Ответ. Эффективная процентная ставка будет равна 5,1 %, а наращенная сумму составит - 5,522 тыс. руб.

ЗАДАЧА. В банк положена сумма 40 тыс. руб. сроком на 1 год по годовой ставке 15 % годовых. Найти наращенную сумму, величину полученного процента и эффективную ставку для ежеквартального начисления процентов.

Дано: Р = 40 тыс. руб.; n = 1 год; f = 0,15; m = 4 раза;

Найти: S - ?; I - ?; iэф - ?;

Решение:

Наращение по годовой номинальной ставки сложных процентов осуществляется по формуле:

, где

- первоначальная сумма;

- наращенная сумма;

-годовая номинальная ставка сложных процентов;

- число начисления процентов;

Определим величину полученного процента I:

Формула наращения по годовой эффективной ставки сложных процентов имеет вид:

Наращенные суммы S и капиталы P равны, тогда равны будут и коэффициенты наращения

, отсюда

Ответ: наращенная сумма по годовой номинальной ставке сложных процентов составит 46,346 тыс. руб., величина полученного процента - 6,346 тыс. руб., а размер эффективной ставки будет равен 15,9 %.

5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК И СРЕДНИЕ СТАВКИ

ЗАДАЧА. Простая ставка - 50 %. Найти эквивалентную сложную ставку для двухлетнего периода.

Дано: i = 50%, n = 2 года.

Найти: iсл - ?

Решение:

Формулы наращенных сумм по простой ставке процентов и учетной ставке:

;

Наращенные суммы и капиталы равны, то есть S1 = S2 и P1 = P2. Тогда равны будут и коэффициенты наращения:

Ответ: размер ставки, которая приведет к аналогичному наращению исходной суммы равен 41,5 %.

ЗАДАЧА. Контракт предусматривает переменную по периодам ставку простых процентов: 20, 22 и 25 %. Продолжительность последовательных периодов начисления процентов: два, три и пять месяцев. Какой размер ставки приведет к аналогичному наращению исходной суммы?

Дано: i1 = 0,2; i2 = 0,22; i3 = 0,25; t1 = 2 мес.; t2 = 3 мес.; t3 = 5 мес.;

Найти: iср - ?

Решение:

Размер средней ставки простых процентов находится по формуле арифметической средней взвешенной:

Ответ: размер ставки, которая приведет к аналогичному наращению исходной суммы равен 23,1 %.

6. РАСЧЕТ НАРАЩЕННЫХ СУММ В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ

ЗАДАЧА. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12 % реальная ставка оказалась 6 %.

Дано: б = 0,12; i = 0,06; Найти: iб - ?

Решение:

- безинфляционная ставка, отражающая реальную доходность операции;

- процентная ставка, учитывающая инфляцию

Тогда наращенная сумма S на первоначальный капитал P за год составит

S = P(1+ i) или S = P(1+i)(1+),

(1+ i) = (1+i)(1+)

i = i++i - формула Фишера.

Ответ: банк должен назначить ставку в размере 18,7%.

ЗАДАЧА. Капитал вкладывается на два года при уровне инфляции 30 % в год под номинальную ставку 15 %, начисление процентов ежегодное. Какова реальная доходность этой операции.

Дано:=0,15; б = 0,3; m = 1 раз; n = 2 года.

Найти: j - ?

Решение:Определим индекс инфляции Iи за рассматриваемый период n:

Нам нужно найти безинфляционную номинальную ставку сложных процентов, чтобы оценить реальную доходность операции. Из уравнения

Ответ: реальная доходность операции -0,115. Финансовая операция убыточна.

7. КОНСОЛИДАЦИЯ ПЛАТЕЖЕЙ

ЗАДАЧА. Предстоящие платежи и сроки уплаты, исчисленные от одной даты, равны: S1=1,2 млн. руб., n1=35 дн., S2=1,5 млн. руб., n2=55 дн, и S3=2,3 млн. руб., n3=75 дн, Достигнуто соглашение об объединении трех платежей в один, равный 5,5 млн. руб., используя для этого учетную ставку 7 %. Определить срок уплаты консолидированного платежа.

