13

Введение

Тема реферата «Статистические методы оценки прочности пластмасс».

Прочность пластических масс и изделий из них определяется максимальной нагрузкой или максимальным напряжением, которые образец или изделие могут выдержать без разрушения. Прочность зависит от вида пластмассы и определяется путем специальных физико-механических испытаний. Однако в отличие от традиционных конструкционных материалов испытания пластмасс дают дополнительный разброс показателей. Он объясняется суще6ствованием двух видов погрешностей: 1) систематических и 2) случайных. Систематические погрешности можно выделить и учесть при оценке прочности, так как их существование связано с малой точностью используемых методик и приборов. Случайные погрешности учесть очень трудно, так как нельзя предусмотреть заранее, в каком месте образца или изделия появится слабое место. Случайные погрешности возникают вследствие нерегулярного строения, неоднородности, наличия ослабленных мест и дефектов в структуре. Такие ослабления вызывают неравномерность распределения напряжений, концентрацию напряжений на микродефектах, что ведет к возникновению очага разрушения и последующему разрыву.

Случайные погрешности учитываются с помощью закономерностей теории вероятности. Экспериментальные данные принимают как случайные величины, т.е. такие величины, которые могут принимать те или иные значения в зависимости от причин, не учитываемых заранее. Для оценки ряда результатов испытаний одного и того же материала используется статистическая обработка данных. Полученные статистические характеристики позволяют сделать правильное суждение о полученных данных.

1. Статистические характеристики

1) Среднее арифметическое значение случайной величины:

x = (x₁+x₂+x₃+???+x_n) = (? x_i) / n,

где n - количество наблюдений в выборке.

2) Эмпирическое среднеквадратическое отклонение:

S_n = v ?(x_i - x)² / (n-1)

Берется только положительное значение.

3) Дисперсия:

D_n = S_n² = ?(x_i - x)² / (n-1)

Если n > 50, то (n-1) можно заменить на n.

4) Доверительный интервал:

x - x ? S_n / vn •t_?(n),

где х - среднее значение величины для бесконечно большого числа измерений (генеральной совокупности);

t_?(n) - коэффициент Стьюдента, значения которого выбираются из таблиц в зависимости от числа наблюдений n и доверительной вероятности ?.

5) Коэффициент вариации:

?_х = S_n /х ? 100% или ?_х = S_n /х

2. Оценка прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену

Основными условиями обеспечения прочности любого материала являются:

По напряжениям n = ?_раз/?_{max экв} ? [n]

По нагрузкам n = R/Q ? [n],

где n - запас прочности;

?_раз - разрушающее напряжение;

?_maxэкв - максимальное эквивалентное действующее напряжение;

R - разрушающая нагрузка;

Q - действующая нагрузка;

[n] - допускаемый запас прочности.

В основе оценки лежат:

1) статистическая природа прочности пластмассы;

2) возможность вероятностного распределения действующих нагрузок и напряжений.

Это позволяет построить графики плотностей вероятности распределения Р(х) по действующему напряжению ? и пределу прочности ?_в. При этом запас статистической прочности будет равен:

n = ?_в / ?_max.

Считаем, что ?_в и ?_max известны. В точке А кривые распределения нагружающих и разрушающих напряжений пересекаются и, если одновременно ? > ?_А и ?_в < ?_А, возможно разрушение.

Вероятность разрушения по Серенсену в предположении независимости событий:

Р_раз = Р (? > ?_А)·Р(?_в < ?_А) = S,

где S - площадь заштрихованного участка.

Вероятность того, что случайная величина ?_А будет меньше заданного значения ?, равна:

Р (? > ?_А) = ? + Ф[(?_А - ?) / S_д],

где Ф - табулированная функция Лапласа;

S_д - среднее квадратическое отклонение действующего напряжения.

Табулированная функция Лапласа равна:

₂

Ф[(?_А - ?)·/S_д] = 1/v2? · ?е^{-1/2 ?} ·d?

