Изучение газодинамики в рабочем пространстве печи высокоточного нагрева при различном количестве загруженных заготовок

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аннотация

Данная выпускная квалификационная работа посвящена изучению нагрева металла в печи высокоточного нагрева с применением математического моделирования.

Моделирование осуществляется при помощи современного программно-вычислительного комплекса FLUENT. Данный пакет предназначен для моделирования сложных течений жидкостей и газов с широким диапазоном изменения теплофизических свойств.

Сравниваются случаи с разным количеством загруженных в печь заготовок при одинаковой массе садки:

- одна заготовка размерами 0,250х0,250х4 м;

- две заготовки размерами 0,176х0,176х4 м;

- четыре заготовки размерами 0,125х0,125х4 м.

Время нагрева составляет десять минут. Температура продуктов сгорания на выходе из горелки 1273К. Массовый расход соответствует скорости продуктов сгорания на выходе из горелки 100 м/с.

В результате получено распределение плотности теплового потока и температуры по поверхности заготовок, распределение вектора скорости и температуры в рабочем пространстве печи, а также зависимость изменения температурного поля во времени.

Пояснительная записка к выпускной квалификационной работе изложена на 111 страницах, содержит 89 рисунков, 5 таблиц, список использованных источников из 9 наименований.

Содержание

Введение

1 Методы моделирования в металлургии

1.1 Эксперимент

1.1.1 Физическое моделирование

1.1.2 Математическое моделирование

1.1.2.1 Типы математических моделей

1.1.2.1.1 Статистические модели

1.1.2.1.2 Детерминированные модели

1.2 Современная вычислительная гидрогазодинамика (CFD)

1.3 Математическое моделирование в ПВК FLUENT

2 Математическое моделирование нагрева металла в печи ВТН

2.1 Постановка задачи и исходные данные

2.1.1 Геометрия системы для трех вариантов загрузки печи

2.1.2 Зависимости теплофизических характеристик от температуры

2.3 Математическая постановка задачи

3 Результаты моделирования

3.1 Распределение температурного поля в различных сечениях рабочего пространства печи для трех вариантов загрузки

3.2 Распределение температурного поля в различных сечениях заготовок для трех вариантов загрузки печи

3.3 Распределение вектора скорости в рабочем пространстве печи для трех вариантов загрузки

3.4 Распределение плотности теплового потока по поверхности заготовок для трех вариантов загрузки печи

3.5 Распределение температурного поля по поверхности заготовок для трех вариантов загрузки печи

3.6 Изменение температурного поля заготовок во времени для трех вариантов загрузки печи

Выводы

Список использованных источников

Введение

металлургия гидрогазодинамика моделирование нагрев печь

Нагревательные и термические печи являются основным технологическим звеном металлообрабатывающей, машиностроительной и других отраслей промышленности. Нагрев металла перед обработкой давлением или при термообработке металлических изделий является достаточно сложным процессом, при котором одновременно протекают явления, связанные с течением жидкости, тепло- и массообменном, химическими реакциями. В тоже время от правильного выбора технологического режима нагрева зависит качество получаемых изделий.

Эффективность проектирования и эксплуатации печей в значительной степени определяется уровнем наших знаний о происходящих в печи процессах и совершенством методов их расчета. При этом возникает необходимость понимания и исследования этих процессов для выбора наиболее безопасных и эффективных режимов работы нагревательной печи.

Информацию о происходящих в печи теплофизических процессах можно получить при проведении натурных или физических экспериментов, но в большинстве случаев такие опыты чрезмерно дороги и часто невозможны.

Альтернативой является теоретическое исследование с применением математического моделирования. Достоинствами теоретического исследования являются низкая стоимость, быстрота исследования, возможность получения значений всех переменных во всей исследуемой области, возможность моделирования как реальных, так и идеальных условий.

Детерминированные математические модели теплофизических процессов давно и широко применяются исследователями и проектировщиками для совершенствования конструкций и режимов работы промышленных печей.

Однако такие модели не удовлетворительны с точки зрения качества математического описания движения газов внутри печного пространства. Между тем, без такого описания невозможно с достаточной точностью описать процессы конвективного переноса тепла и массы, играющие важную роль в формировании поля температур и концентраций компонентов продуктов сгорания.

Современное развитие математического моделирования и компьютерных технологий привело к созданию мощных программно-вычислительных комплексов. Эти программные продукты позволяют успешно и с высокой точностью решать довольно сложные задачи вычислительной теплофизики и детально описывать все происходящие при этом процессы.

Применение современных ПВК достаточно часто встречается в практике зарубежных исследователей при совершенствовании и проектировании тепловых технологических агрегатов металлургической и других отраслей промышленности.

Одним из таких программно-вычислительных комплексов является FLUENT - продукт, предоставляемый компанией ANSYS Inc и обладающий широким набором моделей для расчета процессов гидрогазодинамики, тепло- и массообмена, горения.

В данной дипломной работе с помощью ПВК FLUENT проведено моделирование нагрева одной, двух, четырех заготовок в печи высокоточного нагрева

1 Методы моделирования в металлургии

1.1 Эксперимент

Эксперимент занимает главенствующее место среди способов получения информации о внутренних взаимосвязях явлений в природе и технике. Экспериментальные поиски часто ведутся в таких областях, где теоретически нельзя сделать каких-либо предвидений. С помощью экспериментальных данных, получаемых непосредственно от изучаемых объектов, проверяется истинность теоретических предпосылок.

