Похибки вимірювань. Основнi ймовiрноснi характеристики похибок вимiрювань

- визначення похибки як прямих, так і непрямих (посередніх) вимірювань, коли до похибок використаних ЗВ, необхідно додати методичні похибки, а також похибки, які допускаються при відліку показів;

- інколи необхідно врахувати складний механізм трансформації похибок кожної із результатів прямих вимірювань у сумарну похибку результату посереднього вимірювання.

Головною проблемою, яка виникає при додаванні похибок є те, що всі складові повинні розглядатись як випадкові величини, кожна з яких, в відповідності з теорією ймовірності, може бути повно описана своїм законом розподілу. Тоді їх сумісні дії описуються відповідним багатомірним розподілом. Але така задача додавання практично не вирішуємо уже при декількох (3-4) складових, так як операції з такими багатомірними законами дуже складні.

13. ДОДАВАННЯ ВИПАДКОВИХ СКЛАДОВИХ ПОХИБКИ (ВСП)

Для додавання випадкових похибок не можна використовувати довірче значення похибки при довільно вибираємих значеннях довірчої ймовірності , так як довірчий інтервал суми не дорівнює сумі довірчих інтервалів складових. Для практичного вирішення задач додавання складових випадкових похибок і визначення відповідної числової оцінки сумарної похибки використовують їх середні квадратичні відхилення. Випадкові складові похибки додаються геометрично, тобто, вираховується корінь квадратичний із суми квадратів середніх квадратичних відхилень всіх складових. Таким чином, сумарна випадкова похибка при незалежних складових дорівнює:

Далі, для переходу до довірчої межі інтервалу невизначеності сумарної випадкової похибки, використовується формула:

На рівні довірчої ймовірності =0,9 -0,95 коефіцієнт Стьюдента =2 (приймається рівним 2). У випадках, коли вже відомі довірчі інтервали по кожній складовій випадкової похибки , то сумарна випадкова похибка дорівнює:

.

14. ДОДАВАННЯ СИСТЕМАТИЧНИХ СКЛАДОВИХ ПОХИБОК (ССП)

При оцінці результуючої систематичної похибки як абсолютні, так і відносні ССП додаються алгебраїчно, тобто, з урахуванням знаку:

.

Як ми вже знаємо з Вами, особливість систематичної похибки в тому, що вона може бути усунена за допомогою поправки із зворотним знаком. Але перед усім вона повинна бути визначена. Якщо ми знаємо, що наш засіб, вимірювання має ССП, то її можна визначити шляхом вимірювання даної фізичної величини за допомогою зразкового приладу (ЗВ) більш високого класу точності. Але точність і зразкового ЗВ має також кінцеве значення, яке визначається його класом. Тому поправки на систематичну складову похибки, визначені за його допомогою, у загальному випадку теж будуть мати якусь додаткову похибку, яка може мати любий знак з рівною ймовірністю. Цю додаткову похибку називають не усуненим залишком систематичної похибки. Для її урахування вона теж вводиться в квадраті в формулу під із складових дисперсій. У загальному випадку, рахуючи складові систематичної похибки взаємонезалежними, використовують також для визначення сумарної систематичної похибки і формулу геометричного складання. При цьому враховують також, що систематичні похибки в повній мірі визначаються випадковими причинами, і для їх урахування вводять поправочний коефіцієнт , який залежить від довірчої ймовірності . Формула геометричного складання має вигляд.

або

	0,9	0,95	0,98	0,99
	0,95	1,1	1,3	1,4

15. ВИЗНАЧЕННЯ СУМАРНОЇ ПОХИБКИ

Результуюча абсолютна похибка дорівнює сумі , де та - згруповані суми відповідно систематичних та випадкових похибок.

Механізм такого додавання виходить з того, що систематична похибка може складатись тільки з довірчим інтервальним значенням ВП , де та - відповідно коефіцієнт Стьюдента та СКВ сумарної випадкової похибки. Таким чином, загальна формула сумарної похибки має вигляд:

.

Якщо варіація відсутня або нею можна нехтувати, то

- при малому числі n дослідів (n<20)

- при великому числі n дослідів (n>20)

16. МОЖЛИВІ СПРОЩЕННЯ МЕТОДИКИ ДОДАВАННЯ ПОХИБОК

Найбільш важливими моментами викладеної вище методики додавання похибок є знаходження СКВ всіх складових по відомим їх інтервальним оцінкам і визначення інтервальної оцінки сумарної похибки по отриманому в результаті розрахунку її СКВ, так як перехід від інтервальної оцінки похибки до СКВ і навпаки потребують знання форми закону розподілу.

Звідси шляхи можливого спрощення методики додавання похибок зводяться до використання спрощених методів таких переходів.

1. Один із можливих методів ми вже використовували і він базується на тому, що при додаванні великого числа складових закон розподілу результуючої похибки наближається до нормального. Але таке припущення є ризиковане і використовується при невисоких технологічних вимогах до точності сумарної похибки. Перехід від до приведеної виконується за де - квантільних множник, який визначається по таблицям квантілів нормального розподілу і довірчій ймовірності або відповідне значення кван. множника Стьюдента при малому числі вимірювань.

