Модель распределения концентрации механических примесей в жидкостях с использованием полей скоростей, полученных ANSYS

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

Глава 1. Математическая модель концентрации механических примесей в жидкости

1.1. Разработка модели концентрации с учетом физических параметров жидкости

1.2. Движение жидкости в трубопроводе

1.3. Движение жидкости в баке

1.4. Движение жидкости в пределах зоны резания

1.5. Условия сопряжения моделей концентрации механических примесей для соседних элементов системы применения

1.6. Модель концентрации механических примесей

Глава 2. Решение модели численными методами

2.1. Задание начальных условий

2.2. Решение модели численным методом

2.2.1. Постановка уравнений

2.2.2. Применение метода конечных элементов

2.2.3. Функции формы линейного тетраэдра

Глава 3. Использование программных продуктов для получения результатов расчета

3.1. Взаимодействие информационных потоков в используемом ПО

3.2. Использование ANSYS для получения промежуточных данных

3.3. Обработка данных расчета с помощью разработанного программного продукта

Глава 4. Проверка адекватности модели концентрации механических примесей

4.1. Теоретический расчет распределения концентрации

4.2. Экспериментальный расчет распределения концентрации

4.3. Анализ полученных результатов

Заключение

Литература

Введение

Важнейшими направлениями научно-технического прогресса является создание и освоение принципиально новой техники и технологии, автоматизация и механизация производства. Основную часть производственных процессов занимает процесс механообработки, который по своей эффективности, производительности и качеству преобладает над всеми остальными способами обработки. Поэтому, обеспечение эффективной работы процесса механообработки является первостепенной задачей на пути автоматизации производства. Эффективность процесса механообработки зависит от множества параметров, одним из которых является смазочно-охлаждающая жидкость (СОЖ). Применение СОЖ при технологическом процессе подразумевает использование системы применения СОЖ, в которое входит оборудование для подачи СОЖ к зоне механообработки и поддержания ее в работоспособном состоянии в течение длительного времени.

Получение высокой производительности и качества механообработки достигается за счет рациональной организации систем ее эксплуатации вспомогательными службами цехов и заводов машиностроительных отраслей. Сложность систем применения обязывает применять новые средства проектирования, когда уже нельзя на основании личного опыта корректно спроектировать систему применения , соответствующую мировым стандартам. Решением проблемы является автоматизация процесса проектирования систем применения с помощью научного обоснования процессов, связанных с эксплуатацией СОЖ. Использование САПР ускорят проектные работы. При этом необходимо осуществить математическую формулировку задач, построить математические модели процессов эксплуатации СОЖ и реализовать алгоритмы, решающие данные модели.

Глава 1. Модель концентрации механических примесей в жидкости

1.1 Разработка модели концентрации с учетом физических параметров жидкости

На основе модели концентрации механических примесей производится оптимизация систем применения жидкостей. Для этого получены модели концентрации примесей, зависящие от параметров системы применения и от параметров поведения жидкость. Полученные модели решаются при наличии граничных условий и начальных значений, которые получены на основе физических явлений и реальных систем применения, для которых они рассматриваются.

Выведем зависимость концентрации механических примесей от физических параметров жидкости. Рассмотрим жидкость как многокомпонентную среду, состав которой меняется внутри объема. Состав одного из компонентов жидкости(механических примесей) описывается концентрацией С, которая определяется в некотором объеме V₀ как отношение массы примесей М к полной массе жидкости в данном объеме М_ж

,

где М_ж - масса жидкость в рассматриваемом объеме V₀ ; M - масса механических примесей в рассматриваемом объеме V₀ . Концентрация механических примесей в жидкость меняется с течением времени. Изменение концентрации происходит при макроскопическом движении жидкости, когда каждый ее участок передвигается как целое с неизменным составом. Происходит механическое перемешивание жидкости, хотя состав каждого передвигающегося участка жидкости не меняется, в каждой данной неподвижной точке пространства концентрация находящейся в этом месте смеси будет со временем меняться. Изменение состава может происходить также при молекулярном переносе вещества смеси. Выравнивание концентрации путем такого изменения состава каждого из участков жидкости (диффузию) не будем принимать к расчету вследствие достаточно высоких скоростей движения жидкости. Следовательно, концентрация есть функция от времени и пространственных координат . Изменение концентрации механических примесей влияет на изменения вязкости жидкости незначительно, поэтому это влияние учитываться не будет, т.е. ( ? = const ). Массу механических примесей можно определить по формуле , где N - число частиц примесей , m - масса одной частицы. Обычно при рассмотрении подобных задач форма частицы считается шарообразной. Тогда для шарообразных частиц массу можно вычислить по формуле:

где r - радиус шарообразной частицы; ?_ч - плотность частицы; R_min, R_max - соответственно минимальный и максимальный радиус частицы.

