Основы теории и технологии контактной точечной сварки

Разработка математической модели температурного поля по расчетно-экспериментальному методу, в сущности, сводится к определению и математическому описанию взаимосвязей аппроксимирующих функций (3.24), описывающих изменение температуры по координатам z и r, и функции (3.25), описывающей ее изменение по времени t.

При описании изменения температуры T_Zt по оси электродов (по координате z), в дискретный момент времени t, значения коэффициентов b и a в зависимости (3.24) применительно к конкретному процессу сварки можно найти, если представляется возможным экспериментально определить значения температуры в характерных точках в разные моменты процесса сварки. Для этого, предварительно для момента времени t преобразовав зависимость (3.24) к виду

, (3.26)

можно составить систему уравнений, учитывая, что при z = h_Яt/2 температура T_Zt = T_ПЛ, а при z = s -- T_Zt = T_Эt:

,

где для момента времени t, h_Яt -- высота ядра расплавленного металла;
T_Эt -- температура на поверхности деталей под электродами; T_ПЛ -- температура плавления свариваемого металла; s -- толщина деталей.

Решив эту систему уравнений, находим значения коэффициентов b_t и a_Zt:

, ,

подставив которые в (3.26) получим зависимость для расчета температуры T_Zt на оси электродов в точке с координатой z в момент времени t. После преобразований она будет иметь следующий вид:

. (3.27)

Эта зависимость имеет хорошую сходимость результатов при расчете изменения температуры по координате z, с результатами расчетов температуры численными методами, в частности, методом конечных разностей (рис. 3.7). Это, например, подтверждается на изменением температуры по оси электродов в момент выключения сварочного тока при сварке сплава АМг6 (рис. 3.7, а), рассчитанное по формуле (3.27) и методом конечных разностей в работе [165].

Для расчета в момент времени t изменения температуры T_rt по координате r зависимость (3.24) преобразуем к виду

. (3.28)

Определить коэффициенты и а_rt можно аналогично тому, как определяли коэффициенты a_Zt и b_t, по известным значениям температуры T_rt в характерных точках (рис. 3.5, б): при r = d_Пt/2 значение температуры T_rt на границе уплотняющего пояска равно T_П, то есть T_rt = T_П, при r = d_Яt/2 -- T_rt = T_ПЛ и при r = 0 -- T_rt = T_М.

Поскольку в точке с координатами и температура имеет максимальное значение T_М, то из зависимостей (3.27) и (3.28) можно записать следующее соотношение:

,

из которого можно определить коэффициент для данных условий

,

а зависимость для расчета температуры по координате r можно записать следующим образом:

.

Поскольку на границе ядра расплавленного металла при металл нагрет до температуры его плавления T_ПЛ, то из этой зависимости можно определить значение коэффициента а_rt, которое будет равно

. (3.29)

Тогда зависимость для расчета изменения температуры по координате r в окончательном варианте имеет следующий вид

. (3.30)

Изменение температуры по координате r в момент выключения сварочного тока, рассчитанное по зависимости (3.30), также хорошо согласуется с результатами расчетов методом конечных разностей (рис.3.7, б).

Для расчетов изменения температуры в любой точке плоскости z - r зависимости (3.27) и (3.30) следует объединить. Это можно сделать, если учесть, что температурное поле неразрывно, а температура на оси электродов T_Zt при любом значении координаты z является максимальным значением температуры Т_М по координате r, т. е. при r = 0 значение T_Zt = Т_М. Из зависимостей (3.27) и (3.30) это соотношение температур по координатам z и r можно выразить следующим образом:

.

Отсюда после преобразований получаем зависимость для расчета температуры в момент времени t в любой точке плоскости z - r в пределах зоны сварки, которая имеет следующий вид:

. (3.31)

Характер изменения температурного поля по координатам z и r, рассчитанный по зависимости (3.31) в момент выключения сварочного тока, показан на рис. 3.8.

Зависимость (3.31) описывает изменение температурного поля в любой точке плоскости z - r только в отдельные дискретные моменты

времени t. Для анализа термодеформационных процессов в зоне сварки необходимо математически описать изменение температуры в каждой ее точке и по времени. Это можно сделать, если с зависимостью (3.31) функционально увязать зависимость (3.25), которая и описывает изменение тем

пературы по времени.

Определить значения коэффициентов n и c в зависимости (3.25) можно исходя из следующего.

В момент времени t_НП начала плавления металла в контакте деталь-деталь температура в точке с координатами z = 0 и r = 0 равна значениям температуры плавления металла Т_ПЛ, т. е. при t = t_НП -- T_t = Т_ПЛ. В момент же окончания импульса тока t_СВ температура в контакте деталь-деталь достигает максимальных значений Т_М, т. е. при t = t_СВ -- T_t = Т_М. Это позволяет составить следующую систему уравнений

,

после решения которой и находим искомые коэффициенты n и c:

, .