- сумма платежа j;

- сумма консолидированного платежа;

- срок уплаты платежа j в днях;

- срок уплаты консолидированного платежа;

- сложная годовая учетная ставка;

Дано: S1 = 1,2 млн. руб.; S2 = 1,5 млн. руб.; S3 = 2,3 млн. руб. n1 = 35 дней; n2 = 55 дней; n3 = 55 дней; So = 5,5 млн. руб; d = 0,07;

Найти: no - ?

Решение:

Запишем уравнение эквивалентности консолидированного платежа:

Решая уравнение относительно n0, получаем:

n0 = 535 дней.

Ответ: Срок уплаты консолидированного платежа будет равен 535 дней

ЗАДАЧА. По условиям договора г-н Смоленский должен выплатить г-ну Гусинскому 5 тыс. руб. сегодня и 3 тыс. руб. через 2 года. Г-н Смоленский предлагает изменить условия платежа следующим образом: вернуть 30 % совокупной выплаты через один год, а оставшуюся сумму - через следующие два года. Какими должны быть новые платежи, чтобы финансовые взаимоотношения сторон не изменились при использовании в расчетах сложной ставки 30 % годовых?

Решение: По условию даны изменения сроков платежей в сторону увеличения. Для решения данной задачи необходимо использовать уравнение эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому обязательству, приведенной к той же дате. За базовую дату принимаем сегодня.

S0 - совокупная выплата.

Тогда сумма первого платежа будет 0,3Ч18,33 = 5,50 тыс. руб., сумма второго платежа составит 0,7Ч18,33 = 12,83 тыс. руб.

Ответ: величина первой выплаты составит 5,5 тыс. руб., второй выплаты 12,83 тыс. руб.

8. АННУИТЕТЫ

ЗАДАЧА. Заем был взят под 16 % годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 500 д.е. в течение двух лет. Из-за изменения ситуации в стране процентная ставка снизилась до 6 % годовых. В банке согласились с необходимостью пересчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть размер выплаты?

- наращенная сумма;

- размер отдельного платежа;

- число выплат в течение года;

- сложная годовая ставка процентов;

- срок ренты;

Решение:

Формула р-срочной ренты, когда проценты начисляются один раз в год имеет вид:

Рассчитаем наращенную сумму по ставке 16% в год:

По формуле математического дисконтирования определим текущую сумму долга:

Т.е. все производимые в будущем платежи оцениваются в настоящий момент в размере 3397,14 руб.

Из формулы определения современной величины ренты выразим размер отдельного платежа и рассчитаем его при начислении 6% годовых:

Ответ: размер выплаты составит 453,16 д.е.

ЗАДАЧА. В ходе судебного заседания выяснилось, что г.N недоплачивал налогов 100 руб. ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние 2 года налоги вместе с процентами (3 % ежемесячно). Какую сумму заплатит г.N?

- наращенная сумма;

- размер отдельного платежа;

- число выплат в течение года;

- сложная номинальная годовая ставка процентов;

- срок ренты;

- число начислений процентов в год.

Дано: R/p = 100 руб.; n = 2 года; j = 0,03; р = 12; m = 12 раз.

Найти: S - ?

Решение:

Формула р-срочной ренты, когда проценты начисляются m раз в году имеет вид:

Ответ: сумма выплаты составит 2470,28 руб.

ставка процент аннуитет

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 2007

2. Мелкумов Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. - М.: ИНФРА-М, 2004. -335с.

3. Петрик Н.И., Жидкова Н.Ю. Финансовая математика. Методические указания к выполнению контрольной работы. - Архангельск: Изд-во РИО АГТУ, 2004. - 63 с.

Размещено на Allbest.ru