Метод А.Ф. Смирнова для определения критических нагрузок в стержневых системах

Изображение заданной системы в критическом деформированном состоянии. Выявление сжато-изогнутых, изогнутых элементов, назначение числа ненулевых координат вектора отклонений для сжато-изогнутых элементов. Разбор оси системы на участки. Расчет сечения.

Рубрика Производство и технологии
Вид научная работа
Язык русский
Дата добавления 13.11.2008
Размер файла 409,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

МЕТОД А.Ф.СМИРНОВА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ

1. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ

1)Нагрузка приложена только в узлах стержневой системы и до потери устойчивости не вызывает изгиба стержней.

2)Материал работает в упругой стадии.

3)Перемещения при потере устойчивости малы по сравнению с размерами конструкции

4)При определении перемещений учитываются продольные силы только в тех стержнях,в которых они возникали до потери устойчивости.

Примечание: Если критические нагрузки определяются в статически неопределимой системе, то ее статическая неопределимость раскрывается методом сил.

Основная система выбирается в момент потери устойчивости .

Основная система-это статически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной путем удаления лишних связей в деформированном состоянии.

Основную систему рекомендуется выбирать таким образом, чтобы сжато-изогнутые элементы не имели смещений вдоль своих осей.

1.2.Алгоритм расчета по методу А.Ф.Смирнова

Рассмотрим упругую систему, загруженную узловыми нагрузками.

В момент потери устойчивости система характеризуется наличием сжато-изогнутых и изогнутых элементов.

Деформированное состояние системы характеризуется вектором отклонений Y, имеющим размер(m?1):

Y1

Y2

Y3

= ...

(m?1) ...

Yn ,

где m-число ненулевых координат вектора отклонений ,которые задаются только для сжато-изогнутых стержней.

Вектор отклонений можно определить по формуле Мора ,которая в матричной форме имеет вид

(1.1)

При определении перемещений система разбивается на участки. В пределах каждого участка намечаются расчетные сечения по концам каждого участка и в тех точках сжато-изогнутых стержней, перемещение которых подлежит определению.

Обозначим : м-число расчетных сечений

Для составления My необходимо в основной системе построить эпюры моментов от единичных сил приложенных в направлении искомых перемещений Y1,Y2,Y3...Yn.

Матрица Му имеет размер(м?m)

Эпюра Эпюра Эпюра … Эпюра

=

(м?m)

G-размером (м?м)-матрица податливости всей системы.

Она формируется из матриц податливости отдельных участков.

Мр- матрица-столбец, элементами которой являются ординаты эпюр изгибающих моментов на тот период времени, когда заданная система находится в критическом состоянии.

Для статически-неопределимых систем при определении Мр используется матричный алгоритм метода сил:

(1.2),

где (1.3)-матрица ,раскрывающая статическую неопределимость системы.

Если заданная система статически определимая ,то матрица превращается в единичную матрицу (м?м):

=Е (1.4)

Структура матрицы

Эпюра Эпюра Эпюра … Эпюра

=

(м?m)

-матрица столбец, элементами которой являются ординаты эпюры моментов ,построенной от действия внешних узловых сил в основной системе ,с учетом ее деформированного состояния.

Ординаты эп. зависят от вектора перемещений y

Получим матрицу в виде:

(1.5),

где: H-числовая матрица размером (м?m),преобразующая вектор отклонений у в эпюру моментов грузового состояния

Тогда (1.6)

Подставляя (1.6) в (1.1) получим вектор перемещений

(1.7)

Обозначим : =k•c (1.8),

Где k-общий множитель ,полученный из множителей при перемножаемым матрицах Н и G

Тогда: или ,обозначим (1.9),

где :л-собственное число матрицы ;-собственный вектор матрицы

Преобразуем (1.9)

(1.10)-УРАВНЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДА СМИРНОВА,

где ;.