По мере роста сложности исследуемых процессов и явлений возрастают затраты на аппаратуру и проведение эксперимента. Для проведения некоторых специальных экспериментов требуется такое количество энергии, которое было бы достаточным для энергоснабжения города средней величины. При этом постоянно возрастает сложность решаемых задач, а большой объем информации, необходимой для выяснения внутренних взаимосвязей в природе и технике, заставляет применять все более сложные многомашинные комплексы для обработки информации, а характеристики объектов испытаний все чаще оказываются недоступными непосредственному измерению. Вследствие этого совокупность технико-экономических показателей, по которым проводится оценка испытуемого объекта или принимаются важные организационные и инженерные решения, не совпадает, как правило, с совокупностью параметров объекта, определяемых по результатам натурного эксперимента.

Под экспериментом понимается система операций и наблюдений, направленных на получение информации об объекте исследования. Составной частью эксперимента является опыт - воспроизведение исследуемого явления в определенных условиях при возможности регистрации и количественной оценки состояния или результатов функционирования исследуемого объекта [1]. Эксперимент проводится на промышленном оборудовании, лабораторной установке, физической или математической модели. При этом механизм изучаемого процесса известен лишь частично или совсем не известен. В таких случаях объект исследования можно представить в виде «черного ящика» - системы внутренних связей, недоступных исследователю. Известны лишь переменные величины, воздействующие на объект исследования, и величины, характеризующие его состояние или результаты функционирования. Первые называют входными величинами, или факторами, вторые выходными, или откликом (Рисунок 1).

Все факторы делятся на три группы:

- группа управляемых факторов X, значения которых выбираются и целенаправленно изменяются в ходе исследования. В каждом конкретном случае количество этих факторов и их числовые значения определены (либо изначально, либо при планировании эксперимента);

- группа неуправляемых факторов W, значения которых известны (температура окружающей среды и т.п.);

- группа неуправляемых случайных факторов Z, значения которых неизвестны (неоднородность материала, колебания скорости потока и т.п.).

Рисунок 1 - Модель объекта исследования

В связи с наличием третьей группы факторов отклик - случайная величина, ее математическое ожидание как функция от управляемых факторов называется функцией отклика Y.

Для получения значимых результатов экспериментального исследования важно:

- грамотно сформулировать цель эксперимента;

- определить управляемые и случайные факторы, отклик - величину, характеризующую результат исследования, оценить диапазоны их изменения;

- составить схему экспериментальной установки, определить необходимую точность измерения, как следствие - приборную базу;

- составить план эксперимента, то есть определить количество экспериментов, уровни (значения) управляемых факторов;

- провести статистическую обработку результатов эксперимента, опираясь на рекомендации теории;

- наглядно оформить и провести анализ результатов.

От правильности формулирования цели эксперимента в значительной степени зависит успех самого эксперимента. Для грамотного формулирования необходимо четко представлять себе основные виды экспериментов. Их три: задачи, связанные с проверкой статистических гипотез, дисперсионный анализ и регрессионный анализ.

В задачах, связанных с проверкой статистических гипотез, формулируются основная (нулевая) Ho и конкурирующая H₁ гипотезы. Далее планируется эксперимент, обрабатываются его результаты, с помощью статистических критериев с заданным уровнем надежности (то есть, вероятности правильного ответа) принимается одна из двух гипотез.

При дисперсионном анализе имеется один или несколько управляемых факторов и одна функция отклика. Необходимо установить, значимо ли (в статистическом смысле) влияние каждого фактора на функцию отклика, и упорядочить факторы (если их несколько) по степени влияния на функцию отклика.

При регрессионном анализе ставится задача отыскания функциональной зависимости математического ожидания отклика M(Y) от значений одного или нескольких факторов: M(Y)=f(X1) или M(Y)=f(X1,X2) и т.д. Это необходимо для прогнозирования значения функции отклика при некотором наборе значений факторов и для решения различных оптимизационных задач, связанных с данным процессом.

Объект исследования в эксперименте может представлять собой реально существующий процесс или явление. В этом случае эксперименты проводятся в реальном масштабе времени и пространства. В качестве функций отклика, как правило, стараются выбирать не абсолютные, а относительные величины. Часто проводятся модельные эксперименты на физических моделях объектов или процессов.

По характеру организации и методам обработки результатов эксперимент может быть пассивным или активным. В пассивном эксперименте исследователь наблюдает за объектом, не вмешиваясь в процесс его функционирования. В активном эксперименте исследователь сам изменяет уровень факторов.

К контролируемым факторам предъявляются следующие требования:

- управляемость - возможность поддерживать выбранный уровень в течение необходимого для измерения отрезка времени;

- достаточно высокая точность, с которой поддерживается и измеряется уровень фактора;

- независимость - возможность задать любой уровень данного фактора вне зависимости от уровней других факторов;

- совместимость - безопасность функционирования объекта исследования и возможность измерения отклика в любой точке той части факторного пространства, которая является областью экспериментирования [1].

Отклик оценивается по результатам прямых или косвенных измерений. Желательно, чтобы его можно было оценить количественно, в противном случае следует прибегнуть к ранжированию по заранее выбранной шкале (например, отлично - 80, хорошо - 60, удовлетворительно - 40, плохо - 20).

