, .

Дисперсії також співпадають

.

Нехай інвестор взяв гроші у борг під процент, рівний 1,5. Він нижчий ніж сподівана ефективність і тому ці дії є розумними. Однак, якщо інвестор вкладе гроші в акції 1 і відбудеться ситуація “а” то він виграє 3,5%, а при вкладі в акції 2 він збанкрутує. Коли ж відбудеться ситуація “б” і гроші вкладені в акції 1, інвестор збанкрутує, а коли гроші вкладені в акції 2, то він буде у виграшу. Ситуації мають різну ймовірність і тому рішення інвестора не є рівнозначними щодо ризику банкрутства: при вкладі в акції 1 він збанкрутує з ймовірністю 0,8, а при вкладі в акції 2 - з ймовірністю 0,2.

Отже, при рівності сподіваних ефективностей, дисперсій і початкового капіталу ризик банкрутства може бути різним!

В цілому, хоч завдання дисперсії не повністю характеризує ризик, але воно дозволяє зробити оцінку ризику і виявити граничні шанси інвестора через використання відомої нерівності Чебишева. В застосуванні до випадкової величини за нерівністю Чебишева

Припустимо, що інвестиція робиться за рахунок позики під процентну ставку при заставі майна. Яка ймовірність інвестору не повернути боргу та втратити майно (напр. нерухомість)? Це ймовірність події так що ймовірність банкрутства інвестора є

Звичайно при цьому припускається виконання умови розумності такого вкладення “під кредит”, , і оцінка ймовірності банкрутства має сенс при що було невиконано в попередньому прикладі).

Приклад 2. Знайти умову того, щоби шанс банкрутства був би не більше одного з дев'яти.

З попереднього для цього досить виконання умови або (остання нерівність відома в прикладній теорії ймовірностей як “правило 3-х сигма”).

Розглянемо ситуацію, коли інвестор вкладає в акції тільки частину свого капіталу, залишаючи іншу частину на заощадження під процентну ставку Яка тоді буде оцінка ймовірності банкрутства?

Якщо - початковий капітал, - частина його, що йде на заощадження, то банкрутство можливе, якщо

або ж

Оцінка за Чебишевим дає шанс банкрутства менший ніж при умові, що

або



Ясно, що гра на свій капітал значно безпечніша. Навіть при вкладенні всього капіталу досить виконати умову (звичайно, якщо інвестора задовольняє рівень гарантії).

В цілому оцінка Чебишева, як правило, передбачає великий запас. Наприклад, якщо зарані відомо, що коливання в обидва боки від рівноймовірні, то оцінка шансів на банкрутство зменшується майже в 5 разів: замість 1 випадку з 9 гарантується, що банкруцтво відбудеться не частіше ніж в 1 випадку з 40. Взагалі ймовірність банкрутства теж не є абсолютно об'єктивною мірою ризику економічного агента. Використовуються й інші розумні міри ризику, зокрема величини типу сподіваного значення перевищення втрат над капіталом, який є у розпорядженні агента.

Одним з найбільш загальних підходів до оцінки міри ризику є використання функцій корисності , концепція яких була винайдена російським академіком Д.Бернуллі в 1738 році при розв'язанні так званого “петербургського парадоксу” в одній задачі про банкрутство гравця (див. Напр. [9], стор. 34-35), і стала одним з головних інструментів теорії прийняття рішень, зокрема, в економіці й фінансах. Гладка функція корисності багатства (капіталу) економічного агента визначалась Д.Бернулі як “моральна вартість” суми грошей , що повинна мати властивості

Зокрема, у якості показників (мір) ризику , пов'язаного з випадковою ефективністю активу, можливо використовувати величини де - та чи інша функція корисності, вид якої залежить від особливостей конкретної ситуації.

Наприклад, якщо , то тоді - сподівана середня ефективність активу, а при де - деяке задане число маємо що , тобто міра враховує і сподівання і дисперсію випадкової ефективності активу. Ймовірність уникнення банкрутства при початковому капіталі описується за допомогою спеціальної функції корисності при і при

Застосовуючи різні функції корисності, можна описати різноманітні варіанти випадково-ризикової ситуації та відповідні міри її ризику. Описана вище квадратична функція корисності в теорії ринку ЦП має таку інтерпретацію: інвестор вважає корисним для себе збільшення значення ефективності, але уникає відхилення цієї ефективності від сподіваного значення. Чим більше , тим тенденція уникання ризику є більшою. Застосування квадратичної функції корисності є спробою об'єднання двох критеріїв: сподіваного значення й дисперсії.

Тепер розглянемо оцінку внеску кожного ЦП, що входить в оптимальний портфель , у загальну сподівану його ефективність. Відповідні результати належать учню Г. Марковітца - У. Шарпу^))* Шарп Уїльям (н. 1934) американський вчений в галузі математичної економіки, лауреат нобелевської премії з економіки 1990 р.^*.