Для решения задачи о распределении концентрации механических примесей во всей системе применения необходимо рассмотреть движение жидкости, загрязненной примесями, в отдельных ее элементах.

1.2 Движение жидкости в трубопроводе

Проанализируем движение примесей в трубопроводе. Рассмотрим некоторый объем СОЖ V₀ .Масса примесей в этом объеме есть , где ? - полная плотность жидкости, а интегрирование производится по объему V₀.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Произвольный объем жидкости V₀

Через элемент поверхности проходит количество примесей в единицу времени, где - скорость течения жидкости. Модуль вектора по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по нормали к поверхности, поэтому > 0, если примеси вытекают, и меньше нуля, если примеси втекают в объем V₀ .

Полное количество примесей, проходящих через боковую поверхность S рассматриваемого объема СОЖ в единицу времени есть ,где интегрирование производится по всей замкнутой поверхности, охватывающей рассматриваемый объем V_0.

Уменьшение массы примесей в единицу времени есть

В процессе движения примеси осаждаются на стенках трубопровода. Плотность распределения осаждающихся примесей задается выражением , где - заданная функция. Функция задается для всех трубопроводов, входящих в систему применения. Следовательно, уменьшение количества примесей, которые осаждаются в рассматриваемом объеме V₀ , задается законом .

Изменение массы вещества равно массе этого вещества, перенесенному движущейся жидкостью через поверхность объема, поэтому :

Используя формулу Остроградского, преобразуем правую часть следующим образом

, следовательно

,

т.к. это верно для любого объема V₀, то подынтегральное выражение должно быть равным нулю

,

или после преобразования производных , получаем

.

В квадратных скобках записано уравнение неразрывности, которое удовлетворяет условию

,

поэтому уравнение после деления на ? имеет вид

, или в векторной форме

(1.1)

Получено уравнение, описывающее поведение концентрации механических примесей при движении СОЖ по трубопроводу.

1.3 Движение жидкости в баке

Рассмотрим движение примесей в баке. Воспользуемся теми же выкладками, что и при анализе движения примесей в трубопроводе. В данном случае большая часть примесей выпадают в осадок. Хотя часть примесей и прилипает к стенкам бака, эта часть примесей очень мала по сравнения с примесями, выпавшими в осадок. При этом, количество примесей, выпавших в осадок, характеризуется величиной (), которая отражает количество выпавших механических примесей в единицу времени в единице объема, поэтому количество примесей, выпавших в осадок, в рассматриваемом объеме бака, задается законом

Следовательно, получаем уравнение, описывающее движение примесей в баке :

(1.2)

Получено уравнение, описывающее поведение концентрации механических примесей при движении СОЖ в баке.

1.4 Движение жидкости в пределах зоны резания

Проанализируем движение примесей при прохождении СОЖ через зону резания, в которой происходит снятие материала режущим инструментом, в результате чего в жидкость добавляются механические примеси. Зона резания представляет собой зону контакта детали и инструмента и является либо точкой, либо отрезком прямой, что неприемлемо для рассмотрения объемной модели, поэтому в качестве рассматриваемой области выбирается объем V_зр - объем СОЖ в пределах зоны резания, в котором происходит изменение концентрации механических примесей.

В единицу времени в единицу объема добавляется примесей, где v_ш - скорость поступления механических примесей (шлама). Следовательно, получаем:

(1.3)

Получено уравнение, описывающее поведение концентрации механических примесей при движении СОЖ в зоне резания. Уравнение позволяет решать задачу о нахождении концентрации в объеме жидкости в пределах зоны резания. Поскольку нам необходимо знать, как изменится концентрация механических примесей при прохождении СОЖ через зону резания, в дальнейших исследованиях поведения примесей в зоне резания будем использовать выражение

, (1.4)

где С₁ - концентрация примесей до зоны резания; С₂ - концентрация примесей после прохождения зоны резания; Q - расход СОЖ.

