Статистика производительности труда

При h = 0,048 млн руб./чел. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2

Номер группы	Нижняя граница, млн руб./чел.	Верхняя граница, млн руб./чел.
1	0,12	0,168
2	0,168	0,216
3	0,216	0,264
4	0,264	0,312
5	0,312	0,36

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число организаций, входящих в каждую группу (частоты групп

Процесс группировки единиц совокупности по признаку Уровень производительности труда представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 3 (графа 4 этой таблицы необходима для построения аналитической группировки в Задании 2).Таблица 3.Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и аналитической группировки



Группы организаций по уровню производительности труда.	Номер организации	Среднесписочная численность работников, чел.	Выпуск продукции, млн. руб.
1	2	3	4
0,12 - 0,168	15	120	14,4
	20	130	18,2
	2	156	23,4
Всего	3	406	56
0,168 - 0,216	6	158	26,86
	24	158	28,44
	10	159	30,21
	21	159	31,8
Всего	4	634	117,31
0,216 - 0,264	14	161	35,42
	29	161	35,903
	1	162	36,45
	16	162	36,936
	22	162	39,204
	9	163	40,424
	18	164	41
	5	165	41,415
	27	166	41,832
	11	167	42,418
	25	168	43,344
	3	179	46,54
Всего	12	1980	480,886
0,264 - 0,312	30	186	50,22
	13	187	51,612
	17	188	53,392
	8	190	54,72
	19	192	55,68
	23	193	57,128
	4	194	59,752
Всего	7	1330	382,504
0,312 - 0,36	12	205	64,575
	28	207	69,345
	26	208	70,72
	7	220	79,2
Всего	4	840	283,84
ИТОГО	30	5190	1320,54

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируется итоговая таблица 4, представляющая интервальный ряд распределения организаций по уровню производительности труда.

Таблица 4

Распределение организаций по уровню производительности труда

Номер группы	Группы организаций по уровню производительности труда, х	Число организаций, f
1	0,12 - 0,168	3
2	0,168 - 0,216	4
3	0,216 - 0,264	12
4	0,264 - 0,312	7
5	0,312 - 0,36	4
	Итого	30

Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 - 6 табл. 1.4. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

Таблица 5

Структура организаций по уровню производительности труда

№ группы	Группы организаций по уровню производительности труда	Число организаций, fj	Накопленная частота, Sj	Накопленная частоcть, %
		в абсолютном выражении	в % к итогу
1	2	3	4	5	6
1	0,12 - 0,168	3	10,0	3	10,0
2	0,168 - 0,216	4	13,33	7	23,33
3	0,216 - 0,264	12	40,0	19	63,33
4	0,264 - 0,312	7	23,34	26	86,67
5	0,312 - 0,36	4	13,33	30	100
	Итого	30	100,0

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности организаций показывает, что распределение организаций по уровню производительности труда не является равномерным: преобладают организации с производительностью труда в пределах от 0,216 до 0,264 млн руб./чел. (это 12 организаций, доля которых составляет 40%); 23,34% с производительностью труда в пределах от 0,264 до 0,312 млн руб./чел.; 23,33 % организации с производительностью труда менее 0,216 млн руб./чел., а 86,67% - менее 0,312 млн руб./чел..

1.2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и путем расчетов

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода Мо для дискретного ряда - это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности Если в дискретном ряду все варианты встречаются одинаково часто, то в этом случае мода отсутствует. Могут быть распределения, где не один, а два (или более) варианта имеют наибольшие частоты. Тогда ряд имеет две (или более) моды, распределение является бимодальным (или многомодальным),что указывает на качественную неоднородность совокупности по изучаемому признаку.. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

Рис. 1 Определение моды графическим методом

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

(3)

где х_Мo - нижняя граница модального интервала,

h -величина модального интервала,

f_Mo - частота модального интервала,

f_Mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл.1.3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 0,216 - 0,264 млн руб./чел., так как его частота максимальна (f₃ = 12).

Расчет моды по формуле (3):

млн руб./чел.

Вывод. Для рассматриваемой совокупности организаций наиболее распространенный уровень производительности труда характеризуется средней величиной 0,245.

Медиана Ме - это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).

