Количественный анализ финансовых операций

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Содержание:

І. Теоретическая часть

1.1 Современная величина обычной ренты

1.2 Определение процентной ставки финансовой ренты

ІІ. Практическая часть

2.1 Процентные и учетные ставки

2.2 Сложные проценты

2.3 Математическое и банковское дисконтирование

2.4 Эффективная ставка процентов

2.5 Эквивалентность процентных ставок и средних ставок

2.6 Расчет наращенных сумм в условиях инфляции

2.7 Консолидация платежей

2.8 Аннуитеты(финансовые ренты )

Список использованных источников

рента процентная ставка дисконтирование

І. Теоретическая часть

1.1 Современная величина обычной ренты

Под современной, или приведенной, величиной ренты понимают сумму всех дисконтированных членов ренты на предыдущий момент. Современная величина эквивалентна в финансовом смысле всем платежам, которые охватываются рентой. Этот показатель находит широкое применение в расчетах при погашении долгосрочных ссуд, оценке и сравнению различного рода обязательств и поступлений, эффективности инвестиций, расчетов по страхованию. Современная величина ренты используется при разработке компенсационных или других видов долгосрочных соглашений, предусматривающих взаимные обязательства сторон.

Найдем современную величину годовой ренты, член которой равен R и выплачивается в конце года, процентной ставкой (проценты начисляются в конце каждого периода), срок ренты n лет.

Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится пo R рублей, проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(1+i)n-1, так как на сумму R проценты начислялись в течение п-1 года. Второй взнос увеличится до R(1+i)n-2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии:

. Лукашин Ю.П. Финансовая математика. Учебное пособие - М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. С 41

В этой прогрессии первый член равен R, знаменатель (1+i), число членов n. Эта сумма равна:

, (1)

где S - современная величина ренты; Аn;i - коэффициент приведения ренты. Этот коэффициент показывает, во сколько раз современная величина больше за ее член. Графически современную величину ренты можно представить следующим образом (рис. 1):

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Рис. 1 Расчет современной величины ренты. Лукашин Ю.П. Финансовая математика. Учебное пособие - М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. С 42

Предположим, что необходимо определить сумму, которую необходимо внести на счет в банк, который начисляет проценты в конце года по ставке сложных процентов в размере 5% годовых, для того чтобы выплачивать в течение 5 лет в конце года дополнительную пенсию в сумме 100 руб.

(руб.)

Посмотрим, как усложнится формула, если предположить теперь, что платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j/m, где j - номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид

Если прочитать предыдущую строку справа налево, то нетрудно увидеть, что перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой является R, знаменателем (1+j/m)m, а число членов n. Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты. Она равна:

(2)

Рассмотрим случай, если платежи осуществляются не один, а р раз в год, а проценты начисляются один раз в год. Как известно R это годовая сумма платежей, тогда размер отдельного платежа в этом случае равен R/p. Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке: Лукашин Ю.П. Финансовая математика. Учебное пособие - М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. С 45

В этой прогрессии первый член R/p, знаменатель (1+i)1/p, общее число членов пр. Наращенная сумма ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии, а современная величина ренты рассчитывается по формуле:

(3)

Если платежи осуществляются не один, а р раз в год, а проценты начисляются один раз в год, то коэффициент приведения имеет вид:

(4)

а современная величина ренты рассчитывается по формуле:

Общий случай нахождения современной величины ренты, когда проценты начисляются m раз, выплаты происходят р раз в год, а . Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами Второй член к концу срока возрастет до и т.д. Четыркин Е.Н. Финансовая математика. Учебник. 6-е изд. - М.: Дело, 2006. С 73

Последний член этой геометрической прогрессии равен R/p, а ее знаменатель (1+j/m)m/p, число членов равно nm. Как результат, получаем наращенную сумму:

(5)

Из этой формулу легко получаются все рассмотренные раньше случаи, нужно только задавать нужные значения р и m. Лукашин Ю.П. Финансовая математика. Учебное пособие - М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. С 50

Рассмотрим пример, когда необходимо определить сумму, необходимую для того, чтобы можно было выплачивать кредитору ежеквартально 100 руб. в течение 5 лет, если на ваш счет в банке проценты начисляются каждые полгода по сложной ставке процентов 5% годовых.

Решение: член ренты R = 100 * 4 = 400.