Тогда зависимость для расчета изменения температуры в центре контакта деталь-деталь можно записать в виде

, (3.32)

где с -- коэффициент, определяемый для момента t = t_СВ, т. е. по конечной высоте ядра h_Я, и равный

,

где a_Z - значение коэффициента a_Zt, определяемого по зависимости (3.27) также для момента t = t_СВ, т. е. так же по конечной высоте ядра h_Я и максимальной температуре T_Э в контакте электрод-деталь:

.

Характер изменения температуры в центре свариваемого контакта, рассчитанный по зависимости (3.32) для различных условий сварки, показан на рис.3.9. Такое изменение температуры вполне согласуется с имеющимися данными, полученными как экспериментально, так и расчетами методом конечных разностей.

Выразим значение температуры плавления металла Т_ПЛ в формуле (3.32) через Т_М из формулы (3.31) при z = 0 и r = 0

и подставим это выражение в зависимость (3.32). Тогда эту зависимость можно преобразовать к следующему виду:

. (3.33)

Если допустить, что характер изменения температуры по времени от нуля до ее максимальных значений в любой точке зоны формирования соединения подобен характеру изменения температуры в центре контакта деталь-деталь, то значение Т_М в зависимости (3.33) равно значению Т_z,r,t рассчитанному по зависимости (3.31). Тогда зависимость (3.33) с учетом (3.31) и (3.29) можно преобразовать к следующему виду:

. (3.34)

Зависимость (3.34) описывает изменение температуры в зоне сварки на стадии нагрева по координатам z и r, а также по времени t при допущении, что характер изменения температуры по времени во всех точках зоны формирования точечного сварного соединения подобен характеру изменения температуры в центре контакта деталь-деталь.

Однако, в действительности, как показали расчеты температурных полей методом конечных разностей, характер изменения температуры по времени на периферии зоны сварки несколько иной, чем характер изменения температуры в центре контакта деталь-деталь. Это означает, что величина коэффициентов a_z и a_r, характеризующих градиент температуры по координатам z и r, должна изменяться по времени и зависеть от условий сварки, в частности, от формы рабочей поверхности электродов.

Проведенные исследования показали, что изменение значений коэффициентов a_z и a_r может быть аппроксимировано функцией вида [217]

, (3.35)

где a_t и a - текущие и конечные значения коэффициента a_z или a_r при их изменении по времени; т и п - экспериментально определяемые коэффициенты аппроксимации.

Тогда окончательно формулу для расчета изменения температуры в любой точке зоны сварки в любой момент времени в интервале 0 < t ? t_СВ с учетом сказанного выше можно представить в следующем виде:

, (3.36)

где t -- координата времени; c, a_zt и a_rt - коэффициенты, характеризующие изменение в процессе сварки градиента температуры по цилиндрическим координатам z и r и времени t:

, , ,

, ;

Т_Э -- максимальное значение температуры в контакте электрод-деталь;
t_НП -- время начала плавления металла в контакте деталь-деталь; m₁, n₁, m₂ и n₂ -- опытные коэффициенты, учитывающие изменение во времени градиента температуры по координатам z и r (см. ниже табл. 3.2).

Известные трудности при расчетах температуры по зависимости (3.36) представляет точное определение для конкретных условий сварки момента начала плавления металла в контакте деталь-деталь t_НП, максимальной температуры в контакте электрод-деталь Т_Э, а также коэффициентов m₁, n₁, m₂ и n₂, которые учитывают изменение во времени градиента температуры по координатам z и r. Несомненно, что при решении научно-исследовательских задач они в каждом конкретном случае должны определяться индивидуально. При приближенных технологических расчетах они могут быть определены по приведенным ниже обобщенным данным.

Наиболее просто определять момент t_НП начала плавления металла в контакте деталь-деталь. Это можно осуществить прерыванием процесса сварки (на серийных машинах это можно сделать с шагом 0,02 или 0,01 с). Установлено, что с увеличением жесткости режима сварки момент начала плавления металла t_НП смещается к началу процесса и существует корреляционная зависимость между значением t_НП и проплавлением деталей, выраженным отношением высоты ядра расплавленного металла к суммарной толщине деталей h_Я/2s. Усредненная для способов КТС зависимость значений t_НП от проплавления деталей h_Я/2s, показанная на рис. 3.10, вполне удовлетворительно описывается функцией, интерполированной по полиному Лагранжа [217]:

, (3.37)

где t_СВ - время сварки; h_Я - высота ядра; s -толщина детали.

