Мы рассмотрели способы определения напряжений в осесимметричных тонкостенных сосудах, находящиеся под действием внутреннего давления. Основным условием применимости расчетных формул было требование тонкостенности [3]. Необходимо, чтобы толщина оболочки была существенно меньше других характерных размеров, например радиуса кривизны. Это позволяет считать напряжения равномерно распределенными по толщине и пренебрегать надавливанием между слоями оболочки.

В технике для удерживания высокого давления приходиться иметь дело и с толстостенными сосудами. Обычно это - цилиндр, внешний диаметр которого в несколько раз превышает внутренний.

Задача определения напряжений в таком цилиндре заметно сложнее, чем для тонкостенных сосудов, и одними только уравнениями равновесия обойтись не удается. Приходиться рассматривать и возникающие в цилиндре перемещения. Эту задачу называют задачей Ламе по имени французского ученого, работавшего в 20 - годах прошлого столетия в Петербургской Академии наук.

Рассмотрим однородное тело цилиндрической формы (рис.1), нагруженное тем или иным способом, но так, что внешняя нагрузка является осесимметричной и вдоль оси цилиндра не меняется. Размеры цилиндра могут быть произвольными, и на соотношение между внутренним и наружным радиусами цилиндра ограничений не накладывается.

Длину цилиндра пока также будем считать произвольной. В дальнейшем по этому поводу будут сделаны некоторые оговорки. Каждая точка цилиндра при его деформации получит какие-то перемещения. По условиям симметрии эти перемещения, очевидно, будут происходить в радиальных плоскостях.

Точка может перемещаться по направлению радиуса и вдоль соответствующей образующей. Радиальное перемещение произвольно взятой точки обозначаем через u. Величина u является функцией текущего радиуса r и не изменяется по длине цилиндра. За положительное направление для r примем направление от оси цилиндра (рисунок 5).

Рисунок 5 - Задача Ламе

Что касается перемещений вдоль оси, то будем считать, что они возникают только как следствия общего удлинения или укорочения цилиндра. Если осевые перемещения существуют, то они распределены так, что поперечные сечения цилиндра остаются плоскими.

Обозначим через и относительное удлинение в цилиндре в радиальном и окружном направлениях и выразим их через перемещение и. Для этого рассмотрим элементарный отрезок AB=dr, выделенный в радиальном направлении (рис.6), до и после нагружения цилиндра. Точка А получает перемещение и, а точка В - перемещения и + du. Легко установить, что новая длина элемента будет равна, а его относительное удлинение

Рассмотрим, далее, длину окружности, проведенной внутри цилиндра до и после его нагружения (рисунок 7) Длина окружности до нагружения цилиндра равна 2рr. После нагружения радиус увеличится на u и длина окружности

Или

Обратимся теперь к уравнениям равновесия.

Рисунок 6. Элементарный отрезок до и после нагружения цилиндра

Рисунок 7. Длина окружности внутри цилиндра до и после нагружения

Выделим из цилиндра элемент в форме криволинейного шестигранника. Размеры этого элемента равны dr, dz и dц.

В осевых сечениях цилиндра (плоскость ABCD элемента) по условиям осевой симметрии касательные напряжения у_t, называются окружными. В поперечных сечениях цилиндра (поверхность ADEF элемента) касательные напряжения также предполагаются равными нулю.

Основание этому служит условие независимости перемещений u от координаты Z. В поперечных сечениях могут существовать нормальные (осевые) напряжения у_z, которые возникают как следствие нагружения цилиндра силами вдоль оси. Эти напряжения предполагаются неизменными как по оси, так и по радиусу цилиндра.

Поскольку площадки ABCD и ADEF являются главными, главной будет также и площадка ADEG. Напряжение на этой площадке обозначим через у_r. Оно называется радиальным напряжением. При переходе от радиуса r к радиусу r+dr напряжение у_r получит приращение dу_r.

В перемещений в теле вращения решается в функции только одного независимого переменного - радиуса r.

Проецируя силы, действующие на элемент, на направление радиуса, получаем следующее условие равновесия:

Рисунок 8. Напряжения и перемещения в теле вращения.

Откуда

или

Остальные уравнения равновесия для элемента удовлетворяются тождественно. Согласно обобщенному закону Гука напряжения , и связаны с удлинением и следующими соотношениями:

,

Будем считать, что напряжение нам известно из условий загружения цилиндра осевыми силами по торцам.