Приведем все полученные модели (1.1 - 1.3) концентрации механических примесей для различных элементов системы применения.

Таблица 1. Модели распределения концентрации примесей для элементов системы применения

№	Элемент системы	Модель
1	Трубопровод
2	Бак-отстойник
3	Зона резания

Полученные модели концентрации механических примесей имеют одинаковую левую часть, которая не противоречит логике рассматриваемой задачи, и различные правые части, которые зависят от конкретного элемента системы применения.

При рассмотрении задачи о движении СОЖ, загрязненной механическими примесями, во всей системе применения, необходимо ввести дополнительные условия, описывающие поведение моделей концентрации механических примесей на границе двух соседних элементов системы применения.

1.5 Условия сопряжения моделей концентрации механических примесей для соседних элементов системы применения

В любой системе применения СОЖ движение жидкости от одних отбельных элементов к другим, таких как баки-отстойники и зона резания, происходит по трубопроводам, т.е. трубопровод является связующим звеном между различными элементами системы применения, поэтому модель концентрации механических примесей также будет связующей для описания условий на границе сопряжения моделей.

Рассмотрим пример сопряжения двух моделей (1.1) и (1.2) концентрации механических примесей для трубопровода и бака. Эти две модели имеют вид:

,

,

где первая модель описывает поведение концентрации механических примесей в области пространства А - ограниченной трубопроводом, а вторая модель - поведение примесей в области В - ограниченной баком. Области А и В пересекаются в некоторой области , и на пересечении двух областей должны выполняться оба уравнения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Область сопряжения двух элементов системы применения

Следовательно, рассмотрев уравнения как общую систему уравнений на некоторой области G, получаем условие сопряжения вида

для трубопровода и зоны резания соответственно.

Получены соотношения, накладывающие дополнительные условия на модели концентрации механических примесей, при рассмотрении задачи о движении СОЖ, загрязненной механическими примесями во всей системе применения.

1.6 Модель концентрации механических примесей

На основе приведенных выше рассуждений поставим задачу об определении концентрации механических примесей в системе применения, состоящей из трубопровода, бака и зоны резания. Запишем полученные уравнения в виде системы, а также учтем полученные условия сопряжения моделей концентрации механических примесей для соседних элементов системы применения СОЖ.

Следовательно, получим следующую модель:

где ?` - коэффициент седиментации в баке, v_ш - скорость поступления механических примесей в зоне резания. Наличие в модели зависимости от координат (x,y,z) позволяет анализировать концентрацию механических примесей на отдельных участках системы применения СОЖ в любой точке рассматриваемой области.

Глава 2. Решение модели численными методами

2.1 Задание начальных условий

Для решения задачи о движении СОЖ в системе применения кроме граничных условий необходимо задать начальные значения, связанные с режимами работы системы применения и зависящие от физико-химических свойств СОЖ.

Зададим значение концентрации в начальный момент времени. Пусть в некоторый начальный момент времени значение концентрации равно величине С₀ , данное условие задается следующим выражением

С(x,y,z,t) = C₀ ,

Где x,y,z -пространственные координаты, принадлежащие некоторой области, на которой задается начальное значение С₀ .

2.2 Решение модели численным методом

Для решения полученной модели концентрации механических примесей воспользуемся методом конечных элементов. Основа метода конечных элементов состоит в разбиении рассматриваемо области решения ? на подобласти (конечные элементы) без перекрытия и пересечения. Когда разбиение будет осуществлено, исходная область ? будет определяться сетью точек, являющихся общими узлами смежных элементов. Неизвестная функция после решения задачи будет характеризоваться ее значениями в каждом узле разбиения. Эта неизвестная функция будет интерполироваться в рассматриваемой области ? по значениям в узлах, полученным в ходе вычислений. Приближение будет осуществляться с помощью кусочно-непрерывных функций.

2.2.1 Постановка уравнений

Все уравнения системы имеют общий вид

, (2.1)

где ? и ? - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы применения СОЖ.

Тогда разбиение области решения ? на конечные элементы позволяет определить в ней неизвестную функцию С(x,y,z,t) как линейную комбинацию функций формы Ф_i(x,y,z), связанных с узлами разбиения и значениями С_i(t) неизвестной функции в тех же i вершинах.