Экспериментальное определение максимального значения температуры в контакте электрод-деталь Т_Э не имеет принципиальных препятствий. Это можно сделать по любой из известных методик, например, описанным в работах [14, 207]. Основная трудность таких измерений -- это их относительно большая трудоемкость.

Проведенными исследованиями и обработкой известных результатов экспериментов других исследователей, а также результатов расчетов температуры методом конечных разностей, установлено наличие корреляционной зависимости между максимальным значением температуры в контакте электрод-деталь Т_Э и относительным проплавлением деталей h_Я/2s (рис. 3.10). Зависимость удовлетворительно описывается следующей, относительно простой, аппроксимированной функцией:

, (3.38)

где Т_ПЛ -- температура плавления металла; h_Я -- высота ядра; s --толщина свариваемых деталей.

Наиболее трудоемко определение изменения в процессе формирования соединения коэффициентов a_zt и a_rt, характеризующих изменение градиента температуры по координатам z и r. Для этого необходимо измерять значения температуры в характерных точках (см. рис. 3.5), а затем определять значения a_zt и a_rt обратным расчетом по зависимости (3.36). Трудоемкость определения этих коэффициентов можно несколько уменьшить после начала плавления металла. Для этого экспериментально следует измерять изменение высоты h_Яt и диаметра d_Яt ядра, а коэффициенты a_zt и a_rt так же определять обратным расчетом по зависимостям (3.40) и (3.41). Обработкой значительного числа экспериментальных данных установлено, что характер изменения коэффициентов a_zt и a_rt в процессе формирования точечных сварных соединений зависит в основном от геометрии рабочей поверхности электродов и жесткости режимов сварки.

Наиболее близкий характер изменения градиента температуры по координатам z и r в процессе формирования соединения при сварке электродами со сферической рабочей поверхностью (рис. 3.11). При сварке электродами со сферической рабочей поверхностью плавление металла начинается в относительно небольшом объёме и увеличение высоты h_Яt (рис. 3.11, а) и диаметра d_Яt (рис. 3.11, б) ядра происходит плавно. Это обусловлено тем, что градиент изменения температуры по координатам z и r в начале процесса нагрева весьма высок, а в процессе сварки плавно уменьшается, вследствие чего уменьшаются и значения коэффициентов a_zt (рис. 3.11, а) и a_rt (рис. 3.11, б).

Изменения градиента температуры по координатам z и r в процессе формирования соединения при сварке электродами с плоской рабочей поверхностью различаются в большей степени, в особенности в начале процесса сварки (рис. 3.12).

При сварке электродами с плоской рабочей поверхностью плавление металла начинается по большей площади контакта, чем при сварке электродами со сферической рабочей поверхностью, что обусловлено меньшим градиентом температуры по координате r. Затем, увеличение высоты h_Яt (рис. 3.12, а) и диаметра d_Яt (рис. 3.12, 6) ядра также происходит плавно. Градиент изменения температуры по координате z изменяется аналогично предыдущему, соответственно изменяется и a_zt (рис. 3.12, а). Отличия носят лишь количественный характер. Градиент же изменения температуры по координате r в процессе сварки, в отличие от предыдущего случая, почти не изменяется, хотя в начальной стадии наблюдается повышенный его разброс. Это предопределяет относительно большие начальные значения диаметров ядра (рис. 3.12, б) и относительно не большие изменения значений a_rt (рис. 3.12, б).

При точечной сварке с обжатием периферийной зоны соединения плавление металла начинается по еще большей площади контакта, чем при сварке электродами с плоской рабочей поверхностью (рис. 3.13).

Затем, увеличение высоты h_Яt (рис. 3.13, а) и диаметра d_Яt
(рис. 3.13, б) ядра также происходит плавно. Градиент изменения температуры по координате z изменяется аналогично предыдущим случаям, соответственно изменяется и a_zt (рис. 3.13, а). Отличия носят лишь количественный характер. Градиент же изменения температуры по координате r, в отличие от предыдущих случаев, в начале процесса сварки меньше чем в конце и монотонно возрастает в процессе формирования соединения. Это предопределяет несколько большие начальные значения диаметров ядра (рис. 3.13, б) и увеличение значений a_rt в процессе сварки (рис. 3.12, б).

Конечно, полученные таким образом значения коэффициентов a_zt и a_rt весьма приближённы, но, как показали сравнения расчётных и экспериментальных значений температуры и размеров ядра, приемлемы для решения приближенных технологических задач. Для практических расчетов полученные значения коэффициентов a_zt и a_rt обобщены аппроксимированными функциями, описывающими их изменение в процессе формирования соединений (зависимости (3.35) и (3.36)). Значения коэффициентов m₁, n₁, m₂ и n₂, необходимые для расчетов температуры в зоне формирования соединения по данному расчетно-экспериментальному методу, для различных условий сварки обобщены в табл. 3.2 [215, 217].

