Du travail individual de la resistance de materiaux calcul des tiges a la resistance

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MINISTERE DE L`EDUCATION ET DES SCIENCES D`UKRAINE

UNIVERSITE NATIONALE TECHNIQUE DE DONETSK

Departement Francais technique

Chaire “Bases de la projection”

NOTICE EXPLICATIVE

Du travail individual de la resistance de materiaux

CALCUL DES TIGES A LA RESISTANSE

l'etudiante du group KESf-10

Le consultant, professeur

Donetsk, 2012

Table des matieres

Introduction

1. Calcul de la tige a la tractoin ( compression )

1.1 Determination des reactions des appuis

1.2 Calcul des efforts interieurs

1.3 Construction de l'epure des efforts interieurs

1.4 Determination des dimensions des sections transversales de la tige

1.5 Construction des epures des contraintes normales et des deplacements longitudinaux des sections de la tige

1.6 Analyse de l'etat de contraintes dans en point de la tige

Conclusion

Index bibliographique

Introduction

La resistance des materiaux, aussi appelee RDM, est une discipline particuliere de la mecanique des milieux continus permettant le calcul des contraintes et deformations dans les structures des differents materiaux (machines, genie mecanique, batiment et genie civil).

Dans ce travail, nous introduisons une direction unique de la science RDM - calcul de la tige a la tractoin ( compression ) .

1.Calcul de la tige a la tractoin ( compression )

matiere resistance tige

Devoir. Pour la tige, le schema de laquelle est represente sur le fig. 1, il faut faire le travail suivant:

determiner la reaction de l'appui;

calculer des efforts interieurs longitudinaux et construire leurs epures;

verifier la verite de la construction de ces epures;

determiner des dimensions des sections transversales de la tige et les standardiser;

construire des epures des contraintes normales et des deplacements des section;

analyser l'etat de contrainte dans en point a l'interieure de la tige.

La tige a les dimensions longitudinales: l₁=0,4 m, l₂ =0.8 m, l₃=0,8 m, l₄ =0,9 m est chargee par les forces exterieures axiales: F₁ =70 kN, F₂=130 kN, F₃=100 kN; matiere - fonte, contraintes admissibles [у]=30 MPa (ANNEXE I). La position de la section de la tige sur laquelle il faut etudier l'etat de contrainte est determinee par l'angle б =30°.

1.1 Determination des reactions des appuis

En rejetant la liaison (l'appuie) et la remplacant par la reaction R (fig. 1.1) l'equation d'equilibre est ecrite en forme de l'egalite a zero de la somme des projections de toutes les forces sur l'axe z de la maniere suivante:

Fig. 1.1. Determination de la reaction de l'appuie

 ou -

De l'expression nous obtenon la reaction R :

Le signe positive de la reaction R temoigne que sa direction etait exactement fixee a priori.

1.2 Calcul des efforts interieurs

Tout d'abord il faut partager la tige en segments le longe desquels les forces exterieures ne se changent pas. La tige examinee a trois segments (fig. 1.1):

I. l_I=0.4m

II. l_II=l+l₃=1.2 m

III. l_III=l₄=0.9 m

En utilisant la methode des sections on determine comment des efforts interieurs se changent le long de chaque segment.

Le segment I.

On trace la section transversale qui divise la tige en deux partie: gauche et droite. Il est preferable de considerer cette partie au nombre minimale des forces exterieures. Pour la tige examinee c'est la partie gauche, dont la longueur est z_I, (fig. 1.2a). Les limites du changement de la valeur z_I : 0? z_I? l_I .

L'effort interieur en cette section est determine selon la foi-mule :

(1)

Donc l'equation du changement de l'effort interieur le long du segment l_I est suivante:

N_I=160 kN (2)

Il faut souligner que l'equation (2) ne comporte pas la cordonnee z_I. Cela signifie que pour n'importe valeur z_I de l'intervalle 0? z_I?0.4 m l'effort interieur N_I est le meme - N_I = 160 kN.

Le segment II.

On trace la section transversale par le segment l_II et considere la partie gauche, dont la longueur est z_II (fig. 1.2a). Les limites du changement de la valeur z_II : 0? z_II? l_II .