(руб.)

Между наращенной суммой и современной величине ренты существует взаимосвязь. Современную величину ренты можно получить путем дисконтирования наращенной суммы, т.е.

Наращенную сумму можно получить по значению современной величины, т.е. S = A (1 + i) n.

Вечная рента - это последовательность неограниченного числа платежей, уплачиваемых в течение бесконечных лет. Примером такой ренты является выплата дивидендов по акциям, отдельные виды платежей, взносы в Пенсионный фонд.

Коэффициент приведения вечной ренты:

Формула современной величины вечной ренты имеет следующий вид:

(6)

Предположим, что нужно найти цену акция с ежегодными дивидендами 40 руб., Если процентная ставка, по которой дисконтируются подобные акции, равна 8%

Решением этой задачи будет: (руб.), то есть стоимость данной акции 500 руб.

Для примера припустим, что член годовой ренты равен R, срок ренты п, процентная ставка i и проценты начисляются один раз в конце года. в этом случае дисконтированная величина первого платежа будет равна:

(7)

где - дисконтный множитель. Четыркин Е.Н. Финансовая математика. Учебник. 6-е изд. - М.: Дело, 2006. С 75

Приведенная величина второго платежа будет равна Rv2 и т.д. В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: Rv, Rv2, Rv3, ..., Rvn, сумма которой равна

(8)

где коэффициент приведения ренты.

Как видим, коэффициент приведения ренты зависит только от двух параметров: процентной ставки i и срока ренты п. Эти значения очень часто приводятся в табличной форме. Такие таблицы можно найти в научных книгах или построить самим на компьютере в программе MS Ecxel.

1.2 Определение процентной ставки финансовой ренты

В финансовом анализе часто возникает ситуация, когда необходимо оценить распределение во времени платежей. Такая проблема возникает при оценке показателей инвестиционных процессов, получении и погашении долгосрочного кредита отдельными платежами, выплат пенсий, страховых сумм, накоплении некоторых сумм средств на депозитах в банках, путем взносов платежей в течение определенного периода.

Множество распределенных во времени платежей (выплат и поступлений) называют потоком платежей. Члены потока платежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными (выплаты) величинами.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом, независимо от происхождения этих платежей, их назначение и цели. Окунев Б.В., Повага Е.А. Методы финансово-экономических расчетов. Методические указания - Смоленск.: СИБП 2009. С 23 К финансовой ренты относятся также разнообразные по своему содержанию оплаты: периодическое погашение долга, создание амортизационного фонда, взносы по страхованию и др.. Аннуитетом можно считать ряд выплат, состоящие из выплачиваемых процентов по облигации, потребительским кредитом и т.д..

Последовательность платежей в виде постоянной обычной ренты характеризуется такими параметрами, как R, п, и. Для общего вида ренты необходимы еще параметры Р и m. Перечисленные параметры достаточны для расчета основных обобщающих показателей - будущей суммы ренты и современной ее величины. Однако при разработке контрактов или в некоторых задачах финансового анализа возникают ситуации, когда известны одна из двух обобщенных характеристик и неполный набор параметров ренты. В таком случае нужно найти недостаточные параметры.

Часто возникает необходимость в определении члена ренты. Такая ситуация возможна, когда надо определить ежегодные взносы на счет в банке для того, чтобы до конца определенного срока получить определенную сумму S или если есть необходимость в определении ежегодных выплат для погашения текущей задолженности А подобное. Эти задачи решаются путем определения члена ренты R за другими известными параметрами: А - современная величина S - наращенная величины на; ап; i - коэффициенты приведения ренты; sn; i - коэффициенты наращения ренты.

Если сумма долга определена на какой-то момент в будущем и предполагается, что долг будет оплачен путем создания специального фонда на основе последовательных взносов в течение n лет при начислении на них процентов по ставке i, члена ренты необходимо определить по формуле, характеризует наращенную сумму S . Лукашин Ю.П. Финансовая математика. Учебное пособие - М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. С 42

(1)

Если текущий долг уплачивается последовательными платежами, сумма долга равна современной величине ренты, и член ренты определяется по формуле:

(2)

Так, как в конце пятилетнего срока необходимо погасить задолженность в сумме 10000 руб. путем создания фонда на депозитном счете в банке, а банк начисляет 10% годовых, то величина равных ежегодных взносов для создания этого фонда определяется следующим образом.