Рис. 2. Определение медианы графическим методом

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

, (4)

где х_Ме- нижняя граница медианного интервала,

h - величина медианного интервала,

- сумма всех частот,

f_Ме - частота медианного интервала,

S_Mе-1 - кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

В демонстрационном примере медианным интервалом является интервал 0,216 - 0,264 млн руб./чел., так как именно в этом интервале накопленная частота S_j = 19 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности (=).

Расчет значения медианы по формуле (4):

млн руб./чел.

Вывод. В рассматриваемой совокупности организаций половина организаций имеют в среднем уровень производительности труда не более 0,248 млн руб./чел., а другая половина - не менее 0,248 млн руб./чел..

3. Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик ряда распределения , ?, ?2, V_? на основе табл. 5 строится вспомогательная таблица 6 ( - середина j-го интервала).

Таблица 6

Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения

Группы организаций по уровню производительности труда, млн. руб./чел.	Середина интервала,	Число организаций, fj
1	2	3	4	5	6	7
0,12 - 0,168	0,144	3	0,432	-0,104	0,01	0,03
0,168 - 0,216	0,192	4	0,768	-0,056	0,003	0,012
0,216 - 0,264	0,24	12	2,88	-0,008	0,000064	0,000768
0,264 - 0,312	0,288	7	2,016	0,04	0,0016	0,0112
0,312 - 0,36	0,336	4	1,344	0,088	0,007744	0,030976
Итого		30	7,44	- 0,04	0,022408	0,084944

Расчет средней арифметической взвешенной:

Расчет среднего квадратического отклонения:

Расчет дисперсии:

?2 =0,05322=0,0028млн.руб/чел.

Расчет коэффициента вариации:

Вывод. Анализ полученных значений показателей и ? говорит о том, что средний выпуск продукции организаций составляет 0,248 млн. руб./чел., отклонение от среднего уровня в ту или иную сторону составляет в среднем 0,0532 млн руб./чел. (или 21,45%), наиболее характерные значения уровня производительности труда находятся в пределах от 0,1948 млн руб./чел. до 0,3012 млн руб./чел. (диапазон ).

Значение V_? = 21,45% не превышает 33%, следовательно, вариация уровня производительности труда в исследуемой совокупности организаций незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно (=0,248 млн руб./чел, Мо=0,245 млн руб./чел., Ме=0,248 млн руб.\чел.), что подтверждает вывод об однородности совокупности организхаций. Таким образом, найденное среднее значение уровня производительности труда (0,248 млн руб./чел.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности организаций.

4.Вычисление средней арифметической по исходным данным

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

(8)

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти организаций, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

Задание 2

По исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Среднесписочная численность работников и Выпуск продукции, образовав по каждому признаку пять групп с равными интервалами, используя методы:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

2. Оценить тесноту корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.

Выполнение Задания 2

Целью выполнения данного Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи и оценка ее тесноты.

Факторный и результативный признаки либо задаются в условии задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая сущность явления и определены факторный и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа данных.

По условию Задания 2 факторным является признак Уровень производительности труда (X), результативным - признак Выпуск продукции (Y).

1. Установление наличия и характера связи между признаками Уровень производительности труда и Выпуск продукции методами аналитической группировки и корреляционной таблицы

1а. Применение метода аналитической группировки

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х - Уровень производительности труда и результативным признаком Y - Выпуск продукции. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):

Таблица 7

Зависимость суммы прибыли банков от объема кредитных вложений

Номер группы	Группы организаций по уровню производительности труда, х	Число организаций, fj	Выпуск продукции, млн руб.
			всего	в среднем на одну организацию,
1
2
3
4
Итого

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8.

Таблица 8

Зависимость выпуска продукции организаций от выпуска продукции

Номер группы	Группы организаций по уровню производительности труда, х	Число организаций, fj	Выпуск продукции, млн руб.
			всего	в среднем на одну организацию,
1	2	3	4	5=4:3
1	0,12 - 0,168	3	56	18,666
2	0,168 - 0,216	4	117,31	29,327
3	0,216 - 0,264	12	480,886	40,073
4	0,264 - 0,312	7	382,504	54,643
5	0,312 - 0,36	4	283,84	70,96
	Итого	30	1320,54	213,669

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением уровня производительности труда от группы к группе систематически возрастает и выпуск продукции в среднем по каждой группе организаций, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

1б. Применение метода корреляционной таблицы.