(2.2)

Дальнейшее решение полученных уравнений используем метод Галеркина(приближенный метод решения краевых задач). Применив метод Галеркина [4], запишем общее уравнение модели (2.1) в виде системы k уравнений:

, j = 1,2,…,k

Преобразовав (учитывая что ), получим :

или в матричном виде

,

Где N, M, F - следующие матрицы:

где ? - рассматриваемая область, С(t) - вектор узловых значений концентрации механических примесей.

Решение получается дискретизацией временной переменной на интервале шириной , достаточно малой, чтобы соблюдать заданную точность. Если обозначить через С_n+1 значение вектора С(t) в момент , а через С_n - значение того же вектора в момент , производная будет аппроксимироваться на момент функцией

Таким образом, уравнения модели можно представить в виде

(2.3)

что представляет собой систему k уравнений. Считаем , что вектор скорости известен, поэтому получена система из k уравнений для k неизвестных C_i(t). Задача является линейной с постоянными коэффициентами.

2.2.2 Применение метода конечных элементов

Введем понятие функции формы, определенной на конкретном элементе. Для этого представим уравнение (2.2)

в матричном виде

,

где вектор Ф^T =(Ф₁,Ф₂,…,Ф_k)^T , который определяется уравнением:

, (2.4)

где N- количество элементов, на которые разбивается рассматриваемая область ?, ?- булева матрица связи между каждым элементом e и глобальной нумерацией, устанавливающая тождественность между номером узла в элементе e и номером этого же узла в сетке разбиения, Ф - функции формы, определенные для элемента e и равные 0 для всех точек вне этого элемента. Остановимся подробнее на булевых матрицах связи. Рассмотрим некоторый конечный элемент e, состоящий из l узлов. Узлы имеют локальную нумерацию (внутри конечного элемента) от 1 до l, и глобальную (в рассматриваемой области ?) от 1 до k , следовательно, один и тот же узел имеет два номера. Для соответствия этих номеров и используются матрицы связи, которые имеют размерность l x k, и содержат единицы на пересечении строки l и столбца с номером, соответствующим глобальному номеру узла, а остальные элементы равны нулю.

Получим некоторые соотношения, используя уравнение (2.4)

Очевидно

Так как для , , то получаем следующее соотношение

и преобразовав матричные уравнения

2.2.3 Функции формы линейного тетраэдра

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ф₁ =1-u-v-w ; Ф₂ =u ; Ф₃=v ; Ф₄=w .

Сведем интегрирование на каждом элементе к вычислению интеграла на стандартном элементе, который будет всегда одним и тем же. Выберем стандартным элементом линейный тетраэдр, т.к. они наиболее часто используются и позволяют упростить задачу автоматической генерации сетки. примесь концентрация жидкость механический

Для некоторой функции f , определенной на ?e запишем:

где J - матрица преобразования, обеспечивающая переход от координат x,y,z к координатам u,v,w.

(2.5)

Преобразование, обеспечивающее переход от координат x,y,z к координатам u,v,w определяется узловыми координатами элемента e : x₁,y₁,z₁,…,x₄,y₄,z₄ . Это преобразование использует для аппроксимации непрерывных координат x,y,z тех же аппроксимирующих функций, что выбирались ранее для аппроксимации неизвестной функции С(x,y,z,t).

, ,,

где x_k, y_k, z_k - узловые координаты.

Исходя из этого, на каждом элементе, определенном его узловыми координатами x_k, y_k, z_k определим преобразование

,

,

,

где функция формы будет определяться непосредственно на стандартном элементе. Тогда на этом элементе получим:

, (2.6)

где C_k(t) - значение функции С(x,y,z,t) в узле k.

Определим частные производные функции формы в новых координатах u,v,w:

откуда получаем соотношение

Или в матричном виде

(2.7)

Подставив полученное выражение (2.7) в формулу (2.5), для линейного тетраэдра получим:

(2.8)

Матрица J определяется для отдельного конечного элемента e. Следовательно, матрицы N, M, F преобразуются следующим образом :

Интегральные выражения являются элементарными и одинаковыми для всех элементов. Результаты вычислений приведены в таблице:

Таблица 2. Интегральные выражения.

Интегральное выражение	Результат

Соответственно, получим следующие матричные выражения :

где v - значения вектора скорости в соответствующих узлах элемента e. В итоге проведено решение модели распределения механических примесей в системах применения СОЖ методом конечных элементов. Полученные соотношения после подстановки в систему линейных уравнений (2.3) имеют вид:

Ax = b, где

A = (M+N/?t), (2.9)

b = F + NC_n/?t

x = C_n+1 .