(руб.)

С другой стороны, возникает проблема погашения текущего долга в сумме 10000 руб. путем ежегодных выплат кредита. Кредит был предоставлен под 10 % годовых на 5 лет. Задача состоит в определении размера ежегодных выплат.

(руб.)

При разработке условий контрактов может возникнуть задача определения срока ренты при известных другим параметрам. Расчет срока ренты осуществляется путем преобразования формул наращенной или современной величины ренты.

Предположим, что приобретено пакет акций на 10000 руб. и дивиденды выплачиваться в конце года в размере 1000 руб. Поэтому за какой срок окупится сумма, потраченная на покупку акций, если ее можно было положить на счет в банке под 5 % годовых? Окупаемость имеет место тогда, когда современная величина дивидендов равна сумме, которая была потрачена на покупку акций.

(года).

Таким образом, вложения в акции окупятся за 14,2 года при условии, что дивиденды будут выплачиваться регулярно и процентные ставки на финансовых рынках не меняются.

Конверсией финансовых рент называется замена потока рентных платежей другим платежом. В простейшем случае изменение условий ренты заключается в замене ренты одновременным платежом. Кроме того, несколько рент могут быть объединены в одну. Окунев Б.В., Повага Е.А. Методы финансово-экономических расчетов. Методические указания - Смоленск.: СИБП 2009. С 35

Как предполагается, что конверсия рент не должна приводить к изменению финансовых последствий для каждой стороны, то она должна соответствовать принципу финансовой эквивалентности.

Среди разновидностей конверсий можно выделить следующие: выкуп ренты, отсрочка платежей, консолидация долгов.

Выкуп ренты предусматривает замену единовременным платежом всех распределенных во времени платежей (например, компенсация фонда, создаваемого путем взносов или отчислений). Согласно принципу финансовой эквивалентности, выкуп ренты - это выплата современной величины этой ренты на данный момент.

Отсрочка платежей - замена единовременного платежа финансовой рентой, то есть предоставление кредита. Иризепова М. Ш. Финансовая математика: учеб.-метод. пособие / ВолГУ. - Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2006. С 65 Например, в коммерческом кредите плата за отгруженную продукцию обычно распределяется во времени в виде ренты. Для сохранения принципа финансовой эквивалентности современную величину ренты приравнивают к величине платежа, заменяется (стоимость отгруженной продукции). Тогда по заданной современной величине определяют размер члена ренты и количество платежей или срок ренты. В таком случае отсрочки платежа приведет к увеличению размера задолженности, но в пределах, предусмотренных принципу финансовой эквивалентности.

Консолидация ренты - объединение нескольких рент в одну. Принцип финансовой эквивалентности в данном случае предусматривает выполнение такого равенства. Лукашин Ю.П. Финансовая математика. Учебное пособие - М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. С 68

(3)

где А - современная величина рент, заменяющиеся; Аq - современная величина q - й ренты (q -1, 2,..., к).

В случае объединения рент могут возникнуть самые разнообразные задачи, в частности:

а) определение размера члена объединенной ренты;

б) определение срока объединенной ренты. В обоих случаях должны быть заданы другие параметры рент.

Переменная ренты - это рента, члены которой изменяются в соответствии с какого-то закона развития.

Нерегулярный поток платежей - поток платежей, члены которого изменяются хаотично. Временные интервалы между двумя соседними платежами могут быть любыми. В таком случае обобщающие характеристики получают только путем прямого расчета.

Наращенная сумма:

(4)

Переменная ренты разовыми изменениями членов ренты

(5)

Длительность ренты равна n. Этот термин распределен на k периодов, в каждом из них член ренты постоянен и равен Rt.

Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей. Если а - абсолютный прирост платежей, т.е. а = Rt - Rt - 1, то современная величина ренты определяется по формуле. Иризепова М. Ш. Финансовая математика: учеб.-метод. пособие / ВолГУ. - Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2006. С 70

(6)

Наращенная сумма:

(7)

Стоит заметить, что в практической деятельности возникают случаи, когда, например, необходимо определиться, как будет осуществляться погашение кредита, когда известно, что покупателю предоставлена отсрочка на три месяца при условии, что проценты за этот период присоединяются к стоимости товаров.

