Похибки вимірювань. Основнi ймовiрноснi характеристики похибок вимiрювань

71

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Похибки вимірювань. Основнi ймовiрноснi характеристики похибок вимiрювань

1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ

Результати вимірювання будь-якої фізичної величини за допомогою засобів вимірювання являють собою приблизну оцінку її значення, так як результат вимірювань у загальному залежить від використаного методу та засобу вимірювань, від самої фізичної величини та експериментатора.

Якість результатів вимірювання (РВ) та якість засобів вимірювання (ЗВ) прийнято характеризувати показом їхніх похибок. У загальному, похибка вимірювань - це критерій якості проведених вимірювань і, являє собою відхилення результату вимірювання фізичної величини від її істинного значення. Поняття похибки використовується для оцінки характеристик як ЗВ так і РВ.

2. ОСНОВНІ ПРИЧИНИ ВИНИКНЕННЯ ПОХИБОК

Це недосконалість методів та засобів вимірювання, зміна умов проведення експерименту, яка може впливати на саму фізичну величину та засоби вимірювання i самого експериментатора. Кожна з наведених причин виникнення похибок зумовлена впливом багатьох чинників, які формують основні складові загальної похибки вимірювання.

Різноманітним є також i характер прояву похибок. Похибки розподіляють на види і їх існує біля 30. Персонал, що зв'язаний із вимірюваннями, повинен чітко засвоїти їхню термінологію.

У першу чергу, потрібно відрізняти ПОХИБКУ ЗАСОБІВ ВИМІРЮВАННЯ та ПОХИБКУ РЕЗУЛЬТАТУ вимірювань. Ці поняття не ідентичні.

Похибка результату вимірювань Д - це число, яке показує можливі межі невизначеності значення вимірюваної величини, тобто, Д оцінює відхилення результату Хвимірювання фізичної величини певним ЗВ від її істинного (дійсного) значення Qдійсн в об'єкті.

Похибка засобу вимiрювання Д- це певна властивість ЗВ, для визначення якої необхiдно використовувати вiдповiднi правила метрологічної атестації або повірки.

Історично частина назва виду похибок закріпилась за засобами вимірювань, друга частина - за похибками результатів вимірювань, а деякі використовуються по відношенню як перших, так i других. Тому, розглядаючи в подальшому ці терміни, будемо звертати увагу на межі їхні використовування.

похибка промах математичний

3. КЛАСИФІКАЦІЯ та ПРИНЦИПИ ОЦІНЮВАННЯ ПОХИБОК ВИМІРЮВАНЬ

Похибки вимiрювань (класифікують) систематизують по ряду ознак.

За першою ознакою (способом числового вираження) розрізняють два види похибок: абсолютні та відносні, а також різновид відносних - приведені.

- АБСОЛЮТНОЮ ПОХИБКОЮ ВИМIРЮВАННЯ ДХ називається рiзниця мiж результатом вимiрювання (показом приладу) Хвим та iстинним (дійсним) значенням Qіст вимірюваної величини («виміряне мінус істинне) i надається в одиницях вимірюваної величини:

Д X = Хвим -Qіст = Хвим - Qдійс. (2.1)

Так як істинне значення Q вимірюваної величини не відоме, то не відома й похибка вимiрювання. Тому для одержання, хоча б приблизних відомостей про неї у формулу (2.1) підставляють Qдійс вимірюваної величини.

Абсолютна похибка не може в повній мірі використовуватись як показник точності проведених вимірювань, так як одне й теж її значення, наприклад, Д X = 0.05мм при Qдійс = 100мм - відповідає відносно високій точності вимірювань, а при Qдійс = 1мм - низькій. Тому введене поняття відносної похибки.

- ВІДНОСНОЮ ПОХИБКОЮ ВИМІРЮВАНЬ називається похибка, яка визначається як відношення абсолютної похибки вимiрювань до iстинного Qіст чи дiйсного Qдiйс значення вимiрюваної величини у вiдповiднiй точцi i подається в долях одиниці або у вiдсотках (%):

= (Д / Qдійс) * 100% = [( Xвим -Qіст) / Qіст] * 100% = [( Хвим - Qдiйс) / Qдiйс] * 100% . (2.2)

При використовуванні поняття відносної похибки, для першого випадку (при високій точності вимірювань) = (0,05/100)* 100 = 0,05%, а для другого = (0,05/1)* 100 = 5%.

Але така наглядна характеристика точності РВ не завжди придатна для для нормування похибок ЗВ, так як дійсне значення вимірюваної величини може = 0. У цьому випадку відносна похибка приймає значення безмежності, а характер зміни її по діапазону вимірювання має вигляд гіперболи.

У зв'язку із цим, для показу й нормування похибок ЗВ, використовується різновид відносної похибки - приведена похибка.

- ПРИВЕДЕНОЮ ПОХИБКОЮ (відноситься тільки до ЗВ) називається вiдношення абсолютної похибки до розмаху N шкали ЗВ ( або до діапазону D), виражене в долях одиниці або вiдсотках:

= (Д X / N) *100% =(Д X / D) *100%. (2.3)

При постійній абсолютній похибці по діапазону вимірювання, приведена похибка теж постійна й дорівнює відносній похибці в кінці діапазону.

4. Принципи оцінювання похибок та математична модель похибки

Оцінювання похибок проводиться з метою отримання об'єктивних даних про точність результату вимірювання.

Оцінюють похибку приблизно з точністю, яка відповідає меті вимірювання. Реальні значення похибки РВ повинні бути і не завищені, і не занижені. Надмірна точність веде до недоцільної витрати коштів на точні ЗВ та часу на вимірювання, а недостатня - може привести до хибного рішення, наприклад, визнанню придатним до використання практично не придатного для цього або ЗВ, або виробу, або продукту.

Оцінювання похибки може бути апріорне (проводитись до вимірювання), та апостеріорне (після вимірювання).

Апріорна оцінки похибки - це перевірка можливості забезпечення необхідної точності вимірювань, які проводяться в заданих умовах вибраним методом та за допомогою конкретного ЗВ. Вона проводиться у випадках:

- вибору ЗВ для вирішення конкретної вимірювальної задачі;

- при нормуванні метрологічних характеристик ЗВ;

- при виборі методик проведення вимірювань.

Апостеріорна оцінка похибки - проводиться у випадках:

- метрологічної атестації ЗВ або його повірці;

- коли апріорна оцінка незадовільна із-за неврахування індивідуальних властивостей використаного ЗВ. Її необхідно розглядати як корекцію апріорної оцінки похибки.

Похибка вимірювань описується певною математичною моделлю. Вибір моделі опису ґрунтується на отриманих апріорних відомостях про джерела похибок, а також даних, що отримані при проведенні вимірювань.