Корреляционная таблица представляет собой комбинацию двух рядов распределения. Строки таблицы соответствуют группировке единиц совокупности по факторному признаку Х, а графы - группировке единиц по результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по факторному признаку и в k-ый интервал по результативному признаку. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему. Расположение частот по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему говорит об обратной связи.

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y. Величина интервала и границы интервалов для факторного признака Х - Уровень производительности труда известны из табл. 8. Для результативного признака Y - Выпуск продукции величина интервала определяется по формуле (1) при k = 5, у_max = 79,2 млн руб., у_min = 14,4 млн руб.:

Границы интервалов ряда распределения результативного признака Y имеют следующий вид (табл. 9):

Таблица 9

Номер группы	Нижняя граница, млн руб.	Верхняя граница, млн руб.
1	14,4	27,36
2	27,36	40,32
3	40,32	53,28
4	53,28	66,24
5	66,24	79,2

Подсчитывая с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ) число банков, входящих в каждую группу (частоты групп), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 10).

Таблица 10

Распределение организаций по выпуску продукции

Группы организаций по выпуску продукции, млн. руб., х	Число организаций, fj
14,4 - 27,36	4
27,36 - 40,32	8
40,32 - 53,28	9
53,28 - 66,24	6
66,24 - 79,2	3
Итого	30

Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 11).

Таблица 11

Корреляционная таблица зависимости выпуска продукции от уровня производительности труда

Группы организаций по уровню производительности труда, млн руб./чел.	Группы организаций по выпуску продукции, млн. руб.
	14,4 - 27,36	27,36 - 40,32	40,32 - 53,28	53,28 - 66,24	66,24 - 79,2	Итого
0,12 - 0,168	3
0,168 - 0,216	1	3
0,216 - 0,264		5	7
0,264 - 0,312			2	5
0,312 - 0,36				1	3
Итого	4	8	9	6	3	30

Вывод. Анализ данных табл. 11 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между уровнем производительности труда и выпуском продукции.

2. Измерение тесноты корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Для измерения тесноты связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели - эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации оценивает, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

, (9)

где - общая дисперсия признака Y,

- межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

, (10)

где y_i - индивидуальные значения результативного признака;

- общая средняя значений результативного признака;

n - число единиц совокупности.

Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

(11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

(12)

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет по формуле (11):

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Номер организации п/п	Выпуск продукции, млн руб.
1	2	3	4	5
1	36,45	-7,568	57,274	1328,602
2	23,4	-20,618	425,101	547,56
3	46,54	2,522	6,360	2165,971
4	59,752	15,734	247,558	3570,301
5	41,415	-2,603	6,775	1715,202
6	26,86	-17,158	294,396	721,459
7	79,2	35,182	1237,773	6272,64
8	54,72	10,702	114,532	2994,278
9	40,424	-3,594	12,916	1634,099
10	30,21	-13,808	190,660	912,644
11	42,418	-1,6	2,56	1799,286
12	64,575	20,557	422,590	4169,930
13	51,612	7,594	57,668	2663,798
14	35,42	-8,598	73,925	1254,576
15	14,4	-29,618	877,225	207,36
16	36,936	-7,082	50,154	1364,268
17	53,392	9,374	87,871	2850,705
18	41	-3,018	9,108	1681
19	55,68	11,662	136,002	3100,262
20	18,2	-25,818	666,569	331,24
21	31,8	-12,218	149,279	1011,240
22	39,204	-4,814	23,174	1536,953
23	57,128	13,11	171,872	3263,608
24	28,44	-15,578	242,674	808,833
25	43,344	-0,674	0,454	1878,702
26	70,72	26,702	712,996	5001,318
27	41,832	-2,186	4,778	1749,916
28	69,345	25,327	641,456	4808,729
29	35,903	-8,115	65,853	1289,025
30	50,22	6,202	38,464	2522,048
Итого	1320,54	0	7028,017	65155,553

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

где - средняя из квадратов значений результативного признака,

- квадрат средней величины значений результативного признака.