Таблица 3.2

Значения коэффициентов m₁, n₁, m₂ и n₂ для расчетов температуры в зоне формирования соединения при различных условиях сварки

Условия точечной сварки	Значения коэффициентов*)
	m1	n1	m2	n2
Электродом со сферической рабочей поверхностью	1,9...2,1	0,5...0,7	1,4...2,1	0,5...0,7
Электродом с плоской рабочей поверхностью	1,6...1,9	0,35...0,45	1,9...2,1	0,45...0,55
С обжатием периферии сварной точки	1,2...1,8	0,25...0,35	0,05...0,8	0,35...0,45
*) Большие значения относятся к более жестким режимам

Изменение температуры в процессе КТС в различных точках зоны сварки, рассчитанное по данному расчетно-экспериментальному методу, в частности, в центре контакта деталь-деталь, в контакте электрод-деталь вполне согласуется с имеющимися данными, полученными экспериментально (осциллографированием) и расчетами методом конечных разностей и конечных элементов (рис 3.14).

Так, температура в центре контакта деталь-деталь (кривая 1) быстро, за время равное 0,1...0,2 t_СВ, нарастает до температуры, близкой к температуре плавления, а затем рост температуры замедляется. Причем изменение температуры в центре контакта деталь-деталь, рассчитанное по формулам (3.34) и (3.36) совпадает. Это объясняется тем, что она не зависит от координат, т. е. градиента температуры в зоне сварки, и фактически определяется зависимостью (3.33). Изменение же температуры в контакте электрод-деталь, рассчитанное по зависимости (3.36) (кривая 2), ближе к экспериментальным результатам (кривые 3), чем рассчитанное по зависимости (3.34) (кривая 4), поскольку она учитывает различия градиента температуры в разных точках зоны сварки.

Температурное поле в зоне сварки по координатам и времени отличается весьма высоким градиентом температур (рис. 3.15).

Характер изменения температурного поля по координатам и времени вполне соответствует имеющимся данным, полученным как экспериментально, так и решениями дифференциальных уравнений методами конечных разностей и конечных элементов.

3.3.2 Методики расчетного определения размеров ядра и средних
значений температуры в зоне сварки

При решении большинства технологических задач КТС, в частности определения силовых параметров режимов сварки, возникает необходимость в расчетном определении размеров ядра (как правило, его диаметра и высоты) и средних значений температуры в определенных участках зоны формирования соединения.

Размеры ядра расплавленного металла можно определить по положению изотермы температуры плавления, в частности, высоту h_Яt и диаметр d_Яt ядра можно определить по координатам пересечения изотермы температуры плавления Т_ПЛ с координатными осями z и r. Положение изотермы любой температуры в зоне формирования соединения в любой момент времени можно определить из зависимости (3.36), если значение температуры изотермы Т_И подставить в ее левую часть. После преобразований получаем выражение:

, (3.39)

которое является общеизвестным [208] уравнением эллипса, но только с изменяющимися по времени полуосями.

Например, расположение изотерм (рис. 3.16), показанных сплошными линиями и рассчитанных по зависимости (3.39) для тех же условий сварки, для которых они рассчитывались в работе [165] решением дифференциальных уравнений методом конечных разностей (пунктирные линии), почти совпадают между собой. В частности, в приведенном примере положение изотермы Т_И = 600 ?С показывает контур ядра расплавленного металла (температура плавления Т_ПЛ сплава АМг6 ~ 623 ?С). Причем изотерма Т_И = 600 ?С, рассчитанная по зависимости (3.39), в большей мере совпадает с контуром ядра, определённым по макрошлифу. Это объясняется тем, что расчетно-экспериментальный метод закладываются конечные размеры (высота h_Я и диаметр d_Я) ядра. Таким образом, при Т_И = Т_ПЛ зависимость (3.39) описывает контур ядра расплавленного металла:

.

Поскольку полуоси эллипса изотермы температуры плавления равны половине высоты и диаметра ядра, то по этой зависимости можно определить их значения в любой момент времени t процесса формирования ядра. После преобразований получены формулы для расчета высоты h_Яt и диаметра d_Яt ядра в любой момент времени t после начала плавления металла (времени t_НП, которое можно определить по зависимости (3.37)) до окончания импульса сварочного тока (при t_НП< t ? t_СВ) [217]:

, (3.40)

, (3.41)

где a_zt и a_rt -- коэффициенты, характеризующие изменение градиентов температуры по координатам z и r, которые можно определить по зависимости (3.36) с использованием данных табл. 3.2.

Изменение высоты и диаметра ядра в процессе его формирования, рассчитанные по формулам (3.40) и (3.41), вполне согласуются с данными, полученными из практики КТС (рис. 3.17). Данные формулы дают удовлетворительную сходимость расчетных и экспериментальных результатов (показаны точками), расхождение которых не превышает ± 10 %.