При этом А, в силу своего построения, является разреженной и симметричной матрицей. Решение ищется либо прямым методом Гаусса, либо итерационным методом.

Глава 3. Использование программных продуктов для получения результатов расчета

3.1 Разработка структуры взаимодействия информационных потоков в используемом программном обеспечении

В процессе решения задачи о распределении концентрации примесей используется два программных продукта - пакет ANSYS и собственное программное обеспечение, предназначенное для решения задач о движении жидкости, загрязненной механическими примесями. При этом ANSYS используется для получения промежуточных данных - поле скоростей жидкости в точках разбиения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Входными данными ANSYS являются геометрическое описание области решения, скорость жидкости на входе в бак, тип конечных элементов (линейные тетраэдры). Промежуточные данные обрабатываются созданным программным продуктом (ПП). Входные данные ПП - поле скоростей и координат узлов, начальная концентрация примесей в элементе системы применения , момент времени t, в который необходимо определить значения концентрации во всех узлах разбиения. ПП решает систему линейных уравнений (2.9) и рассчитывает значение концентрации в каждом узле разбиения области решения на конечные элементы.

3.2 Использование ANSYS для получения промежуточных данных

Для определения поля скоростей в модели воспользуемся программным продуктом ANSYS. Будем считать, что движение жидкости не зависит от механических примесей, поэтому можно решить задачу о движении жидкости без примесей, используя ANSYS. Затем, воспользовавшись полученным разбиением на конечные элементы и полем скоростей, решим задачу о распределении механических примесей. При этом входными данными для ANSYS будут геометрическое описание области решения, начальные и граничные условия. Выходными параметрами будут координаты узловых точек конечных элементов, узловое описание элементов и значения вектора скорости в узлах. Выходные параметры обрабатываются с помощью программного продукта, созданного специально для этой цели, при этом в программном продукте происходит решение методом конечных элементов модели распределения механических примесей. Выходные параметры при передаче данных из ANSYS в программный продукт имеют вид, представленный в таблицах - координаты узловых точек, значения компонент вектора скорости в узлах, описание конечных элементов.

Таблица 3. Вид данных, описывающих координаты узлов разбиения

NODE	X	Y	Z
661	-0.329583883285	-0.303149551153	-0.289856284857
662	-0.358686864376	-0.308607399464	-0.244434684515
663	-0.402969628573	-0.310578167438	-0.288452774286
664	0.261182069778	-0.402124583721	-0.294822216034
665	-0.355379074812	-0.342372268438	-0.236033335328
666	-0.355595856905	-0.340400099754	-0.167137905955

Таблица 4. Вид данных, описывающих значения вектора скорости в узлах разбиения

NODE	VX	VY	VZ
20	0.300000000000	0.395595729351	0.518555678427
21	-0.300000000000	0.392329901457	0.509766675532
22	0.700000000000	0.462619990110	0.133945688605
23	0.186206459999	0.225098529268	0.138029888272
24	-0.240394771099	0.144098624587	0.148688405752
25	-0.200868889689	0.267983734608	0.415266692638

Таблица 5. Вид данных, описывающих связь номеров элементов с номерами узлов разбиения

ELEM	NODE	NODE	NODE	NODE
1	463	464	465	466
2	463	467	468	469
3	463	467	470	471
4	463	472	467	471
5	473	474	25	42
6	473	475	476	477

3.3 Обработка данных расчета с помощью разработанного программного продукта

При использовании ANSYS получаем в качестве выходных параметров координаты узловых точек, описание конечных элементов узловыми точками и значения вектора скорости в каждой узловой точке. Для решения модели был создан программный продукт. В программном продукте на основе данных, рассчитанных в ANSYS, строится система линейных уравнений.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5. Блок-схема ПО

Решение проводится наиболее оптимальным алгоритмом для обработки разреженных симметричных матриц.

Для хранения матриц реализован алгоритм их компактного хранения для минимизации используемой программой оперативной памяти. Поскольку матрица A (2.9) является разреженной и симметричной, она хранится не полностью а только верхний треугольник и главная диагональ. Нулевые элементы также не хранятся, что позволяет существенно сократить затраты памяти на хранение данных при значительных размерах матрицы A. Поиск нужного элемента проводится не путем циклического перебора, а бинарным поиском по номерам строк и столбцов.