Для демонстрационного примера

Тогда

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

, (13)

где -групповые средние,

- общая средняя,

-число единиц в j-ой группе,

k - число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 13 При этом используются групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы организаций по уровню производительности труда	Число организаций,	Среднее значение в группе
1	2	3	4	5
0,12 - 0,168	3	18,666	-25,352	1928,171
0,168 - 0,216	4	29,327	-14,691	863,301
0,216 - 0,264	12	40,073	-3,945	186,756
0,264 - 0,312	7	54,643	10,625	790,234
0,312 - 0,36	4	70,96	26,942	2903,485
Итого	30			6671,947

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (11):

Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

или 94,9%

Вывод. 94,9% вариации выпуска продукции организаций обусловлено вариацией уровня производительности труда, а 5,1% - влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

(14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 14

Шкала Чэддока

	0,1 - 0,3	0,3 - 0,5	0,5 - 0,7	0,7 - 0,9	0,9 - 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного отношения по формуле (14):

или 97,4%

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между уровнем производительности труда и выпуском продукции организаций является весьма тесной.

Задание 3

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,954 необходимо определить:

1) ошибку выборки среднего уровня производительности труда и границы, в которых будет находиться производительность труда в генеральной совокупности.

2) ошибку выборки доли организаций с уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел и более, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3

Целью выполнения данного Задания является определение для генеральной совокупности организаций региона границ, в которых будут находиться величина среднего уровня производительности труда организаций и доля организаций с уровнем производительности труда не менее 0,264 млн руб./чел.

1. Определение ошибки выборки среднего уровня производительности труда организаций и границы, в которых будет находиться генеральная совокупность.

Применение выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно представлены в выборке статистические свойства генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ?, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

Значения признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок - среднюю и предельную .

Средняя ошибка выборки - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[].

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка выборочной средней определяется по формуле

, (15)

где - общая дисперсия выборочных значений признаков,

N - число единиц в генеральной совокупности,

n - число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

, (16)

где - выборочная средняя,

- генеральная средняя.

Границы задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

В экономических исследованиях чаще всего используются доверительные вероятности Р= 0.954, Р= 0.997, реже Р= 0,683.

В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки ? кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней это теоретическое положение выражается формулой

(17)

Значения t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 15):

Таблица 15

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

По условию задачи выборочная совокупность насчитывает 30 организаций, выборка 20% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 150 организаций. Выборочная средняя , дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 16:

Таблица 16

Р	t	n	N
0,954	2	30	150	0,248	-,0028

Расчет средней ошибки выборки по формуле (15):

,

Расчет предельной ошибки выборки по формуле (17):

Определение по формуле (16) доверительного интервала для генеральной средней:

0,248-0,000150,248+0,00015

0,24785 млн руб./чел. 0,24815 млн руб.

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования организаций региона с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности организаций средний уровень производительности труда находится в пределах от ,024785 млн руб./чел. до 0,24815 млн руб./чел.

3. Определение ошибки выборки доли организаций с уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел и более, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля.

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

, (18)

где m - число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

n - общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

, (19)

где w - доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

(1-w) - доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

N - число единиц в генеральной совокупности,

n- число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:

(20)

4. По условию Задания 3 исследуемым свойством является равенство или превышение уровня производительности труда величины 0,264 млн руб./чел.

Число организаций с заданным свойством определяется из табл. 3 (графа 3):

m=11

Расчет выборочной доли по формуле (18):

Расчет по формуле (19) предельной ошибки выборки для доли:

Определение по формуле (20) доверительного интервала генеральной доли:

0,21 0,524

или

21% 52,4%

5. Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности организаций доля организаций с уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел. и выше будет находиться в пределах от 21% до 52,4%.

Задание 4

По исходным данным табл. 17 необходимо выполнить следующее:

1. Определить уровни среднечасовой, среднедневной и среднегодовой производительности труда, их динамику и взаимосвязь. Расчеты представить в таблице.

2. Определить абсолютный прирост среднегодовой производительности труда одного работника за счет отдельных факторов (среднечасовой производительности труда рабочего, средней продолжительности рабочего дня, и рабочего года, доли рабочих в общей численности работников).

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 4.