Ефективність оптимального портфелю в моделі Тобіна є ВВ, що має вигляд

де - ефективність -того ризикового ЦП. Звідси, врахувавши, що , знаходимо

Введемо величини що називаються “бета внеску і щодо оптимального потфелю”, рівностями

Враховуючи рівність (3) маємо, що

(остання рівність в (4) є наслідком рівностей (15) і (13) попереднього параграфу.) Звичайно рівність (4) подається у вигляді або у скалярній формі

Величину можна трактувати як премію за ризик при вкладенні коштів в -тий ринковий ЦП під час формування портфелю. Рівність (5) означає, що ця премія за ризик пропорційна з коефіцієнтом (“бетою внеску щодо оптимального портфелю”) премії за ризик , пов'язаною з портфелем в цілому, . При цьому

Чим більша “бета” ЦП , тим вища частина загального ризику, пов'язана з вкладенням саме в цей ЦП. Разом з тим, чим більше тим вища й премія за ризик. Далі в моделі САРМ ми переконаємось у важливості поняття “бета внеску” для теорії й практики аналізу фінансового ринку в цілому.

5.4 Статистика ринку цінних паперів

Цілью портфельного аналізу фінансового ринку є розробка рекомендацій для інвесторів щодо вибору ЦП, в які слід вкладати капітал, та розмірів цих вкладень. Застосування теорій портфелю потребує знання вектору математичних сподівань та матриці коваріацій ефективностей ЦП. Звідки їх брати? Або, як їх знаходити, за наявною інформацією? Відповідь дає статистика ринку ЦП й відповідні статистичні методи оцінки та .

Якщо є дані про ефектності активів (ЦП) за моментів часу, що передують проміжку часу формування портфелю з цих ЦП та його реалізації, то маємо таку базу спостережень де - значеня ефективності -того ЦП для моменту Тоді за оцінки та беруться їх стандартні статистичні оцінки у вигляді вибіркових середніх та вибіркових коваріацій

При звичайних припущеннях про статистичну незалежність спостережень оцінки (1) є незміщенними та консистентними оцінками параметрів та , які можна використовувати як експериментальні значення та при портфельному аналізі інвестицій.

Але при намаганні вимірювати найбільш точно з врахуванням виплати дивідендів за акціями за періоди часу можуть виникати труднощі з наявністю бази спостережень, достатньої для формування всіх оцінок (1), бо дивіденди сплачуються відносно рідко - раз на квартал. Тому досить часто вдаються до іншого статистичного методу оцінювання параметрів портфелю- так званого методу провідних факторів. В якості таких факторів беруться чинники, що переважно визначають всі показники. Наприклад в галузях економіки, що істотньо залежать від використання нафти як енергоресурсу, таким визначальним (провідним ) фактором буде ціна на нафту.

Нехай є один провідний фактор , що ефективності всіх вкладень залежать від нього. Тоді будуються найпростіші лінійні моделі залежності від : які дають змогу знайти оцінки найменших квадратів (МНК - оцінки) параметрів та в схемах регресії

де - випадкові похибки спостережень . При цьому МНК-оцінки параметрів лінійної регресії знаходяться з умов мінімізації функціоналів сумарних квадратичних відхилень

по та

Умови екстремуму призводять до таких оцінок параметрів регресії:

Де

тобто та є статистичними оцінками сподівань для і , є оцінкою коваріації та фактору а - оцінкою дисперсії самого фактору. В схемі парної регресії (2) важливу роль також грають оцінки дисперсії похибок Вони мають вигляд

та є незміщенними оцінками при

Отже при виконанні методу одного провідного фактору в задачі статистичного оцінювання параметрів ЦП потрібно загалом оцінити величин, величин , дисперсій , а також сподівання й дисперсію самого фактора і тобто всього параметрів. Оцінити таку кількість параметрів по значенням, що містяться в історіях (за періодів) провідного фактору і всіх ЦП, значно простіше та надійніше чим напряму оцінювати величин та як це робилося спочатку параграфу (особливо враховуючи недостатню кількість даних, якщо точно враховувати ефективності ) приймаючи до уваги виплати по ЦП в періодах типу дивидендів.

При цьому всі параметри ринку ЦП та , легко обчислити через вказані параметри та Дійсно відповідно до моделі регресійної залежності (2) маємо, що звідки

тобто за оцінки можна взяти величини . Далі

звідки

а для коваріацій маємо

Отже з (6) і (7) маємо такі оцінки і :

Сам ринок ЦП вказує безпосередньо шлях вибору провідних факторів, що обумовлюють його поведінку. Це зводні індекси фондових ринків типу складного індексу Доу-Джонса (The Dow Jones Composite Average Index- DJCAI), індексу “Стендарт енд пурз” (S&P500), що характеризують усереднений рух курсів акцій провідних компаній. На українському ринку ЦП за провідний фактор можна взяти український фондовий індекс ПФТС.