2. Другий шлях спрощення переходу від до на використанні для сумарної похибки значення довірчої ймовірності , при якій для більшої групи класів різних розподілів зберігається постійним співвідношення . Результуючий розподіл теж належить до цієї ж групи класів і для нього справедливе співвідношення.

Співвідношення переходу від СКВ до інтервальної оцінки для інших законів розподілу:

› Рівномірний закон розподілукоефіцієнт переходу залежить від співвідношення сторін трапеції

› Трапеціє видний закон розподілу Якщо:

› Трикутний закон розподілу

Рівномірний закон розподілу мають:

- похибки квантування в цифрових приладах;

- похибки при округленні в розрахунках;

- похибки при відліку показів аналогових приладів;

- похибки від тертя в приладах з кріпленням рухомої частини на кернах або підп'ятниках;

- самоврівноважуючі мости і потенціометри з слідую чим електромеханічним приводом;

- похибка опре ділення моменту часу для кожного із кінців інтервалу часу в електронних вимірювачах частоти.

Коливання напруги живлення змінного струму в енергосистемі постачання підпорядковується приблизно трикутниковому розподілу. Тому якщо відомо, що напруга живлення приладу змінюється в межах 5% від номінального 220В, то закон розподілу цієї зміни є трикутним з максимальним відхиленням 11В. Ця унікальна властивість похибки при відкриває можливість різкого спрощення методу розрахункового додавання похибок. Так, якщо складові, що додаються задані своїми значеннями , то значення їх СКВ ; далі використовуємо , яку знову ж таки переводимо до інтервальної оцінки Або можемо просто: .

Використовуючи довірчі межі (це або , або ...) необхідно врахувати слідуючи:

- Ці границі розміщуються симетрично тільки тоді, коли в ЗВ чи вимірювального каналу відсутня ССП . Якщо , то границі похибки є несиметричними. Наприклад, якщо приведена допустима похибка , а то межа одна (нижня) =-0,4+0,1=0,3%, а друга (верхня) =+0,4+0,1=+0,5%. Знак похибки частіше за все є невідомим і ввести поправку неможливо. Використовувати такі межі в подальших розрахунках дуже незручно.

- Тому, на практиці замість використання несиметричних меж переходить до показу симетричних, рівних по модулю найбільшій межі із несиметричних, тобто замість запису: „похибка знаходиться в межах від -0,3% до +0,5%” переходять до запису „похибка знаходиться в межах ”.

Імовірність виходу похибки за такі симетричні межі вже в 2 рази менше, так як такий вихід може відбутися практично тільки з однієї сторони, а не з обох. У результаті, якщо була опре ділена з , то результуюча є похибкою з довірчою ймовірністю .

Таким чином, якщо , або точніше то результуюча похибка легко визначається через модуль ССП та .

Однак подальше спрощення методики додавання похибок, як , наприклад, нехтування розділу похибок на сильно та слабо корельовані (в цьому випадку додаються складові ,які в дійсності повинні відніматись, не виконується алгебраїчне додавання), або розділом на адитивні та мультиплікативні, вже недопустимо і веде до великих помилкових результатів інформаційно вимірювальних систем.

17. ВИЗНАЧЕННЯ СУМАРНОЇ ПОХИБКИ ІВС

Результуючу похибку вимірювальної системи оцінюють двома методами. За першим методом - межі похибок вимірювальної системи оцінюють за 33 межами допустимих основних і додаткових похибок ЗВ, які складають систему і які визначаються їхнім класом точності. У практиці вимірювань частіше за межову допустиму похибку використовують основну допустиму похибку 3В або значення максимальної допустимої приведеної похибки, яка визначає його клас точності. Такий метод оцінки називають “згори”. Допустиму приведену похибку системи оцінюють, як корінь квадратний із суми квадратів межових допустимих значень похибок складових цієї системи :

 = = .

Цей метод використовується, коли межові похибки незалежні і відповідають одним довірчим ймовірностям при одних і тих же законах розподілу.

Другий метод визначення сумарної похибки вимірювальної системи ґрунтується на визначенні сумарної похибки через із суму квадратів середніх квадратичних відхилень складових її елементів :

.

Для цього необхідно знайти середню квадратичну похибку всіх ЗВ, які складають інформаційно-вимірювальну систему.

При цьому:

1. Спочатку визначають, виходячи із класів точності елементів системи, межову допустиму абсолютну похибку при заданій довірчій ймовірності, н.,

(одиниць вимірюваної величини);

2. Друге, використовуючи співвідношення для переходу від межової похибки до СКВ (коефіцієнт Стьюдента, або при нормальному законі розподілу, або при рівномірному законі розподілу для ІВС враховується ;

3. Визначити сумарну похибку ;

4. Визначити максимально допустиму межову абсолютну похибку системи, знову використавши співвідношення переходу: ;

5. Далі визначається при відомому діапазоні N приведена допустима похибка системи: .

18. ВИЗНАЧЕННЯ СУМАРНОЇ ПОХИБКИ ЗАСОБУ ВИМІРЮВАНЬ (ЗВ) ТА ПРИНЦИП ЇЇ ЗМЕНШЕННЯ

У загальному вигляді сумарна абсолютна похибка засобу вимірювання при впливаючих факторах :

де - основна похибка при нормальних умовах ;

- додаткові похибки, які визвані зміною і-го впливаючого фактору.