Таблица 17

Имеются следующие данные по организации за два года:

№ п/п	Показатели	Базисный год	Отчетный год
1.	Выпуск продукции (в сопоставимых ценах), млн.руб.	40,8	54,2
2.	Среднесписочная численность работников, чел.	164	180
3.	В том числе рабочих, чел.	130	145
4.	Отработано рабочими чел.-дней	31200	33060
5.	Отработано рабочими чел.-ч	240 240	261 174

Выполнение Задания 4.

1 часть.

· Средняя часовая выработка отражает результаты труда одного

рабочего за час фактиче-ской работы. Она равна отношению объема произведенной продукции к числу человеко-часов, фактически отработанных в течение данного периода времени

· Средняя дневная выработка. Она равна отношению объема

произведенной продукции к числу человеко-дней, фактически отработанных всеми рабочими предприятиями.

· Средняя выработка за период времени (среднемесячная, среднеквартальная, среднегодовая) одного списочного рабочего или работника всего персонала, непосредственно связанного с производством данной продукции (промышленно-производственного персонала). Она равна отношению объема продукции к среднесписочной численности рабочих (Т_Р) или работников промышленно - производственного персонала (Т_ППП) соответственно.

или

1. Средняя часовая выработка:

- Базисный период

= 40,8 / 240240 = 0,0001 млн.руб.

- Отчетный период

= 54,2 / 240240 = 0,0002 млн.руб.

2. Средняя дневная выработка.

- Базисный период

= 40,8 / 31200 = 0,0013 млн.руб.

- Отчетный период

= 54,2 / 33060 = 0,0016 млн.руб.

3. Средняя выработка за год одного списочного рабочего

- Базисный период

= 40,8 / 164 = 0,2488 млн. руб.

- Отчетный период

= 54,2 / 180 = 0,3011 млн. руб.

4. Средняя выработка за год работника всего персонала, непосредственно связанного с производством данной продукции

- Базисный период

= 40,8 / 130 = 0,3138 млн.руб.

- Отчетный период

= 54,2 / 145 = 0,3738 млн.руб.

Определение динамики рассчитанных показателей и их

взаимосвязи.

В случае трудового метода измерения производительности труда, когда в качестве соизмерителя труда используют величину трудоемкости единицы продукции в чел.-часах, чел-днях, ср.выработки за год.

I = v1 / v2

где v₁, v₀ - производительность труда в натуральном выражении в отчетном и базисном периодах;

Индекс показывает, во сколько раз изменились затраты времени (труда) на производство продукции в результате изменения её трудоёмкости (производительности труда), или сколько % составило снижение (рост) затрат времени на производство продукции из-за изменения трудоёмкости.

1) Динамика средней часовой выработки :

I = 0,0002 / 0,0001 = 2 млн.руб.

2) Динамика средней дневной выработки :

I = 0,0016 / 0,0013 = 1,2307 млн.руб.

3) Динамика средней выработки за год одного списочного рабочего:

I = 0,3011 / 0,2488 = 1,2102 млн.руб.

4) Динамика средней выработки за год одного списочного рабочего:

I = 0,3738 / 0,3138 = 1,1912 млн.руб.

Между показателями часовой, дневной выработки од-ного рабочего предприятия существуют следующие взаимосвязи:

Среднедневная выработка связана со среднечасовой:

,

ПРД - средняя фактическая продолжительность рабочего дня в человеко-часах.

В базисном периоде ПРД = 240240 / 31200 = 7,7 чел - ч.

В отчетном периоде ПРД = 261174 / 33060 = 7,9 чел - ч.

Таким образом,

В базисном периоде:

Wд = 0,0001? 7,7 = 0,00077

В отчетном периоде:

Wд = 0,0002 ? 7,9 = 0,00158

Средняя выработка одного рабочего за период связана со среднедневной и среднечасовой:

ПРП - средняя фактическая продолжительность рабочего периода в человеко-днях (среднее число дней фактической работы на одного списочного рабочего за период)

В базисном периоде ПРП = 31200 / 164 = 190,24 чел - дней.