Входные данные:

файл с описанием координат узловых точек.

файл с описанием конечных элементов узловыми точками.

файл со значениями вектора скорости в каждой узловой точке.

Выходные данные:

файл со значениями концентрации в каждой узловой точке.

Основные реализованные функции:

Обращение матрицы общего вида

bool inverse(double **a, int n);

Входные параметры:

A - матрица. массив с нумерацией элементов [1..N, 1..N]

N - размерность матрицы A

Выходные параметры:

A - матрица, обратная к исходной. Массив с нумерацией элементов [1..N, 1..N]

Результат:

True, если исходная матрица невырожденная.

False, если исходная матрица вырожденная.

LU-разложение матрицы общего вида размера M x N

void ludecomposition(double **a, int m, int n, int *pivots);

Функция вычисляет LU-разложение прямоугольной матрицы общего вида с частичным выбором ведущего элемента (с перестановками строк).

Входные параметры:

A - матрица A. Нумерация элементов: [1..M, 1..N]

M - число строк в матрице A

N - число столбцов в матрице A

Выходные параметры:

A - матрицы L и U в компактной форме (см. ниже).

Нумерация элементов: [1..M, 1..N]

Pivots - матрица перестановок в компактной форме (см. ниже).

Нумерация элементов: [1..Min(M,N)]

Матрица A представляется, как A = P * L * U, где P - матрица перестановок, матрица L - нижнетреугольная (или нижнетрапецоидальная, если M>N) матрица, U - верхнетреугольная (или верхнетрапецоидальная, если M<N) матрица.

Вычисление определителя матрицы, заданной LU-азложением.

double determinantlu(double **a,int *pivots, int n);

Входные параметры:

A - LU-разложение матрицы (результат работы подпрограммы LUDecomposition).

Pivots - таблица перестановок, произведенных в ходе LU-разложения. (результат работы подпрограммы LUDecomposition).

N - размерность матрицы

Результат:

определитель матрицы

LDL^T разложение симметричной матрицы

void ldltdecomposition(SparceMatrix &a, int n, bool isupper,int * pivots);

Алгоритм представляет симметричную матрицу (не обязательно положительно определенную) в виде A = L*D*L' или A = U*D*U', где матрица D - блочно-диагональная с блоками размером 1x1 или 2x2, матрица L (матрица U)- произведение нижнетреугольных (верхнетреугольных) матриц с единичной диагональю и матриц перестановок.

Входные параметры:

A - факторизуемая матрица в компактном виде. Массив с нумерацией элементов [1..N, 1..N]. Если IsUpper=True, то в верхнем треугольнике находятся элементы симметричной матрицы A, а нижний треугольник не используется (аналогично, если IsUpper=False).

N - размер факторизуемой матрицы IsUpper-параметр, указывающий способ задания матрицы (верхним или нижним треугольником).

Выходные параметры:

A - матрицы D и U, если IsUpper=True, или L, если IsUpper=False, в компактной форме, замещающие верхний (нижний) треугольник матрицы A. При этом элементы, расположенные ниже (выше) главной диагонали не используются и не модифицируются.

Pivots- таблица произведенных перестановок.

Решение системы линейных уравнений с матрицей системы, заданной LDLT-разложением.

bool solvesystemldlt(SparceMatrix &a,int *pivots,double *b,int n,

bool isupper,double *x);

Алгоритм решает только системы уравнений с квадратной матрицей.

Входные параметры:

A - LDLT-разложение матрицы системы (результат работы подпрограммы LDLTDecomposition).

Pivots- таблица перестановок (результат работы подпрограммы LDLTDecomposition).

B - правая часть системы. Массив с нумерацией элементов [1..N]

N - размерность системы.

IsUpper-указывает треугольник матрицы A, в котором хранится разложение. Если IsUpper=True, то разложение имеет вид U*D*U', и в верхнем треугольнике матрицы A хранится матрица U (при этом нижний треугольник не используется и не меняется подпрограммой). Аналогично, если IsUpper=False, разложение имеет вид L*D*L', и передается матрица L (в нижнем треугольнике).

Выходные параметры:

X - решение системы. Массив с нумерацией элементов [1..N]

Результат:

True - если система не вырождена. X содержит решение.

False - если система вырождена (определитель матрицы D cтрого равен нулю). В таком случае X не содержит решение.