Основна похибка ЗВ, без урахування варіації та при малому числі дослідів n<30, дорівнює: .

При великому числі дослідів n>30 дорівнює

де - квантільних коефіцієнт для нормального закону розподілу;

- коефіцієнт Стьюдента.

Якщо сумарна абсолютна похибка 3В має цілий ряд окремих складових то зменшувати всі їх значення, для підвищення точності вимірювань потрібно до тих пір, поки одна із складових не буде перевищувати інші складові, по крайній мірі, в 2 рази. Подальше зменшення інших складових не приведе до відчутного збільшення точності результату. Для цього необхідно тільки зменшувати домінуючу складову похибки. Тобто, похибка результату вимірювання за допомогою ЗВ, який складається із ланцюга окремих перетворювачів (окремих складових повної (загальної) похибки), визначається похибкою “найбільш грубої ланки”.

19. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕННЯ ЗНАЧЕНЬ ПОХИБОК ТА РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМЮРЮВАНЬ

Похибки вимірювань показують також, які цифри в одержаному результаті вимірювання є сумнівними, тому немає сенсу в запису похибки з великим числом знаків. За звичаєм обмежуються одною значущою цифрою і тільки при особливо точних вимірюваннях похибка записується двома або трьома цифрами.

Використовують 3 правила округлення розрахованого значення похибки і отриманого експериментального результату вимірювання:

1. Похибка результату вимірювання показується двома значущими цифрами, якщо перша з них є 1 чи 2, і одною - якщо перша цифра є 3 і більше.

2. Результат вимірювання округлюється до того ж десяткового розряду, яким закінчується округлення значення абсолютної похибки.

3. Округлення проводиться тільки в кінцевій відповіді, а всі попередні розрахунки проводять з один - двома лишніми знаками.

У відповідності з правилом 1 встановлені і нормовані значення похибок 3В : у числах 1,5% або 2,5% показуються два знаки, але в числах 0,5 %; 4 %; 6 %;показується тільки один знак.

При округленні результатів вимірювання використовують ще такі правила:

1) лишні цифри у цілих чисел замінюють нулями, а у дробових десяткових відкидають; н., 732 700 .

2) якщо перша із замінюємих нулями чи відкидаємих цифр <5, то цифри, які залишились не змінюються; якщо ж вона >5,то остання із залишених цифр збільшується на 1;

3) якщо відкидаємо цифра = 5 з наступними нулями, то округлення проводиться до ближнього парного числа.

Результати вимірювання можна записати деякими значущими цифрами та рядом нулів, але в цьому випадку і нулі мають повністю визначене значення і характеризують похибку вимірювання. Н., нехай результат вимірювання ,який можна записати цифрами : 9,5; 9,50; 9,500. У цих випадках нулі після останньої значущої цифри визначають показник достовірності результатів вимірювання. З цієї точки зору ці записи необхідно читати так : ; ; .

У метрології за звичаєм використовують наступне правило : похибка, яка отримується в результаті обчислень, повинна бути на порядок менше СУМАРНОЇ похибки вимірювання, тобто, необхідне число знаків в результаті обчислення повинно бути жорстко зв'язано з реальною точністю вимірювань.

При виконанні обчислень декількох складових похибки з n вірними знаками, необхідно взято найбільшу складову з (n+1) знаками, інші складові округлити до розрядності найбільшої складові округлити до розрядності найбільшої складової і виконати обчислення. Після виконання обчислень округлити результат до необхідної кількості значущих цифр.

20. ФОРМИ ЗАПИСУ КІНЦЕВОГО РЕЗУЛЬТАТУ ВИМІРЮВАНЬ

По означенням, у результаті статистичної обробки результатів вимірювання, математичному сподіванні (або середньому арифметичному ) та дослідному середньому квадратичному відхиленню може бути записаним і кінцевий результат вимірювань по формі, рекомендованій ГОСТ: від до ; де L - результат вимірювання в одиницях вимірюваної величини X, який дорівнює ;

та - похибки вимірювання з нижньої і верхньої її межі в тих же одиницях (тобто, границі довірчого інтервалу Ір )

.Pg - установлена ймовірність, з якою похибка знаходиться в межах цих границь (довірча ймовірність ).

Нижня та верхня межі довірчого інтервалу найчастіше мають однакові : значення симетричні ,а значення визначаються за формулою

де - коефіцієнт Стьюдента. Результат істинного значення вимірювання величини має вид :

.

Така форма запису кінцевого результату використовується при любому законі розподілу похибок.

Якщо закон розподілу випадкової похибки підпорядкований нормальному ( а це як правило, і якщо кількість чинників, які впливають незалежно на випадкову похибку, більше чотирьох (>4),то як значення, замість значення межі довірчого інтервалу , можна використовувати , тобто, С.К.В. вихідних даних.

У той же час це вже і визначає і довірчу ймовірність. Наприклад, при значенні значення ; при значення P=0,95 ; при значенні значення p=0,997. Тобто при нормальному законі розподілу в межах квантілі знаходиться 68 % похибок, в межах , а всіх похибок. Або, по іншому, можна сказати, що при нормальному законі розподілу ВСП якщо необхідна Pg=0,9, то випадкова похибка повинна дорівнювати . .Якщо необхідна Pg= 0,95, то . .Якщо Pg= 0,997 то необхідно . Таким чином, результат істинного значення вимірюваної величини при нормальному розподілу ВСП може бути записаний у вигляді : (при довірчій ймовірності ).

