Использование программы APM Beam для расчета балок с двусвязным поперечным сечением

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Дальневосточный государственный университет путей сообщения»

Естественно-научный институт

Кафедра «Вычислительная техника и компьютерная графика»

Использование программы APM Beam для расчета балок с двусвязным поперечным сечением

Студент 943 гр. Н.А. Сахарова

Преподаватель О.П. Ткаченко

Хабаровск 2019

СОДЕРЖАНИЕ

• Введение
• 1. Теоретические сведения
• 1.1 Балки в строительстве
• 1.2 Основные сведения
• 1.3 Напряжения в поперечном сечении
• 2. Практическая часть
• 2.1 Расчёт балки с двусвязным поперечным сечением
• 2.2 Расчёт балки с помощью APM Beam
• Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ

В данной курсовой работе рассматриваются теоретические вопросы, связанные с расчетом балки на прочность при прямом изгибе, балка с двусвязным поперечным сечением рассчитывается сначала аналитически, а затем с помощью программы APM Beam.

Данная тема актуальна, так как балки повсеместно используются при строительстве зданий и сооружений, при устройстве кровли, при постройке перекрытий. Очень важно рассчитать балку на прочность, так как она является элементом несущей конструкции и от её прочности зависит надёжность всего здания или сооружения. Чтобы облегчить расчёт балки при проектировании используются специализированные программы, такие как APM Beam. При выполнении курсовой работы соблюдались необходимые требования для оформления различных работ [3].

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рассмотрим некоторые определения и понятия, которые необходимо знать при расчете балки на прямой изгиб.

Брус, работающий на изгиб называется балкой.

Балки по способу закрепления разделяются на несколько типов. Первый - это консоль, когда балка имеет жесткую заделку с одного из двух концов. Второй - это двухопорная балка на шарнире, когда одон конец балки жестко закреплен, а другой находится на шарнирной опоре. Третий тип - двухопорная балка с консолью. С одной стороны эта балка закреплена жестко, с другой она не закреплена, а между концами балки находится шарнирная опора.

1.1 Балки в строительстве

В строительстве используется другое определение балки. Балка представляет собой составной линейный элемент несущей конструкции, имеющий минимум две точки опоры (опирается на оба конца) и работающий на изгиб[1]. Использование балки направлено в первую очередь на распределение весовой нагрузки всей конструкции. Наиболее часто применяется горизонтальное использование балки, которая компенсирует вертикальную поперечную нагрузку. А само весовое давление балки компенсируется вертикальными элементами, горизонтальная поверхность которых является точкой опоры для балки. Последующая компенсация приходится на опоры конструкции, если отсутствуют дополнительные промежуточные элементы. Таким образом, взаимокомпенсация весовых нагрузок позволяет обеспечить устойчивость и надежность всей конструкции.

По виду торцевых сечений балки разделяются на несколько типов [1]:

- Сечение прямоугольного типа, целесообразно в использовании в пролетах с малой длиной;

- Сечение «L»-типа, применение целесообразно при конструировании фасадов сооружений;

- Стандартные и двускатные тавровые балки (сечение «T»-типа), подходят для пролетов средней длины;

- Балка двутавровая, имеет повышенную устойчивость и используются для длинных пролетов;

- Сечение «V»-типа используются в качестве дополнительного элемента для усиления несущей конструкции;

- Сечение коробчатого типа;

- Сечение «VT»-типа используется в качестве прогонов.

1.2 Основные сведения

Плоскость, проходящая через продольную ось балки и одну из главных центральных осей инерции ее поперечного сечения, называется главной плоскостью инерции балки (Рисунок 1).

балка двусвязное поперечное сечение

Рисунок 1 - Плоскости балки

Плоскость действия сил называется силовой плоскостью.

Линия пересечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения называется силовой линией [4].

Деформация плоский прямой изгиб имеет место в случае действия на брус уравновешенной системы перпендикулярных его оси сил, плоскость действия которых совпадает с главной плоскостью инерции балки.

Рассмотрим механизм деформации (Рисунок 2).