Среднюю температуру по одной из координат z или r, или же по участку плоскости z -- r в момент времени t можно определить из зависимости (3.36), используя общеизвестную [208] теорему о среднем, согласно которой средняя температура по координатам z или r на участках z₂ - z₁ или r₂ - r₁, а также по элементу площади S_Пt в плоскости z -- r, может быть выражена следующими зависимостями:

,

,

.

Точные вычисления средних значений температуры в зоне сварки по приведенным выше зависимостям невозможны из-за того, что интегралы вида , которые содержатся в вышеуказанных зависимостях, при четных значениях n аналитически не вычисляются [208]. В таких случаях, как правило, подобные интегралы путем подстановок сводят к интегралам, значения которых вычислены приближенными методами. Для данного случая наиболее подходящим из вышеуказанных является интеграл вида erf (y), который называют erf-функцией или функцией ошибок. Его табличные значения приведены справочниках, например, в [208].

После подстановок, вычисления интегралов и преобразований зависимости для количественных расчетов средних значений температуры в зоне сварки по координатам z или r, а также по площади S_Пt в плоскости
z -- r, имеют следующий вид:

, (3.42)

, (3.43)

, (3.44)

где для момента времени t, Т_(z,t)ср -- средняя температура по координате z на участке z₂ - z₁ при любом значении r; Т_(r,t)ср -- средняя температура по координате r на участке r₂ - r₁ при любом значении z; Т_(z,r,t)ср -- средняя температура по любому прямоугольному элементу площади в плоскости оси электродов z -- r; erf (y) -- функция ошибок, которая представляет собой интеграл вида

.

Для распределения температуры в зоне сварки T_z и T_r по координатам z и r (рис. 3.18), рассчитанного по зависимости (3.36) для момента окончания нагрева, значения средней температуры по координатам z и r в пределах ядра расплавленного металла (кривая 1), на оси электродов от границы ядра h_Я до поверхности листа, толщиной s (кривая 2), в плоскости свариваемого контакта между границами ядра d_Я и пояска d_П (кривая 3), рассчитанные по зависимостям (3.42) и (3.43), а также значение средней температуры в плоскости z -- r по площади зоны сварки, которая ограничена уплотняющим пояском d_П и поверхностью свариваемых деталей, рассчитанное по зависимости (3.44) при z₁ = r₁ = 0, z₂ = s, r₂ = d_П, вполне соответствует существующим представлениям о нагреве металла в процессе формирования точечного сварного соединения.

Таким образом, данный расчетно-экспериментальный метод оценки теплового состояния зоны КТС на стадии нагрева во время действия импульса сварочного тока при относительной простоте расчета, позволяет достаточно точно оценить температуру в любой точке зоны сварки в любой момент процесса формирования точечного сварного соединения. При этом зависимости, выражающие изменение температуры по координатам и времени, являются непрерывными аналитическими функциями и позволяют производить операции математического анализа.

3.4. Математические модели силового взаимодействия деталей
в площади свариваемого контакта при формировании соединения

Согласно принятым моделям термодеформационного равновесия процесса точечной сварки без обжатия (рис. 3.1) и с обжатием (рис. 3.3) периферийной зоны соединения силовое взаимодействие деталей, сжимаемых электродными устройствами, в площади контура уплотняющего пояска осуществляется металлом, который находится в твёрдой (до начала плавления во всей площади контура уплотняющего пояска) или в твёрдой (после начала плавления в площади уплотняющего пояска, окружающего ядро) и жидкой (в площади ядра расплавленного металла) фазах. Поэтому основными задачами математического моделирования взаимодействия деталей в площади свариваемого контакта при формировании соединения является определение напряжений в площадях контактов, в которых металл находится в твёрдой фазе, и давления в ядре.

3.4.1. Методика расчета среднего значения нормальных напряжении в контакте деталь - деталь

Точно рассчитать распределение напряжений в контактах при КТС по-видимому не представляется возможным из-за сложности и динамичности, протекающих в них термодеформационных процессов. Приближённое решение данной задачи [206, 217, 218] основано на допущении, что характер распределения напряжений в контакте деталь-деталь при точечной сварке подобен характеру распределения напряжений в контакте пуансон-деталь при осадке полосы. Это предположение сделано на основании анализа опубликованных работ С. И. Губкина, Е. П. Унксова, В. В. Соколовского и других исследователей, посвященных определению напряжений в контактах. Ими установлено, что в общем случае в площади контакта имеется три участка, которые отличаются распределением касательных напряжений (рис. 3.19). Качественно такой характер распределения нормальных напряжений в контактах электрод-деталь и деталь-деталь при точечной сварке подтверждается экспериментами по затеканию (пластической деформации) металла в узкую щель в электроде (рис. 3.20) и характером деформации периодического рельефа на поверхности детали (рис. 3.21).