21. КРИТЕРІЇ ОЦІНКИ ПРОМАХІВ

Похибку, що відповідає довірчому інтервалу називають межовою і використовують при визначенні промахів в результатах вимірювань. У відповідності із правилом (або критерії Райта ) похибки більші або рівні , можна виключати із ряду спостережень і вважати промахами, тобто сумнівний результат вимірювань відкидається, якщо . Величини і розраховуються без урахування того, що під сумнівом . Цей критерій надійний при числі вимірювань . .Якщо n< 20, доцільно використовувати критерій Романовського при якому вираховують відношення і зрівнюють з теоретичним , яке вибирають із таблиці в залежності від значення . .

За звичаєм вибирають Р=0,010,05 і якщо то результат відкидають.

P n=4 n=6 n=8 n=10 n=12 n=15 n=20

0.01 1.73 2.16 2.43 2.62 2.75 2.9 3.08

0.02 1.72 2.13 2.37 2.54 2.66 2.8 2.96

0.05 1.71 2.10 2.27 2.41 2.52 2.64 2.78

0.10 1.69 2.00 2.17 2.29 2.39 2.49 2.62

22. ПОХИБКИ НЕПРЯМИХ (ОПОСЕРЕДКОВАНИХ) ВИМІРЮВАНЬ

Для посередніх вимірювань вихідними даними є формула зв'язку та результати прямих вимірювань величин - аргументів.

Якщо посередньо вимірювана величина У зв'язана з величинами - аргументами X1, X2,…, Хі,…, Xn деякою функціональною залежністю F, то, в загальному, можна записати:

У = F(X1, X2,…, Хі,…, Xn).

Похибка непрямого вимірювання визначається похибками результатів вимірювання кожного виконаного прямого вимірювання.

Тому із урахуванням результатів проведених прямих вимірювань аргументів, в певній точці характеристики перетворення, загальний результат опосередкованого вимірювання Увим, має, вигляд:

Увим = F(Х+ ДХ1, Х+ДХ2, …, Х+ДХn), (1)

де Х, Х, … , Х- істинні значення аргументів;

ДХі - абсолютні похибки вимірювань цих аргументів.

Абсолютна похибка опосередкованого вимірювання дорівнює різниці:

ДУ = F(Х+ДХ1, Х+ДХ2,… , Х+ДХ,…, Х+ДХn) - F(Х, Х,…, Х,…, Х),

Але така формула непридатна для практичного використання.

Ураховуючи те, що значення похибки вимірювання завжди суттєво менше самої вимірюваної величини, функція F по залежності (1) може бути із високою точністю надана, в межах точки із координатами істинних значень аргументів, розкладом у ряд Тейлора, в якому враховані тільки складові першої степені:

У F(, ,…, ) + ,

де ДУ - абсолютна похибка загального результату вимірювання;

- перша частинна похідна від функції F по Х-тому аргументу; - відхилення результату вимірювання і-того аргументу від істинного його значення, тобто, абсолютна похибка вимірювання і-того аргументу.

У реальних умовах ця формула дає дещо завищене значення похибки ДУ, так як при додаванні складових похибок можлива їхня часткова взаємна компенсація.

Кращі результати дає середньоквадратичне підсумовування похибок:

ДУ ,

де - часткова похибка результату опосередкованого вимірювання.

Відносна похибка опосередкованого вимірювання:

= =

Якщо формула зв'язку є функцією одної змінної У = f(X), то абсолютна похибка ДУ = ||ДХ. Приклади таких функцій:

1. Якщо формула зв'язку має вигляд: У = Х, то ДУ А* Х * ДХ, а відносна похибка

= ДУ / У = = А .

2. Якщо формула зв'язку має вигляд: У = = Х, то ДУ Х ДХ, а відносна похибка = ДУ / У = = .

Якщо формула зв'язку є функцією алгебраїчної суми двох змінних Хта Х з коефіцієнтами a та b: У = аХ+вХ, то абсолютна похибка через середньоквадратичні підсумовування дорівнює:

ДУ = = .

Якщо формула зв'язку є функцією добутку змінних Х та Х з коефіцієнтом К та показниками степені a та b (будь-які цілі або дробові, додатні або від'ємні числа): У = К ХХ, то відносна похибка

= ДУ / У = .

Якщо в результатах прямих вимірювань аргументів були використані надійні межі загальних похибок, то похибки опосередкованих вимірювань також відображають надійні межі загальних похибок цих результатів.

При багаторазових прямих вимірюваннях за найбільш ймовірне (істинне, дійсне) значення вимірюваної фізичної величини необхідно приймати середнє арифметичне результатів ряду вимірювань.

Відповідно при багаторазових непрямих (опосередкованих) вимірюваннях, найбільш достовірний результат можна отримати, якщо у формулу зв'язку, будуть підставлені середні арифметичні значення цих аргументів. У межах точки із координатами , ,…, , достовірний результат вимірювання дорівнює:

Увим F(,,…, ) + ,

- середнє арифметичне (дійсне) значення величин - аргументів в даній точці характеристики перетворення, що вимірюються прямо.