Способ оценки отклика зависит от природы отклика (случайная или неслучайная величина) и точности измерений.

Если отклик является неслучайной величиной и ошибки измерения малы по сравнению со значениями отклика, то при i-ом измерении получаем:

(1)

где - истинное значение отклика, - измеренное значение отклика, - по грешность измерения.

Если то погрешностью измерения можно пренебречь и полученное после первого измерения значение принять за истинное.

Если отклик является неслучайной величиной, а погрешностями измерений нельзя пренебречь, то для уменьшения влияния погрешностей производится многократное измерение отклика в одинаковых условиях (при одних и тех значениях уровней факторов).

За истинное значение отклика в данном случае принимают среднее арифметическое значение результатов параллельных измерений:

(2)

где m - количество проведенных экспериментов, - измеренное значение отклика.

Точность соответствия истинному значению тем выше, чем больше m.

1.1.1 Физическое моделирование

В настоящее время физическое моделирование применяется весьма широко, особенно для процессов, протекающих в сложных геометрических системах, а также для решения задач, связанных с движением жидкостей и газов. С помощью физического моделирования исследуют и ряд сложных процессов в металлургии, таких как взаимодействие газовой струи с жидким металлом и шлаком, разбрызгивание металла и шлака, горение и движение газов в металлургических печах и т.д.

Физическая модель характеризуется тем, что основные процессы, протекающие в ней и в оригинале, имеют одинаковую физическую природу, однако, это не означает тождественность обоих объектов. Процесс в физической модели обычно схематизирован по сравнению с процессом в оригинале и может протекать в иных по абсолютной величине пространственных и временных границах. Например, процесс движения горючих газов в промышленной печи можно изучить на модели, размещенной на столе. При этом внутренние границы оригинала и модели могут быть подобны лишь приблизительно, а вместо высокотемпературных продуктов сгорания в модели может двигаться обычный воздух.

Для построения моделей всех типов желательно располагать максимальной информацией об оригинале, однако, физическое моделирование позволяет ограничиться незначительными знаниями, например, перечнем физических величин, существенных для этих явлений. Кроме этого, физическое моделирование не требует знания математических связей между этими величинами, в отличие от математического моделирования. В этом заключается большое преимущество физического моделирования перед другими способами. Другое преимущество этого способа - наглядность получаемых результатов.

Недостатком физического моделирования, по сравнению с математическим, является необходимость изготовления моделей, подбора и комплектации оборудования и измерительных приборов, проведения экспериментов [2].

Широкое распространение вычислительной техники в настоящее время привело к тому, что значительная область задач, решавшихся раньше на физических моделях, отошла к математическому моделированию.

В основе физического моделирования лежит теория подобия, которая утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. В случае же исследования масштабных физических моделей необходимо обеспечивать равенство безразмерных критериев подобия (определяющих критериев). Основные критерии подобия, применяемые в исследованиях по гидрогазодинамике и теплопередаче, приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Основные критерии подобия

Критерий	Наименование	Физический смысл и область применения
1	2	3
	Критерий режима течения (Рейнольдса)	Характеризует гидродинамический режим потока и определяет соотношение в нем сил инерции и молекулярного трения. Применяется при изучении вынужденных течений.
	Безразмерный коэффициент теплоотдачи (Критерий Нуссельта)	Характеризует соотношение между интенсивностями конвективной теплоотдачи и теплопроводности в пограничном слое потока. Применяется в исследованиях теплообмена при конвекции.
	Критерий подобия температурных и скоростных полей (Прандтля)	Характеризует меру подобия скоростных и температурных полей. Характеризует также свойства теплоносителей. Применяется в исследованиях теплообмена при конвекции.
	Критерий гравитационного подобия (Фруда)	Характеризует соотношение сил инерции и тяжести в однородном потоке.

В приведенных в таблице 1 формулах: - коэффициент теплоотдачи, a - коэффициент температуропроводности, - диаметр, - коэффициент кинематической вязкости, - скорость, - длина, - коэффициент теплопроводности, - ускорение свободного падения.

Основная идея физического моделирования гидродинамических и тепловых процессов в следующем: точное воспроизведение в модели численных значений всех определяющих критериев практически невозможно, поэтому достаточно выбрать хотя бы один, самый важный для данного процесса определяющий критерий [1].

В зависимости от цели исследования выбирается наиболее важный критерий подобия, затем выполняется построение физической модели, подбор параметров среды и других факторов с тем, чтобы в максимальной степени обеспечить равенство критериев подобия в модели и моделируемом процессе (устройстве).

При уменьшенных размерах модели рабочее число Рейнольдса достигается увеличением скорости, уменьшением кинематической вязкости, например, за счет применения другой жидкости. При уменьшении размера модели следует иметь в виду, что при этом, как правило, увеличивается относительная шероховатость, уменьшаются эффекты, связанные с естественной конвекцией и т.д.

Нередко значения критериев подобия выбираются в качестве контролируемых факторов при построении модели. Это часто позволяет сократить количество факторов.

Например, при экспериментальном исследовании процессов теплообмена ищут зависимость величины критерия Нуссельта от величины критерия Рейнольдса в виде:

(3)

Для большинства физических процессов теоретически нет ограничений на выбор константы геометрического подобия. В этих случаях константу подобия нужно выбирать исходя из условий удобства изготовления модели и проведения опытов. Использование установок слишком больших размеров может привести к нежелательному усложнению их изготовления и удорожанию, а также увеличению количества расходуемых материалов. В то же время, применение установок слишком малых размеров может затруднить наблюдение за процессом и проведение опытов вследствие малости зоны процесса, а также усложнить изготовление отдельных мелких узлов.