Рисунок 2 - Деформация

В результате прямого изгиба [6]:

- Продольная ось балки искривляется, превращаясь в плоскую кривую, расположенную в силовой плоскости. Это отличительная особенность деформации прямой изгиб от других видов простого сопротивления: например растяжения (сжатие), кручения, при которых продольная ось оставалась прямолинейной.

- Все волокна балки искривляются, не оказывая давления друг на друга; при этом с выпуклой стороны они претерпевают растяжение; а с вогнутой - сжатие. Это означает, что каждый элемент волокна испытывает центральное растяжение или сжатие.

- Поперечные сечения балки поворачиваются вокруг главной центральной оси, перпендикулярной силовой линии, оставаясь при этом плоскими и перпендикулярными деформированной оси балки.

В зависимости от схемы нагружения балки в ее поперечных сечениях могут возникать один внутренний силовой фактор - изгибающий момент Мх или два внутренних силовых фактора - изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy [5].

Случай изгиба, при котором в поперечном сечении действует только изгибающий момент, называется чистым изгибом. Изгиб, при котором в поперечных сечениях действуют одновременно и поперечная сила, и изгибающий момент, называется поперечным изгибом [4].

С точки зрения внутренних сил упругости поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных к сечению сил упругости

,

изгибающий момент есть момент результирующей пары внутренних, нормальных к сечению сил упругости

.

Для расчета на прочность балок необходимо знать наибольшее значение Q и M и положение сечений, в которых они действуют (опасных сечений). С этой целью определяют значения Q и M в так называемых характерных сечениях балки и строят эпюры «Q» и «М». Эпюрой поперечных сил (изгибающих моментов) называется графическое изображение закона изменения величины поперечной силы (изгибающего момента) по длине балки [6]. Характерными сечениями (точками) балки являются:

- Концевые сечения балки;

- Сечения в которых приложены нагрузки (точки приложения сосредоточенных сил и моментов, начало и конец действия распределенной нагрузки).

Чтобы определить величину поперечной силы и изгибающего момента необходимо сделать следующее:

1. Определить опорные реакции балки.

2. Обозначить характерные точки.

3. Мысленно разрезать балку сечением, отбросить более сложную часть балки (ту к которой приложено больше сил), и составить выражение для определения Q (а затем М) для оставшейся (отсеченной) части балки пользуясь нижеследующими правилами.

Правила для определения поперечной силы:

1. Поперечная сила Qy численно равна алгебраической сумме проекций на ось Y всех внешних сил, приложенных к отсеченной части балки.

2. Если при подходе к сечению слева внешняя сила направлена снизу вверх, то ее следует взять со знаком «+», а если сверху вниз - то со знаком «-» (Рисунок 3).

Рисунок 3 - Знаки для поперечной силы

Правила для определения изгибающего момента:

1. Изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части балки, относительно центра тяжести рассматриваемого сечения: , где точка с - центр тяжести рассматриваемого сечения.

2. Правило знаков. Если внешняя сила изгибает балку относительно рассматриваемого сечения выпуклостью виз, то ее момент следует взять со знаком «+», а если выпуклостью вверх, то со знаком минус (Рисунок 4).

Рисунок 4 - Правило знаков для моментов

Правило знаков для изгибающего момента может иметь и другое истолкование. Если внешняя сила стремиться повернуть отсеченную часть балки по часовой стрелке, относительно рассматриваемого сечения при подходе к сечению слева, то ее момент следует взять со знаком «+», а если против часовой стрелки, то со знаком «-». При подходе к сечению справа используется обратное правило знаков [6].

При построении эпюры «Q» положительные значения откладывают вверх, а отрицательные вниз от оси. При построении эпюры «М» положительные значения откладывают вверх от оси, а отрицательные вниз, т.е. эпюра изгибающих моментов строится со стороны сжатых волокон балки. По окончании построения эпюр «Q» и «М» необходимо проверить правильность их построения.

Правила контроля эпюр «Q» и «М» вытекают из дифференциальных зависимостей Журавского между q, Q и М и основаны на геометрическом смысле I производной. Первая производная от данного значения функции по данному значению аргумента есть тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна данному значению аргумента. Так, например, на основании зависимости q= dQ/dz следует, что если q = 0, то и угол наклона касательной к графику функции«Q» (эпюра «Q») равен 0, т.е. эпюра «Q» изображается прямой, параллельной оси эпюры (Рисунок 5). Если q ? 0, и q = const это означает что касательная к графику функции Q (к эпюре «Q») имеет постоянный угол наклона, а это значит, что эпюра «Q» изображается прямой, наклонной к оси эпюры (Рисунок 5).