- відхилення результату вимірювання і-того аргументу від середнього його значення , яке приймається за дійсне (істинне).

Отримання робочої формули для похибки непрямих вимірювань іноді пов'язане з громіздкими перетвореннями, які можна суттєво спростити в тих випадках, коли функцію зв'язку можна прологарифмувати.

Наприклад, достовірно визначити кількість тепла Q, що виділяється на опорі R при протіканні крізь нього струму Iза час t. Із фізики знаємо формулу зв'язку:

Q = I*R* t.

Логарифмуємо ліву та праву частини формули:

LnQ = 2 LnI + LnR + Lnt .

Далі обчислюємо першу похідну і підставляємо у формулу замість диференціалів відповідні кінцеві значення приростів Q, I, R, t та отримуємо абсолютну похибку: Q = 2I + R + t.

Відносна похибка:

= = + +

Якщо функцію зв'язку неможливо прологарифмувати безпосередньо, то її необхідно або перетворити до виду, необхідному для логарифмування, або вивести формулу похибки диференціюванням.

23. МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРЮВАНЬ

При малій кількості результатів вимірювань (n <20) обробка проводиться в такій послідовності :

1.Визначається математичне сподівання вимірюваної величини - середнє арифметичне значення результатів вимірювань :



2.Обчислюється випадкові відхилення результатів вимірювання (РВ) та їх квадрати :

3.Визначається середнє квадратичне відхилення Р.В :

4.Перевіряється нормальність розподілу Р.В.

5.Перевіряється наявність грубих похибок за критеріями.

6.Задається довірча ймовірність Pg, по якій разом з n (кількістю вимірювань ) із спеціальних таблиць визначається коефіцієнт Стьюдента tp.

7.Результат істинного значення вимірюваної величини записується у вигляді :

; при Р=0,90,9973.

24. МЕТОДИКА МЕТРОЛОГІЧНОЇ АТЕСТАЦІЇ ТА ПОВІРКИ 3В

1. Знімається статична характеристика перетворення 3В в нормальних умовах. Для цього 3В приводять до взаємодії з мірами або еталоном. Характеристику перетворення знімають в координатах : по осі значення міри, по осі ординат - покази 3В, які відповідають значенню цієї міри. У діапазоні вимірювання 3В вибирають декілька точок, починаючи з мінімального значення міри на початку, та закінчуючи максимальним значенням в кінці діапазону. Статистична характеристика знімається при повільних змінах інформативного параметру вхідного і вихідного сигналів. Кожній точці діапазону повинна відповідати певне значення міри (як правило розподіл точок діапазону задають рівномірним).

2. У загальному випадку для визначення наявності чи ні варіації знімають як пряму гілку перетворення напрямку від нижньої межі діапазону до верхньої, збільшуючи міру від мінімального значення до максимального і фіксуючи покази 3В , так і зворотну, зменшуючи міру на вході 3В від максимального її значення до мінімального і фіксуючи значення . Вимірювання в циклі проводять декілька разів.

3. Розраховують ,враховуючи знак відхилення для кожної точки значення абсолютних похибок окремих вимірювань як прямої так і зворотної гілок характеристики перетворення

При відсутності варіації, чи її нехтуванням визначають тільки

4. Розраховують середнє значення систематичної похибки із сторони малих та більших значень. Додавання виконують з урахуванням знаку складових.

;

Якщо варіація відсутня або її не враховують, тобто, не знімають зворотну гілку характеристики перетворення то ССП, ,в відповідній точці.

5. Розраховують для кожного окремого вимірювання відповідного точці відхилення випадкової похибки від середнього значення систематичної похибки із сторони малих та великих .

;

Три відчутності варіації

.

6. Вираховують значення квадратів відхилень випадкової похибки ,а при відсутності варіації .

7. Визначають систематичну складову похибки 3В, який має варіацію в кожній точці діапазону ,при відсутності варіації .

8. Визначають точкову оцінку середнього квадратичного відхилення

Якщо варіацію не враховують при n < 20



9. Використовувати розподіл Стьюдента при малій кількості вимірювань n < 30 визначають довірче значення похибки оцінки С.К.В (межу довірчого інтервалу при n=10 . .

10. Визначають точкову оцінку варіації за формулою :

Ця різниця між двома показами 3В, коли одне і теж саме значення вимірюваної величини отримують в результаті її збільшення чи зменшення

11. Виражають точкову варіацію через СКВ для цифрових вимірюваних пристроїв

12. Визначають основну похибку в досліджених точках діапазону , додаються складові ВП геометрично, де для цифрових пристроїв.

13. Вибирають із точкових значень найбільшу із основних похибок, яка і визначає основну похибку 3В (найбільш груба точка).

14. Визначають приведену похибку



15.По значенню визначають клас точності 3В, округляючи отриманий результат до більшого із ряду, який визначає клас точності.