Досвід розрахунків, що здійснювалися фінансовими аналітиками протягом довгого часу, показує що найбільш важливим провідним фактором фондового ринку є виличина, що називається ефективністю фондового ринку і визначається як зважена (з врахуванням капіталу) сума ефективностей всіх ризикових ЦП, що фігурують на ринку (за винятком неістотніх ЦП короткодіючих дрібних корпорацій). Згідно до цього основні співвідношення статистики фондового ринку приймають вигляд

З (9) випливає, що кожного ЦП і складається з “власної” компоненти, що не залежить від поведінки ринку і “ринкової” компоненти. Їхнє співвідношення часто позначається як ( - squared) і характеризує частку ризику даного активу , що вноситься невизначеністю ринку в цілому. Воно тим вище, чим вище бета цього активу.

Зручно відраховувати сподівану еефективність від ефективності безризикового вкладу . Перевищення є премією за ризик. Перепишемо (8) у вигляді

Тоді премія за ризик лінійно залежить від премії за ризик, що складається на ринку в цілому, , плюс так звана - вкладення .

Оцінка параметрів, що входять в основну статистичну модель фондового ринку (тобто параметрів “альфа” і “бета” кожного активу та) є статистичною проблемою, яка розв'язується методами описаними вище, шляхом прийняття за провідний фактор і використання МНК - оцінок

де - вибіркові середні ефективностей, що спостерігалися, і оцінка дисперсії - оцінка коваріації і :

Для обчислення оцінки величини використовується формула

де останній вираз є оцінкою “власних” варіацій ЦП

Іноді використовуються поправки до “історичних бета” на основі аналізу впливу інших факторів. Наприклад, статистичні дослідження фондового ринку США показали, що досить ефективною є формула

де - параметр, пов'язаний із сектором економіки, якому належить корпорація - емітент ЦП ( для базових галузей і - для транспорту), , а - відображає вплив розміру корпорації на оцінку бета і Формула (13) свідчить, що залежність акцій від поведінки ринку різна для різних галузей і що курс акцій більш великих корпорацій менш чутливий до коливань ефективності ринку.

5.5 Практичні застосування портфельного аналізу

Підсумовуючи міркування попередніх параграфів, наведемо загальну геометричну інтерпретацію методології практичного застосування портфельного аналізу й вибору оптимального портфелю, а також числові приклади застосувань теорій Марковітца та Тобіна.

Нехай на фондовому ринку з трьома типами акцій діють два інвестори , які прагнуть сформувати оптимальні портфелі, керуючись різними функціями корисності в площині характеристик можливих портфелей з координатами сподіваних ефективностей і ризиків . На ринку є безризиковий актив з ефективністю Інвестори виробляють рішення починаючи з розв'язання задачі двохкритеріальної оптимізації:

керуючись критерієм Парето векторної оптимізації, знаходячи множину всіх Парето-оптимальних припустимих портфелів (тобто таких портфелів , для яких не існує таких припустимих портфелів для яких , причому хоч одна з цих нерівностей є строгою). Остаточний вибор оптимального портфелю інвестор робить за допомогою максимізації своєї корисності в множині Парето-оптимальних портфелів: Крім того, нехай ще є інвестори, які керуються при виборі оптимального портфелю підходами Марковітца й Тобіна.

Загальна геометрична інтерпритація описаної ситуації різних підходів вибору оптимального портфелю зображена на рис.1, де 1) фігура АВСМ - відповідає множині припустимих портфелей (); 2) точкам А,В,С відповідають портфелі, що складаються тільки, відповідно, з акцій А, В, С; 3) дуга МС відповідає множині Парето-оптимальних (ефективних) портфелів; 4) - оптимальні портфелі, що вибирає інвестор , функція корисності якого характеризується кривими байдужості (лініями рівня функції ) ; 5) К-оптимальний портфель, що складається тільки з ризикових ЦП, при умові наявності безризикового ЦП з ефективністю 6) - пряма, що відповідає множині оптимальних портфелей з часткою безризикових ЦП 7) - множина оптимальних портфелей з від'ємною часткою безризикових ЦП (), тобто взятих у борг, за рахунок чого можливе формування портфелю із заданою ефективністю (будь-якою), але і з великим ризиком.

Приклад 1. Розв'язати задачу Марковітца формування оптимального портфелю з 3-х ЦП із заданою сподіваною ефективністю якщо дані статистики ринку приводять до наступних параметрів ЦП:

І. Знайдемо спочатку структуру оптимального портфелю та відповідний ризик Маємо:



Отже за формулою (5) параграфу 5.2

При цьому

тобто ризик

ІІ. Нехай додатково є безризиковий ЦП з Знайти оптимальну структуру ризикової частини портфелю, її ефективність та ризик.