Рисунок 5 - Проверка эпюр Mx и Qy

Аналогично использование зависимости: Q = dM/ dz. Правила контроля эпюр основаны также и на свойстве первой производной: если первая производная положительна, то функция возрастает; если первая производная отрицательна - то убывает [6].

Экстремум (максимум или минимум) функции имеется при тех значениях аргумента, при которых первая производная равна нулю, т.е. касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (Рисунок 6).

Рисунок 6 - Касательные к графику функции

Основываясь на выше рассмотренном, правила контроля эпюр можно свести к следующему.

Контроль эпюры «Q» (производится слева направо). Предположим, что материальная точка стремится двигаться по горизонтальной линии, на которой построена эпюра «Q», начиная от точки, соответствующей левому концу балки, и кончая точкой, соответствующей правому, но, попадая на линию действия силы, она смещается этой силой на величину силы по направлению ее действия.

Контроль эпюры «М». В сечениях балки, где действует сосредоточенный момент на эпюре, имеется скачек, равный по величине этому моменту. На участках балки, свободных от распределенной нагрузки, эпюра «М» изображается прямой, наклонной оси эпюры. На участках балки, где действует распределенная нагрузка, эпюра «М» изображается параболой, выпуклость которой обращена в сторону противоположную действию нагрузки q. В сечениях, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре «М» имеется излом, острие которого направлено в сторону противоположную действию силы. Если поперечная сила положительна, то изгибающий момент возрастает, если отрицательна, то убывает.

Общий порядок определения величины поперечных сил и изгибающих моментов:

1. Составляется расчетная схема балки с изображением действующих на нее внешних сил активных и реактивных и определяется величина неизвестных опорных реакций (для консолей определять реакции не обязательно).

2. Балка разбивается на участки, границами которых являются:

- точки приложения сосредоточенных сил;

- точки приложения сосредоточенных пар сил;

- начало и конец распределения нагрузки, проводится ось эпюры, параллельно оси балки.

Границы участков переносятся на ось эпюры.

3. На каждом участке составляются уравнения для изгибающего момента «М» и поперечной силы «Q» согласно зависимости 1 и 2 и правилам знаков.

4. По полученным уравнениям определяются значения «М» и «Q» для характерных точек (границ участков). По полученным значениям «Q» и «М» строят график зависимости Q и М от Z. При этом положительные значения поперечной силы и изгибающего момента откладываются вверх от оси (эпюра М строится на сжатых волокнах).

5. Если на каком-либо участке эпюра «Q» изменяясь по линейному закону пересекает ось эпюры в точке К, следовательно в этой точке Q = 0, и здесь необходимо определить экстремальное значение М.

1.3 Напряжения в поперечном сечении

В случае прямого поперечного изгиба в поперечных сечениях балки возникают нормальные (у) и касательные (ф) напряжения. Нормальные напряжения распределяются по высоте по линейному закону и в любой точке сечения определяются по формуле [4]:

где Мх - изгибающий момент, действующий в данном сечении (берется из эпюры «М»);

Jх - осевой момент инерции сечения относительно нейтральной оси;

y - расстояние от точки, в которой определяется напряжение, до нейтральной оси.

Знак у напряжения устанавливается исходя из характера деформации балки. Если точка находится в растянутой зоне, то напряжение у в этой точке имеет знак «+», а если в сжатой зоне, то «-». При положительном изгибающем моменте балка искривляется выпуклостью вниз(Рисунок 7 а, б), то есть точки а и в находятся в растянутой зоне и напряжение в этих точках положительны: уа > 0; уb > 0, а напряжение в точках, расположенных выше нейтральной оси отрицательны ус < 0.

При отрицательном изгибающем моменте (Рисунок 7 в) точки а и в сечения находятся в сжатой зоне и нормальные напряжения в этих точка отрицательны [6].

Рисунок 7 - Эпюры нормальных (у) и касательных (ф) напряжений

Расчёт различных параметров в зависимости от сечения представлены на рисунке 8.