Нормовані значення похибки. Клас точності ЗВ

Різні ЗВТ (вимірювальні прилади і перетворювачі, датчики, канали ІВС) мають похибки, характер прояву яких може бути суттєво різним:

по-перше, у одних ЗВ похибка може бути практично адитивна, у других присутні і адитивні, і мультиплікативні складові, у третіх залежність похибки від вимірюваної величини може бути ще складнішою;

по-друге, кожний конкретний ЗВ має як випадкову так і систематичну складові похибки, причому їх співвідношення може бути різним;

по-третє, умови роботи однотипних ЗВ можуть також суттєво відрізнятись.

Для того щоб орієнтуватись у метрологічних характеристиках конкретного ЗВ, щоб завчасно оцінити похибку, яку внесе даний ЗВ в кінцевий результат використовують так звані нормовані значення похибки ЗВ.

Під нормованим значенням похибки розуміється граничне значення похибки для даного ЗВ у відповідності з його класом точності. При цьому похибки, наприклад, окремих екземплярів ЗВ одного і того ж типу, можуть відрізнятися по ВСП чи ССП, але в цілому для даного типу ЗВ похибки не перевищують гарантованого значення.

Нормуються основна та додаткові похибки ЗВ. Тільки границі (межі) основної похибки, а також коефіцієнти впливу додаткових похибок і заносять в паспорт кожного ЗВ.

Правила, в відповідності з якими назначаються ці межі і форма запису, (а це ми вже пройшли) або кажуть процедура нормування похибки ЗВ грунтується на системі стандартів, які забезпечують єдність вимірювання.

Клас точності ЗВ - це характеристика, яка визначає гарантовані межі значення основної та додаткової похибок ЗВ, а також інші властивості ЗВ, які впливають на його точність.

Відповідність похибки ЗВ, присвоєному йому класу точності, за час експлуатації провіряється при періодичних повірках.

Основні способи встановлення граничних значень допустимих похибок позначення класів точності ЗВ регламентується відповідним стандартом ГОСТ 8.401-80.

Виражені в процентах нормовані значення похибок визначають клас точності ЗВ. Але клас точності визначають не будь-які числа, які отримані при атестації ЗВ, а тільки числа із ряду 6-4-2,5-1,5-1,0-0,5-0,2-0,1-0,05-0,02-0,01-0,005-0,002-0,001 і т.д. Значення класу точності наносять на шкалу приладу.

Методи нормування похибок засобів вимірювання

1). Одним із способів нормування основної похибки - це спосіб метрологічної атестації ЗВ у відповідністю з програмою, методикою і статистичної обробки результатів. Результат атестації - є визначення максимальної основної абсолютної похибки ЗВ в діапазоні D його вимірювання, яку для точок діапазону. при відсутності варіації, вираховують за формулою:

?_ОСН=¦?_С¦+ 2у_х

та розрахунку приведеної в діапазоні D вимірювання

г_пр= ( ?_{ОСН 95max}/D)*100%

Крім цього, основна похибка ЗВ, які виготовляються великими партіями, наприклад, прилади для вимірювання напруги, струму, опору, нормується ще 4 способами.

2). При чисто мультиплікативній смузі похибок, абсолютна похибка ЗВ ?(х) по діапазону зростає пропорційно плинному значенню Х вимірюваної величини, але відносна похибка ?_s є постійною при любому значенні Х.

Тому відносну похибку г_S використовують для нормування похибок такого ЗВ і для вказування його класу точності. Таким способом нормуються: подільники напруги, шунти, вимірювальні трансформатори.

Крім цього, для ЗВ, які нормуються похибкою чутливості г_S, завжди показують межі робочого діапазону, в яких ця оцінка залишається справедливою, а абсолютну похибку результату вимірювань при відомій г_S, розраховують за формулою:

.

Якщо клас точності приладу встановлений по значенню похибки чутливості г_S , тобто, форма смуги похибки прийнята мультиплікативною, зображення на шкалі значення класу точності обводять кружком. Наприклад, визначає, що відносна похибка

г_S=1,5% ()

3). При часто адитивній смузі похибок, залишається незмінною границя абсолютної похибки ?(х) по всьому діапазоні ?(х)= ?₀=const. У цьому випадку нормують не абсолютне значення ?₀, а приведене значення цієї похибки:

,

де X_N- так зване нормоване значення цієї вимірюваної величини. У відповідності з ГОСТ нормоване значення X_N для приладів з рівномірною шкалою, якщо нульова відмітка знаходиться на краю шкали або поза нею, дорівнює верхній границі діапазону вимірювання. Якщо ж нульова відмітка знаходиться посередині шкали, то X_N дорівнює,наприклад, діапазону від (-30 А) до + (+30 А).

- якщо смуга похибок прийнята адитивною і прилад нормується приведеною похибкою нуля г₀ (таких приладів більшість), то клас показується без будь-яких підкреслень. (Наприклад, просто -1,5)

4). При одночасній присутності як адитивної так і мультиплікативної складових похибок смуга похибок має трапецієвидну форму, а плинне значення абсолютної похибки ?(х) в функції вимірюваної величини х описується співвідношенням:

?(х) = ?₀ + *х

де ?₀ - адитивна складова, г_S - відносна похибка чутливості, *х

- мультиплікативна складова загальної абсолютної похибки.

Визначимо загальну приведену похибку для цього випадку.