Выражение (1.10) представляет собой систему однородных уравнений относительно ,где матрица составлена из коэффициентов при неизвестных Y1,Y2,Y3...YN.

Уравнение устойчивости (1.10) имеет два решения

1) Вектор перемещений равен 0

Y1 0

Y2 0

Y3 0

= ... = ... (1.11)-начальная форма равновесия

... ...

Yn 0

2) Определитель ,составленный из коэффициентов при неизвестных равен 0.

=0 (1.12)-характеристическое уравнение

Если раскрыть определитель,то получим уравнение m10 порядка,где неизвестным будет л.

Решение этого уравнения дает значения л,л123…лm.

Минимальное значение Ркр составляет лmax ()

minPкр= (1.13),

где -наибольшее собственное число характеристической матрицы .

Собственный вектор характеристической матрицы дает форму потери устойчивости.

2.ПОРЯДОК РАСЧЕТА СИСТЕМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОМ А.Ф.СМИРНОВА

1.Заданная система изображается в критическом деформированном состоянии.

Выявляются сжато-изогнутые и изогнутые элементы, назначается число ненулевых координат вектора отклонений для сжато-изогнутых элементов.

2.Ось системы разбивается на участки .Назначаются расчетные сечения и правило знаков для эпюр изгибающих моментов .

3.Определяется степень статической неопределимости n и, если n>0 выбирается основная система метода сил.

4.Формируются необходимые матрицы .

5.Вычисляется характеристическая матрица

,

где -для статически неопределимых систем;

=Е-для статически определимых систем

6.Решается характеристическое уравнение =0 >

7.Определяется значение критической нагрузки:

minPкр=

3.ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ ПОДАТЛИВОСТИ ДЛЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ РАСЧЕТЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Матрица податливости всей системы формируется из матриц податливости отдельных участков и имеет следующую структуру

0

G= Gk

(м?м) Gk-матрица податливости участка k

Вид матрицы Gk зависит от типа участка (какую деформацию он испытывает).

1)Участок ,испытывающий только изгиб

G,

где : l0-длина любого участка ,принятого за основной

B0-жесткость любого участка ,принятого за основную

;

2)Участки ,испытывающие деформацию сжатие с изгибом. Для такого участка вид матрицы Gk зависит от того ,на сколько панелей разбита его длина

а)Длина участка разбита на две панели:

-длина участка

-длина панели

;

б)Длина участка разбита на три панели:

;;

в)Длина участка разбита на четыре и более панелей:

В этом случае общая длина сжато-изогнутого элемента компонуется из подучастков с двумя или тремя панелями. Соответственно и компонуется матрица податливости.

GЙ

Gk = GЙ Й

4.ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ H

Матрица H-числовая матрица размером (м?m), преобразующая вектор перемещений в эпюру моментов грузового состояния.

;

Для построения матрицы H необходимо определить изгибающие моменты во всех расчетных сечениях основной системы от узловых нагрузок и построить эпюру М0

Эпюра М0 строится со стороны растянутых волокон с учетом деформированного состояния системы.


М0=

В матрицу H вписываются коэффициенты при перемещениях из каждого уравнения.

5.РЕШЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Существует несколько методов решения характеристического уравнения . Все методы делятся на две группы:

1)Первая -позволяет вычислить все собственные числа( метод Крылова-Лузина и др.)

2)Вторая -позволяет вычислить наибольшее собственное число(и соответственно наименьшее значение критической нагрузки)

К этой группе относится метод последовательных приближений

Метод итераций позволяет вычислить наибольшее собственное число характеристической матрицы .Вместе с определением собственного числа одновременно производится определение собственного вектора, соответствующего этому числу и удовлетворяющего равенству:

,

где -характеристическая матрица

-для статически неопределимых систем

=Е- для статически определимых

- собственное число характеристической матрицы

-собственный вектор матрицы

Порядок решения:

1)Задаемся приближенным вектором перемещений -первое приближение;

2)Вычисляется: ,

где -второе приближение собственного вектора; -первое приближение собственного числа.