Рисунок 8 - Расчётные формулы

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Расчёт балки с двусвязным поперечным сечением

В данном подразделе будет рассчитана балка с двусвязным поперечным сечением. Для данной задачи в качестве двусвязного сечения выберем коробчатое сечение. Задание звучит следующим образом:

Построить эпюры внутренних усилий в стальной балке (Рисунок 9), если F=80кН, q=60 кН/м, M = 30кНм, l = 1,6м. Из условия прочности по нормальным напряжениям Мпа подобрать размеры коробчатого поперечного сечения балки (Рисунок 10), при этом h = 1,5b, t=0,1b.

Рисунок 9 - Схема балки

Рисунок 10 - Схема поперечного сечения балки

Решение:

Определим реактивные силы из уравнений равновесия балки [2]:



(1)

(2)

Из уравнения (1) выразим :

.

Из уравнения (2) выразим :

Подставим численные значения для вычисления

Подставим численные значения для вычисления

Проверка:

Определим внутренние усилия в характерных сечениях силовых участков. Границы участков - точки приложения сосредоточенных сил и пар сил, начало и конец распределенной нагрузки [6].

Рассматриваемая балка имеет 3 участка: I - BC, II - CD, III - DK.

Построение эпюры Q (Рисунок 11).

Участок BC - рассмотрим балку на расстоянии от левой опоры, т.е.

Составим уравнение проекций всех сил, расположенных слева от сечения на ось y (ось y направлена вверх):

То есть величина не зависит от z,

Следовательно, эпюра Qy на участке BC имеет вид прямой, параллельной оси z.

Участок CD: Рассмотрим отсеченную часть балки:

Величина не зависит от z,

Следовательно, эпюра Qy на участке CD имеет вид прямой, параллельной оси z.

Участок KD - с правого конца балки: . На этом участке:

При z1 = 0 м,

При z1 = 1.6 м,

Эпюра Qy на участке KD имеет вид наклоненной к оси эпюры прямой, которая пересекает эту ось в некоторой точке , в которой Qy=0. Определим расстояние от этой точки до точки D:

Эпюра Qy представлена на рисунке 11.

Рисунок 11 - Эпюра поперечных сил

Построение эпюры изгибающих моментов М.

Участок ВС: рассмотрим балку на расстоянии от левой опоры, т.е.

момент не зависит от z. Тогда:

M.

Участок СD:

M.

Участок КD: - с правого конца балки: . На этом участке:

M.

Вычислим экстремальное значение изгибающего момента на участке КD. Зная точку , в которой Qy = 0, можно найти экстремум изгибающего момента:

По вычисленным трём точкам можно построить параболу. В результате построена эпюра изгибающих моментов на рисунке 12.

Рисунок 12 - Эпюра изгибающих моментов

Согласно эпюре изгибающих моментов опасным является сечение С в котором М_с = М_max = 48.3 кН м. Условие прочности по нормальным напряжениям для данной балки имеет вид [2]:

Определим расчётное значение осевого момента сопротивления:

Подберем размеры поперечного сечения [2]:

где ,

Примем b = 12.1 см, h = 18,15 см, тогда

Формула перенапряжения [2]:

Посчитаем перенапряжение в опасных точках:

Ответ: b = 12.1 см, h = 18.15 см,

2.2 Расчёт балки с помощью APM Beam

Рассчитаем балку из ранее сформулированной задачи при помощи программы APM Beam.

Сначала построим балку длиной 4,8 м (Рисунок 13).



Рисунок 13 - Сегмент балки

Построим сечение балки (Рисунок 14).

Рисунок 14 - Сечение балки

Далее расставим реакции опоры для балки, на левом конце балки жёсткая заделка, на правом конце шарнирная опора. Зададим распределенную нагрузку начиная от 3.2 м до 4.8 м величиной 60 кН/м. Расставим сосредоточенные силы F, первую на расстоянии 1.6 м от начала балки, вторую на расстоянии 3.2 м. Направление сил задаётся в соответствии со схемой балки из условия задачи. Модуль силы F = 80 кН. Кроме того, на левом конце балки задаётся момент М = 30 кН м в направлении против часовой стрелки. Результирующую схему можно увидеть на рисунке 15.

