Идеализированные математические модели смесительных емкостей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

1.1 Физическое описание

Принимаем, что гидравлическая емкость (рис 1.1) имеет правильную форму, тогда площадь поперечного сечения емкости S=const, и объем жидкости (или газа) в емкости можно вычислить по формуле V=SH, где H - высота уровня жидкости. Входной поток F1 поступает через вентиль В1, на который действует разность давлений P1P2 (P1 до вентиля и P2 после вентиля). Выходной поток F2 отводится через вентиль В2, на котором устанавливается разность давлений P2P3 (P1 до вентиля и P2 после вентиля). В отличие от обобщенной модели емкости, где неизвестен вид функции расхода, здесь предполагается, что функция зависимости расхода через вентиль от перепада давлений известна, а также учитывается влияние на давление P2 изменения уровня жидкости в емкости.

Рисунок 1.1. Емкость переменного объема.

1.2 Уравнения баланса емкости

Математическая модель проточной емкости с вентилями на входе и выходе содержит следующие уравнения: - уравнение материального баланса, записанное относительно скорости изменения высоты уровня жидкости в аппарате,

; - уравнение расхода через вентили

где КВ1, КВ2 - известные коэффициенты пропускной способности через вентили В1 и В2 соответственно;

- уравнение, связывающее давление P2 с давлением P0 на поверхности и величиной гидростатического напора Н,

,

где =g - удельный вес жидкости; P0 - равно внешнему давлению, если емкость негерметична.

1.3 Математическая модель емкости

Анализ математического описания показывает, что независимыми переменными являются давления P0, P1 и P3; неизвестные переменные, вычисляемые в процессе моделирования - H, F1, F2 и P2. Решение системы является единственным при заданных P0, P1, P3 и H(0).

Зададим начальные значения независимых переменных и построим математическую модель емкости в Simulink'е:

H0= 2 м;S=1 м2; P0=1 атм; P1=1~4 атм; P3=1.5 атм; k1=1; k2= 1;Hкон=8 м;

Настройки PID-регулятора:

математический моделирование смесительный бак

kp=0.1550; ki=0.0097; kd=0,2571;

Рисунок 1.2 Основная модель системы.

Где блок Diffur - основное дифференциальное уравнение системы;

Рисунок 1.3. Модель зависимости давления на вентиле №1 от сигнала с PID-контроллера.

Рисунок 1.4 Дифференциальное уравнение емкости.

блоки NCD Outport 1 и 2 - (HControl и PID Control) - предназначены для поиска оптимальных коэффициентов PID-регулятора, которые задаются как переменные Matlab'а, при изменении заданной высоты и пропускной способности первого вентиля.

Рисунок 1.5. График зависимости H(t).

2. Двухъячеечный рециркуляционный бак с обратным потоком

2.1 Физическая модель

Двухъячеечный рециркуляционный бак (далее - бак) состоит из двух последовательно соединенных ячеек, между которыми существует связь в виде потока f концентрации С2 в первую ячейку и (f+F1) концентрации С1 во вторую, где и происходит окончательный вывод суммарного потока (F1+F2) концентрации С2 за пределы бака.

Рисунок 2.1. Структурная схема рециркуляционного бака.

2.2 Дифференциальные уравнения баланса ячеек бака

Математическая модель бака описывается дифференциальными уравнениями зависимости концентрации С1 и С2 в обеих ячейках от входящих потоков F1, F2, потока перемешивания f, концентрации растворенного вещества во входящих потоках C1вх и C2вх и в начальный момент времени С0.

;

- дифференциальное уравнение для концентрации C1 в первой ячейке;

;

- дифференциальное уравнение для концентрации C2 во второй ячейке;

2.3 Анализ математической модели бака

Запишем начальные условия для математической модели:

F1=0.05 м3/c; F2=0~0.1 м3/c; f=0.05 м3; V1=2 м3; V2= 3 м3; С0=0.45; C1вх=0.3; C2вх=0.8; C2вых=0.6;

Коэффициенты PID-регулятора: kp=6.3864; ki=05297;

Анализ математической модели бака показывает, что по сравнению с моделью идеального перемешивания в баке с двумя и более ячейками с рециркуляцией перемешивание между тремя соседними происходит менее интенсивно, вследствие чего в целом выравнивание концентрации по всем ячейкам не происходит. Если по очереди самую крайнюю ячейку заменять на поток (Fj+f) c концентрацией Cj (в данном примере первую ячейку можно заменить на поток F1+f концентрации C1), то в итоге мы придем к модели идеального перемешивания (при n1).

Рисунок 2.2. Общая модель бака.

Рисунок 2.3. Дифференциальное уравнение для концентрации в первой ячейке.

Рисунок 2.4 Дифференциальное уравнение для концентрации во второй ячейки.

- Блоки Diffur1 и Diffur2 - дифференциальные уравнения концентраций.

Рисунок 2.4. Зависимость С(t).

3. Смесительный бак идеального перемешивания

3.1 Физический смысл

В смесительный бак поступает жидкость в виде двух потоков заданного расхода с различной температурой. Требуется, изменяя температуру одного из потоков, получить на выходе суммарный поток заданной температуры.

3.2 Дифференциальное уравнение зависимости температуры от времени

Зависимость температуры в баке описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

Начальные условия:

Т1=20 С; Т2=40~80 С; V1=1 м3; Tвых=40; F1=0.07 м3/c; F2=0.04 м3/c;

Настройки PID-регулятора: kp=0.0647; ki=0.017;

Рисунок 2.2. Основная модель бака.

Рисунок 2.3. Дифференциальное уравнение

2.4. График зависимости Т(т).

Заключение

В выше перечисленных идеализированных моделях зависимость одних параметров от других выражается одним, реже двумя дифференциальными уравнениями первого порядка, решение которых можно довольно легко рассчитать численными методами в приложении Matlab'a - Simulinke. Нахождение решения более сложных реальных моделей - с учетом всех потерь - занимает гораздо больше как человеческого, так и машинного времени, но оправдывает себя в повседневной жизни, поскольку этим закладываются в модель сразу практически все необходимые параметры и задаются условия, в которых модель должна находиться в течение ее срока службы.

Список использованных источников