Класифікація складових похибок.

1. Класифікація складових похибки за закономірностями прояву.

У загальному випадку за багаторазових вимірювань математичну модель абсолютної похибки Д вимірювань надають у вигляді декількох складових, а в мінімумі як суму двох складових, які розрізняються за закономірностями прояву:

Д = Дc + Дв, (2.4)

де Дc та Дв систематична (ССП) та випадкова (ВСП) складові похибки. Кожна із цих складових обумовлена дією різних чинників і може складатись у свою чергу ще з декількох складових. При такому додаванні ВСП повинна бути визначена як довірча межа інтервалу невизначеності і відповідати певній довірчій ймовірності.

А) Випадкова складова похибки (ВСП) Д- це складова похибки вимiрювань, яка змінюється за повторних вимiрювань однiєi i тiєiж величини ФВ випадковим чином, і в появі різних значень якої на вдається визначити будь-яку закономірність. ВСП - це похибка, яка непередбачувана ні по знаку, ні по розміру, або недостатньо вивчена. ВСП визначаються сукупністю причин, які важко проаналізувати. Чинники, які визивають ВСП, з'являються нерегулярно i зникають несподівано, або проявляються з непередбачуваною інтенсивністю. Присутність випадкової похибки легко визначається при повторних вимiрах незмінної ФВ і проявляється у вигляді деякого розкиду результатів вимiрювань.

Головна особливість ВСП при вимірюванні є ii непередбачуваність від одного вимiра до iншого і не завжди можна встановити причину її виникнення. Тому величину ВСП характеризують показом закону розподілу її ймовірності, або показом параметрів цього закону, розроблених в теоріях ймовірності та математичної статистики.

Б) Однією із різновидностей ВСП є промах - надмірна ВСП. Промах, або груба похибка - це похибка окремого результату вимірювань (РВ), яке входить в ряд вимірювань, що за даних умов різко відрізняється від інших РВ цього ряду. Основне джерело їх виникнення - це різкі зміни умов проведення вимірювань або похибка оператора ( різка зміна напруги живлення мережі, неправильний відлік по шкалі приладу або його запис). При одноразових вимірюваннях визначити промах неможливо. Для зменшення його появи проводять 2-х - 3-х разові вимірювання, а за результат приймають середнє значення. При багаторазових вимірюваннях для визначення промахів використовуються статистичні критерії. Промахи не враховуються при обробці результатів вимiрювань.

В) Під систематичною складовою похибки (ССП) Д_c розуміється складова загальної похибки, яка залишається постійною або закономірно змінюється при повторних вимiрах однієї i тiє ж фізичної величини.

До чинників першого виду, якi обумовлюють появу систематичних похибок належать: 1) неправильне градуювання ЗВ; 2) змiщення нуля ЗВ (приладу). Коли налаштовують ЗВ, то кажуть, що його "налаштували на нуль". У процесi роботи ЗВ це налаштування поступово збивається, тобто, з'являється похибка, яка закономiрно змiнюється в часi i яку часто називають ще функціональною, так як її зміну в часi можна записати у вигляді математичної функції;

Прикладом систематичної похибки є похибка термоелектричного термометра, що закономірно змінюється внаслідок зміни температури вільних кінців термопари.

Прикладом другого виду систематичних похибок - є більшість додаткових похибок, які є незмінними в часі функціями різних факторів (температури навколишнього середовища, напруги живлення, вологості і т. п..

У процесі вимірювання значення фізичної величини, з урахуванням дii багатьох чинників проявляються одночасно обидві складові похибки абсолютної похибки Д вимірювання: як випадкова ВСП (Дв) так i систематична ССП (Дc). Випадкова похибка характеризує відхилення окремого результату вимірювання від певного центра її групування, а систематична - характеризує зміщення цього центру відносно істинного значення вимірюваної величини.

У загальному випадку абсолютна похибка Д вимірювань - є випадковою функцією часу i не можна сказати, яке значення вона матиме в певний момент часу. Можна лише говорити про ймовірність появи її значення в тому чи іншому інтервалі.

Г) По закономірності прояву розрізняють також ПРОГРЕСУЮЧI (ДРЕЙФОВI) похибки - це похибки, якi повільно (поступово) змінюються в часi i визиваються як правило старінням деталей ЗВ. Особливість - вони можуть бути скориговані введенням поправки, але тільки на деякий час, а потім вони знову монотонно зростають. Чим менше необхідне значення прогресуючої похибки, тим частіше необхідно проводити її корекцію.

За місцем виникнення похибки вимірювань поділяють на МЕТОДИЧНI ТА IНСТРУМЕНТАЛЬНI.

Методичні похибки - складові похибки вимiрювання, якi виникають через недосконалість методу вимiрювання та граничними межами точності значень використаних фізичних констант і припущень в розрахункових формулах.

Наприклад, вимірювання опору резистора методом амперметра й вольтметра за формулою R = U/I для двох схем. У схемах виникає методична похибка із - за їх недосконалості. В одному випадку похибка виникає за завищеного показу вольтметра на значення спаду напруги на амперметрі, а в другому - за завищеного показу амперметра на значення струму, що протікає крізь амперметр. Тому в обох випадках обчислення опору за приведеною формулою дає неточні результати.

Інструментальні похибки - це складові похибки вимiрювання фізичної величини, якi залежать від похибки використаних засобів вимiрювання.

Вони визначаються конструктивними, технологічними або схемними недоліками ЗВ. Інструментальні систематичні похибки виявляють шляхом повірки засобу вимiрювання по зразковому ЗВ більш високої точності.

За наявністю бо відсутністю функціонального між похибкою вимірювання та значенням вимірюваної величини розрізняють адитивну та мультиплікативну складові похибок вимірювання. Ці терміни служать опису смуги похибок ЗВ.

АДИТИВНА (від лат. Additivus - додавання) - це похибка, значення якої не залежить від вимiрюваної величини (похибка додавання до нуля). Адитивна похибка має стале значення по всій характеристиці перетворення ЗВ або по всій шкалі приладу. Це поняття однаково використовується як для випадкових, так і для систематичних похибок.

Прикладом систематичної адитивної похибки є неточність налаштування приладу на нуль, тобто, похибка змiщення нуля приладу, яка приводить до того, що реальна статична характеристика приладу зміщується по відношення до його номінальної характеристики на величину систематичної адитивної похибки Д. Ще приклад - наявність постійної додаткової ваги на чашках ваговимірювального пристрою. Для усунення таких похибок в багатьох ЗВ, передбачений механічний або електричний пристрій для встановлення нуля (коректор нуля).

