4

Министерство образования и науки Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра Системы управления

Курсовая работа

по курсу

Исследование операций и Теория систем

Выполнил: Пушников А.А.

Группа: ПС-669

Проверила Плотникова Н.В.

Дата«____»____________2006г.

Челябинск

2006г

Содержание

Теория систем

Модели системы

Модель черного ящика

Модель состава

Модель структуры

Структурная схема

Динамическая модель

Классификация модели

Закономерности модели

Исследование операций

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Теория систем

Модели системы

Рассматривается модель движения жесткого летательного аппарата самолетного типа. В качестве исследуемого аппарата взят некий гипотетический самолет современного типа.

Модель черного ящика

К входам системы относятся управляющие органы летательного аппарата и возмущения окружающей среды. Рассматриваемый самолет обладает органом управления тягой двигателя и аэродинамическими рулями: элероны, закрылки, руль направления и высоты (рис. 1). Так же на самолет влияет скорость ветра, температура и плотность окружающего воздуха.

Рисунок 1. Рулевые органы ЛА

К выходам ЛА относятся данные, полученные с датчиков самолета. Непосредственно измеряется положение летательного аппарата в пространстве относительно нормальной системы координат, для этого используются датчики углового положения и система глобального позиционирования (GPS). Так же измеряются угловые скорости, угловые ускорения, линейные скорости и линейные ускорения (перегрузки).

Модель состава

Модель движения летательного аппарата можно разбить на следующие подсистемы и элементы:

· Аэродинамика летательного аппарата. Выражает воздушный поток вокруг самолета. Воздействие воздушного потока заключается в создании сил и моментов.

· Момент и сила тяги, вызываемые двигателем.

· Поступательное движение. Вычисляется скорость движения самолета в связной системе координат.

· Вращательное движение. Вычисляются угловые скорости самолета в связанной системе координат.

· Навигация. Вычисляет положение самолета в нормальной системе координат.

· Угловое положение. Через углы Эйлера или матрицу направляющих косинусов.

· Показания датчиков.

· Сигналы управляющих приводов. Положение ручка тяги, закрылок, элеронов, руля высоты и направления.

Модель структуры

Структура движения летательного аппарата определяется отношениями между следующими парами элементов, указанны прямые отношения (табл. 1).

Таблица 1

Аэродинамические моменты	Угловые скорости
Аэродинамические силы	Угловые скорости
Аэродинамические силы	Аэродинамические моменты
Момент, вызываемый двигателем	Угловые скорости
Сила тяги	Скорость движения самолета
Сила тяги	Момент, вызываемый двигателем
Скорость движения самолета	Навигация
Навигация	Показания датчиков
Скорость движения самолета	Показания датчиков
Угловые скорости	Показания датчиков
Сигналы управляющих приводов	Аэродинамические моменты
Сигналы управляющих приводов	Аэродинамические силы
Сигналы управляющих приводов	Момент и сила тяги, вызываемые двигателем
Угловое положение	Угловые скорости

Структурная схема

Так как в модели нас интересует функции каждого элемента системы, рассмотрим структурную схему в зависимости от сил и моментов, действующих на модель (рис. 2).

Рисунок 2.Структурная схема.

Динамическая модель

Обозначения:

набор входных воздействий (входов) в системе - вектор управления (вход системы);

набор выходных воздействий (выходов) в системе - набор данных получаемых с датчиков будет выходом системы;

набор параметров, характеризующих свойства системы, постоянные во всё время рассмотрения, и влияющих на выходные воздействия системы, - конструктивные и неконструктивные параметры летательного аппарата;

набор параметров, характеризующих свойства системы, изменяющиеся во время ее рассмотрения (параметры состояния) - линейные и угловые скорости, положение в пространстве и угловое положение, аэродинамические силы и моменты, силы и моменты в двигателе;

параметр (или параметры) процесса в системе - t;

правило - нелинейная зависимость скоростей и положения в пространстве летательного аппарата от вектора управления;

правило - нелинейная зависимость показаний датчиков от вектора управления, скоростей и положения в пространстве летательного аппарата;

правило - нелинейная зависимость показаний датчиков от скоростей и положения в пространстве.