Можно предположить, что и при сварке в площади контакта в момент времени t имеется три участка (рис 3.19 и 3.22), отличающихся распределением касательных напряжений ?, подобно осадке полосы [219]:

1) зона скольжения (участки a₁b₁ и b₂a₂) ;

2) зона торможения (участки b₁c₁ и c₂b₂) ;

3) зона застоя (участки c₁о и оc₂) ;

где ?_Z -- напряжения, нормальные к плоскости свариваемого контакта;
? -- коэффициент трения; r -- радиальные координаты точек в плоскости поверхности деталей.

Наличие таких участков в контактах при КТС экспериментально подтверждается, например, в работе [129].

Решением приближенного уравнения равновесия, предложенного
Е. П. Унксовым [219, 220],

,

где s -- толщина детали; ?_z, ?_r, и ?_? -- соответственно, нормальные относительно плоскости свариваемого контакта, радиальные и окружные напряжения; совместно с условием пластичности Губера - Мизеса

, (3.45)

где ?_Д -- это сопротивление пластической деформации металла в области уплотняющего пояска; получены функции, описывающие изменение нормальных напряжений ?_1Z, ?_2Z, ?_3Z на различных участках контакта, которые, применительно к условиям точечной сварки, имеют следующий вид:

- первый участок при r_b ? r ? r_a

; (3.46)

- второй участок при r_c ? r ? r_b

; (3.47)

- третий участок при 0 ? r ? r_c

. (3.48)

Здесь ? - коэффициент трения; d_П - диаметр контурной площади контакта (уплотняющего пояска).

Координату границы зоны торможения r_b можно определить по зависимости, приведенной в работе [221], которая, применительно к условиям точечной сварки имеет вид

. (3.49)

Поскольку при КТС в контакте электрод-деталь и, в особенности, деталь-деталь наблюдается схватывание металла [128, 129], то коэффициент трения ? можно принять равным 0,5. Тогда, согласно (3.49) при ? = 0,5 -- координата , т. е. зона скольжения (участки a₁b₁ и a₂b₂) отсутствуют, а зона торможения (участки b₁c₁ и b₂c₂) доходит до границы контакта.

Расчеты показали, что, пренебрегая уменьшением касательных напряжений в зоне застоя (с₁о и ос₂ (см. рис. 3.19)), получаем абсолютную ошибку при определении средней величины нормальных напряжений ?_СР, не превышающую 5...10 %, причем в свариваемом контакте только до начала плавления металла. Поэтому, чтобы упростить расчеты, можно допустить, что распределение касательных напряжений ? в области 0 ? r ? d_П/2 равномерно и зона торможения распространяется до центра контакта, т. е. r_С = 0.

Тогда по известной теореме о среднем, после подстановки в нее зависимости (3.47), среднее значение сжимающих нормальных напряжений в свариваемом контакте ?_СРt в любой момент процесса формирования соединения t можно определить следующим образом

, (3.50)

где r_1t и r_2t - соответственно нижний и верхний пределы интегрирования.

При КТС нижний r_1t и верхний r_2t пределы интегрирования изменяются в течение процесса формирования соединения. До момента начала образования ядра контакт твердого металла осуществляется по всей площади уплотняющего пояска. Поэтому в этот период пределы интегрирования r_1t = 0 и r_2t = d_Пt /2 и интегрирование зависимости (3.47) следует проводить в интервале 0…d_Пt /2. При появлении ядра контакт твердого металла осуществляется по уплотняющему пояску шириной b_Пt = d_Пt /2 - d_Яt/2. Следовательно, интегрирование зависимости (3.47) в этот период следует проводить в интервале d_Яt /2…d_Пt /2. Поскольку до начала плавления металла d_Яt = 0, то интервал интегрирования d_Яt /2…d_Пt /2 может быть принят для любого момента КТС при 0 ? t ? t_СВ. Тогда, после подстановки в (3.50) зависимостей (3.47) и (3.49) количественное значение ?_СРt можно определить следующим интегральным выражением

,

из которого после вычисления интеграла с вышеуказанными переменными пределами интегрирования получаем формулу для приближенных количественных расчетов среднего значения нормальных напряжений ?_СРt в контакте деталь-деталь в любой момент t процесса формирования соединения

. (3.51)

Здесь, для момента t процесса формирования соединения, ?_Дt -- сопротивление деформации металла; d_Яt и d_Пt -- текущие значения диаметров, соответственно, ядра и уплотняющего пояска; К_? - коэффициент, характеризующий неравномерность распределения в площади контакта нормальных напряжений по координате r, который для условий КТС следует принимать в пределах 0,25...0,5.