Прикладом випадкових адитивних похибок - є тертя в опорах вимірювального приладу, граничні межі якої утворюють на характеристиці перетворення приладу смугу постійної ширини величиною в граничне значення випадкової похибки Д. Це також похибка наведення змінної Е.Р.С. на вхід приладу, похибка теплового шуму чи ненадійного контакту при вимірюванні опору.

У разі суто адитивної смуги похибок абсолютна похибка вимірювань Д по діапазону вимірювання приладу залишається незмінною для будь-яких значень вимірюваної фізичної величини.

МУЛЬТИПЛІКАТИВНА (від лат. Multiplicatio - множення) - це похибка, яка прямо пропорційно залежить від значення вимiрюваної величини (її ще називають похибкою чутливості). Теж може бути випадковою або систематичною.

Причини виникнення - зміна чутливості ЗВ, що зв'язана зі зміною, наприклад, коефіцієнта підсилення підсилювача, або зі зміною жорсткості мембрани чутливого елемента манометра, або протидіючої пружини електромеханічного приладу.

Оскільки в разі суто мультиплікативної смуги похибок абсолютна похибка Д вимірювань збільшується пропорційно поточному значенню Х вимірюваної ФВ, то відносна похибка є постійною за будь-якого значення Х вимірюваної величини.

5. ОСОБЛИВІСТЬ ТА ВИЗНАЧЕННЯ СИСТЕМАТИЧНОЇ СКЛАДОВОЇ ПОХИБКИ, МЕТОДИ ЇЇ УСУНЕННЯ

Особливості систематичних похибок:

1) Присутність деяких ССП (особливо при малих значеннях) важко визначити і вони довгий час можуть бути невиявленими. Такі похибки виявляють шляхом вимірювання величини декількома незалежними методами з використовуванням первинних вимірювальних перетворювачів, побудованих із використанням різних фізичних явищ;

2) ССП завжди мають знак: «+» чи «-».

3) Якщо закон зміни систематичної похибки відомий, то її вплив легко врахувати у вигляді поправок, або усунути одним із методів автоматичного коригування;

4) єдиний спосіб виявлення ССП полягає в повірці нуля та чутливості ЗВ шляхом повторної його атестації по зразковим мірам.

Систематичні похибки, які змінюються по певному закону, виявляють статистичними методами за допомогою спеціальних статистичних критеріїв.

У реальних умовах повністю усунути систематичну складову похибки (ССП) неможливо. Завжди залишаються не усунуті рештки, які треба враховувати, щоб оцінити їхні границі. Невиявлена ССП більш небезпечна, чим випадкова складова (ВСП). Якщо ВСП визиває розкид результатів вимiрювань, який називають варіацією, то ССП визиває їх стійке спотворення, змiщення.

У будь-якому випадку відсутність чи не значимість ССП, з метою нехтування, потрібно доказувати.

Так як причини, які приводять до появи ССП на протязі тривалого терміну часу змінюються за звичаєм по випадковому закону, то випадковою є також i систематична похибка. Тому, у загальному випадку, i систематична похибка описується з використанням теорії ймовірності та математичної статистики.

Визначення систематичної похибки

Для визначення складових похибки вимірювання, як для випадку вимірювання фізичної величини, так i для випадку повірки чи атестації засобів вимірювання, проводяться багаторазові (для першого випадку) вимірювання фізичної величини, або багаторазові вимірювання зразкової міри, значенням Хоі, для другого випадку.

Отримавши ряд n результатів вимірювання Х1, Х2, Х3, ...Xn (загалом прийнято, щоб їх було не менше 20), для визначення систематичної складової похибки Дc, необхідно вирахувати середнє арифметичне Xср цього ряду результатів вимірювання:

Xср = 1/n * (X1+X2+X3+...+Xn) = Хi,

та порівняти його з істинним чи дійсним значенням вимірюваної величини, або зразковою мірою. Результати окремих вимірювань будуть згруповані біля Хср по ймовірносному закону, як показано на рисунку.

Різниця Хср - Хоі = Дc - визначає значення ССП, яка притаманна даному засобу вимірювань.



Відхилення середнього значення від дійсного значення чи зразкової міри характеризує систематичну ССП похибку Дc. Її ще інколи називають середньою арифметичною похибкою, або середнім арифметичним відхиленням. I, що дуже важливо, систематична похибка ССП завжди має знак відхилення "+" чи "-".

Методи усунення систематичної похибки

Для усунення ССП використовуються наступні методи:

Метод поправок - базується на результатах попередніх експериментальних випробовувань, де досліджується дія зовнішніх впливаючих факторів ( температури, тиску, зміни напруги живлення і ін..) на засіб вимірювання. По їхнім результатам знаходять різні поправочні формули або таблиці поправок, які використовують потім при експлуатації ЗВ.

Внесення поправок в результат вимірювання - є найбільш поширеним способом виключення ССП. Поправка q чисельно дорівнює ССП, але має протилежний знак ССП (q = | Дc |). Метод двохразового вимірювання - грунтується на проведенні такого досліду, при якому похибка від впливаючого фактору входить в результат вимірювання один раз зі знаком «+», а другим разом - зі знаком «-» Загальний результат вимірювання одержують як середнє із двох вимірювань. Метод заміщення - грунтується на попередньому вимірюванні ФВ засобом вимірювання і отриманні результату у вигляді:

Хзв = Хвим + Дc ,

де Хзв - покази ЗВ; Хвим - вимірювана ФВ.

Далі, нічого не змінюючи в ЗВ, до його входу відмикають замість вимірюємо ФВ Хвим регульовану міру Хоі і підбирають її значення, за якого досягається попередній результат показу ЗВ:

Хзв = Хоі - Дc.

Порівнюючи обидва результати, отримуємо: Хвим = Хоі.

Якщо ССП визначена і усунена методом введення поправки, то отримують відкориговані результати вимірювань:

Хкор = Хзв + q .

При виключені систематичної похибки, вимірювана величина А складається з коригованого значення результату вимірювань Хкор та випадкової похибки Дв i стає випадковою величиною:

А = Хкор +/- Дв.

6. ВИЗНАЧЕННЯ ВИПАДКОВОЇ СКЛАДОВОЇ ПОХИБКИ

Визначення випадкової похибки дещо складніше. Для випадкової похибки, як i для випадкової події, характерно, що вони вони можуть відбутися, а може i ні. У теорії ймовірності для цього використовують поняття "ймовірності" (Р), яке використовується для числової характеристики ступені можливості появи події в тих чи інших умовах, при чому подія може повторитись необмежене число разів.