Как пример, предположим, что стоимость партии товаров - 100 тыс. руб., который выплачивается в течение трех лет, а кредит предоставляется под 10 % годовых платежей, вносимых каждые полгода.

Решается такая задача таким образом. Сначала следует определить стоимость товаров на конец отсрочки:

А (1 + i) 3 / 12 = 100000 * 1,13 / 12 = 102400 (руб.)

Итак, выше было изложено аспекты проблемы, обозначенной в области практических расчетов финансовых потоков, в частности, наращивание суммы обычной ренты и современной величины современной ренты, определение ее параметров, а также конверсии финансовых рент.

ІІ. Практическая часть

2.1 Процентные и учетные ставки

Задача 8. Найти величину процентов и наращенную сумму, если на депозит внесены 500 тыс. руб. на 3 года по простой ставке процента 10% годовых.

Решение:

Наращенная сумма:

= 500000 *(1+3*0,1) = 650000(руб.)

Величина процентов

= 500000 *(3*0,1) = 150000 (руб.)

Ответ: Наращенная сумма по депозиту за 3 года составит 650000 руб., а величина процентов 150000 руб.

Задача 18. Кредит в размере 20 тыс. руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год - 15 %, а за каждое последующее полугодие она увеличивается на 1 %. Определить множитель наращения и наращенную сумму.

Решение:

Множитель наращивания:

= 1 + 1*0,15+0,5*0,16+0,5*0,17+0,5*0,18+0,5*0,19+0,5*0,2 = 1,6

Наращенная сумма:

=20000*(1+1*0,15)*(1+0,5*0,16)*(1+0,5*0,17)*(1+0,5*0,18)*(1+0,5*0,19)*(1+0,5*0,2) = 35385 (руб.)

Ответ: Множитель наращивания за 3,5 года составил 1,6, а наращенная сумма 35385 руб.

2.2 Сложные проценты

Задача 8. Ставка по облигации номиналом 5 тыс. руб. - 6 %. Определить число лет необходимое для удвоения стоимости облигации, применив сложные проценты:

а) по процентной ставке;

б) по учетной ставке.

Решение:

а) по процентной ставке

=11,89 (лет)

б) по учетной ставке

= 11,2 (лет)

Ответ: применив сложные проценты по процентной ставке для удвоения 5 тыс. руб. - 6 % нужно 11,89 лет, а по учетной ставке - 11,2 лет.

Задача 18. 20 тыс. руб. должны быть выплачены через 4 года. Найти современную стоимость, учитывая сложную ставку 10 % годовых. Решение:

=20000*(1-0,1)4 =13122 (руб.)

Ответ: современная стоимость составит 13122 руб.

2.3 Математическое и банковское дисконтирование

Задача 8. Вексель выдан на сумму 1 млн. руб. с уплатой 17.11.2003 г. Владелец векселя учел его в банке 23.09.2003 г. по учетной ставке 20 %. Определить полученную при учете сумму. Решение:

Оставшийся до конца срока период равен 55 дней. Временная база 360 дней.

= 969444,4 (руб.)

Ответ: сумма при учете векселя составит 969444,4 руб.

Задача 18. Долговое обязательство на сумму 16 тыс. руб. со сроком погашения через 2 года было передано в банк для учета. Дисконтирование производилось по ставке f = 10 % при m= 4. Определить величину дисконта. Решение:

=19592 (руб.)

D = S -P = 19592 - 16000 = 3592 (руб.)

Ответ: величина дисконта составит 3592 руб.

2.4 Эффективная ставка процентов

Задача 8. Облигация номиналом 20 тыс. руб. выпушена на 5 лет при номинальной ставке 6 %. Рассчитать эффективную учетную ставку и определить наращенную стоимость по эффективной ставке, если начисление процентов производится один раз в полугодие.

Решение:

=0,0609 или 6,09%

=106182 руб.

Ответ: эффективная процентная ставка составит 6,09%, а наращенная сумма - 106182 руб.

Задача 18. Эффективная ставка при полугодовом начислении процентов составила 16 %. Найти годовую номинальную процентную ставку. Решение:

отсюда находим номинальную ставку:

=2*((1+0,16)1/2-1)= 0,1541 или 15,41%

Ответ: при полугодовом начислении процентов номинальная ставка составит 15,41%.