В отчетном периоде ПРП = 33060 / 180 = 183,66 чел - дней

В базисном периоде:

W = 0,00077 ? 190,24 = 0,1465 или W = 0,0001 ? 7,7 ? 190,24 = 0,1465

В отчетном периоде:

W = 0,00158 ? 183,66 = 0,2902 или W = 0,0002 ? 7,9 ? 183,66 = 0,2902

Средняя выработка одного работника промышленно-производственного персонала за период связана с показателями средней выработки рабочих:

, (8)

где -выработка на одного работника промышленно-производственного персонала за период;

- доля рабочих в общей численности промышленно-производственного персонала;

В базисном периоде: d рабочих = 130 / 164 = 0,7927

В отчетном периоде: d рабочих = 145 / 180 = 0,8055

В базисном периоде:

W ппп = 0,7927?190,24?7,7?0,0001 = 0,1161

В отчетном периоде:

W ппп = 0,8055?183,66?7,9?0,0002 = 0,2337

Показатели	Базовый период	Отчетный период	Индекс динамики
Средняя часовая выработка	0,0001	0,0002	2
Средняя дневная выработка	0,0013	0,0016	1,2307
Средняя выработка за год одного списочного рабочего	0,2488	0,3011	1,2102
Средняя выработка за год работника всего ППП.	0,3138	0,3738	1,1912
Взаимосвязь сред/днев. и сред/час. выработки.	7,7	7,9
Взаимосвязь средней выработки одного рабочего за год со сред/днев. и сред/час.	0,1465	0,2902
Взаимосвязь средней выработки одного рабочего ППП за год с показателями средней выработки рабочих	0,1161	0,2337

Вывод:

На основании исходных данных были определены уровни среднечасовой, среднедневной и среднегодовой производительности труда, а также их динамика и взаимосвязь.

За время с базового до отчетного периода произошло

- увеличение среднечасовой выработки с 0,0001 до 0,0002 млн.руб, с индексом динамики равным 2;

- увеличение среднедневной выработки с 0,0013 до 0,0016 млн.руб, с индексом динамики равным 1,2307

- увеличение средней выработки за год одного списочного работника с 0,2488 до 0,3011 млн.руб, с индексом динамики равным 1,2102

- увеличение средней выработки за год одного списочного работника с 0,3138 до 0,3738 млн.руб, с индексом динамики равным 1,1912

- увеличение средней выработки за год одного списочного работника с 0,3138 до 0,3738 млн.руб, с индексом динамики равным 1,1912

- Средняя продолжительность рабочего дня увеличилась с 7,7 чел-часов до 7,9 чел.-часов

2 часть.

Определить абсолютный прирост среднегодовой производительности труда одного работника за счет отдельных факторов (среднечасовой производительности труда рабочего, средней продолжительности рабочего дня, и рабочего года, доли рабочих в общей численности работников).

	Базисный период	Отчетный период	Абсолютный прирост
Среднечасовая производительность труда рабочего, млн. руб.	0,0001	0,0002	0,0001
Средняя продолжительность рабочего дня,чел - час	7,7	7,9	0,2
Средняя продолжительность рабочего года, чел - дн.	190,24	183,66	-6,58
Доля рабочих в общей численности работников, %	79,27	80,55	1,28

1. Абсолютный прирост Среднечасовой производительности труда рабочего с базисного периода по отчетный составил:

0,0002 - 0,0001 = 0,0001 млн. руб.

2. Абсолютный прирост Средней продолжительности рабочего дня с базисного периода по отчетный составил:

7,9 - 7,7 = 0,2 чел - час.

3. Абсолютный прирост Средней продолжительности рабочего года с базисного периода по отчетный составил:

183,66 - 190,24 = - 6,58 чел - дн.

4. Абсолютный прирост Доли рабочих в общей численности работников с базисного периода по отчетный составил:

80,55 - 79,27 = 1,28%

Вывод:

Определила абсолютный прирост среднегодовой производительности труда одного работника за счет отдельных факторов:

среднечасовая производительность труда рабочего 0,0001 млн.руб,

средняя продолжительность рабочего дня 0,2 чел-час,

средняя продолжительность рабочего года - 6,58 чел-дн,

доля рабочих в общей численности работников 1,28%.

Литература

1. Гусаров В.М. Статистика: Учебник. - М.: Юнити-дана, 2001

2. Яковлев Г.А. Экономика и статистика туризма: Учебное пособие. - М.: Издательство РДЛ, 2002

3. Интернет ресурсы.