Завжди, коли приводять числове значення випадкової похибки, то вказують її ймовірність. Імовірність указує на деякий ризик, що, наприклад, в окремих випадках вимірювання наведена в паспорті приладу похибка, буде більшою. Так, якщо вказано, що випадкова похибка ЗВ Дв = 0,020 кг із ймовірністю 0,95, то в цьому випадку ризик дорівнює 0,05, тобто, із 100 вимірів може бути, а може i ні, що в 5-ти вимірах випадкова похибка буде більшою ніж 0,020 кг.

Для вимірювань характерно те, що в загальному випадку значення випадкової похибки теоретично може дорівнювати безмежності як зі знаком «+» так i «-» . Але така подія малоймовірна, тобто, практично не можлива, але теоретично може відбутись.

Для визначеної систематичної похибки можна констатувати, що для цієї події ймовірність Р = 1, тобто, подія (виникнення систематичної похибки) відбувається завжди, коли виконується вимірювання.

Якщо ймовірність Р = 0, то подія практично не відбудеться ніколи.

Таким чином, числова характеристика ступені можливості появи поді, тобто, імовірність Р знаходиться в межах від 0 (подія практично неможлива) до 1 (подія достовірна). 0 P 1.

У зв'язку з тим що ймовірність появи випадкової похибки (ВП) того чи іншого значення можуть змінюватись в широких межах, то для оцінювання ВП у метрології з теорії ймовірності запозичено й використовується поняття законів розподілу випадкових величин. Під законом розподілу розуміється закон, який оцінює кількісно ймовірність частоти прояву випадкової похибки у вигляді функції від можливого її значення (розміру). Якщо така функціональна залежність установлена, то говорять, що ВП підпорядкована даному закону розподілу. Розрізняють інтегральний та диференційний закони розподілу ВП.

IНТЕГРАЛЬНИЙ ЗАКОН РОЗПОДIЛУ

Інтегральним законом розподілу випадкової величини ВВ (в метрології - випадкової похибки ВП) називають функцію ймовірності F(x), значення якої для кожного значення х (х - це або похибка вимiрювального пристрою, або похибка результатiв вимiрювання з урахуванням i її систематичної складової), вибраного на осі абсцис, визначається тим, що результат спостереження Х в і-тому досліді приймає значення менші за х.

З точки зору теорії ймовірності це записується так:

F(x) = P(Х x ) = P( - < X ? x). (2.2.2)

Тобто, якщо Х - ймовірна подія, а х - це деяка плинна змінна, то у функціях розподілу ймовірностей F(x) використовують не ймовірність поді Х=х, а ймовірність події Х < x, тобто, що результат спостереження Х в i-тому дослiдi буде меншим деякого значення Х вiд самої величини х.

Функція ймовірності F(x) існує для всіх ВВ (ВП), як дискретних так i безперервних і є універсальною характеристикою ВВ (ВП).

Сформулюємо загальні її властивості:

1. Функція розподілу F(x) - є не спадаючою функцією свого аргументу х, тобто, якщо є функція розподілу F(x1) для аргументу х1, i є функція розподілу F(x2) для аргументу х2, то якщо х2 > x1, то i F(x2) > F(x1).

2. На мінус безмежності функція розподілу дорівнює нулю: F(-) = 0.

3. На плюс безмежності вона дорівнює 1: F(+ ) = 1.

Усе сказане підтвердимо в геометричній інтерпретації. Для цього будемо розглядати ВВ Х на вісі Ох, i що ВВ Х може приймати в результаті досліду на цій вісі те чи інше положення. Тоді функція розподілу F(x) є ймовірність того, що ВВ як точка Х в результаті досліду попаде лівіше точки х: -----0-----Х------х-----> х

Якщо ми будемо збільшувати х, тобто, зміщувати точку х по вісі абсцис вправо, то очевидно, що ймовірність того, що випадкова точка Х попаде лівіше не може зменшуватись, а навпаки - збільшується. Тобто, функція розподілу F(x) зі збільшенням х зменшуватись не може.

Для підтвердження, що на мінус безмежності функція розподілу F(x) = 0, будемо безмежно зміщувати точку х уліво по вісі абсцис. При цьому розміщення ВВ Х лівіше х стає неможливим, імовірність цієї поділі наближається до нуля.

По аналогії, при безмежному зміщенні точки х вправо бачимо, що F(+) = 1.

Графік функції розподілу F(x) у загальному випадку є графіком не спадаючої функції, значення якої починається від 0 та доходить до 1 i має S -подібну форму.

Для випадку, коли Х=Q, тобто, коли результати вимірювань розміщені із правого та лівого боків від Q, то центр перегину S-образної функції розподiлу вiдповiдає точці Q на рівні 0,5. У цьому випадку розподіл результатiв відносно істинного значення шуканої величини є симетричним.

Таким чином, інтегральна функція дає уявлення про розміщення результатiв вимiрювання Хi відносно істинного значення Q вимiрюваної величини.

Практично функція F(x) використовується для розрахунку ймовірності того, ВВ (ВП) Х прийме значення, яке розташоване в деяких межах, яке розташоване від "а" (із ліва) до "в" (із права).

Така ймовірність розташування випадкової величини на заданій ділянці дорівнює приросту функції розподiлу F(x) на цiй ділянці:

P("а" <= X < "в") = F("а") - F( "в"). (2.2.3)

Якщо будемо безмежно зменшувати ділянку "а"-"в", то в крайній межі, замість розташування випадкової величини на ділянці, отримаємо ймовірність того, що величина Х прийме окремо взяте значення "а":

P(Xi="а") = lim P("а"<= Хi <"в") = lim[F("в") - F("а")]. (2.2.4)

Це значення залежить від того, безперервна функція розподілу F(x) чи ні в точці "а". Якщо в цій точці F(x) має розрив, то межа виразу 2.2.4 дорівнює значенню скачка функції F(x) у точці "а". Якщо функція F(x) безперервна в точці "а", то ця межа дорівнює 0.

Із цього формулюється положення: " Ймовірність будь-якого окремого значення безперервної випадкової величини дорівнює 0". Тобто, при непереривному розподілу ймовірностей імовірність попадання випадкової величини на будь-яку малу ділянку може не дорівнювати 0, тоді як імовірність попадання в точно визначену точку = 0.

У свою чергу, якщо подія Хi = "а" має ймовірність, яка = 0, то це не означає, що вона не буде появлятись, тобто, що частота цієї події = 0. Частота - події при великій кількості дослідів не дорівнює ймовірності, а тільки наближається до неї. Таким чином, якщо ймовірність події Хi = "а" дорівнює 0, то це показує на те , що при необмеженій кількості дослідів ця подія буде мати місце скільки завгодно рідко.