2.5 Эквивалентность процентных ставок и средние ставки

Задача 8. Для первых 3 лет ссуды применяется сложная ставка 10 %, для следующих двух лет - 16 %. Найти среднюю ставку за весь период ссуды. Решение:

=0,124 или 12,4%

Ответ: средняя става за весь период ссуды составит 12,4%.

Задача 18. Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 15 %. Какова доходность учетной операции в виде процентной ставки?

Решение:

= 0,1765 или 17,65%

Ответ: доходность учетной операции в виде процентной ставки составит 17,65%.

2.6 Расчет наращенных сумм в условиях инфляции

Задача 8. Кредит в 10 млн. руб. выдан на 2 года. Реальная доходность должна составлять 11 % годовых (сложные проценты). Расчетный уровень инфляции 16 % в год. Определить ставку процентов при выдаче кредита, а также наращенную сумму. Решение:

Годовая ставка процента с учетом инфляции:

или

Отсюда

0,11+016+0,11*0,16 = 0,2876 или 28,76%

Наращенная сума

10000000*(1+2876)2= 16579138 (руб.)

Ответ: номинальная ставку процентов с учетом инфляции составляет 28,76%, а наращенная сумма с учетом инфляции 16579138 руб.

Задача 18. Какую ставку, чтобы при годовой инфляции 40 % реальная ставка оказалась 14 %. Решение:

= 0,14+0,4+0,14*0,4 = 0,596 или 59,6%

Ответ: коммерческий банк должен назначить 59,6% ставку.

2.7 Консолидация платежем

Задача 8. Суммы в размерах 5, 10, 15 млн. руб. должны быть выплачены соответственно через 40, 90 и 100 дней. Принято решение заменить их одним платежом 50 млн. руб. Найти срок консолидированного платежа, если используется в расчетах процентная ставка 20 %. Решение:

Срок выплаты консолидированного платежа найдем по формуле

, где P0-современная величина консолидируемых платежей. (млн. руб.)

=3,01081 года или 3 года и 4 дня (0,01081*365)

Ответ: срок консолидированного платежа составляет 3,01081 года или 3 года и 4 дня

Задача 18. Предприятие обязалось уплатить своему поставщику за поставленные материалы 3 млн. руб. через 3 мес. после поставки, 2 млн. - через 4 мес. и 3 млн. - через 6 мес. Далее стороны решили объединить платежи и выплатить единую сумму через 5 мес. после поставки. Чему равна величина этого платежа при начислении простых процентов по ставке 30%?

Решение:

8,1268 (млн. руб.)

Ответ: размер консолидированного платежа составит 8,1268 млн.руб.

2.8 Аннуитеты (финансовые ренты)

Задача 8. Покупатель предложил два варианта расчета при покупке квартиры: а) 5000 долл. немедленно и затем 1000 долл. в течение 5 лет; б) 8000 долл. немедленно и затем по 300 долл. в течение 5 лет. Годовая ставка процентов - 5 % ?

Решение:

а) =5000+5525,63 = 10525,63 долл.

б) = 8000 +1657,69 = 9657,69 долл.

Ответ: при варианте а) покупатель заплатит 10525,63 долл,, а при варианте б) - 9657,69 долл. Для покупателя будет выгоднее воспользоваться вариантом б).

Задача 18. Семья хочет через 6 лет купить дачу за 12000 долл. Какую сумму (равномерно) ей нужно каждый год из этих 6 лет добавлять на счет в банке, если годовая ставка процентов 8 % ? Решение:

= 1635,78 долл.

Ответ: семья должна добавлять на счет в банке по 1635,78 долл.

Список использованных источников:

1. Иризепова М. Ш. Финансовая математика: учеб.-метод. пособие / ВолГУ. - Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2006. - 94 с.

2. Капитоненко В. В. Задачи и тесты по финансовой математике - М.: Финансы и статистика, 2007. - 256с

3. Лукашин Ю.П. Финансовая математика. Учебное пособие - М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. - 200с

4. Окунев Б.В., Повага Е.А. Методы финансово-экономических расчетов. Методические указания - Смоленск.: СИБП 2009. - 115с.

5. Пикуза В. И. Экономические и финансовые расчеты в Excel - Питер, 2010. - 384 с.

6. Четыркин Е.Н. Финансовая математика. Учебник. 6-е изд. - М.: Дело, 2006. - 400 с.

Размещено на Allbest.ru