Необходимо учитывать, что любой эксперимент сопровождается погрешностями (методическими, измерений) и содержит элементы неопределенности (случайности). Проведение повторных опытов не дает полностью совпадающих результатов. Поэтому процедура обработки должна учитывать эти обстоятельства. Обработка результатов включает предварительную обработку результатов экспериментов, вычисление оценок коэффициентов функции отклика и проведение ряда проверок: однородности дисперсии воспроизводимости, адекватности модели и значимости коэффициентов.

1.1.2 Математическое моделирование

Понятие «математическое моделирование» в последние два - три десятилетия является едва ли не самым распространенным в научной литературе, по крайней мере, в естественнонаучной и технической. Сегодня трудно представить себе проектную или конструкторскую организацию, не использующую в своей практике в той или иной мере математические модели. Все более распространенным и эффективным становится применение математического моделирования в научных исследованиях. Интенсивно разрабатываются математические модели в экономике, управлении, истории, биологии и многих других областях знаний.

С процессом моделирования и различными моделями человек начинает сталкиваться с раннего детства. Так большинство игрушек в большей или меньшей степени воспроизводят (моделируют) отдельные свойства и форму реально существующих предметов и объектов.

Чтобы в дальнейшем четко представлять, о чем идет речь, введем определения некоторых наиболее важных терминов, таких как модель, математическая модель и математическое моделирование.

Чаще всего термин «модель» используют для обозначения устройства, воспроизводящего строение или действие какого-либо другого устройства (уменьшенное, увеличенное или в натуральную величину) или для обозначения аналога (чертежа, графика, плана, схемы, описания и т.д.) какого-либо явления, процесса или предмета.

К недостаткам термина «модель» следует отнести его многозначность. В словарях можно найти до восьми различных значений данного термина, из которых в научной литературе наиболее распространены два:

- модель как аналог реального объекта;

- модель как образец будущего изделия.

Если выделять функции моделей, то основными можно считать следующие четыре:

а) модели как средство познания реального мира;

б) модели как средство передачи информации и средство общения;

в) модели как средство обучения;

г) модели как средство прогнозирования состояния объекта и постановки математических экспериментов [3].

Модели как средство познания реального мира выявляют характеристики объекта, его внутренние и внешние связи. Уже сама попытка составления модели позволяет обнаружить и устранить нелогичности и противоречия наших представлений, наметить пути дальнейших исследований. Модели как средство обучения обеспечивают приобретение надежных профессиональных навыков без риска возникновения критической ситуации

Таким образом, самым важным и наиболее распространенным предназначением моделей является их применение при изучении и прогнозировании сложных процессов и явлений. Другое, не менее важное, предназначение - выявление наиболее существенных факторов, формирующих те или иные свойства объекта.

Математическая модель - это описание натурного образца, его свойств и поведения с необходимой степенью приближения и подробности в виде формул, уравнений или систем уравнений. Уравнения могут быть алгебраическими, дифференциальными, интегральными или интегрально-дифференциальными.

Под математическим моделированием в технике понимают адекватную замену исследуемого технического устройства или процесса соответствующей математической моделью и ее последующее изучение методами вычислительной математики с привлечением средств современной вычислительной техники. Поскольку такое изучение математической модели можно рассматривать как проведение эксперимента на компьютере при помощи вычислительно-логических алгоритмов, то в научно-технической литературе термин вычислительный эксперимент часто выступает как синоним термина «математическое моделирование»[4].

На сегодняшний день математическое моделирование тепловых процессов, происходящих в промышленных печах, широко используется в металлургической теплотехнике. Это обусловлено рядом преимуществ, которыми обладает математическое моделирование.

Во-первых, высокая точность и объем получаемой с их помощью информации, во-вторых, возможность исследования сложных процессов и, в-третьих, экономическая эффективность по сравнению с исследованием процессов, происходящих в реальных металлургических агрегатах, на стендах или на физических моделях.

Предварительный расчет, основанный на адекватных математических моделях, позволяет избежать ошибок при проектировании узлов и устройств и, таким образом, значительно сократить расходы ресурсов на создание и опытную отработку образцов новой техники. А также, математическое моделирование делает возможным получение сравнительных оценок для агрегатов (машин), различающихся по структуре, что редко достижимо при физическом моделировании.

Применение математического моделирования целесообразно, в частности, при выборе рациональных параметров и схемы нового агрегата, формировании эталонных рабочих характеристик, выявлении предельных возможностей и поиске путей модернизации.

Практический опыт, накопленный к настоящему времени в области разработки и использования математических моделей позволяет сформулировать основные принципы моделирования, к которым относят принцип информационной достаточности, принцип осуществимости, принцип множественности, принцип агрегирования и принцип параметризации.

Принцип информационной достаточности говорит о том, что при полном отсутствии информации об исследуемом объекте построение его модели невозможно. При наличии полной информации об объекте его моделирование лишено смысла. Должен существовать некоторый критический уровень априорных сведений об объекте (уровень информационной достаточности), при достижении которого может быть построена адекватная модель.

Создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно отличающейся от нуля, и за конечное время. Обычно задается некоторое пороговое значение вероятности достижения цели моделирования, а также приемлемая граница времени достижения этой цели. В этом и заключается принцип осуществимости.

Принцип множественности является ключевым. Создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства реального объекта, системы, явления, которые влияют на выбранный показатель эффективности. Соответственно, при использовании любой конкретной модели исследуются лишь некоторые стороны реального объекта. Для более полного исследования необходим ряд моделей, позволяющих отражать исследуемый объект с разных сторон и с разной степенью детальности.

В большинстве случаев сложную систему можно представить в виде нескольких подсистем, для адекватного описания которых оказываются пригодными некоторые стандартные математические схемы - принцип агрегирования. Также данный принцип позволяет достаточно гибко перестраивать модель в зависимости от задач исследования.

В ряде случаев моделируемая система имеет в своем составе некоторые относительно изолированные подсистемы, характеризующиеся определенным параметром, в том числе векторным. Такие подсистемы можно заменять в модели соответствующими числовыми величинами, а не описывать процесс их функционирования. При необходимости зависимость значений этих величин от ситуации может задаваться в виде таблицы, графика или аналитического выражения (формулы). Принцип параметризации позволяет сократить объем и продолжительность моделирования. Однако надо иметь в виду, что параметризация снижает адекватность модели [5].

Каждая математическая модель должна обладать рядом таких свойств, как:

- Полнота;

- Адекватность;

- Экономичность;

- Продуктивность;

- Наглядность.

Полнота позволяет отразить в достаточной мере именно те характеристики и особенности исследуемого объекта, которые интересуют нас с точки зрения поставленной цели проведения вычислительного эксперимента.

Способность математической модели отражать свойства объекта с относительной погрешностью не хуже заданной, называют адекватностью. Если результаты моделирования удовлетворяют исследователя и могут служить основой для прогнозирования поведения или свойств исследуемого объекта, то говорят, что модель адекватна (от лат. adaequatus - приравненный) объекту. Адекватность модели в наибольшей степени зависит от целей моделирования и принятых критериев, поэтому модель, адекватная при выборе одних характеристик, может быть неадекватной при выборе других характеристик объекта.

Экономичность математической модели оценивается затратами на вычислительные ресурсы (машинное время, память) необходимые для реализации математической модели на компьютере. Эти затраты зависят от числа арифметических операций при использовании модели, от особенностей применяемого компьютера и многих других факторов. Свойство экономичности часто связывают с простотой математической модели. Очевидно, что из двух моделей, позволяющих достичь желаемой цели и получить требуемые результаты с заданной точностью, предпочтение будет отдано более простой.

Продуктивность связана с достоверностью исходных данных. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров, которые получаются при использовании математической модели. В противном случае модель будет непродуктивной и ее применение для анализа конкретного объекта теряет смысл.

Использование математической модели упрощается, если ее составляющие (например, отдельные члены уравнений) имеют ясный содержательный смысл, что позволяет предвидеть результаты вычислительного эксперимента и облегчить контроль их правильности [6].

В качестве еще одного свойства модели можно рассматривать потенциальность модели или предсказательность с позиций возможности получения новых знаний об объекте. В научных исследованиях модели, не обладающие определенной предсказательностью, едва ли могут считаться удовлетворительными. Известно немало случаев, когда изучение или использование моделей позволило сделать открытия. В качестве примера можно привести открытие планеты Нептун астрономом Лекселем, который выявил неправильность в движении Урана, воспользовавшись моделью движения этой планеты, основанной на законе всемирного тяготения, что означало наличие притяжения от неизвестной планеты, вращающейся на более далеком расстоянии от Солнца.

Разработка любой математической модели начинается с ее формулировки, т.е. с постановки задачи. При этом математическая модель должна охватывать важнейшие для данной задачи стороны исследуемого процесса.

Наиболее сложной и ответственной задачей при разработке модели является выбор связей и характеристик процесса, существенных для данной задачи и подлежащих формализации и включению в математическую модель. Если математическая модель будет проработана недостаточно тщательно, то все выводы будут ненадежными, какие бы методы не применялись для расчета.

Следующий этап - математическое исследование. В зависимости от сложности модели применяются различные математические подходы. Для грубых и несложных моделей зачастую удается получить аналитическое решение. Что касается более точных и сложных моделей, такое решение получают достаточно редко, поэтому для их решения используют численные методы, позволяющие добиться достаточно высокой математической точности. Надо отметить, что введение в модель упрощений снижает точность расчета.

Заключительной стадией разработки математической модели является анализ полученного математического решения и его сравнение с экспериментальными результатами. Если расчеты хорошо согласуются с контрольными экспериментами, то это свидетельствует о правильности выбранной модели. Если же модель и эксперимент не согласуются - модель необходимо пересмотреть и уточнить.

Таким образом, систематизировав вышесказанное, делаем вывод о том, что построение математической модели включает в себя следующие этапы:

а) формулировка законов, связывающих основные объекты модели;

б) исследование математической задачи;

в) проверка адекватности модели;

г) анализ модели и ее модификация.

Сегодня термины математическое моделирование и компьютерное моделирование стали почти синонимами, так как большинство математических моделей требует проведения расчетов на компьютере (компьютерных экспериментов).