ДИФЕРЕНЦIЙНИЙ ЗАКОН РОЗПОДIЛУ

Для більш наочного опису результатів вимірювання та випадкових похибок використовують похідну від функції інтегрального розподілу F(x). Якщо є безперервна випадкова величина Х із функцією розподілу F(x), то можемо вирахувати ймовірність Р попадання цієї ВВ Х на відрізку від х до х+х:

P( x < X < x + x) = F ( x + x) - F(x), 2.2.5

тобто, імовірність дорівнює приросту функції розподілу F(x) на цьому відрізку.

Тепер розглянемо відношення цієї ймовірності до довжини відрізку, тобто, розглянемо середню ймовірність, яка приходиться на одиницю довжини цього відрізку та будемо наближати x до 0. У крайній межі дістанемо похідну F' від функції розподiлу:

lim {[ F(x+x) - F(x)] / x} = F'(x) = P(x) 2.2.6

Введене об означення функції P(x) - похідної від функції розподілу F(x) - характеризує як би густину, з якою розподіляється значення випадкової величини Х в даній точці. Функція P(x) називається густиною розподілу, або по іншому: "густиною ймовірності" безперервної випадкової величини Х, або диференціальною функцією розподілу, або диференціальним законом розподілу, або просто ЗАКОНОМ РОЗПОДIЛУ.

Графік, який відтворює густину розподілу випадкової величини називається кривою розподілу. Криві розподілу мають різний вигляд (трикутний, дзвоноподібний, трапецієвидний, рівномірний і інші), який залежить від кількості впливаючих на подію ( щоб вона відбулася чи ні) факторів та вiд значення цих факторів. У більшості криві розподiлу мають форму, яка близька до дзвоноподiбної.

Густина розподілу Р(х), по аналогії з функцiєю розподiлу F(x), є ще одною із форм закону розподiлу. У протилежність функції розподілу F(x) ця форма Р(x) не є універсальною, так як існує тільки для безперервних випадкових величин. Якщо розглянути безперервну випадкову величину Х із густиною розподілення Р(х) та елементарний відрізок dx, який прилягає до точки х, то ймовірність попадання випадкової величини Х на цю елементарну ділянку, з точністю до безмежних малих вищого порядку, дорівнює Р(x)dx i цю величину називають ЕЛЕМЕНТОМ Імовірності.

Геометрично - це площина елементарного прямокутника, який опирається на відрізок dx. Використовування елементів імовірності дає можливість сказати про те, які інтервали значень випадкових похибок більш чи менш імовірні. Наприклад, при дзвоноподібний кривій розподілу Р(x) для випадкових похибок Дв більш ймовірні малі значення її похибок, якi лежать навколо випадкової похибки із значенням Дв = 0.

Можемо виразити ймовірність попадання випадкової величини Х на відрізок вiд "а" до "в" через густину розподілення. Очевидно, що вона буде дорівнювати сумі елементів імовірності на всьому відрізку, тобто, інтегралу:

P("а" <X < "в") = Р(x) dx (2.2.7)

Геометрична ймовірність попадання величини Х дорівнює площині кривої розподілу, яка опирається на цей відрізок.

Ми можемо вирішити й обернену задачу - виразити функцію розподілу F(x) через густину розподілу. Так як по визначення F(x) = P(X<x) = P(- < X < x), то використовуючи формулу 2.2.7 отримуємо:

F(x) = Р(x)dx. (2.2.8)

Геометрично ймовірність F(x) є, не що інше, як площина кривої розподілу Р(x), яка лежить лівіше тачки х.

Основні властивості густини розподiлу:

1. Густина розподiлу не є від'ємною функцiєю: P(x) >= 0;

2. Інтеграл у безмежних межах вiд густини розподiлу дорівнює 1, тому що (як ми показували раніше) F(+) = 1.

Геометрично основні властивості означають:

1. Уся крива розподiлу Р(x) лежить не нижче вісі абсцис;

2. Повна площина, яка обмежена кривою розподiлу Р(x) = 1.

Вияснимо розмірності основних характеристик випадкової величини:

1. Функція інтегрального розподілу F(x), як усяка ймовірність є величиною без розміру.

2. Розмірність густини розподілу P(x) - є обернена розмірності випадкової величини.

7. ЧИСЛОВI ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН ТА ЇХНІ ПРИЗНАЧЕННЯ

I так, ми познайомились із двома законами розподілу, які надають повну характеристику випадкових величин (випадкових похибок): це функція розподілу F(x) та густина розподілу Р(x). Вони описують повністю випадкову величину Х із точки зору теорії ймовірності.

Але на практиці в багатьох випадках немає необхідності характеризувати випадкову величину повністю, вичерпуючим чином. Інколи достатньо привести тільки окремі числові характеристики розподілу, до яких відносяться їх два різновиди - це:

1) числові характеристики середніх, до яких відносяться: математичне сподівання, медіана та мода розподілу. Вони показують на деяке середнє, орієнтовне значення, біля якого групуються всі можливі значення випадкової величини (похибки) і

2) моменти розподілу, які є параметрами законів розподілу і до яких відносяться початкові та центрові моменти s -ного порядку.

Ці різновиди числових характеристик найбільш компактно, у стислій формі, з використанням мінімального числа параметрів - виражають суттєві особливості розподілу і використовуються при оцінці випадкових похибок.

8. МАТЕМАТИЧНЕ СПОДIВАННЯ, ЙОГО СУТЬ ТА ЗВ'ЯЗОК ІЗ СИСТЕМАТИЧНОЮ СКЛАДОВОЮ ПОХИБКИ

Першою основною числовою характеристикою, яка дає координату положення випадкової величини (похибки) на осі чисел, біля якої групуються всі можливі значення ВВ (ВП), є МАТЕМАТИЧНЕ СПОДIВАННЯ, яке ще називають СЕРЕДНIМ ЗНАЧЕННЯМ ВВ.

Для безперервної величини Х математичне сподівання M[X] дорівнює:

M[X] = xP(x)dx (2.2.10)

де P(x) - густина розподiлу величини Х.

Математичним сподіванням випадкової величини (похибки) називається сума добутків усіх можливих значень ВВ (ВП) на ймовірності цих значень.

При дискретних вiдлiках Хi обчислення інтегралу, який визначає математичне сподівання M[X], замінюється, при великій кількості n реальних вимірювань, еквівалентним вирахуванням середнього арифметичного (Хср) :

Хср = = Хi. 2.2.11

Таким чином, можна записати, що при n :

M[X] = m = xP(x)dx = Хi.

Це формула описує зв'язок мiж математичним сподіванням M[X] випадкової величини та середнiм арифметичним при великій кiлькостi проведених дослiдiв (вимiрювань) і стверджує:

«при великiй кiлькостi дослiдiв, середнє арифметичне цих дослiдiв над ВВ (ВП) наближається, або кажуть сходиться по ймовiрностi, до математичного її сподівання». Тому при практичних вимiрюваннях математичне сподівання M[X] i замінюють на середнє арифметичне .