Скористаємося формулою

Послідовно обчислюємо:



При цьому:

ІІІ. Знайти оптимальний розподіл вкладень, ефективність оптимального портфелю й ризик, якщо є 3000 грн., з яких 1/3 вкладається в безризиковий ЦП.

З 3000 грн. 1000 грн. вкладається під 2%. 2000 грн., що залишилися, розподіляються так: грн. під 10%: під 5% грн. під 3% Ефективність і ризик цього портфелю, відповідно дорівнюють:

Структура ризикової частини така:

Приклад 2. Є капітал в 100 грн. і два види ЦП: ризиковий з ефективністю 0,6 і та безризиковий з ефективністю 0,2. Потрібно визначити структури портфелів з ефективностями 0; 0,2; 0,4; 0,6; 1; 2; 10; 100. Вказати: 1) ефективності портфелей; 2) гроші, які передбачається одержати через ці фінансові операції; 3) структуру портфелей; 4) Пояснити детально шосту ситуацію.

Розв'язання. Тут оптимізаційна задача

при умовах

має однозначні розв'язки, що визначаються формулами:

Результати обчислень наведені в такій таблиці:

№ ситуації	Вкла-дення	Сподіван. ефф. порт.	Сподів. виграш	Структура портфелів	Ризик
				Частки	Гроші
1	100	0	100	-0,5	1,5	-50	150	2
2	100	0,2	120	0	1	0	100	0
3	100	0,4	140	0,5	0,5	50	50	2
4	100	0,6	160	1	0	100	0	4
5	100	1	200	2	-1	200	-100	8
6	100	2	300	4,5	-3,5	450	-350	18
7	100	10	1100	24,5	-23,5	2450	-2350	98
8	100	100	10100	249,5	-248,5	24950	-24850	998

Пояснення шостої ситуації таке. Є 100 грн. В борг береться 350 грн. під 20%. Стає загалом 450 грн. 450 грн. вкладається під 60%. Отримується грн. Віддається кредит грн. Залишилося 720-420=300 грн. Ефективність ФО дорівнює (300-100)/100=2 або 200%. З таблиці бачимо, що зі зростанням ефективності помітно зростає й ризик.

5.6 Рівновага на конкурентному фондовому ринку. Модель ціноутворення капіталовкладень САРМ

Дослідження взаємодії попиту й пропозиції, що призводить до рівноваги на конкурентному ринку є однією з головних задач економічної теорії. Але класична теорія мікроекономічної рівноваги не може бути застосованою до процесів на фондовому ринку, насамперед через те, що вона не враховує роль невизначеності та фактори ризику.

Тому в середині 60-х років XX ст. В працях У. Шарпа^))* Sharpe W. F. Capital asset price: A theory of market equilibrium under condition of risk // J. of Finance, 1964, v.19, p.425-442.^*, Дж. Лінтнера та Моссина була побудована нова теоретична модель рівноваги на конкурентному фондовому ринку, що отримала назву моделі ціноутворення капіталовкладень (Capital Assets Pricing Model - CAPM).

В цій моделі розглядається поведінка множини інвесторів () на ринку ЦП. Нехай безризиковим ЦП відповідає індекс , а ризиковим - індекси . Припускається, що в початковий момент інвестор має частку повної кількості ризикових ЦП виду , а початкова вартість цього (ринкова оцінка емітента) є . При фіксованій кількості ЦП вона пропорційна ціні одного ЦП. Нехай інвестор ще вкладає суму у безризикові ЦП, так що його початковий капітал є

Основні припущення моделі такі: 1) всі інвестори мають однакову інформацію про ефективність вкладення у будь-які ЦП, що виражається значенням сподіваних ефективностей ЦП та коваріацій 2) всі інвестори прагнуть придбати портфель ризикових ЦП, оптимальний за структурою, а при розподілі капіталу на ризикову й безризикову частини прагнуть максимізувати сподіване значення квадратичної функції корисності, тобто максимізують величини де - сподівана ціна портфелю в майбутньому та її дисперсія, а параметр - характеризує ступінь ухилення від ризику інвестора

З цих припущень й теорії оптимального портфелю випливає, що всі інвестори прагнуть придбати однакові за структурою портфелі ризикових ЦП, тому ефективність ризикової частини вкладень у всіх однакова й дорівнює

Якщо інвестор вкладе частку свого вихідного капіталу у безризикові ЦП, а все інше - у ризикові, то його новий капітал зміниться до рівня :

де - ефективність безризикового вкладення. Сподівана корисність цього капіталу дорівнює

Максимум досягається при виборі

Сумарний капітал, який через вказаний принцип повинен бути вкладеним у ризикові ЦП всіма інвесторами, складає

( характиризує середнє ухилення від ризику всіх інвесторів).