Согласно выражению (3.47) напряжения ?_2Z на краю контакта при во всех случаях стремятся к значениям сопротивления деформации металла , а в центре контакта при они растут с увеличением отношения диаметра контакта к толщине детали : . Это изменение неравномерности распределения напряжений по координате r, как следует из формулы (3.51), существенно влияет и на средние их значения ?_СРt в площади контакта. Так, минимальные значения получаются при , в случае отсутствия ядра расплавленного металла, или же при уменьшении ширины уплотняющего пояска, т. е. разности после начала расплавления металла. Причем, это влияние увеличивается с уменьшением толщины свариваемых деталей вследствие увеличения отношения d_Пt /s.

Точность методики расчета ?_СРt до начала плавления металла представляется возможным оценить прямыми измерениями, поскольку при этом условии ?_СРt равно среднему давлению в контакте, которое можно определить делением усилия сжатия электродов F_Э на его площадь S_К: . Например, свариваемые детали сжимали между электродами на экспериментальной установке, описанной в п. 2.1.2 (рис. 2.7), и измеряли при этом контурную площадь контакта по методике угольных пленок (рис. 2.3). Затем определяли экспериментальные значения ?_СР и сравнивали их со значениями, рассчитанными по формуле (3.51). Пример такого сравнения для холодных контактов показан на рис. 3.23. Проведенные исследования показали удовлетворительную сходимость экспериментальных (показаны точками) и расчетных (кривая 1) значений напряжений в контактах.

Все, сказанное выше, не противоречит существующим представлениям о распределении нормальных напряжений в контактах.

3.4.2. Методика расчета давления расплавленного металла в ядре

Сведения о давлении расплавленного металла в ядре в литературе по сварке носят в основном предположительно-описательный характер. Это объясняется особенностями точечной сварки, не позволяющими измерить его экспериментально, и сложностью термодеформационных процессов в зоне сварки на стадии нагрева, которая затрудняет расчетное определение его величины.

Ниже изложена методика, разработанная [206, 218, 222] на основании приведенных исследований термодеформационных процессов, протекающих в зоне сварки на стадии нагрева, которая позволяет приближенно рассчитать давление расплавленного металла в ядре в любой момент процесса его формирования. Поставленная цель достигается тем, что реальный процесс пластической деформации металла, окружающего ядро, с определенными допущениями, в частности, об осесимметричности зоны сварки, сводится к решению задачи о деформировании сферической оболочки внутренним давлением Р (рис. 3.24).

Согласно решению данной задачи Ляме [223] компоненты напряжений в сферических полярных координатах определяются зависимостями:

,

,

где ?_r, и ?_?, ?_? -- радиальное и окружные напряжения; Р -- давление в полости, b₀ -- наружный радиус сферы; а -- радиус полости.

Р. Хилл [224], применив условие пластичности Треска - Сен-Венана

, (3.52)

где ?_Т -- предел текучести, распространил это решение на случай упругопластического деформирования внутренним давлением толстостенной сферической оболочки. Согласно этому решению распределение напряжений в толстостенной сферической оболочке при упругопластическом ее деформировании внутренним давлением Р (слева на рис. 3.24) описывается следующими зависимостями: в упругой области, при c ? r ? b₀

, (3.53)

в пластической области, при а ? r < с

, (3.54)

где a -- радиус полости; b₀ -- наружный радиус сферы; с -- радиус границы пластической области.

В упругой области оба компонента напряжения уменьшаются с увеличением координаты r. В области пластических деформаций с увеличением r радиальное напряжение уменьшается по величине, тогда как, по условию пластичности, окружное напряжение увеличивается. Максимальное значение окружного напряжения достигается на границе пластического и упругого состояний металла (радиус с). Аналогичный характер изменения напряжений по координате r получен при решении подобной задачи и в работе [225].

Экспериментально установлено (см. п. 2.5.2), что на стадии нагрева максимальные относительные пластические деформации свариваемых деталей по координате r, достигающие 15 %, локализованы в области контура сварочного контакта, диаметром d_Пt, и в узком поясе (шириной
? 0,05...0,15 d_Пt) вокруг него. Упругие же радиальные деформации свариваемых деталей вне этой зоны незначительны, и поэтому ими можно пренебречь. Тогда процесс деформации металла в зоне формирования соединения при контактной точечной сварке можно уподобить процессу деформации металла сферической оболочки с бесконечно толстыми стенками,
т. е. при b₀ > ? (справа на рис 3.24).