У механічній інтерпретація математичне сподівання є M[X] є не що інше, як АБСЦИСА ЦЕНТРУ ВАГИ даної системи матеріальних точок, відносно якої, провертаючи момент = 0. Цю абсцису, як синонім, ще називають ЦЕНТРОМ РОЗПОДIЛУ або КООРДИНАТОЮ ЦЕНТРУ РОЗПОДIЛУ.

Суть математичного сподівання M[X], тобто, суть пошуку середніх багаторазових вимірювань, у тому, що визначена середня оцінка координати їх центра розподілу має найменшу випадкову похибку, ніж окремі результати вимірювань, по яким вона визначається.M[X] - є основною числовою характеристикою, яка використовується при статистичному опрацюванні результатів вимірювань.

По-перше, m, при метрологічній атестації засобів вимірювання та ймовiрносному опису похибки вимірювань, вказує на наявнiсть чи нi систематичної складової похибки (ССП). Виходячи з виразу математичного сподiвання, можна зробити чіткіше визначення систематичної та випадкової (ВСП) складових похибок.

ССП - це рiзниця мiж математичним сподіванням результатiв спостережень та iстинним значенням вимірюваної величини:

c = M[X] - Q . (2.2.12)

ВСП - це рiзниця мiж результатом одиночного спостереження i математичним сподіванням результатiв спостережень:

в = Xi - M[X]. (2.2.13)

По-друге, у теорії опрацювання результатів прямих вимірювань, коли необхідно отримати достовірну інформацію про значення вимірюваного параметру за допомогою певного засобу вимірювань, за найбільш ймовірне значення вимірюваної величини Хі необхідно прийняти математичне сподівання M[X] із ряду вимірювань, при якому сума квадратів абсолютних похибок (мінімальна) найменша.

При дискретних відліках і при достатньо великому числі n вимірювань до дійсного (істинного) значення вимірюваної величини наближається середнє арифметичне .

Виходячи із цього можна вивести, при відсутності в ЗВ систематичної складової похибки (або при нехтуванню нею, або при її врахуванні відповідною поправкою):

= M[X] Q = Q.

З іншого боку, при кінцевому значенні числа n вимірювань і не скоригованій ССП:

Q= M[X] ± c ± в . (2.2.14)

Так як розподіл похибок ЗВ та РВ як правило - є симетричним, то центр розподілу ВП може визначатись i як центр СИМЕТРIЇ РОЗПОДIЛУ, який називається медіаною . Медіана випадкової величини (похибки) - це друга числова характеристика положення ВП на числовій осі х і являє собою абсцису на осі чисел під кривою розподілу, ордината якої ділить криву розподілу так, що буде рівно ймовірною поява значення ВП більші i менші за медіану (). Тобто, для медіани: Р(Х) = Р(Х ).

При симетричній кривій густини розподілу можливою оцінкою центру розподілу є Третя числова характеристика розподілу - абсциса МОДИ розподілу(). Модою () випадкової похибки називається абсциса на осі чисел під кривою розподілу, ордината якої показує на максимум густини.

У загальному випадку указані три числові характеристики не співпадають між собою, але при нормальному законі розподілу (дзвоноподібній кривій), вони співпадають між собою (із математичним сподіванням).

Моменти розподілу

Крім характеристик розподілу - середніх, які є типовими характеристиками випадкових величин, використовуються так звані моменти, які є параметрами законів розподілу. Поняття моменту широко використовується в механіці для опису розподілу мас (статичні моменти, моменти інерції та ін.). Абсолютно такі ж прийоми використовуються і в теорії ймовірностей для опису основних властивостей розподілу випадкових похибок. Розрізняють так звані: початкові моменти і центрові моменти S- ного порядку. Під початковим моментом S- ного порядку для випадкової величини Х називається інтеграл виду:

б_S[X] = = M[X^S].

Тобто, початковим моментом S-ного порядку випадкової величини Х називається математичне очікування в S-ній степені цієї випадкової величини. При S=1, дістаємо M[X], яке характеризує постійну складову розподілу.

Центральним моментом S-ного порядку для безперервної випадкової величини є інтервал виду:

м _{S =}

 Вони аналогічні моментам відносно центру ваги в механіці.

Другий центральний момент називається дисперсією випадкової величини (похибки) і відноситься до параметрів, які характеризують розсіювання окремих значень ВВ (ВП) відносно центру розподілу (математичного сподівання).

м ₂= Dx=

Він являє по аналогії собою в механіці інтерпретацію відповідного моменту інерції заданого розподілу мас відносно центру ваги (M[X]).

Дисперсія має розмірність квадрату випадкової величини (ВП) і виражає потужність розсіювання відносно постійної складової.

Для більш наглядної характеристики розсіювання використовують величину, розмірність якої співпадає з розмірністю випадкової величини (похибки). Для цього з дисперсії добувають корінь квадратний та величину, яку дістають називають середнім квадратичним відхиленням (або стандартом) ВВ чи С.К.В. Воно зображується як у _Х:

у _Х = + =

С.К.В. у ВВ - це позитивне значення квадратного кореня із її дисперсії.

Середнє квадратичне значення випадкової величини - це її ефективне (дійсне) значення, подібно до діючого в енергетичному розумінні значенню струму або напруги в електричних лініях із складними формами кривої струму.

У загальному випадку, коли не викликає сумніву, до якої випадкової величини відносяться ці характеристики, інколи позначки х у у_Х та Dx не ставлять, а пишуть просто у та D.

Третій центральний момент м₃ характеризує асиметрію, тобто, скошеність розподілу (один спад - крутий, другий - пологий). Для симетричних відносно центра розподілу він дорівнює 0. Третій момент має розмірність кубу випадкової величини (ВВ), тому для відносної характеристики асиметрії використовують безрозмірний коефіцієнт:

S_k=м₃/у_Х³

Ну, а четвертий центральний момент м₄ характеризує протяжність спадів розподілу, а його відносне значення е_х=м₄/у_x⁴ називають ексцесом розподілу.

Визначення середнього квадратичного відхилення (СКВ)

Для визначення оцінки дисперсії по результатам дослідних вимірювань замість інтегралу для м₂ використовують співвідношення

D_x = , якщо n<20,

де Хі - значення окремих вимірювань, - координата центру розподілу; n - об'єм (кількість) вимірювань (виробок).

Звідси оцінка С.К.В., тобто, розсіювання окремих результатів вимірювання Хі відносно середнього .

