1. Связь плоской задачи теории фильтрации с теорией функции комплексного переменного

Рис. 4 Отображение области на

.

Уравнение определяет семейство эквипотенциалей, совпадающих с изобарами [2,3]:

, (5)

где - коэффициент проницаемости пласта, - динамический коэффициент вязкости насыщающей пласт жидкости, - давление в жидкости.

Рассмотрим комплексный потенциал (4) на расстоянии радиуса скважины от начала координат. Выделим реальную часть в комплексном потенциале (4):

.

В этом выражении величины ,, считаются известными, а величина неизвестна. Приравнивая между собой правые части (4), (5), можно найти неявную зависимость параметра комплексного отображения от постоянных величин , ,,,,:

.

Мнимая часть комплексного потенциала представляет собой семейство линии тока. Дебит вычисляется как разность крайних значений функции тока, умноженная на мощность пласта (точки и изображены на рис. 9):

Рис. 9 Схема кругового пласта

2. Результаты

В задачнике [1] приводится задача со следующими данными: радиус скважины =10 см; радиус пласта =350 м; коэффициент проницаемости =0.8 Д; динамический коэффициент вязкости =5 сП; давление на контуре питания =27.9 МПа; давление на забое скважины =7.84 МПа; центральный угол =120; мощность пласта =12 м.

Найдем величину и дебит скважины (вычисления проводились с использованием математического пакета Wolfram Mathematica 8).

В данном случае .

Дебит при вышеперечисленных данных равен . Если же решать задачу предложенным в задачнике [1] методом осреднения контурного давления по всей длине окружности пласта и сведением ее к плоскорадиальной, то получим . Ответы значительно отличаются друг от друга. Это означает, что решение, приведенное в задачнике, не применимо к данной задаче.

3. Исследование дебита при разных углах

Рассмотрим дебит при различных углах раскрытия проницаемого контура пласта (рис.10), полученный описанным методом с применением теории комплексного потенциала.

Рис. 10 Зависимость дебита скважины от угла

По графику видно, что с увеличением угла раствора увеличивается и дебит скважины , при этом зависимость имеет нелинейный характер, стремясь к дебиту скважины в круговом пласте с полностью проницаемым контуром.

В случае, когда угол , движение будет плоскорадиальным. При плоскорадиальном движении векторы скорости фильтрации направлены по радиусам к оси скважины. Если на внешней границе пласта, совпадающей с контуром питания, поддерживается постоянное давление , а на забое скважины постоянное давление , пласт однороден по пористости и проницаемости, фильтрация происходит по закону Дарси, то объемный дебит скважины определится по формуле Дюпюи:

Дебит, рассчитанный по данной формуле, равен = и в точности совпадает с дебитом, вычисленным с помощью комплексного потенциала.

4. Исследование скорости жидкости внутри пласта

Далее во всех вычислениях, выполним нормировку таким образом, что радиус пласта будет равен , а радиус скважины =0.001.

С помощью математического пакета Wolfram Mathematica 8 строится линия тока и распределение модуля скорости внутри пласта при разных значениях (рис. 11 - 14).

Рис. 11 Результаты расчетов при : а) линия тока; и б) распределение модуля скорости фильтрации

Линия тока - это линия, в каждой точке которой касательная к ней совпадает по направлению со скоростью частицы жидкости в данный момент времени. Совокупность линий тока позволяет наглядно представить в каждый момент времени поток жидкости, давая как бы моментальный фотографический снимок течения. Если течение жидкости установившееся, то есть скорость в каждой точке не изменяется со временем, то линии тока совпадают с траекториями частиц [4,5].

На рис.11 представлено примерное течение жидкости в пласте при угле раствора . На рис.11,а изображено семейство линий тока. Можно увидеть, что жидкость входит в скважину не только со стороны источника, но и со всего контура скважины. На рис.11,б представлено распределение модуля скорости. Область светлого цвета соответствует области большей по модулю скорости, область темного цвета - области с меньшими скоростями. Скорость увеличивается при приближении жидкости к скважине. При обходе кругового пласта скорость фильтрации уменьшается. Так же заметно, что на краях контура питания скорости принимают относительно высокие значения. Это объясняется характером «обтекания» краевых точек непроницаемого участка контура пласта.

Рис. 12 Результаты расчетов при : а) линия тока; и б) распределение модуля скорости фильтрации

Рис. 13 Результаты расчетов при : а) линия тока; и б) распределение модуля скорости фильтрации

Рис. 14 Результаты расчетов при : а) линия тока; и б) распределение модуля скорости фильтрации

Рассмотрим эпюру скоростей фильтрации на окружности радиуса скважины (рис.15). Заметно, что величина притока жидкости к скважине принимает большие значения со стороны контура. При этом отношение величины притока со стороны контура питания к притоку противоположной стороны возрастает при уменьшении угла раствора.

Рис. 15 Эпюра скоростей фильтрации при

5. Динамика контурного фронта

Рассмотрим динамику продвижения к скважине частиц, изначально расположенных на контуре питания . Данный процесс имеет практический интерес при моделировании притока к скважине некоторой примеси, переносимой насыщающий пласт жидкостью. Кроме того, полученные результаты можно использовать в качестве грубой оценки продвижения к вскрывающей нефтяной пласт скважине фронта воды от контура питания. Упрощение заключается в пренебрежении изменением гидропроводности зоне проникновения воды. В рамках данного упрощения будем далее называть рассматриваемый подвижный фронт изосатой.

Линия изосат - линия, вдоль которой насыщенность принимает постоянное значение. Построим динамику такой линии при разных значениях угла .

При численных расчетах контур питания, в данном случае, дуга окружности радиуса с центральным углом , был разделен n точками со сгущением на краях для большей наглядности. Точки изосат были нанесены на семейство линий тока для подробной иллюстрации движения жидкости (рис. 16 - 19).

Рис. 16 Положения точек изосат, нанесенные на семейство линий тока при

Красным цветом показано расположение точек в такой момент времени, при котором, хотя бы одна точка достигла скважины. Шаг по времени между пересчетом координат точек остальных линий изосат одинаков.

На рис.16 видно, что точка, достигшая скважины первой находится по горизонтальной оси. Но при других углах это не выполняется (рис. 17 - 18).

Рис. 17 Положения точек изосат, нанесенные на семейство линий тока при

При проектировании разработки нефтяных месторождений в условии водонапорного режима, когда нефть вытесняется в скважины напором краевых вод, необходимо вычислить коэффициент извлечения нефти. Если предположить, что за счет меньшей вязкости воды извлечение нефти прекращается, как только фронт воды достигает скважину, а рассмотренный выше фронт создает границу раздела воды и нефти, то коэффициент извлечения нефти можно грубо оценить по распределению воды на момент достижения данным фронтом границы скважины (рис.21 - 23). Используя координаты крайних точек в промежуточный момент времени, соединим начальную и предельную линию изосат.

Рис. 21 Разделение предельной линией изосаты на две области при