Розділимо складові рівняння на межу вимірювання Х_К (кінцеве значення діапазону)

,

де - називається приведене значення похибки до початку діапазону, Як бачимо загальна приведена похибка лінійно зростає по діапазону вимірювання від значення (приведеної похибки до початку) при х=0, до значення =+ в кінці діапазону при х=х_К.

Тепер визначимо відносну похибку в цьому випадку:

= = = .

Підставимо замість ?₀ її значення через приведену похибку до початку діапазону ?₀ = *Х_К і дістаємо

.

При значеннях х = Х_К , відносна похибка , а при зменшенні х зростає нелінійно і в межі досягає безконечності при наближенні х до нуля.

Формальною залежністю для ЗВ, які мають обидві складові похибки, є те, що у відповідності з ГОСТ 8.401-80 їх клас точності позначається не одним, а двома числами, які записуються через косу лінію, тобто, у вигляді умовного дробового числа г_К/г_Н значення, в чисельнику якого показується в % приведена похибка в кінці діапазону вимірювання, а в знаменнику - приведена похибка в нулі діапазону.

Наприклад, позначення класу точності у вигляді 0,02/0,01 показує, що похибка приладу нормована по двоскладовій формулі з г_Н = 0,01 % і г_К = 0,02 % (похибка в кінці шкали)

5). Крім перерахованих різновидностей нормування похибок ЗВ шляхом показів класу точності: у вигляді нормованої приведеної похибки чутливості г_S, у вигляді нормованої приведеної похибки г₀, та нормованої дробової похибки г_К/г_Н, можуть використовуватися і спеціальні формули нормування похибок ЗВ, які мають більш складні види смуг похибок. У цьому випадку похибка результатів вимірювання описується формулою із трьох складових.

- на прикладах із різко нерівною шкалою, клас приладу показується в долях від довжини шкали і показується 1,5.

Таким чином, позначення класу точності приладу дає достатньо повну інформацію для розрахунку приблизної оцінки похибок результатів вимірювання даним приладом.

Розрахунки оцінки статистичної похибки результатів вимірювання по паспортним даним використовуємого ЗВ

Результат вимірювання має цілісність тільки тоді, коли можна оцінити його інтервал невизначеності, тобто, степінь достовірності. У відповідності з ГОСТ любий результат вимірювання обов'язково повинен проводитися з показом його похибок.

Похибка результату прямого одноразового вимірювання залежить від багатьох факторів, але в першу чергу вона визначається похибкою так званого ЗВ, який використаний для вимірювання. Тому в першому наближенні похибку результатів вимірювання можна прийняти рівною похибці, якою в даній точці діапазону вимірювання характеризується використаний ЗВ.

Так як похибка ЗВ змінюється по діапазону, то повинна розраховуватися як абсолютна похибка, яка необхідна для округлення результату та його правильного запису, так і відносна похибка, яка необхідна для однозначної порівняльної характеристики точності результату вимірювань.

1. Клас приладу показаний у вигляді одного числа в колі. Тоді відносна похибка результату вимірювання в % г_(х)= г_S постійна в усьому діапазоні приладу і дорівнює числу, показаному в кружочку, а абсолютна

2. Клас приладу показаний у вигляді одного числа г₀ без кола. Тоді абсолютна похибка РВ

,

де х_К - границя діапазону вимірювання.

Відносна похибка вимірювань (%) знаходиться за формулою:

,

де х - результат вимірювання. Тобто, в цьому випадку, крім відліку вимірюваної величини х, обов'язково повинен бути зафіксованим і діапазон вимірювання (граничне значення діапазону Х_К). В іншому випадку буде неможливим визначення похибки РВ.

3. Клас приладу показаний двома числами г_К/г_Н. У цьому випадку краще раніше вирахувати відносну похибку РВ за формулою:

Ця формула є дещо іншим записом двочленної формули, коли плинне значення відносної похибки г_(х) виражають не через значення адитивної г_Н та мультиплікативної г_S складових границь похибок:

,

а через вказані в класі точності приведені похибки г_Н в початку і г_К в кінці діапазону вимірювань.

При цьому враховується, що г_К =г_Н +г_S . Далі обчислюють абсолютну похибку як:

.

При використанні цих формул треба пам'ятати, що в формули для визначення г_(х) значення г_S, г₀, г_Н та г_К, підставляють у %, тому і відносну похибку одержують у %. При обчисленні абсолютної похибки Д_(х) в одиницях значення вимірюваної величини х значення г_(х) (%) приведеної похибки потрібно не забувати розділити на 100 %.

Оптимальний вибір точності ЗВ в залежності від співвідношення дифузності об'єкта та похибки вимірювання

Вибір ЗВ по його точності є одним із основних етапів розробки системи автоматизації об'єкта і в значній мірі визначає її ефективність. Вимірювання з похибкою, наприклад, 5 % можуть бути проведені з меншими витратами часу і коштів засобів, чим вимірювання з похибкою 0,01 %.

У той же час в останні роки дістали широке використання методи статичного визначення середнього випадкових похибок і автоматичного усунення систематичних похибок шляхом використання зразкових сигналів. Але введення поправок, таким чином, приводить до збільшення дисперсії в 2 рази, а інколи тестові методи можуть приводити до збільшення ВП в 20 раз і більше.