у_х= (при n<20)

Для визначення С.К.В. при об'єму вимірювань n?20 доцільно використовувати:

у _х= при n?20.

Основним призначенням та перевагою оцінки розсіювання (розкиду) ВВ (ВП) за середнім квадратичним значенням у_х або дисперсією Dx є можливість визначення дисперсії суми статистично незалежних величин як суми дисперсії складових, не дивлячись на можливі різні закони закону розподілу кожної із додаваємих величин і не враховуючи можливу деформацію законів розподілу при утворенні композиції.

D= D.

Використання С.К.В. у_х і його квадрату у_х² = D_x, яке дорівнює дисперсії, дає можливість:

· Розрахунковим шляхом складати будь-яке число незалежних складових похибки ЗВ і отримати сумарну похибку ЗВ. Для цього окремі складові похибки ЗВ потрібно попередньо надати своїми середніми квадратичними значеннями у_х та провести геометричне додавання (геометричне додавання - це додавання через корінь квадратний із суми квадратів складових):

у_?=

· достатньо точно вирахувати похибку при проектуванні або ЗВ, або інформаційно-вимірювального каналу (ІВК) з наперед заданою сумарною похибкою, використовуючи значення нормованих похибок усіх пристроїв, які складають ЗВ або інформаційно-вимірювальний канал.

Середньоквадратичне відхилення середнього арифметичного (дослідне СКВ) та основний ЗАКОН ТЕОРІЇ ПОХИБОК. Якщо в одній серії з n вимірювань _ср є лінійною функцією результатів окремих вимірювань Х1,Х2,..,Хі, і якщо провести нову серію із n вимірювань, то в внаслідок впливу випадкових причин значення Хі будуть відрізнятися від отриманих в першій серії, тобто, нове значення буде іншим. Таким чином, число Х, яке отримане в одній із серій вимірювань, є випадковим приближенням до істинного значення Q, необхідно знову ж таки визначити середнє квадратичне відхилення для . Для оцінки можливих відхилень величини від істинного значення визначають дослідне середнє квадратичне відхилення або середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного:

у=

Значення дослідного С.К.В. у зменшуюється порівняно з С.К.В. вихідних результатів вимірювань у_х в раз. Це твердження та формула у= відображають основний закон теорії похибок.

Якщо потрібно підвищити точність результату вимірювання (при скоригованій систематичній складовій похибки) в n раз, то число вимірювань необхідно збільшити в n раз. Наприклад, якщо потрібно збільшити точність в 3 рази, то число вимірювань n збільшують в 9 раз і т. д.

Таким чином, дослідне С.К.В. у_Х оцінює можливі відхилення середнього арифметичного результатів вимірювання від істинного (дійсного) значення. Дослідне С.К.В. використовується для приведення кінцевого результату вимірювань фізичної величини із проведених n її вимірювань та вибраному необхідному показнику достовірності цих вимірювань.

Розподілення похибки статистично визначеного середнього результату багаторазових вимірювань має вигляд, що приведений на рисунку.

Якщо б шукане число Хі визначалося шляхом тільки одного вимірювання n=1, то значення Хі випадковим чином може зайняти будь-яке положення в середині смуги похибок. При проведенні n вимірювань для кожного t_i самі результати по-старому будуть розміщуватись випадковим чином у середині тієї ж смуги, але лінія їхніх центрів буде тільки стійкою.



Оцінки розсіювання у_Х та у необхідно слід чітко відрізняти і пам'ятати, що вони характеризують тільки випадкову складову похибки.

Оцінка у_Х середнього квадратичного відхилення (СКВ) характеризує ширину смуги невизначеності самих вихідних даних, яка на рисунку зображена смугою (межею) абсолютної похибки 2.

Оцінка у середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного характеризує в раз більш вузьку смугу невизначеності знайдених середніх значень, яка на рисунку зображена смугою абсолютної похибки 2.

На рисунку: середня лінія - це значення математичного сподівання M[X] в точці відліку по характеристиці перетворення

При великому числі n вимірювань систематична складова похибки залишається без зміни, а ширина розкиду випадкової складової похибки зменшується в раз. Якщо n достатньо велике, то і результуюча похибка середнього результату визначається практично тільки його систематичною похибкою.

ГОСТ ( стандарт ) по метрології регламентує, що у випадках, коли ССП , то систематичною складовою похибки можна нехтувати і враховувати тільки випадкову похибку визначеного середнього результату в вигляді . Якщо ж , то навпаки, необхідно нехтувати випадковою складовою, а визначений середній результат характеризувати тільки його систематичною похибкою . Остання умова показує, що наявність невиявленої і не усуненої систематичної похибки робить практично безглуздим використання статистичного визначення середнього.

9. НОРМАЛЬНИЙ ЗАКОН РОЗПОДІЛУ

У практиці вимірювань використовуються різні закони розподілу випадкових похибок: трикутний, трапецієподібний, прямокутний (рівномірний), симетричний, нормальний, а також одно- та багатомодальні.

Проте найбільше значення має нормальний закон розподілу (закон Гауса), так як він є ГРАНИЧНИМ ЗАКОНОМ, до якого наближаються інші закони розподілу при типових для вимірювання умовах і при їхній кількості, яка наближається до безмежності .

ЦЕНТРАЛЬНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА стверджує, що розподіл випадкових похибок буде близьким до нормального закону кожного разу, коли результати спостережень формуються під впливом великої кількості незалежних чинників, кожен з яких справляє лише незначний вплив порівняно із сумарним впливом інших. Закон розподілу для середнього арифметичного при числі n30 наближається до нормального при любому розподілі вихідних даних. Крива розподілу при нормальному законі має дзвоноподібну симетричну форму.

Диференціальна функція нормального закону описується рівнянням

(1)

де - густина ймовірності для визначеного значення ВСП;

- середнє квадратичне ряду вимірювань:

;

n - число вимірювань, n > 20 - 30 .

Р(в) Е>0 =; … …; Е<0 = ;

-в 0 +в < <

Максимальна величина густини ймовірностей дорівнює амплітуді і досягає в точці 0. Це означає, що найбільш ймовірні малі випадкові похибки. У міру віддалення від точки 0 вліво або вправо ймовірність виникнення малих похибок зменшується і асимптотично наближається до 0, а ймовірність великих ВП зростає. При зменшенні середнього квадратичного відхилення < < (зменшенні розсіювання), межі розподілу результатів звужуються, а вершина дзвону піднімається вгору, зростає точність вимірювання. Чим точніше виконано вимірювання, тим вище підіймається крива розподілу випадкових похибок, і зменшується середньо квадратичне відхилення. Часто для попередньої оцінки закону розподілу параметра використовують в якості критерію відносну величину С.К.В. - коефіцієнт варіації

або .