где ? = (?_А-?_ср) / S_д; d? = d?_А / S_д

Вероятность того, что случайная величина ?_А будет больше заданного значения ?_в, равна:

Р(?_в < ?_А) = ? - Ф[(?_А - ?_{в ср}) / S_в],

где S_в - среднее квадратическое отклонение разрушающего напряжения.

В предположении того, что закон распределения случайных величин нормальный, можно записать:

Р_раз = {? + Ф[(?_А - ?)/S_д]}· {? - Ф[(?_А - ?_{в ср})/S_в]}

Плотность распределения при нормальном законе распределения равна:

_{2 2}

Р(х) = 1/(S·v2?)· e ^{- (x-xср) /2S}

Для точки А величина ? может быть найдена из равенства:

_{2 2 2 2}

1/S_д·e^{-(?А-?ср) / 2Sд} = 1/S_в·e^{-(?А-?вср) / 2Sв}

или Z_д² - Z_в² = -2 ln(S_д/S_в),

где Z_д = (?_А-?_ср) / S_д; Z_в = (?_А-?_вср) / S_в.

Величины Z_д и Z_в называются нормированными отклонениями.

Последнее уравнение решается относительно ?_А. Затем определяется Р_раз, представляющее условную величину. Эта величина должна сопоставляться с известными предельными значениями, которые устанавливаются экспериментально на основе опыта эксплуатации подобных конструкций.

Через Р_раз можно найти коэффициент надежности Н:

Н = lg (1/P_раз)

Р_раз = 1 - Р_нер; Р_нер = 1 - Р_раз

При вероятности неразрушения Р_нер, равной 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999, соответственно Н равно 1; 2; 3; 4.

3. Статистическая оценка прочности пластмасс по нагрузкам

Тимофеев Е.И. показал, что из-за недостаточной однородности и стабильности механических свойств пластмасс расчет по средним значениям нагрузок следует вести с учетом вероятности снижения прочности вследствие релаксации и неоднородности.

Изделие считается прочным, если действующая нагрузка Q меньше разрушающей R:

R - Q > 0

Вероятность такого события определяет надежность изделия:

? = Вер [(R - Q) > 0]

Обозначим разность нагрузок через Х:

Х= R - Q

Тогда, с учетом того, что Х подчиняется нормальному закону распределения с плотностью Р(Х), среднее значение Х равно:

Х₀ = R₀ - Q₀

Стандартное отклонение:

S_x = v S_R² + S_Q²

Надежность:

2 2

? = Вер (Х > 0) = P(X)·dX = 1/(S·v2?)·?e^{-1/2·((x-xср) / S}x ⁾ ·dx

С учетом нормированной функции Лапласа:

? = Ф(У),

где У = X₀ / S_x (У берется из таблиц в зависимости от заданной вероятности).

После подстановки уравнений и деления числителя и знаменателя на Q₀ получим:

У = (R₀/Q₀ - 1) / vS_R² / Q₀² + S_Q² / Q₀²

Введем обозначения:

n₀ = R₀ / Q₀ - средний наиболее вероятный запас прочности;

?_R = S_R / R₀; ?_Q = S_Q / Q₀ - коэффициенты вариации разрушающей и действующей нагрузок.

Тогда:

У = (n₀ -1)/v n₀²·?_R² + ?_Q²

Для трубы при r >> h, где r - радиус, а h - толщина стенки, принимают:

?_{R =} v ?_в² + ?_h²

Пользуясь специальными таблицами для Ф(У), после вычисления функции У можно определить запас прочности по средним значениям нагрузок или надежность по выбранному среднему коэффициенту запаса прочности. Определение функции У позволяет также исследовать влияние на надежность величины статистического разброса разрушающих и действующих нагрузок.

Статистические методы позволяют дать оценку влияния на надежность пластмассовых изделий температур, агрессивных сред, усталости, климатических факторов и т.д.

Например, по экспериментальным данным нагрев до 60 ⁰С приводит к снижению предела прочности при растяжении для стеклотекстолита КАСТ-В на 10%, пресс-материала АГ-4С - на 35 - 40%, пресс-материала АГ-4В - на 20%.