Для раціонального вибору класу ЗВ, тобто похибки ЗВ Д_ЗВ, яка в першому наближенні визначатиме похибку Д_РВ результату вимірювання (РВ) на об'єкті необхідно враховувати ще і не відтворюваність РВ від досліду до досліду, яка визивається самим вимірювальним параметром об'єкта. Така не відтворюваність називається дифузністю. Дифузнізсть в метрології - це постійна змінна вимірюваного параметру в залежності від деяких чинників. Наприклад, зріст людини змінюється з частотою дихання, а також в такт з биттям серця.

Тому, похибка РВ, яка отримана при вимірюванні параметру об'єкта, (позначається як Д_РВ) складається завжди як мінімум із двох складових: Д_ДФ - похибки дифузності об'єкта вимірювання та Д_ЗВ - похибки ЗВ.

Ці складові, як правило, можна рахувати некорельованими, тоді .

При цьому можливі три випадки.

1. За звичаєм розробник АСУ ТП прагне використовувати найбільш точні ЗВ з Д_ЗВ << Д_ДФ. При цьому вихідний розкид даних визначається тільки дифузністю об'єкта . Добре це чи погано? Звичайно, погано. Для того щоб отримати середнє значення цього розкиду, необхідно:1)провести велику кількість вимірювань, але і 2)більш точні прилади вимагають, як правило, більших витрат на їх придбання та обслуговування, а також витрати часу на кожне вимірювання.

Якщо при тих же умовах зменшувати точність ЗВ, то до тих пір, доки Д_ЗВ << Д_ДФ/3 похибка ЗВ не досягне третини складової дифузії, похибка Д_РВ РВ буде залишатись практично незмінною, а витрати часу на вимірювання будуть суттєво менші. Меншою є і ціна (кошти) більш грубого приладу і вартість обслуговування, його обслуговує менш кваліфікований персонал. Таким чином, ефективність досліду підвищується. Висновок: при Д_ЗВ << Д_ДФ точність вимірювання не може бути суттєво підвищена за використання більш точних ЗВ. Єдиним шляхом підвищення точності залишається статистична обробка даних багаторазових вимірів. Підвищення ефективності по витратам коштів досліду досягається за рахунок зниження точності ЗВ.

2. При Д_ЗВ ? Д_ДФ похибка , тобто, похибка розкиду Д_РВ зростає тільки на 40 % у порівнянні з тим, коли Д_ЗВ ? Д_ДФ.

При проведенні багаторазових n вимірювань і визначенні їх середнього в зменшується як вплив Д_ДФ дифузності об'єкта так і вплив ВСП ЗВ. У цьому випадку статичне опрацювання дуже ефективне.

Але значно збільшувати об'єм статистичних даних теж немає сенсу, так як систематична похибка вибраного ЗВ при визначенні середнього не зменшується.

3. При Д_ЗВ >> Д_ДФ похибка результатів вимірювання вихідних даних вимірювання повністю визначається похибкою ЗВ Д_РВ =Д_ЗВ. Якщо це значення Д_РВ повністю влаштовує розробника, то не має потреби в організації багаторазових вимірювань і визначенні середнього.

Якщо ж виникає питання про необхідність зниження Д_РВ в цьому випадку, то прийняття рішення про доцільність проведення багаторазових досліджень і розрахунку середнього, чи заміну ЗВ на більш точний, вимірюється шляхом спеціального дослідження.

Висновок

Порівнюючи всі три випадки можна зробити такий висновок:

для досягнення найбільшої ефективності вимірювання не має сенсу вибирати прилади (ЗВ) з випадковою похибкою меншою ніж третина складової похибки дифузності об'єкта (Д_ЗВ << Д_ДФ/3), а збільшувати об'єм даних для розрахунку середнього має сенс до тих пір, доки величина не буде зрівнюватись (не досягне рівня) із значенням систематичної складової похибки ЗВ. [2, c.: 105…220; 4, c.: 22…23; 5, с.: 4…5; 8, с.: 5 ... 44 ]

Література

1.Димов Ю.В. Метрология, стандартизация и сертификация. Учебник для вузов. 2-е изд. - СПб.: Питер, 2009. - 432 с.

2.Допуски и посадки: Справочник в 2-х ч. - 7-е изд., перераб. и доп. - Л.: Политехника, 2007.

3.Кузнецов В.А., Ялунина Г.В. Основы метрологии: Учебное пособие - М.: Изд-во стандартов, 2008, - 280 с.

4.Сергеев А.Г., Латышев М.В., Терегеря В.В. Метрология, стандартизация и сертификация. Учеб. пособие. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Логос, 2008. - 560 с. ил.

5.Федеральный закон РФ «О техническом регулировании» от 27.12.2002 № 184-ФЗ.

6.Закон РФ «Об обеспечении единства измерений» от 27.04.93 №4871-1 (в редакции 2003 г.)

7.ГОСТ 25346-89. Основные нормы взаимозаменяемости. ЕСДП. Общие положения, ряды допусков и основные отклонения.

8.Тартаковский Д.Ф. Ястребов А.С. Метрология, стандартизация и технические средства измерений: Учебник для вузов -.М.: Высш. шк., 2009

9.Нефедов В.И Метрология и радиоизмерения. М: Высш. шк., 2008

Размещено на Allbest.ru