Компьютерное моделирование можно разделить на три вида: численное, имитационное и статистическое. При численном моделировании для построения компьютерной модели используются методы вычислительной математики, а вычислительный эксперимент заключается в численном решении некоторых математических уравнений при заданных значениях параметров. Имитационное моделирование - это вид компьютерного моделирования, для которого характерно воспроизведение (имитация) процесса функционирования исследуемой системы. При этом имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры, последовательности протекания во времени, что позволяет получить информацию о состоянии системы в заданные моменты времени. Статистическое моделирование - это вид компьютерного моделирования, позволяющий получить статистические данные о процессах, протекающих в моделируемом объекте [5].

Компьютерное моделирование незаменимо в тех случаях, когда натурный эксперимент провести невозможно или затруднительно по тем или иным причинам. Например, невозможно поставить натурный эксперимент, чтобы проверить правильность той или иной космологической теории, однако, это вполне можно выполнить при помощи компьютерного моделирования.

Однако между проведением физического и компьютерного эксперимента существует много общего (Таблица 2).

Таблица 2 - Сравнение физического и компьютерного эксперимента.

Физический эксперимент	Компьютерный эксперимент
Образец	Математическая модель
Физический прибор	Программа
Калибровка	Тестирование программы
Измерения	Расчеты
Анализ данных	Анализ данных

С другой стороны, эксперимент, несомненно, является единственным методом исследования новых фундаментальных явлений. В этом смысле расчет следует за экспериментом. Однако расчет более эффективен для изучения проблемы, включающей несколько взаимодействующих известных явлений. Но и в этом случае необходимо обосновать результаты расчета путем сравнения их с экспериментальными данными.

Таким образом, исследование должно разумно сочетать расчет и эксперимент. Доля каждого из двух компонентов будет зависеть от существа проблемы, от целей исследования и от имеющихся экономических и других ограничений.

1.1.2.1 Типы математических моделей

Математические модели (ММ) различают в основном по характеру отображаемых свойств системы, степени детализации, способам получения и формального представления.

В зависимости от способа получения различают функциональные (стохастические), детерминированные и смешанные математические модели.

Функциональные математические модели получают в результате экспериментальных исследований натурного образца. При этом исследуют лишь реакцию системы на подаваемые на вход возмущения. Главное достоинство таких моделей - это их простота, которая делает возможным применение таких моделей в системах автоматического управления различными объектами. Но кроме достоинств есть и свои недостатки - для анализа стохастических ММ необходимо использовать выводы теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики. Однако основная трудность в их применении обычно связана с тем, что вероятностные характеристики случайных величин (математические ожидания, дисперсии, законы распределения) часто не известны или известны с не высокой точностью, т.е. ММ не удовлетворяет требованию продуктивности. В таких случаях эффективнее использовать ММ, более грубую по сравнению со стохастической, но и более устойчивую по отношению к недостоверности исходных данных. Также существенно ограничена универсальность данного типа моделей, поэтому приходится строить свою функциональную модель для каждого индивидуального объекта. Это происходит из-за того, что в функциональных моделях не вскрываются свойственные объекту глубокие причинно-следственные связи, поэтому не учитывается все многообразие проявлений процессов, протекающих в объекте, и влияние внешних факторов на эти процессы [7].

Детерминированные математические модели строятся на основе дифференциальных, интегральных или интегрально-дифференциальных уравнений, описывающих каждый из существующих для данного натурного образца процессов и полученных в рамках теории соответствующего процесса. В отличие от функциональных математических моделей, детерминированные являются универсальными, так как в них заложены не формальные связи между входными и выходными переменными и параметрами, а информация о физических механизмах соответствующих процессов, отражающая важнейшие причинно-следственные связи. В силу универсальности детерминированных моделей их можно использовать для различных объектов одного типа, поскольку специфические черты этих объектов могут быть учтены в моделях с достаточной точностью. Недостатком детерминированных моделей является их сложность [7].

Смешанные математические модели представляют собой нечто среднее между функциональными и детерминированными моделями. Они строятся на основе одного уравнения или небольшого числа уравнений, описывающих механизм лишь наиболее существенных для данного натурного образца процессов. Влияние всех других процессов учитывается с помощью настроечных коэффициентов. Эти коэффициенты находят в результате сопоставления данных, полученных с помощью математической модели, и данных, полученных в результате измерений, выполненных на образце.

Если ММ отражает элементы и их связи в системе, то ее называют структурной математической моделью. Структурные ММ делят на топологические и геометрические. Первые отображают состав системы и связи между его элементами и чаще всего применяются на начальной стадии исследования сложной системы. Такая ММ имеет форму графов, таблиц, матриц, списков и т.п., и ее построению обычно предшествует разработка структурной схемы системы.

Геометрическая ММ дополнительно к информации, представленной в топологический ММ, содержит сведения о форме и размерах системы и ее элементов, об их взаимном расположении. В геометрическую ММ обычно входят совокупность уравнений линий и поверхностей и алгебраические соотношения, определяющие принадлежность областей пространства системе или ее элементам. Геометрические ММ находят применение при проектировании элементов технических систем, разработке технической документации и технологических процессов изготовления изделий.

Функционирование сложных систем нередко удается описать лишь при помощи совокупности ее реакций на некоторые известные (или заданные) входные воздействия. Такую разновидность функциональной ММ относят к типу черного ящика и обычно называют имитационной математической моделью, имея в виду, что она лишь имитирует внешние проявления функционирования, не раскрывая и не описывая существа протекающих в системе процессов. Имитационные ММ находят широкое применение в исследовании сложных систем.