Рисунок 15 - Схема балки в APM Beam

После того, как все построения сделаны, можно приступать к расчёту. Для этого в меню расчёт выбирается статический расчёт, после этого нажимается кнопка Ок и программа делает статический расчёт. После этого в меню результаты можно построить эпюры момента изгиба, поперечных сил по вертикальной оси, а также рассчитать реакции опор. Реакции опор в точке B R_B= 48,9 кН, в точке К R_K = 47,1 кН.

Таблица 1 - Момент изгиба в вертикальной плоскости

Индекс точки	Расстояние, мм	Момент изгиба, Н x м
1	0.00000	-30000.00000
33	1536.00000	46204.46526
34	1584.00000	47524.86548
35	1632.00000	48298.26570
36	1680.00000	47405.66591

Таблица 2 - Поперечные силы в вертикальной плоскости

Индекс точки	Расстояние, мм	Поперечная сила, Н
1	0.00000	0.00000
34	1584.00000	48900.00000
35	1632.00000	-31100.32882
67	3168.00000	-31100.32882
68	3216.00000	48900.00000
100	4752.00000	-47100.00000

Эпюра момента изгиба в вертикальной плоскости представлена на рисунке 16.

Рисунок 16 - Эпюра момента изгиба

Эпюра поперечных сил в вертикальной плоскости представлена на рисунке 17.

Рисунок 17 - Эпюра поперечных сил

Итак, все необходимые эпюры построены.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения курсовой работы рассмотрены теоретические вопросы, определения и формулы, связанные с расчетом балки на прочность при прямом изгибе, балка с двусвязным поперечным сечением рассчитана на прочность при прямом изгибе сначала аналитически, а затем с помощью программы APM Beam.

В перспективе хотелось бы ознакомиться с расчётом балки на прочность при прямом изгибе для других сечений и в других программах, например, таких, которые используются при твердотельном моделировании или при проектировании зданий и сооружений строителями.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Балка: сущность, основные виды, целесообразность использования, рекомендации. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://viascio.ru/materialy/balka-sushhnost-osnovnye-vidy-tselesoobraznost-ispolzovaniya-rekomendatsii - (дата обращения 20.03.2019).

2. Балки. Плоский изгиб. Пример расчёта | Сопромат. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://sopromatpro.ru/lekcii-2/balki-ploskiy-izgib-primer-rascheta/- (дата обращения: 20.03.2019).

3. «Выпускная квалификационная работа», составители: В. Н. Гопкало, О. А. Графский.

4. «Сопротивление материалов: Учебник для вузов», составители: А.В. Александров, В. Д. Потапов, Б.П. Державин; Под ред. А.В. Александрова. - 3е издание, исправленное. - М.: Высшая школа, 2003 - 560 с.: ил.

5. «Сборник задач по сопротивлению материалов», составители: Н.М. Беляев, Л.А. Беляевский, В. К. Качурин и др. - 11е издание, стереотипное. - «Наука», 1968 - 349 с.: ил.

6. «Расчёт на прочность и жесткость балки при прямом изгибе: методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Сопротивление материалов», составители: С. Г. Корзун, А.В. Белов, Н. Г. Неумоина. - Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2012. - 47 с.

РЕЦЕНЗИЯ

на курсовую работу на тему «Использование программы APM Beam для расчёта балок с двусвязным поперечным сечением» студента 943гр. Сахаровой Надежды Алексеевны

		Да	Нет
1.	Курсовая работа выполнена в соответствии с требованиями и задачами курсового проектирования.
2.	Курсовая работа выполнена в соответствии с заданием.
3.	Кроме основных разделов содержит самостоятельные решения поставленной задачи.
4.	Расчетная часть выполнена в полном объеме.
5.	Расчетная часть не содержит технических ошибок.
6.	Пояснительная записка выполнена в соответствии со Стандартом ДВГУПС СТ 03-04.
7.	Графический материал выполнен в соответствии со Стандартом ДВГУПС СТ 03-04.

Курсовая работа при соответствующей защите заслуживает оценки «_».

Рецензент: преподаватель, Ткаченко Олег Павлович

__________(подпись)

Размещено на Allbest.ru