Рівновагою на ринку є ситуація, коли цей капітал збалансований зі сумарною вихідною вартістю ризикових ЦП: Умова балансу ставить таку вимогу до рівноважних цін:

Отже, загальний рівень цін рівноважного ринку обернено пропорційний до середнього ухилення інвесторів від ризику (або ж є пропорційним їхній середній схильності до ризику).

Далі з оптимальності структури ризикової частини випливає основне співвідношення САРМ:

яке було отримано раніше в параграфі 5.

Ефективності через ціни виражаються як

де - ціни (ринкові оцінки) ЦП - того типу в майбутньому, а - відповідна оцінка ринку в цілому:

Неважко встановити, що

де - дисперсія оцінки ринку в майбутньому,

Підставляючи ці вирази до основного співвідношення САРМ і виконуючи прості перетворення, отримуємо, що



При цьому враховується, що структура ризикової частини рівноважного ринку є оптимальною, тобто і

Залишається тільки виключити з допомогою рівняння балансу, яке з врахуванням умов оптимальності має вигляд:

Тоді кінцевий вираз для рівноважних цін такий:

Якщо невизначеність відсутня, тобто

то рівноважні ціни співпадають з цінами у майбутньому, дисконтованими у відповідності до ефективності безризикових вкладень:



Наявність невизначеності змінює картину. Рівноважна ціна ЦП підвищується відносно сподіваної, якщо їхня ефективність знаходиться в оберненій кореляції до ринку, і знижується, якщо ефективність ЦП позитивно корельована по відношенню до ринку. Чим більшим є середнє ухилення від ризику, тім чутливіші ціни до випадковостей ринку, тим більш ярко виражені ефекти кореляції.

Теорія рівноважного ринку дозволяє краще зрозуміти значення таких параметрів, як альфа і бета вкладень інвесторів відносно ринку.

Оскільки згідно до САРМ портфель ринку (структура ЦП на ринку) має ту ж саму структуру, що й оптимальний портфель, який обчислюється на основі ймовірнісних характеристик ефективностей ризикових ЦП, то ринок повинен мати властивості, що притамані оптимальному портфелю. Зокрема для оптимального портфелю, як було показано раніше премія за ризик кожного ЦП пропорційна з коефіцієнтом премії за ризик портфеля в цілому: Тому це відношення вірно і для ринку, тобто має місце співвідношення (1). Отже премія за ризик, пов'язаний з будь-яким ЦП, пропорційна коефіцієнтом премії за ризик ринку в цілому. Рівність (1) часто називають основним рівнянням рівноважного ринку. Відповідна графічна інтерпритація подана на рис.1. Вісь абсцис тут є віссю значень , а вісь ординат- значень Пряма лінія називається лінією ринку ЦП (Security market line - SML). Для ідеального ринку ( тобто ринку, що задовольняє припущенням моделі 1)-2)) задання бета дозволяє знайти сподівану ефективність у вигляді ординати відповідної точки на прямій.

Про поведінку реального ринку можливо судити по статистичним даним. Нагадаємо, що статистика ринку вказує на справедливість більш загального співвідношення ніж (1):

що відрізняються від основного рівняння САРМ (1) наявністю доданку альфа вкладення. Інакше, на ідеальному ринку для всіх видів ЦП Статистичні дані реального ринку це не підтверджують. Існують два пояснення цього феномену.

Перше полягає в тому, що на реальному ринку не всі учасники однаково інформовані, тому раціональність їх поведінки різна й портфель ринку відрізняється від оптимального. Якщо статистика дає, що то це означає недооцінку ринком дійсних можливостей ЦП При ринок переоцінює можливості ЦП Тому одна з практичних рекомендацій фінансового аналізу - включення інвестором у портфель насамперед тих ЦП, які недооцінені ринком (), з надією “переграти” ринок (тобто одержати перевагу перед менш інформованими учасниками). На рис.1 точки, що відповідають недооціненим ЦП, лежать вижче лінії ринку SML, а точки, що відповідають переоціненим ЦП, лежать нижче лінії SML.

Друга інтерпретація того, що менш практична, але можливо краще відповідає реальності. Справа в тому, що САРМ базується на найпростішій теорії оптимального портфелю, в якій припускається, що ставки при покупці й продажу, при видачі й одержання кредиту однакові, що не відповідає реальності. Існують різні модифікації САРМ, які враховують ці відхилення від ідеального варіанту, але жодна з них не має таку простоту й стройність як вихідна теорія САРМ.

5.7 Арбітражна теорія ціноутворення капіталовкладень АРТ

На закінчення теми цієї глави дуже коротко торкнемося так званої арбітражної теорії ціноутворення капіталовкладень (Arbitrage Pricing Theory- APT).

Утворимо в моделі САРМ для активу величину

Ясно, що

і

тобто

і

є некорельованими ВВ. Отже

що разом з (1) параграфу 5.6 дає співвідношення між преміями і

З вищесказаного маємо, що , тобто ризик інвестування в актив складається з двох ризиків: систематичного ризику що притаманний ринку, і несистематичного ризику , що притаманний самому активу . Тобто модель (1) залежності від зовнішніх чинників є однофакторною (таким фактором є ринок в цілому).