Тогда модель может быть записана так:

Классификация модели

Классификация системы:

по их происхождению - искусственная система, машина;

по описанию входных и выходных процессов - c количественными переменными, непрерывная, детерминированная система;

по описанию оператора системы - параметризованная, разомкнутая, нелинейная;

по способам управления - система управляемая извне, с управлением типа регулирование;

Закономерности модели

1. Целостность. Совокупность аэродинамической модели и модели двигателя дают летательному аппарату возможность движения в воздухе.

2. Иерархичность. Совокупность управляющих элементов, датчиков, аэродинамической модели и модели двигателя дают летательному аппарату возможность управляемого движения в воздухе.

3. Коммуникативность. На полет летательного аппарата действуют температура окружающей среды, скорость и направление ветра, плотность воздуха и др.

4. Эквифинальность. Рано или поздно, самолет вынужден будет приземлится или разобьется. Т.о. скорости, ускорения, моменты и силы будут равны нулю.

Исследование операций

Задача 1

Авиакомпания «Небесный грузовик», обслуживающая периферийные районы страны, располагает А₁ самолетами типа 1, А₂ самолетами типа 2, А₃ самолетами типа 3, которые она может использовать для выполнения рейсов в течение ближайших суток. Грузоподъемность (в тысячах тонн) известна: В₁ для самолетов типа 1, В₂ для самолетов типа 2, В₃ для самолетов типа 3.

Авиакомпания обслуживает два города. Первому городу требуется тоннаж в С₁, а второму - в С₂ т. Избыточный тоннаж не оплачивается. Каждый самолет в течение дня может выполнить только один рейс.

Расходы, связанные с перелетом самолетов по маршруту «центральный аэродром - пункт назначения», обозначены символом a_ij, где первый индекс соответствует номеру города, а второй - типу самолета.

А₁=8, А₂ = 15, А₃ =12, В₁ = 45, В₂ = 7, В₃ = 4, С₁ = 20000, С₂ = 30000, a₁₁= 23,
a₁₂ = 5, a₁₃ = 1.4, a₂₁ = 58, a₂₂ = 10, a₂₃ =3.8.

Решение

1. Составим математическую модель задачи. Возьмём в качестве целевой функции расходы на перелеты самолетов (соответственно, необходима минимизация целевой вункции), а в качестве переменных - число рейсов в день x_ij, где первый индекс соответствует номеру города, а второй - типу самолета.

Целевая функция:

Ограничений задачи:

Основная задача линейного программирования:

2. Правую часть уравнений (ограничения и целевую функцию) представляем в виде разности между свободным членом и суммой всех остальных:

Составим симплекс - таблицу:

	bi	x11	x12	x13	x21	x22	x23
	0		23		5		7/5		58		10		19/5
y1	8		1		0		0		1		0		0
y2	15		0		1		0		0		1		0
y3	12		0		0		1		0		0		1
y4	-20000		-45		-7		-4		0		0		0
y5	-30000		0		0		0		-45		-7		-4
	bi	x11	x12	x13	x21	x22	x23
	0		23		5		7/5		58		10		19/5
		-150		0		-10		0		0		-10		0
y1	8		1		0		0		1		0		0
		0		0		0		0		0		0		0
y2	15		0		1		0		0		1		0
		15		0		1		0		0		1		0
y3	12		0		0		1		0		0		1
		0		0		0		0		0		0		0
y4	-20000		-45		-7		-4		0		0		0
		0		0		0		0		0		0		0
y5	-30000		0		0		0		-45		-7		-4
		105		0		7		0		0		7		0



	bi	x11	x12	x13	x21	y2	x23
	-150		23		-5		7/5		58		-10		19/5
		-228/5		0		0		-19/5		0		0		-19/5
y1	8		1		0		0		1		0		0
		0		0		0		0		0		0		0
x22	15		0		1		0		0		1		0
		0		0		0		0		0		0		0
y3	12		0		0		1		0		0		1
		12		0		0		1		0		0		1
y4	-20000		-45		-7		-4		0		0		0
		0		0		0		0		0		0		0
y5	-29895		0		7		0		-45		7		-4
		48		0		0		4		0		0		4