L'effort interieur dans cette section est determine analogiquement a la section l_I :

(3)

Donc l'equation du changement de l'effort interieur en long du segment l_II est suivante:

N_II=230kN (4)

L'equation (4) ne comporte pas la cordonnee z_II . Cela signifie que pour n'importe valeur z_II de l'intervalle 0? z_II?1.2 m l'effort interieur N_II est le meme - N_II = 230kN.

Le segment III.

On trace la section transversale par le segment l_III et considere la partie droite, dont la longueur est z_III (fig. 1.2a). Les limites du changement de la valeur z_III : 0? z_III? l_III .

L'effort interieur dans cette section est determine analogiquement a la section l_I :

(5)

Donc l'equation du changement de l'effort interieur en long du segment l_III est suivante:

N_III=-100kN (6)

L'equation (6) ne comporte pas la cordonnee z_III . Cela signifie que pour n'importe valeur z_III de l'intervalle 0? z_III?0.9 m l'effort interieur N_III est le meme - N_III = -100kN.

1.3 Construction de l'epure des efforts interieurs

La construction de l'epure des efforts interieurs se ramene a la representation graphique des equations (2), (4) et (6). Ces formules representent des equations des lignes droites paralleles a l'axe de l'ordonnee.

Apres avoir pris l'echelle d'effort (nombre des Newtons dans un mm du dessin) on construit l'epure des efforts interieurs qui represente sur la fig. 1.2b .

Pour verifier la construction de l'epure des efforts interieurs la methode des sauts selon laquelle le changement de l'effort interieur est egale a la force exterieure. Les valeurs des sauts des efforts interieurs et les valeurs forces exterieures aux points de leur application (points a,b,c et e sur la fig. 1.2b ) sont representees au tableau 1.

Tableau 1.

Verification de l'epure des efforts interieurs

Point d'application de la force exterieure (fig. 1.2b)	Saut de l'effort interieur (fig. 1.2b) kN	Force exterieure kN
a	160	R=160
c	230-160=70	F1=70
d	-100+250=150	F2=130
e	-100	F3=-100

Fig. 1.2. Calcul de la tige a la traction (compression)

La comparaison montre que les sauts des efforts interieur sont egale aux forces exterieures. Cela signifie que l'epure des efforts interieur est vraie.

1.4 Determination des dimensions des sections transversales de la tige

La tige examinee est compose de quatre segments des sections et des dimensions differentes (segment l_I a deux segments de la sections differentes). Les dimensions de chaque section dependent de la meme parametre: a (fig. 1.0). Donc il faut trouver parametre a pour chaque segment et choisir parmi eux la plus, grande valeur (fig. 1.2).

Segment l₁ .

La condition de la resistance:

(7)

d'o?

(8)

Segment l₂ .

La condition de la resistance:

(9)

d'o?

(9)

Segment l₃ .

La condition de la resistance:

(11)

d'o?

(12)

Segment l₄ .

La condition de la resistance:

(13)

d'o?

(14)

On peut voir que la valeur du parametre a' qui assure la resistance de tout les segments est a=a= 58.14mm. En fonction de ce parametre on calcule les dimensions des sections transversales de tout les segments, puis il faut les standardiser et determiner la surface des sections. Les resultats des calculs sont represente au tableau 2.

Tableau 2.

Determination et standardisation des dimensions transversales de la tige

Segment	Dimension calculee, mm	Dimension standardisee,mm (Annexe 2)	Surface de la section mm2
l1	b =1.2a= 69.72	d1=84	b = a2 = 7056
l2	d2= a= 69.72	a2=70
l3	d3= a= 69.72	a3=70
l4	a4=1.3a=90.34	a4=92

En faisant la standardisation des dimensions il faut prendre la valeur la plus grande proche. Mais il est plus preferable d'utiliser le plus petit rang ( Ra_min ). Que moins numero du range, il est applique plus souvent a l'industrie.

1.5 Construction des epures des contraintes normales et des deplacements longitudinaux des sections de la tige

Construction des epures des contraintes normales.

On trouve les contraintes normales suivant la formule pour chaque segment de la tige. Il faut souligner que l'effort interieur et la surface de la section transversale sont constante aux limites du segment. Donc et les contraintes normales sont constant aussi.

Respectivement (apres avoir arrondi le resultai jusqua l'unite):

(15)

(16)

(17)

(18)

La condition de la resistance est suivante :

ou 63Mpa<90Mpa

Donc la resistance de la tige est assuree.