Подальша більш сучасна теорія “ризику й випадкової ставки (ефективності) активу - теорія АРТ, що була розвинена С.Россом і Р.Роллом у працях: (Ross S.A. The arbitrage theory of capital asset pricing, J. of Economic theory, 1976, V.13, p. 341-360; Roll R., Ross S.A. An empirical investigation of the arbitrage pricing theory, J. of Finance, 1980, v.35, p. 1073-1103) виходить з многофакторної моделі, за якою активу залежить від ряду випадкових факторів (їх значення можуть бути різними - ціна на нафту, процентна ставка, тощо) і “шумового члену”

При цьому і некорельований з факторами , а також з “шумовими членами” інших активів. Тобто (1) є частинним випадком (2) з одним фактором Нажаль АРТ повністю втрачає простоту, наочність, стрункість моделі САРМ з нею важко оперувати її положення дуже непросто навіть чітко формулювати. Тому й досі САРМ продовжує залишатися одним з найбільш улюблених засобів при розрахунках ЦП.

Центральними результатами АРТ є дослідження можливостей на ринку ЦП асимтотичного арбітражу і далі при концепції відсутності на ринку можливостей асимптотичного арбітражу вивод асимптотичної формули для середньої ефективності у припущенні, що поведінка описується багатофакторною моделлю (2). Відповідні асимптотичні дослідження пов'язуються з необмеженим зростанням кількості активів

Розглянемо деякий портфель і відповідну його ефективність на “ - ринку” з активів , ефективності яких залежать від факторів і має місце залежність (2). В АРТ встановлюється при деяких припущеннях відносно коефіцієнтів многофакторної моделі (2) існування такого нетривіального портфелю , що ; Якщо при то на ринку присутні можливості асимптотичного арбітражу. Тобто, припускаючи, що початкові ціни активів одиничні, так що початковий капітал портфелю , для деякого параметра нульовий, бо

будемо мати, що для достатньо великого капітал портфелю в момент часу

з додатньою ймовірністю буде додатній: Тобто, маючи нульовий початковий капітал і оперуючи на “ - ринку” з активами шляхом складання певного портфелю можливо (“асимптотично”) отримати додатній прибуток, що в теорії АРТ й інтерпретується як наявність асимптотичного арбітражу.

Вважаючи, що “ - ринки” асимптотично (при ) є безарбітражними, доводиться виключити можливість для тих портфелів, що розглядаються. Це природньо накладає певні обмеження на коефіцієнти многофакторної моделі (2): при достатньо великому числі активів, що фігурують у портфелі ЦП . “Більшість з них повинна бути такими, щоб між коефіцієнтами ” було виконане “майже лінійне” співвідношення

де всі величини залежать від та

При цьому існує портфель для якого дисперсія є досить малою, що свідчить про те, що в многофакторній моделі вплив “шумових членів” та окремих факторів може бути (у припущенні відсутності асимптотичного арбітражу) редуційований диверсифікацією. Але це справедливо тільки для великих (тобто великих ринків ЦП), а для “малих ринків” ( - невелике) розрахунок за допомогою наближеної формули (3) може призводити до грубих помилок.

Більш детальну інформацію про теорію АРТ, великі фінансові ринки й асимптотичний арбітраж можна знайти у вказаних вище роботах Росса, Ролла та книзі А.Ширяєва [12]. З приводу сучасної строгої математичної теорії асимптотичного арбітражу, заснованої на понятті контигуальності можна рекомендувати роботи Ю.М. Кабанова і Д.О. Крамкова (ТВИП, 1994, т.39, №1, с 222-228 та Finance and Stochastics, 1998. vol. 2), а також гл. 6 книги [19].

Задачі та вправи

1. Знайти характеристики , оптимального портфелю Марковіца максимальної ефективності, сформованого з трьох ЦП з відносною доходністю (m) і ризиком (у): (4, 10); (10, 40); (40, 80), якщо верхня границя ризику задана рівністю 50 (це двоїста задача до класичної задачі формування оптимального портфелю Марковіца мінімального ризику при заданій ефективності).

2. Сформувати портфель Тобіна максимальної ефективності й ризику, не більшого заданої величини , з 3-х видів ЦП: безризикових з ефективності та некорельованих ризикових сподіваних ефективності і й ризиками (двоїста задача до класичної задачі портфеля Тобіна).

3. Як підрахувати в ЦП? Чому ЦП з від'ємною в сприймаються як незвичайні, екстравагантні.

4. Портфель складається наполовину по вартості з ЦП і -0.8. Побудувати портфель з з цих ЦП. Чи буде цей портфель безризиковим?