Так как металл, выдавливаемый в зазор деталь-деталь, при несвободном расширении в площади уплотняющего пояска, шириной , преодолевает силу реакции противоположной детали, то можно предложить, что он находится в объемно-сжатом напряженном состоянии аналогично металлу зоны а -- д при деформации сферической оболочки. При сварке давление в ядре и напряжения в уплотняющем пояске стремятся раздвинуть свариваемые детали аналогично тому, как и давление в полости сферы и напряжения в зоне объемно-сжатого металла
а -- д при деформировании сферической оболочки. При деформировании сферической оболочки разъединению полусфер препятствует металл с растягивающими окружными ?_? напряжениями при r > c, в процессе же сварки разъединению деталей препятствует усилие сжатия электродов F_Э. Поскольку ядро в плоскости свариваемых деталей имеет форму круга, в плоскости оси электродов -- эллипса, а пластические деформации металла локализованы в области уплотняющего пояска, то можно допустить, что характер напряженного состояния пластически деформируемого металла в приконтактной области уплотняющего пояска подобен характеру напряженного состояния металла в объемно-сжатой зоне а -- д при деформировании сферической оболочки с бесконечно толстой стенкой.

Поэтому процесс деформации металла в зоне сварки на стадии роста ядра можно приближенно уподобить процессу деформации при расширении сферической полости в оболочке с бесконечно толстыми стенками, если оболочку мысленно рассечь по диаметральной плоскости, и сумму растягивающих окружных напряжений ?_?, при r > д заменить усилием сжатия электродов, т. е. принять, что:

. (3.55)

Таким образом, определить давление Р в ядре можно, решая задачу только в пластической области, так как упругие деформации влияния на его величину практически не оказывают. При этом контуром уплотняющего пояска можно считать границу металла при деформировании сферической оболочки, находящегося в объемно-сжатом состоянии.

Тогда изменение напряжений по координате r в пластической области (а ? r < с) при b₀ > ?, согласно зависимостям (3.54) можно описать следующим образом:

. (3.56)

Более точные результаты, по мнению ряда исследователей [220, 225], получаются при использовании условия пластичности не Треска - Сен-Венана (3.52), а Губера - Мизеса (3.45).

При высоких скоростях деформации и высокой температуре деформируемого металла, что имеет место при точечной сварке, «деформируемость» металла точнее характеризуется не пределом текучести ?_Т, а сопротивлением пластической деформации ?_Д металла с учетом процессов его упрочнения и разупрочнения [226]. Поэтому для условий пластической деформации металла при точечной сварке предел текучести ?_Т в условии пластичности (3.45) рационально заменить сопротивлением пластической деформации ?_Д . Тогда давление в полости сферической оболочки, которое равно радиальному напряжению металла на поверхности полости, но с обратным знаком, необходимое для осуществления пластического течения металла до радиуса с, по зависимости (3.56) можно рассчитать следующим образом:

. (3.57)

Координату пластической области с можно выразить через координату д границы объемно-сжатого металла из зависимостей (3.56), так как при r = д окружные напряжения ?_? = 0. После преобразований получаем следующее соотношение с и д:

. (3.58)

Согласно принятой модели можно записать следующее соотношение координат элементов сферической оболочки и зоны сварки: д = d_Пt /2, а
а = d_Яt /2. Причем, значение координаты области пластических деформаций, выраженной зависимостью (3.58), практически совпадает с координатой, полученной при экспериментальных исследованиях пластических деформаций металла в зоне формирования соединения при КТС (см. п. 2.5.2).

С учетом сказанного выше зависимость (3.57) для расчета давления расплавленного металла в ядре Р_Яt в любой момент времени t процесса формирования соединений при КТС можно преобразовать к следующему окончательному виду:

, (3.59)

где для момента времени t, Р_Яt - давление расплавленного металла в ядре; ?_Дt -сопротивление пластической деформации металла в области уплотняющего пояска; d_Яt и d_Пt - диаметры, соответственно, ядра и уплотняющего пояска.

Из формулы (3.59) следует, что давление расплавленного металла в ядре прямо пропорционально сопротивлению пластической деформации металла и логарифму отношения диаметра уплотняющего пояска к диаметру ядра. Поэтому давление расплавленного металла в ядре в процессе его формирования может только уменьшаться, поскольку всегда уменьшается как сопротивление деформации металла ?_Дt, так и отношение d_Пt/d_Яt. Очевидно, что при при уменьшении ширины уплотняющего пояска, то есть разности , давление в ядре, как средние значения напряжений ?_СРt, стремятся к минимальному значению: .

Проверить точность расчетной методики прямым измерением давления расплавленного металла в ядре пока не представляется возможным. Поэтому экспериментальную оценку точности зависимостей для расчета давления в ядре Р_Яt (3.59) и средних значений нормальных напряжений ?_СРt (3.51) производили косвенно. Такую экспериментальную оценку, пример которой показан на рис. 3.25, осуществляли следующим образом.