По форме представления имитационная ММ является примером алгоритмической ММ, поскольку связь в ней между входными и выходными параметрами системы удается описать лишь в форме алгоритма, пригодного для реализации в виде программы. Если связи между параметрами системы можно выразить в аналитической форме, то говорят об аналитических математических моделях. При создании иерархии ММ одной и той же системы обычно стремятся к тому, чтобы упрощенный вариант ММ был представлен в аналитической форме, допускающей точное решение, которое можно было бы использовать для сравнения при тестировании результатов, полученных при помощи более полных и поэтому более сложных вариантов ММ.

Ясно, что ММ конкретной системы по форме представления может включать признаки как аналитической, так и алгоритмической ММ. Более того, в процессе моделирования аналитическую ММ преобразуют в алгоритмическую.

Математические модели могут быть теоретическими или эмпирическими. Первые получают в результате изучения свойств системы, протекающих в ней процессов на основе использования известных фундаментальных законов сохранения, а также уравнений равновесия, а вторые являются итогом обработки результатов внешних наблюдений за проявлением этих свойств и процессов. Один из способов построения эмпирических ММ заключается в проведении экспериментальных исследований, связанных с измерением фазовых переменных системы, и в последующем обобщении результатов этих измерений в алгоритмической форме или в виде аналитических зависимостей. Поэтому по форме представления эмпирическая ММ может содержать признаки как алгоритмической, так и аналитической ММ. Таким образом, построение эмпирической ММ сводится к решению задачи идентификации.

Существенным признаком классификации ММ является их возможность описывать изменение параметров системы во времени. Если при этом в ММ отражено влияние инерционных свойств системы, то ее обычно называют динамической. В противоположность этому ММ, которая не учитывает изменение во времени параметров системы, называют статической.

Стационарные ММ описывают системы, в которых протекают так называемые установившиеся процессы, т.е. процессы, в которых интересующие нас выходные параметры постоянны во времени. К установившимся относят и периодические процессы, в которых некоторые выходные параметры остаются неизменными, а остальные претерпевают колебания.

Если выходные параметры системы изменяются медленно и в рассматриваемый фиксированный момент времени этими изменениями можно пренебречь, то ММ считают нестационарной.

Важным с точки зрения последующего анализа свойством ММ является ее линейность, в смысле связи параметров системы линейными соотношениями. Это означает, что при изменении какого-либо внешнего (или внутреннего) параметра системы линейная ММ предсказывает линейное изменение зависящего от него выходного параметра, а при изменении двух или более параметров - сложение их влияний, т.е. такая ММ обладает свойством суперпозиции. Если ММ не обладает свойством суперпозиции, то ее называют нелинейной.

Для количественного анализа линейных ММ разработано большое число математических методов, тогда как возможности анализа нелинейных ММ связаны в основном с методами вычислительной математики. Чтобы для исследования нелинейной ММ системы можно было использовать аналитические методы, ее обычно линеаризуют, т.е. нелинейные соотношения между параметрами заменяют приближенными линейными и получают так называемую линеаризованную ММ системы. Так как линеаризация связана с внесением дополнительных погрешностей, то к результатам анализа линеаризованной модели следует относиться с определенной осторожностью, так как линеаризация ММ может привести к утрате ее адекватности. Учет в ММ нелинейных эффектов особенно важен, например, при описании смены форм движения или положений равновесия, когда малые изменения входных параметров могут вызвать качественные изменения в состоянии системы [5].

Каждый параметр системы может быть двух типов - непрерывно изменяющимся в некотором промежутке своих значений или принимающим только некоторые дискретные значения. Возможна и промежуточная ситуация, когда в одной области параметр принимает все возможные значения, а в другой - только дискретные. В связи с этим выделяют непрерывные дискретные и смешанные математические модели. В процессе анализа ММ этих типов могут быть преобразованы одна в другую, но при таком преобразовании следует контролировать выполнение требования адекватности ММ рассматриваемой системе.

При математическом моделировании сложной системы описать ее поведение одной ММ, как правило, не удается, а если такая ММ и была бы построена, то она оказалась бы слишком сложной для количественною анализа, поэтому к таким системам обычно применяют принцип декомпозиции. Он состоит в условном разбиении системы на подсистемы, допускающие их независимое исследование с последующим учетом их взаимного влияния друг на друга [5]. В свою очередь, принцип декомпозиции можно применить и к каждой выделенной подсистеме вплоть до уровня достаточно простых элементов. В таком случае возникает иерархия ММ связанных между собой подсистем.

Иерархические уровни выделяют и для отдельных типов ММ. Например, среди структурных ММ систем к более высокому уровню иерархии относят топологические ММ, а к более низкому уровню, характеризующемуся большей детализацией, - геометрические ММ. Среди функциональных ММ иерархические уровни отражают степень детализации описания процессов, протекающих в системе и ее элементах. С этой точки зрения обычно выделяют три основных уровня: микро- макро- и мета-уровень.

Математические модели микроуровня описывают процессы в системах с распределенными параметрами, а математические модели макроуровня - в системах с сосредоточенными параметрами. В первых из них фазовые переменные могут зависеть как от времени, так и от пространственных координат, а во-вторых - только от времени [5].