Глава 6. Загальний стохастичний аналіз платіжних зобов'язань. Моделі ціноутворення для опціонів

6.1 Загальні принципи стохастичного аналізу платіжних зобов'язань

Розглянемо модель фінансового ринку як пари активів: безризикового B (банківський рахунок - bank account , або державні облігації - government bonds, treasury bills) і ризикового S (акції - stocks, shares), що репрезентуються своїми цінами B_t і S_t, або . В такому разі говорять про (B,S) - ринок відповідно з дискретним або неперервним часом t. При цьому ризикова компонента - ринку може бути й багатовимірною. Фінансові активи B і S називають основними (базовими) або основними цінними паперами (basic securities). Ризиковість активу S відображується в моделі тим, що ціновий процес (S_t)_t?0 трактується як стохастичний (випадковий) процес на певному імовірнісному просторі . При цьому інформація, що надається цінами S до моменту t, пов'язується із - алгеброю подій (тобто - алгеброю подій, що породжуються ВВ , .

Зафіксуємо деякий часовий горизонт T, T > 0 і називатимемо платіжним зобов'язанням будь-яку функцію на “просторі станів фінансового ринку” , що визначається за інформацією (тобто є - вимірною). Зокрема може бути певною функцією цін активу .

Фінансовий агент, що діє на ринку, взявши безризиковий актив і ризиковий у кількостях та , утворює тим самим пару , що називається його портфелем або (інвестиційною) стратегією. Капітал портфелю в момент з початковою сумою x визначається рівністю

Необхідно вказати, які портфелі можуть бути використаними. Найважливіший клас - це портфелі р , що самофінансуються, (рSF), для яких

(або в разі неперервного часу при умові, що диференціали і коректно визначені).

Арбітраж (у момент ) означає можливість створення додатного капіталу (з додатною ймовірністю) у момент за допомогою стратегії, що самофінансується з нульовим початковим капіталом .

Будь-який фінансовий актив створений на базі основних активів і - ринку, називається похідним цінним папером або деривативом (derivative) і ототожнюється з деяким платіжним зобов'язанням. Наприклад, форвардний контракт (або форвард - forward) є угодою про поставку - купівлю активу в майбутньому за зарані обумовленими ціною поставки і датою поставки . Для активу форвард еквівалентний зобов'язанню . Опціон (option, що значить вибір) - це дериватив (контракт), що емітується деяким агентом (інституцією) і надає покупцю або продавцю право купити або продати актив (або іншу цінність) в обумовлений період або момент часу на зарані обумовлених умовах. Наприклад, опціон продавця (опціон - колл або call option) з ціною виконання (strike price ) і датою виконання (maturity time) (так званий опціон європейського типу, коли він пред'являється до виконання тільки в момент ) на актив дає покупцю дохід (бо при він реалізує своє право на купівлю за ціною при більший ринковій ціні активу , а при відмовляється від купівлі за контрактом, або може купити за ринковою ціною , нижчою за , тобто не реалізує право на купівлю за ціною ). Отже описаний європейський опціон - колл еквівалентний зобов'язанню . Звісно, за опціон потрібно сплатити деяку премію (ціну опціону), і чистий дохід покупця буде . Відповідно дохід продавця опціону буде при і при . Можуть бути й інші види опціонів. Так, наприклад, для опціону - колл з післядією, де , а для арифметичного азіатського опціону - колл , де у випадку дискретного часу. Для опціонів продавця (опціонів - пут, або put option) у разі стандартного опціону - пут , у разі опціону - пут з післядією, . В цілому множина деривативів індукує в площині з координатами множину графіків відповідних платіжних зобов'язань CCG (Contingent Claim's Graphs), див. рис.1.

а) б)

Рис.1. Множина CCG.

З іншого боку, множина стратегій рSF індукує множину графіків термінальних капіталів (Terminal Values Graphs), див. рис.2.



Рис.2. Множина TVG.

Ринок називається повним, якщо CCG=TVG. В противному разі ринок неповний. Інакше, - ринок є повним тоді і тільки тоді, коли будь-яке платіжне зобов'язання може бути реклікованим, тобто існують такі x і , що.

Позначимо через ціну (value) у момент платіжного зобов'язання (інакше ціну деривативу з виплатами по ньому в момент , що визначається функцією ). Головна проблема тут полягає у знаходженні опису стохастичного процесу у термінах - ринку. Евристичний принцип такого опису складається з двох ідей: по-перше величину платіжного зобов'язання потрібно дисконтувати за допомогою без ризикового активу: тобто розглянути ; по-друге прийняти за раціональне (справедливе) значення усереднену величину, що дорівнює умовному сподіванню . Перша ідея не викликає заперечень, бо дисконтуванням досягається вимірювання вартості у різні моменти часу в тих самих одиницях. Друга ідея може бути предметом дискусії, бо неясно чому усереднення повинно здійснюватися відносно первісно заданої “фізичної ” ймовірності . Більш того, будь-яка інша імовірнісна міра на просторі визначає свій “ імовірнісний характер ” - ринку. Ясно, що нейтральний до ризику, стійкий характер ймовірності, що обирається для усереднення, обумовлює природність ціни платіжного зобов'язання. Отже евристичний принцип опису потрібно виправити вибором більш підходящого імовірнісного характеру ринку, що визначається деякою мірою . Тут для того, щоб уникнути втрати суттєвих рис ринку (“виродження” його характеру) потрібно вважати міри і - еквівалентними. Ці міркування призводять до принципу безарбітражності при визначенні ціни . Втілення цього принципу реалізується у наступні загальні факти, що є дещо обрубленою формою фундаментальних теорем теорії арбітражу та повноти стохастичної фінансової математики.