	bi	x11	x12	x13	x21	y2	y3
	-978/5		23		-5		-12/5		58		-10		-19/5
		464		-58		0		0		-58		0		0
y1	8		1		0		0		1		0		0
		8		1		0		0		1		0		0
x22	15		0		1		0		0		1		0
		0		0		0		0		0		0		0
x23	12		0		0		1		0		0		1
		0		0		0		0		0		0		0
y4	-20000		-45		-7		-4		0		0		0
		0		0		0		0		0		0		0
y5	-29847		0		7		4		-45		7		4
		360		45		0		0		45		0		0

	bi	x11	x12	x13	y1	y2	y3
	1342/5		-35		-5		-12/5		-58		-10		-19/5
x21	8		1		0		0		1		0		0
x22	15		0		1		0		0		1		0
x23	12		0		0		1		0		0		1
y4	-20000		-45		-7		-4		0		0		0
y5	-29487		45		7		4		45		7		4

Ответ: Задача не имеет допустимого решения

Задача 2

№ вар	с1	с2	с3	с4	с5	с6	b1	b2	b3	Знаки ограничений	a11	a12	a13	a14
										1	2	3
8	2	6	2	-2	2	0	2	6	1	=	=	=	-1	2	1	0
№ вар.	a15	a16	a21	a22	a23	a24	a25	a26	a31	a32	a33	a34	a35	a36	Тип экстр.
8	0	0	2	1	1	1	2	0	1	-1	0	0	1	0	max

1. Основная задача линейного программирования:

Правую часть уравнений (ограничения и целевую функцию) представляем в виде разности между свободным членом и суммой всех остальных:

2. Составим симплекс - таблицу:

	bi	x1	x2
	2		-4		-6
x3	2		-1		2
x4	2		1		1
x5	1		1		-1

3. Решим задачу линейного программирования.

	bi	x1	x2
	2		-4		-6
		6		-3		3
x3	2		-1		2
		1		-0.5		0.5
x4	2		1		1
		-1		0.5		-0.5
x5	1		1		-1
		1		-0.5		0.5



	bi	x1	x3
	8		-7		3
		21/4		21/4		-21/8
x2	1		-0.5		0.5
		3/8		3/8		-3/16
x4	1		1.5		-0.5
		3/4		3/4		-3/8
x5	2		0.5		0.5
		-3/8		-3/8		3/16

	bi	x4	x3
	53/4		21/4		3/8
x2	11/8		3/8		5/16
x1	3/4		3/4		-3/8
x5	13/8		-3/8		11/16

Оптимальное решение найдено.

Ответ: F=53/4, x₁=3/4, x₂=11/8, x₃=0, x₄=0, x₅=13/8, x₆=0.

Задача 3

№ вар.	а1	а2	а3	1	2	3	4	5	с11	с12	с13
8	200	200	600	200	300	200	100	200	25	21	20

№ вар.	с14	с15	с21	с22	с23	с24	с25	с31	с32	с33	с34	с35
8	50	18	15	30	32	25	40	23	40	10	12	21

Исходные данные:

	B1	B2	B3	B4	B5	аi
A1	25	21	20	50	18	200
A2	15	30	32	25	40	200
A3	23	40	10	12	21	600
bi	200	300	200	100	200	1000

Определение опорного плана задачи

	B1	B2	B3	B4	B5	аi
A1	25	21	20	50	18	200
	200
A2	15	30	32	25	40	600
		300	200	100
A3	23	40	10	12	21	200
					200
bi	200	300	200	100	200	600

L=5000+9000+6400+2500+4200=27300

r+m-1=7>5 это вырожденный случай.

Определение оптимального плана

1.

	B1	B2	B3	B4	B5	аi
A1	25	21	20	50	18	200+e1
	200	e1
A2	15	30	32	25	40	600
		300	200	100
A3	23	40	10	12	21	200+e2
				e2	200
bi	200	300+e1	200	100+e2	200	600+e1+e2

2.

	B1	B2	B3	B4	B5	аi
A1	25	21	20	50	18	200+e1
	0	200+e1
A2	15	30	32	25	40	600
	200	100	200	100
A3	23	40	10	12	21	200+e2
				e2	200
bi	200	300+e1	200	100+e2	200	600+e1+e2

3.

	B1	B2	B3	B4	B5	аi
A1	25	21	20	50	18	200+e1
	0	200+e1
A2	15	30	32	25	40	600
	200	100	200-e2	100+e2
A3	23	40	10	12	21	200+e2
			e2		200
bi	200	300+e1	200	100+e2	200	600+e1+e2

4.