Apres avoir pris l'echelle des contraintes (nombre des MegaPascales dans un mm du dessin) on construit l'epure des contraintes normales qui est representee sur la fig. 1.2c. Cette epure avec la ligne qui correspond a la valeur des contraintes normales admissibles forme la representation graphique de la condition de la resistance.

Construction de l'epure des deplacements longitudinaux des section de la tige.

On distingue deux type des deplacements de la section examinee: relatif - par rapport au debut du segment et absolu - par rapport a l'appuie de la tige.

Tout d'abord on determine le deplacement relatif (fig. 1.2a).

Segment l₁ . On considere la section passee par la distance 0 ? z₁? l₁, par rapport a la section a. Ce deplacement est egale:

(19)

Si z₁= l₁, on recoit le deplacement de la section b par rapport a la section a:

 (20)

Segment l₂ . On considere la section passee par la distance 0 ? z₂? l₂, par rapport a la section b. Ce deplacement est egale:

(21)

Si z₂= l₂, on recoit le deplacement de la section c par rapport a la section b:

(22)

Segment l₃ . On considere la section passee par la distance 0 ? z₃? l₃, par rapport a la section c. Ce deplacement est egale:

(23)

Si z₃= l₃, on recoit le deplacement de la section d par rapport a la section c:

(24)

Segment l₄ . On considere la section passee par la distance 0 ? z₄? l₄, par rapport a la section d. Ce deplacement est egale:

(25)

Si z₄= l₄, on recoit le deplacement de la section e par rapport a la section d:

(26)

On compte le deplacement absolus par rapport a la section immobile c'est-a-dire par rapport a la section a. Pour les sections considerees b, c, d, e les deplacements absolus sont:

section a:

section b:

section c:

section d:

section e:

Apres avoir pris l'echelle du deplacement (nombre des mm reels dans un mm du dessin) on construit l'epure des deplacements absolus interieurs qui represente sur la fig. 1.2d.

1.6 Analyse de l'etat de contraintes dans en point de la tige

On fait souvent l'analyse de l'etat de contraintes pour le segment le plus chargee. C'est-a-dire en ce cas c'est dans le segment l_III ou les contraintes normales maximales у = 90MPa agissent. Pour analyser l'etat de contraintes au voisinage de n'importe quel point de ce segment on construit le cube elementaire. La position de ce cube dans laquelle son cote est parallele a la section transversale est representee sur la fig. 1.3a. Car sur les cotes du cube les contraintes tangentielles n'existent pas cette position on appelle la position generale et les contraintes normales s'appellent contraintes generales ().

D'apres les donnees il faut etudier l'etat de contraintes sur le plan qui se determine par l'angle б= -110°. On construit un cube elementaire au voisinage du point B sur les cote duquel agissent les contraintes

et (fig. 1.3b).

On determinent ces contraintes selon les formules :

.

.

.

.

L'etat de contrainte etudie est represente sur la fig. 1.3b.

Fig. 1.3. Etat de contrainte dans un point de la tige examinee

a) - position generale, b) - position sous l'angle -110°

Conclusion

Estimation de l'unite de la resistance des materiaux largement utilises dans les structures statiques et des disciplines connexes a la conception de pieces de machines, les batiments, ponts et routes.

En regle generale, en raison de la nature de l'evaluation des resultats obtenus avec l'aide de modeles mathematiques de la discipline, la conception de structures reelles de toutes les caracteristiques de resistance des materiaux et produits sont selectionnes avec une marge importante (plusieurs fois par rapport au resultat obtenu dans les calculs, mais habituellement pas plus de 9 fois).

Index bibliographique

1. V. Feodossiev Resistance des materiaux. - USSR, Moscou: Editions «MIR», 1971.-582p.

2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. - Москва: Наука, 1972. - 544 с.

3. Писаренко Г.С. и др. Сопротивление материалов. - Киев: Техніка, 1979. - 696 с.

4. Снитко H. К. Сопротивление материалов. Учебное пособие - Л., Изд-во Ленинір. ун-та, 1975. -368 с.

5. Кинасошвили Р. С. Сопротивление материалов. - М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1975. -384 с.

6. Ицкович Г. М. и др. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов. Учебное пособие для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 1970. -542 с.

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