Если в ММ макроуровня число фазовых переменных имеет порядок , то количественный анализ такой ММ становится громоздким и требует значительных затрат вычислительных ресурсов. Кроме того, при столь большом числе фазовых переменных трудно выделить существенные характеристики системы и особенности ее поведения. В таком случае путем объединения и укрупнения элементов сложной системы стремятся уменьшить число фазовых переменных за счет исключения из рассмотрения внутренних параметров элементов, ограничиваясь, лишь описанием взаимных связей между укрупненными элементами. Такой подход характерен для ММ метауровня.

ММ микроуровня называют одномерной, двумерной или трехмерной, если искомые фазовые переменные зависят от одной, двух или трех пространственных координат соответственно. Два последних типа ММ объединяют в многомерные математические модели микроуровня.

1.1.2.1.1 Статистические модели

Далеко не всегда можно построить аналитическую модель, как функциональную зависимость выходного параметра системы от входных параметров. В этих случаях пользуются построением статистических моделей.

Суть метода заключается в замене эксперимента с реальной системой экспериментом с ее математическим аналогом и имитацией работы системы (имитационное моделирование).

В первую очередь выбирается определенная модель, описывающая исследуемый процесс, явление, систему. Затем, на основании математического описания модели и численных методов разрабатывается внешние воздействия на систему, поведение ее элементов, их взаимодействие и последовательное изменение состояний всей системы во времени. После этого осуществляется одна случайная реализация моделируемого явления. В конечном итоге, эксперимент многократно повторяется, и по результатам моделирования определяются различные характеристики модели. При этом полнота и достоверность полученной путем моделирования информации о свойственных системе закономерностях зависят от того, насколько точно использованная математическая модель описывает реальную систему, от точности вычислительных методов, использованных при разработке моделирующего алгоритма, и от числа проведенных испытаний.

В основе статистического эксперимента лежит метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) - метод решения всевозможных задач, основанных на моделировании случайных величин при помощи компьютера. В результате проведения серии испытаний, получают множество частных значений наблюдаемой характеристики (выборку). Полученные статистические данные обрабатываются и представляются в виде численных оценок интересующих исследователя величин (характеристик системы).

Отметим две особенности метода статистического моделирования. Первая - относительная простота вычислительного алгоритма. Как правило, составляется программа для отслеживания одной реализации, а затем повторяется N раз. Вторая - погрешность вычислений обычно пропорциональна , т.е. метод целесообразно применять там, где требуется очень высокая точность вычислений.

Метод статистических испытаний применяется для моделирования сложных систем, в которых не возможно или не целесообразно получить аналитические модели, описывающие протекающие процессы, а также в случаях, когда реальные испытания системы оказываются дорогостоящими или их невозможно проводить [5].

Данный метод является универсальным, поскольку применим и к детерминированным задачам. В этом случае производится замена детерминированной задачи эквивалентной схемой некоторой вероятностной системы, выходные характеристики которой совпадают с решением детерминированной задачи. В результате точное решение задачи заменяется приближенным. Однако с ростом числа испытаний погрешности оценок уменьшаются. При достаточно большом числе испытаний полученные результаты приобретают статистическую устойчивость и с определенной точностью могут быть приняты в качестве оценок неизвестных характеристик системы.

Имитационное моделирование удобно для исследования практических задач: определение показателей эффективности, сравнение вариантов построения и алгоритмов функционирования систем, проверки устойчивости режимов системы при малых отклонениях входных переменных от расчетных значений. Полнота имитации может быть проверена путем построения серии последовательно уточняемых моделей. Если дальнейшая детализация свойств модели не влияет на конечные показатели, то усложнение модели можно прекратить. Как правило, моделируются те свойства процесса, которые могут влиять на выбранный показатель эффективности или критичны к наложенным ограничениям. Промежуточные результаты имитационного моделирования имеют четкий физический смысл и позволяют обнаружить ошибки программы.

Для любого имитационного эксперимента независимо от физической природы и типа моделируемой системы справедливы следующие утверждения:

- с увеличением продолжительности прогона (то есть наблюдения или объема испытаний) отклонение измеряемой величины от ее точного значения уменьшается, поскольку наблюдаемая система переходит в стационарное состояние;

- влияние переходных условий можно уменьшить, если увеличить количество прогонов модели (то есть количество экспериментов); существует предел, за которым увеличение продолжительности прогона модели уже не дает существенного повышения точности результата, измеряемой дисперсией.

Имитационное моделирование не ограничивается разработкой модели и написанием соответствующей программы, а требует подготовки и проведения статистического эксперимента. В связи с этим результаты имитационного моделирования следует рассматривать как экспериментальные данные, требующие специальной обработки и анализа.

1.1.2.1.2 Детерминированные модели

С точки зрения содержательности детерминированные модели значительно превосходят статистические, поскольку в них заложена глубоко содержательная информация о физических механизмах соответствующих процессов, отражающая важнейшие причинно-следственные связи.

Детерминированные модели могут быть использованы для следующих целей:

- исследование влияния различных переменных и параметров на протекание процессов в образце;

- расчета конструктивных и режимных параметров агрегата на стадии его проектирования;

- многовариантных расчетов агрегата с целью проверки различных способов его конструктивного оформления и различных режимов работы;

- численных экспериментов с последующей обработкой результатов методами теории подобия или статистическими методами с целью построения упрощенных математических моделей;