Теорема А. - ринок не дозволяє арбітражних можливостей тоді і тільки тоді, коли існує імовірнісна міра , еквівалентна , така, що процес дисконтованих цін ризикового активу є мартингалом відносно , тобто для всіх (тут позначає сподівання відносно міри ).

Подібна міра називається мартингальною. Оскільки мартингал є в середньому сталим, то міра немов би нейтралізує ризиковість активу . Тому називається також ризик - нейтральною мірою - ринку.

Теорема В. На повному безарбітражному - ринку ціна будь-якого платіжного зобов'язання визначається єдиним чином тоді і тільки тоді, коли мартингальна міра єдина.

Дійсно, якщо таких мір дві , то визначені дві ціни зобов'язання , котрі повинні співпадати, що означає рівність . Навпаки, відносно єдиної мартингальної міри ціна визначається однозначно, як .

В результаті маємо такий загальний принцип розрахунку платіжних зобов'язань на повних ринках:

Теорема С. Нехай на повному - ринку - єдина мартингальна міра і ціна зобов'язання визначається як . Тоді утворює єдину систему цін, при якій відповідний розширений ринок не дозволяє арбітражних можливостей. Більш того, існує така стратегія , що репліціює і при всіх .

Це твердження означає можливість редуціювати до нуля ризик, пов'язаний з будь-яким платіжним зобов'язанням на повному ринку.

В наступних параграфах наводяться класичні моделі ціноутворення опціонів покупця на повному - ринку.

6.2 Модель Башельє ціни опціону колл європейського типу

Французький математик, учень А.Пуанкаре, Луї Башельє (Louis Bachelier, 1870 - 1946) був першим, хто зробив спробу математичного опису динаміки коливань вартостей акцій (на паризькому ринку) на базі теорії ймовірностей. У своїй дисертації “Teorie de la spe^'culation” (Теорія спекуляцій), надрукованій у 1900 р. в “Annales scien. de l'Ecol Normale Superieure”, том 17, с. 21- 86, він запропонував розглядати як випадковий процес.

Аналізуючи експериментальні дані про ціни (з інтервалом часу ) Башельє помітив, що прирости мають (в статистичному смислі) приблизно нульове середнє та флуктуації порядку . Подібну властивість має випадкове блукання виду , де незалежні однаково розподілені випадкові величини (НОРВВ) приймають два значення, , з імовірностями . Граничний перехід при призводить в силу багатовимірної центральної теореми до випадкового процесу цін , де є не чим іншим як розглянутим Башельє процесом броунівського руху, тобто гауссівським випадковим процесом , що має нульове середнє і кореляційну функцію. Процес повністю характеризується тими властивостями, що це є гауссівський процес з незалежними приростами, для якого для всіх .

Відомі фізичні дослідження А.Ейнштейна і М.Смолуховського 1905-1906 років показали, що стохастичний процес , вперше збудований Башельє, може слугувати математичною моделлю еволюції кожної фіксованої координати при хаотичному русі частинки колоїдного (дуже малого) розміру, поміщеної у рідину чи газ, під дією теплового руху молекул середовища. Явище подібне хаотичному руху вперше було зафіксоване англійським вченим Р.Броуном в 1827 році і одержало назву броунівського руху. Математично строгу (сучасного рівня) теорію процесу збудував в 1923 р. американський математик Н.Вінер, який зокрема розглянув цей процес як спеціальну міру в просторі неперервних функцій (так звану вінерівську міру). В подальшому процес отримав також назву стандартного вінерівського процесу на честь Н.Вінера.

Відправляючись від процесу Бащельє отримав формулу для сподівання з , що з сучасної точки зору (в припущенні, що неперервна ставка (сила росту ) банківського рахунку нульова) є справедливою ціною опціону - колл (премію за опціон), котру його покупець сплачує його продавцю, що зобов'язався продати покупцю акції в момент виконання за ціною виконання :



де і відповідно функція розподілу і щільність розподілу стандартної нормальної ВВ:

З сучасної точки зору потрібно дещо скоректувати модель динаміки ціни акції Башельє записавши її у формі стохастичного диференціалу