Если труба изготовлена из АГ-4С, и ?_в = 9,75 МПа; ?_д = 5,1 МПа; ?_R = 0,095; ?_д = 0,3, то:

n₀ = 9,75 / 5,1 = 1,91

У = (1,91 - 1) / v 1,91²·0,095² + 0,3² = 2,5

По таблице для У = 2,5 находим ? = 0,9938 или 99,38%.

При нагреве до 60 ⁰С:

n₀ = 0,6·9,75 / 5,1 = 1,147

У = (1,147 - 1) / v 1,147²·0,095² + 0,3² = 0,445

По таблице для У = 0,445 находим ? = 0,672 или 67,2%.

Количественная оценка надежности показывает, что такое изделие эксплуатировать нельзя.

Повышения надежности можно достичь за счет улучшения прочности материала или усовершенствования технологии изготовления изделий, приводящих к понижению коэффициента вариации ?_в.

Из уравнения для У можно определить запас прочности:

n₀ = (1 + У·v?_R² + ?_Q² - У²·?_R²·?_Q²) / (1 - У²·?_R²)

4. Оценка эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности

Примем за условный вес конструкции изделия вес, приходящийся на единицу длины l и единицу действующей нагрузки Q.

q?_усл = q / (l·Q),

а за единицу прочности примем величину:

k_в = l·R / q,

где R - разрушающая нагрузка.

Из этих уравнений выводим:

q?_усл = n / k_в

Условный наиболее вероятный коэффициент запаса прочности с учетом вариации поперечного сечения изделия равен:

n₀ = [1 + У·v?_в² + ?_F² + ?_Q² - У² ·?_Q² ·(?_в² + ?_F²)] / [(1 - У²·(?_в² + ?_F²)]

Тогда можно записать, что средняя наиболее вероятная прочность материала равна:

k_0? = ?_в0 / ?,

где ? - удельный вес материала.

Пусть q_0усл ?= n₀ / k_0?.

После подстановок получим:

q₀?_усл = 1 / k_0?·[(1-У²·(?_в²+?_F²)] / [1+У·v?_в²+?_F²+?_Q²-У²·?_Q² ·(?_в²+?_F²)]

Знаменатель этой формулы называют критерием эффективной удельной прочности материалов:

k?_0? = k_0? · [(1-У²·(?_в²+?_F²)] / [1+У·v?_в²+?_F²+?_Q²-У²·?_Q² ·(?_в²+?_F²)]

Из уравнения видно, что k?_0? учитывает неоднородность материала (?_в), вариацию действующих напряжений (?_Q), рассеивание размеров (?_F) и заданную надежность ? = Ф(У).

Упростив уравнение и приняв, что ?_Q = ?_F = 0, получим:

k?_0? = k_0? ·(1 - У· ?_в)

Оценка конструкционных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности показывает, что пластмассы резко отличаются по степени однородности. Из реактопластов наиболее неоднородны АГ-4С, АГ-4В, из термопластов - полиамиды 6 и 66. Если же перерабатывать пластмассы при оптимальных строго регулируемых режимах, то k?_0? имеет примерно равные значения при любых степенях надежности (У = 2, 3, 4). Это свидетельствует о том, что качество изделий при этих условиях, их прочностные свойства и однородность изделий значительно улучшаются.

Заключение

В процессе написания реферата мы ознакомились со статистическими методами оценки прочности пластмасс; оценкой прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену; статистической оценкой прочности пластмасс по нагрузкам и оценкой эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности.

Литература

1. Альшиц И.Я. и др. Проектирование изделий их пластмасс. - М.: Машиностроение, 1979. - 248 с.

2. Зенкин А.с. и др. Допуски и посадки в машиностроении. К.: Техніка, 1990. -320 с.

3. Штейнберг Б.И. и др. Справочник молодого инженера-конструктора. - К.: Техніка, 1979. - 150 с.

4. Лепетов В.А., Юрцев Л.И. Расчет и конструирование резиновых изделий. М.: Химия, 1987. - 408 с.