	B1	B2	B3	B4	B5	аi
A1	25	21	20	50	18	200+e1
	0	e2+e1	200-e2
A2	15	30	32	25	40	600
	200	300-e2		100+e2
A3	23	40	10	12	21	200+e2
			e2		200
bi	200	300+e1	200	100+e2	200	600+e1+e2

5. Результат

6.

	B1	B2	B3	B4	B5	аi
A1	25	21	20	50	18	200+e1
	0	e2+e1			200-e2
A2	15	30	32	25	40	600
	200	300-e2		100+e2
A3	23	40	10	12	21	200+e2
			200		e2
bi	200	300+e1	200	100+e2	200	600+e1+e2

	B1	B2	B3	B4	B5	аi
A1	25	21	20	50	18	200
	0				200
A2	15	30	32	25	40	600
	200	300		100
A3	23	40	10	12	21	200
			200
bi	200	300	200	100	200	600



Так в системе нет положительных чисел, то найденный план называется оптимальным.

Ответ: F=19100

Задача 4

№	b1	b2	c11	c12	c22	extr	a11	a12	a21	a22	p1	p2	Знаки огр.
													1	2
8	1	2	-1	0	-1	max	1	2	1	1	16	8		=

Приведем систему к стандартному виду:

Определение стационарной точки:

Очевидно, что данные координаты не удовлетворяют условиям ограничений.

1. Проверка стационарной точки на относительный max или min:

Стационарная точка является точкой относительного максимума.

2. Составление функции Лагранжа:

3. Применим теорему Куна-Таккера:

Нахождение решения системы:

Перепишем эту систему, оставив все переменные в левой части:

Из уравнения 3 системы следует, что x₁=8-x₂:

Тогда:

Для обращения неравенств системы в равенства введём V₁, V₂, W и преобразуем систему:

Запишем условия дополняющей нежесткости:

4. Метод искусственных переменных:

Введем искусственные переменные , в первое и второе уравнения со знаками, совпадающими со знаками соответствующих свободных членов:

Далее решаем полученную задачу линейного программирования, для этого из 1 и 2 уравнений выражаем переменные , и принимаем их в качестве базисных.

Составляем симплекс-таблицу:

	bi	x2	u1	u2	V1	V2
	-17M		-4M		-M		0		-M		M
		M		M		0.5M		-0.5M		0		-0.5M
z1	15		2		-1		1		1		0
		1		1		0.5		-0.5		0		-0.5
z2	2		2		2		-1		0		-1
		1		1		0.5		-0.5		0		-0.5
W	8		-1		0		0		0		0
		0		0		0		0		0		0

	bi	x2	z2	u2	V1	V2
	-16M		-3M		0.5M		-0.5M		-M		0.5M
		3M		3M		1.5M		-1.5M		0		-1.5M
z1	16		3		0.5		0.5		1		-0.5
		-3		-3		-1.5		1.5		0		1.5
u1	1		1		0.5		-0.5		0		-0.5
		1		1		0.5		-0.5		0		-0.5
W	8		-1		0		0		0		0
		1		1		0.5		-0.5		0		-0.5

	bi	u1	z2	u2	V1	V2
	-13M		3M		2M		-2M		-M		-M
		13M		-3M		M		2M		M		M
z1	13		-3		1		2		1		1
		13		-3		1		2		1		1
x2	1		1		0.5		-0.5		0		-0.5
		0		0		0		0		0		0
W	9		1		0.5		-0.5		0		-0.5
		0		0		0		0		0		0

	bi	u1	z2	u2	z1	V2
	0		0		3M		0		M		0
V1	13		-3		1		2		1		1
x2	1		1		0.5		-0.5		0		-0.5
W	9		1		0.5		-0.5		0		-0.5

u₁=u₂=z₁=z₂=V₂=0

V₁=13

x₂=1

W=9

x₁=8-x₂=7

Ответ: x₂=1, x₁ =7,

Список используемой литературы

1. Волков И. К., Загоруйко Е. А. Исследование операций. - Москва: Издательство МГТУ имени Баумана Н. Э., 2000г. - 436с.

2. Плотникова Н.В. «Исследование операций» Часть 1. Линейное программирование.

3. Плотникова Н.В. «Лекции по курсу теория систем»