Подставим и в выражение. Тогда в дополнение к уравнению равновесия получим.

Складывая и вычитая почленное уравнение, получим два новых уравнения:

Решая их, находим:

где А и В - произвольные постоянные.

Далее определяем

(верхнему индексу соответствует верхний знак, нижнему - нижний).

Перемещение u может быть найдено из выражения, если определить предварительно по закону Гука из:

2.2 Определение перемещений и напряжений в толстостенном цилиндре

Рассмотрим цилиндр с внутренним радиусом a и внешним b. [3] (рисунок 9).

Для общности будем полагать, что цилиндр нагружен одновременно и внутренним давлением с_a и внешним с_h. В дальнейшем, принимаем с_a=0, либо с_h=0, можно будет проанализировать отдельно случай действия.

Рисунок 9 - Действие внутреннего и внешнего давлений на цилиндр.

Только внутреннего и только внешнего давления. При этом надо еще учесть, что если цилиндр имеет днище, то в нем возникает осевая растягивающая сила, равная:

Осевое напряжение у_z будет следующим:

Длина цилиндра при этом предлагается достаточно большей для того, чтобы можно было считать, что напряжение распределено по поперечному сечению равномерно и что удерживающее влияние днищ на радиальные перемещения цилиндра ничтожно мало.

Кроме указанного, рассмотрим случай, когда =0.

Возвращаясь к формулам, определяем постоянные А и В из следующих граничных условий: при r = a: при r = b, т.е.

Откуда

В итоге получаем:

Наличие осевого напряжения сказывается только на величине радиального перемещения u. В случае, если цилиндр нагружен силами давления в осевом направлении, то согласно выражениям получаем;

Если осевая сила отсутствует, то

Теперь рассмотрим частный случай.

Цилиндр нагружен внутреннем давлением. В этом случае ,

Формула примет вид:

На рисунке 10 показаны эпюры изменения радиального и окружного напряжений по толщине цилиндра при нагружении внутренним давлением.

Окружное напряжение, как и следовало ожидать, является растягивающим, а радиальное - сжимающим.

Рисунок 10. Эпюры изменения радиального и окружного напряжений по толщине цилиндра при нагружении внутренним давлением.

У внутренней поверхности у_t достигает значения

Радиальное напряжение при этом равно - с. По теории наибольших касательных напряжений (в случае отсутствия осевой силы, т.е. при у_z=0)

Или

Проследим, как уменьшаются напряжения у_r и у_t по мере уменьшения толщины цилиндра. Примем b=a+д, где д - толщина цилиндра. Тогда

При малом значении д

Радиальное напряжение , у внутренней поверхности равно - с, а внешней - нулю, независимо от толщины цилиндра, таким образом, мы видим, что для цилиндра с малой толщиной стенки окружные напряжения распределены по толщине почти равномерно, а радиальные - малы по сравнению с окружными в той же мере, в какой толщина д мала по сравнению с радиусом. Если толщина цилиндра увеличивается, то наибольшие напряжения в нем при неизменном давлении уменьшаются, но не беспредельно. Рассмотрим случай, когда д > ?, т.е. когда цилиндр имеет бесконечно большую толщину. Тогда выражение примет вид:

Это значит, что для цилиндра с бесконечно большей толщиной стенки радиальное напряжение в любой точке равно окружному (рис.11) и при отсутствии осевых напряжений все точки находятся в состоянии чистого сдвига.

Рисунок 11. Зависимость толщины цилиндра от напряжения.

Далее, напряжение, как видим, находится в обратно пропорциональной зависимости от квадрата радиуса r. Если принять, например, r=4a то в точках, расположенных на таком расстоянии от оси, напряжения составляют всего 1/16 максимальных. Следовательно, когда можно довольствоваться точностью расчетов в пределах 5 - 6 % (практически большая точность и недостижима, хотя бы из-за упругих несовершенств металла), то цилиндр с отношением h/a>4 можно уже рассматривать как имеющий бесконечно большую толщину стенки. Существенно, что при этом мы совершенно не связаны с формой внешнего контура.

2.3 Механическая работа при изгибе листа

В результате исследования курсовой научно-исследовательской работы были рассчитаны тангенциальные, радиальные, осевые и интенсивность деформации, напряжения, а также усилия на технологических планках при процессе калибровки, определена работа затраченная на раздачу участка трубы для различных толщин листа и марок стали.

Список литературы