Хранение матрицы в компактном виде.

class SparseMatrix;

Класс представляет собой сортированный двумерный список. Поиск производится по строкам а затем с помощью бинарного поиска находится соответствующий елемент в строке. Сложность алгоритма NlogN. Нулевые элементы не хранятся что позволяет существенно уменьшить занимаемый объем памяти для хранения матрицы.

Методы класса:

void AddElement(int i,int j,double el);

Функция добавляет элемент матрицы с номером ij.

double GetElement(int i,int j);

Функция возвращает значение, хранящееся в матрице i-й строке и j-м столбце.

Глава 4. Проверка адекватности модели

Для проверки адекватности модели была создана лабораторная модель системы применения СОЖ, состоящая из бака-отстойника c перегородкой, трубопровода и центробежного насоса. В боковой стенке бака имеется 9 кранов для забора проб СОЖ (контрольные точки), их расположение представлено на рисунке:

Рис. 6. Схема модели бака, вид сбоку

Проверка адекватности проводилась в 2 этапа :

1. Теоретический расчет распределения концентрации в баке с использованием полученной модели и полей скоростей жидкости, рассчитанных в ANSYS.

2. Моделирование процесса осаждения примесей в лабораторной модели, замер концентрации и сравнение полученных данных с расчетными в контрольных точках.

4.1 Теоретический расчет распределения концентрации

Для определения полей скоростей жидкости используем ANSYS.

Процесс решения задачи состоит из нескольких этапов:

1. Построение геометрической модели элемента системы применения СОЖ. Элемент представляет собой бак-отстойник с перегородкой, предназначенной для снижения скорости течения жидкости в баке.

Рис. 7. Геометрическая модель бака

2. Разбиение геометрической модели на конечные элементы (линейные тетраэдры).

Рис. 8. Разбиение на конечные элементы

3. Задание начальных и граничных условий. В качестве начальных условий задается скорость движения жидкости на входе бака. Она рассчитывается исходя из параметров насоса и частоты вращения двигателя. V= 0.4 м/с. Граничные условия задаются следующим образом - вектор скорости по всем поверхностям бака и трубопровода , кроме входного и выходного сечений трубопровода, равно нулю. Давление на выходе также равно нулю что соответствует процессу циркуляции жидкости в системе бак-трубопровод-бак.

4. Решение системы и получение файла с описанием компонент векторов скоростей в каждом узле разбиения.

Рис. 9. Поле скоростей жидкости в баке

5. Обработка полученных данных с использование созданного программного обеспечения. Момент времени t = 10c, что соответствует времени забора проб СОЖ в контрольных точках при проведении эксперимента. Результат - файл с описанием значений концентрации механических примесей в узлах разбиения. Пример распределения концентрации примесей представлен на рисунке:



Рис. 10. Распределение концентрации примесей в центральном сечении бака.

6. Значения в узлах, чьи координаты соответствуют контрольным точкам, заносятся в таблицу.

Таблица 6. Теоретический расчет концентрации механических примесей в контрольных точках с использованием созданной модели.

№ точки	X-координата точки	Y-координата точки	Значение концентрации
1	87	29	0.150254
2	15	5	0.220146
3	30	5	0.167293
4	45	16	0.175374
5	10	35	0.166737
6	17	30	0.175563
7	35	25	0.164031
8	73	15	0.123400
9	71	34	0.152644

4.2 Экспериментальный расчет распределения концентрации

Моделирование процесса осаждения примесей в лабораторной модели происходило при следующих условиях: скорость потока жидкости на входе бака V₀ =0.4 м/с , объем бака V_бака = 0.25м³, масса засыпанных примесей М_прим = 0.25кг, начальная концентрация примесей в СОЖ С₀= 1.0кг/м³. Забор проб СОЖ проводился в момент времени t=10с с момента запуска насоса. Концентрация примесей в контрольных пробах СОЖ определялась путем фильтрации и последующего взвешивания фильтра с отфильтрованными примесями. Эксперимент был проведен 4 раза, и для сравнения экспериментальных значений концентрации в контрольных точках бралось их среднее значение. Результаты проведенного эксперимента представлены в таблице:

Таблица 7. Экспериментальный расчет концентрации механических примесей в контрольных точках