Вектор следует сделать нормированным ,т.е. его наибольшую координату надо вынести за знак матрицы в виде множителя .

3)Далее вновь подсчитывается :

и т.д.

4)Повторение процесса продолжается до тех пор ,пока значения координат векторов двух последних приближений не совпадут.

Величина найденная в последнем приближении принимается за искомое

6.ПРИМЕР.

Определить критическую силу методом А.Ф.Смирнова

;=Е- т.к. система статически определима

=;;

;

;

;

=0

=0

С

С=

у1

1

0,5

Су1

118,5

30,5

у2

1

0,257

Су2

109,75

25,15

у3

1

0,229

Су3

108,74

24,54

у4

1

0,2257

Су4

108,62

24,46

у5

1

0,225

=108,62

у=

minPкр=;


Подобные документы

  • Задачи и значение судостроения. Методы постройки судов: секционный, блочный. Мало- и среднеоборотные дизельные двигатели. Изготовление судовых корпусных деталей. Особенности технологии изогнутых листов, электродуговой вакуумной очистки металла и сварки.

    презентация [2,0 M], добавлен 23.02.2014

  • Сбор нагрузок и статический расчет. Расчет на прочность разрезных балок сплошного сечения из стали. Проверка сечения по касательным напряжениям. Проверка прогиба. Конструирование главной балки. Компоновка составного сечения. Определение размеров стенки.

    курсовая работа [122,2 K], добавлен 24.10.2013

  • Рассмотрение системы терморегулирования, предназначенной для поддержания заданной температуры в печи постоянной. Расчет элементов электрической схемы регулятора. Описание функциональных элементов передаточными функциями. Расчет настроек регулятора.

    курсовая работа [675,0 K], добавлен 26.12.2014

  • Выбор типа передач и вида зацеплений. Кинематическая схема, перечень элементов и изображение между ними. Определение числа зубьев. Расчет кинематики редуктора. Разработка конструкции: расчет его элементов - зубчатых колес, валов, подшипников и корпуса.

    курсовая работа [2,2 M], добавлен 23.09.2010

  • Способ соединения основных элементов конструкции. Определение эксплуатационных и расчетных нагрузок на режиме посадки. Расчет на прочность сечения между первым и вторым шпангоутом. Подбор и прочностной расчет соединений элементов конструкции агрегата.

    курсовая работа [973,6 K], добавлен 10.03.2023

  • Перенос нагрузки в узлы. Переход к общей системе координат. Поворот координатных осей с помощью матрицы преобразования координат. Объединение конечных элементов. Суммирование рассылаемого блока с имеющимся блоком в матрице методом сложения жесткостей.

    презентация [772,0 K], добавлен 24.05.2014

  • Анализ изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки. Понятие процентной наработки технической системы, особенности обеспечения ее увеличения за счет повышения надежности элементов и структурного резервирования элементов системы.

    контрольная работа [558,6 K], добавлен 16.04.2010

  • Компоновка поперечной рамы. Определение нагрузок на поперечную раму. Расчет верхней части колонны и жесткостных характеристик рамы. Расчет раздельной базы сквозной колонны. Определение нагрузок, действующий на ферму и подбор сечения элементов фермы.

    курсовая работа [199,2 K], добавлен 25.03.2013

  • Система нормирования отклонений формы поперечного сечения тел вращения. Технические характеристики и принципы работы кругломеров. Круглограмма с записью отклонений от круглости поперечного сечения вала. Средства измерений отклонений от круглости.

    лабораторная работа [7,9 M], добавлен 21.01.2011

  • Выбор электродвигателя и элементов системы управления автоматизированного привода, обеспечивающего при заданной нагрузочной диаграмме искомый диапазон регулирования скорости вращения. Составление принципиальной схемы и расчет статических характеристик.

    курсовая работа [521,6 K], добавлен 24.05.2009

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.