Якщо коефіцієнт варіації має значення 0,33...0,35, то можна рахувати, що розподіл ВВ(ВП) підчиняється нормальному закону.

10. КВАНТІЛЬНА ОЦІНКА ВИПАДКОВОЇ ПОХИБКИ

Площина, яка розміщена, під кривою густини розподілу випадкової величини (або похибки) Р(х), дорівнює 1, тобто, відтворює ймовірність усіх можливих подій. Цю площину розбивають на окремі частини за допомогою вертикальних ліній. Абсциси таких ліній називають квантілі. Так, н., рис.1, можна виділити 25%-ну квантіль. Це квантіль, для якої площина під кривою Р(х) зліва від х1 складає 25% всієї площини, а справа - залишок, який дорівнює 75%. По аналогії х3, це 75% - на квантіль. Між х1 і х3, тобто, між 25%-ною та 75%-ною квантілями, які називаються згинами (або квартілями) даного розподілу, зосереджено 50% всіх можливих значень похибки, а залишки (50%) - лежать поза її межами. н., медіана є 50%-на квантіль, так як ділить площину під Р(х) пополам.

Абсциса (х=х3) - є 5%-на квантіль, так як площина під кривою зліва складає 5% всієї площини. Відповідно квантілі прийнято позначати:

як - однопроцентна;

- 2,5%- на

- 5% - на

- 95%- на

- 97,5%- на

Інтервал значень х між х= і х= охоплює 90% всіх можливих значень похибок і називається інтерквантільним проміжком з 90%-ною ймовірністю =0,9. його протяжність . Відповідно інтерквантільним проміжок: охоплює в собі 95% всіх можливих значень похибок (тобто, з ймовірністю =0,95).

У даному випадку х це або випадкова похибка при атестації ЗВ або відхилення вимірюваної величини, від математичного сподівання при її вимірюванні певним ЗВ, тобто випадкова похибка результатів вимірювання.

На основі такого підходу вводиться поняття квантільних оцінок похибки. Квантільна оцінка похибки - це значення похибки як довірчої межі інтервалу невизначеності з заданою довірчою ймовірністю . Довірча межа - це верхня та нижня межі інтервалу, у які похибки попадають із заданою ймовірністю.

Довірче значення випадкової похибки, або її квантільне значення - є її максимальне значення з вказаною довірчою ймовірністю і дорівнює половині інтерквантільного проміжку , тобто .

У той же час, це є і повідомлення, що частина реалізацій похибки з ймовірністю може бути і більшою за указане значення похибки.

Для позначення встановленого довірчого значення похибки використовують при позначенні похибки індекс (внизу), який чисельно рівний прийнятий довірчій ймовірності. Тобто, замість (для загального випадку), необхідно писати, н., (це похибка при довірчій ймовірності ).

Якщо є ймовірність , яку вибирають в межах , того, що середнє арифметичне відхилення (математичне очікування ) результатів вимірювання відхиляється від істинного значення на величину не більше, ніж випадкова похибка , яка дорівнює або , то в цьому випадку називається довірчою ймовірністю, а інтервал від до називається довірчим інтервалом.

Так як квантілі, які обмежують довірчий інтервал похибки можуть бути вибрані різними, то при повідомленні довірчої мажі оцінки похибки повинно одночасно обов'язково показуватись значення прийнятої довірчої ймовірності . Тобто, для характеристики випадкової складової похибки необхідно задавати два числа :

1. величину самої похибки або довірчим інтервалом

2. довірчу ймовірність .

Для переходу при нормальному законі розподілу до квантільної довірчої оцінки похибки з заданою довірчою ймовірністю, використовують визначене значення дослідного СКВ та формулу:

де t - нормована квантіль для заданої ймовірності .

Значення нормованих квантілі нормального закону розподілу:

	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,995	0,998
t	1,28	1,64	1,96	2,83	2,58	2,81	3,09

Приведені значення і відповідні їм значення нормованої квантілі коректні при нормальному законі розподілу та великій кількості вимірювань n. Між значенням вибраної (довірчої ймовірності) і необхідною для цього кількістю дослідів (вимірювань) є залежність:

	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,995	0,997
n	20	40	80	200	400	800	1333

Як бачимо по дослідним даним легко визначити значення тільки з довірчою ймовірністю (до 80 вимірювань), а та практично не реалізуємі (n>4001333).

11. РОЗПОДІЛ СТЬЮДЕНТА

При малому числі n вимірювань (2<n<30) використовування формули для оцінки є некоректним. Це пов'язане с тим, що формально знайдена для цих випадків оцінка (об означимо її для цього випадку через ) в відповідності із співвідношенням

буде мати дуже великий розкид, а знайдена квантільна оцінка розкиду середнього може мати велику похибку.

В 1908р. англієць Госсет вивів, і опублікував під псевдонімом „Студент”, залежність коефіцієнта (Стьюдента) від кількості вимірювань n та заданою ймовірністю для цих випадків.

Квантілі розподілу Стьюдента для двохстороннього симетричного довірчого інтервалу для значень n та 2-х значень має вигляд:

n	2	3	4	5	7	10	15	20	30
	6,31	2,92	2,35	2,13	1,94	1,83	1,76	1,73	1,70	1,64
	12,7	4,30	3,18	2,78	2,45	2,26	2,14	2,09	2,04	1,96

Суть використовування цих квантілів в тому, що при n<30 довірче значення похибки оцінки відхилення (середнього арифметичного) знаходять як:

або

Тобто, при зменшенні об'єму даних (n), по якому знаходиться оцінка для , значення Стьюдента різко зростають, але вже при n8 відмінності квантілів розподілу Стьюдента від нормального розподілу () складають вже менше 20%.

12. ЗАДАЧА ДОДАВАННЯ ПОХИБОК, ЇЇ НЕОБХІДНІСТЬ ТА ПРОБЛЕМИ ЇЇ ВИРІШЕННЯ. РЕЗУЛЬТУЮЧА АБСОЛЮТНА ПОХИБКА

Задача визначення розрахунковим шляхом оцінки сумарної похибки по відомим оцінкам її складових називається задачею додавання похибок і виникає в багатьох випадках.

До основних випадків відносяться:

- визначення основної похибки окремого ЗВ при його метрологічній атестації, коли необхідно скласти систематичну та випадкові її складові;

- визначення експлуатаційної похибки ЗВ, коли необхідно скласти основну похибку та додаткові (від зміни температури, від зміни напруги живлення і впливу інших чинників).

- при утворенні вимірювальних каналів, інформаційно-вимірювальних систем (ІВС) постає задача додавання похибок ряду вимірювальних перетворювачів, які утворюють даний вимірювальний канал;