№ эксперимента № пробы	1	2	3	4	Средняяконцентрация , г/л
1	0.1502	0.1613	0.153	0.1567	0.1553
2	0.219	0.2254	0.2483	0.2144	0.2267
3	0.1601	0.158	0.1613	0.1583	0.1594
4	0.1817	0.1805	0.1774	0.1781	0.1794
5	0.1596	0.1640	0.1624	0.1608	0.1617
6	0.1802	0.179	0.1763	0.18	0.1788
7	0.1592	0.164	0.1625	0.1657	0.1628
8	0.1228	0.126	0.1304	0.1243	0.1258
9	0.1461	0.153	0.1486	0.15	0.1494

4.3 Анализ полученных результатов

Сравнительный анализ экспериментальных данных с данными расчета:

Таблица 8. Сравнение результатов теоретического расчета с экспериментальными

№ контрольной точки	Теоретическое значение концентрации	Экспериментальное значение концентрации	Отклонение теоретического значения от экспериментального	Отклонение в %
1	0.150254	0.1553	-0.00504	3.2%
2	0.220146	0.2267	-0.00655	2.8%
3	0.167293	0.1594	0.00789	4.9%
4	0.175374	0.1794	-0.00402	2.2%
5	0.166737	0.1617	0.00503	3.1%
6	0.175563	0.1788	-0.00323	1.8%
7	0.164031	0.1628	0.00123	0.8%
8	0.123400	0.1258	-0.0024	1.9%
9	0.152644	0.1494	0.00324	2.1%

Из таблицы видно, что диапазон отклонений значений концентрации, рассчитанных с помощью созданной математической модели от определенных экспериментально составляет от 0.8% до 4.9%. Среднее отклонение ?_ср = 2.5 %, следовательно, полученная математическая модель (1.5) пригодна для расчета концентрации в любой точке системы применения в заданный момент времени. Отдельные достаточно высокие отклонения порядка 4-5% являются следствиями изменения геометрии лабораторной модели системы применения СОЖ вследствие механических деформаций и являются несистематическими погрешностями. Проведенный эксперимент доказывает верность математической формулировки описания поведения механических примесей в жидкости и решения полученной модели концентрации, что позволяет использовать программный продукт для автоматизации процесса решения задач о распределении концентрации механических примесей в системах применения СОЖ. Реализованный программный продукт может использоваться для создания программного комплекса, решающего задачу о проектировании системы очистки СОЖ, без использования программ для получения промежуточных данных.

Заключение

1. Получена математическая модель распределения концентрации механических примесей в зависимости от параметров элементов системы применения, позволяющая определять значение концентрации в любой точке в любой момент времени и рассматривать распределение механических примесей в зависимости от скорости движения СОЖ в системе применения.

2. Проведено решение полученной математической модели распределения концентрации механических примесей численными методами.

3. Создан программный продукт, реализующий решение математической модели для любого элемента системы применения и позволяющий автоматизировать процесс решения задач о распределении концентрации механических примесей в системах применения СОЖ с использованием метода конечных элементов и алгоритмов линейной алгебры.

4. Проведены эксперименты для проверки адекватности поведения модели на конкретной системе применения.

Используемая литература

1. Полянсков Ю.В., Евсеев А.Н., Гисметулин А.Р. Диагностика и управление надежностью смазочно-охлаждающих жидкосте на операциях механообработки. - Ульяновск: УлГУ, 2000.

2. Сегерлинд Л.Д. Применение метода конечных элементов. - М.:Мир, 1979.

3. Полянсков Ю.В. Основы выбора и построения систем очистки СОЖ при абразивно-алмазной обработке. - Вестник машиностроения, 1981, №2.

4. Курс высшей математики и математической физики / Под ред. Тихонова А.Н., Ильина В.А., Свешникова А.Г., Вып. 7, Дифференциальные уравнения - М.:Наука, Глав.ред.физ.мат.лит., 1980.

5. Бердичевский Е.Г. Смазочно-охлаждающие технологические средства для обработки материалов: Справочник. М.: Машиностроение ,1984.

6. Хартман К. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов / Под ред. Э.К. Лецкого. М.: Мир, 1977.

7. Худобин Л.В. Смазочно-охлаждающие средства, применяемые при шлифовании. М.: Машиностроение, 1971.

8. Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие - М.: Наука, 1986.

9. Смазочно-охлаждающие жидкости для обработки металлов резанием. Рекомендации по применению. - М.,1979.

10. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике, М.: Мир, 1975.

Размещено на Allbest.ru