Расчет прямой балки на прочность и жесткость. Построение эпюр

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1. Геометрические характеристики плоских сечений

Цель работы: Развитие навыков самостоятельного расчета геометрических характеристик, закрепление знаний основных теоретических зависимостей между геометрическими характеристиками плоских сечений.

Задача 1

Для данного плоского сечения с одной осью симметрии определить:

- положение центра тяжести сечения;

- положение главных центральных осей;

- главные центральные моменты инерции.

Дано:

Сечение согласно рисунку 1,

1. Вычерчиваем заданное сечение в масштабе, с указанными размерами, выбираем вспомогательные оси координат z, y, параллельные сторонам сечения.

2. Наносим на чертеж центры тяжести каждой простой фигуры и определяем их координаты относительно выбранной системы координат ; i=1, 2,…., n.

3. Определяем в выбранной системе координат z, y положение центра тяжести с составного сечения:

4. наносим на чертеж центр тяжести С и центральные оси составного сечения с началом в центре тяжести С.

5. Определяем для каждой простой фигуры осевые моменты инерции .

6. Находим осевые и центробежные моменты инерции сечения относительно его центральных осей .

Задача 2

Для заданного плоского несимметричного сечения, составленного из двух прокатных профилей, определить:

- положение центра тяжести сечения,

- положение главных центральных осей,

- главные центральные моменты инерции.

Дано:

Сечение профилей согласно рисунку 3,



Данные сечения профиля 1 и 2 согласно таблице 1:

Таблица 1

Название профиля	m, кг·м	h, мм	b, мм	s, мм	t, мм	А1, смІ	Jx см	Wx см	Ix см	Sx см	Jy см	Wy см	Iy см	z0 см
Швеллер №20	18,4	200	76	5,2	9,0	23,4	1520	152	8,07	87,8	113	20,5	2,20	2,07
Швеллер №18	16,3	180	70	5,1	8,7	20,7	1090	121	7,24	69,8	86	17,0	2,04	1.94

1. Вычерчиваем заданное сечение в масштабе, указываем размеры, выбираем вспомогательные оси координат z, y, параллельные сторонам сечения.

2. Наносим на чертеж центры тяжести каждой простой фигуры и определяем их координаты относительно выбранной системы координат ;



3. Определяем в выбранной системе координат z, y положение центра тяжести составного сечения:

4. Определяем для каждой простой фигуры осевые моменты инерции и центробежный момент инерции относительно центральных осей фигуры по таблицам ГОСТов моментов инерции прокатных профилей.

5. Находим осевые и центробежные моменты инерции сечения относительно его центральных осей.

6. Находим положение главных центральных осей составного сечения и наносим их на чертеж.

7. Определяем главные центральные моменты инерции составного сечения .

Проверяем правильность вычисления:

а) 1047,19+5783,25 = 5571,94+1258,5

6830,44 = 6830,44

б)

Задание 2. Внутренние силовые факторы

Задача 1

Для стержня построить эпюры продольных сил

Дано:

1. Находим реакцию заделки NА

-N_A+F₃+F₂+F₁+q•0,6; N_A =12+20+50+30•0,6=100кН

2. Разбиваем стержень на участки

Сечение I-I (л.ч.) 0?x?0,3

-N_A+N_x1=0 ; N_x1=100кН

Сечение II-II (л.ч.) 0?x?0,6

-N_A+ F₃+q•x+ N_x2=0

При х=0, N_x2=N_A- F₃=100-12=88кН

х=0,6, N_x2= N_A- F₃-0,6q=100-12-18=70кН

Сечение III-III (п.ч.) 0?x?0,6

N_x3- F₂-F₁=0, N_x3= F₂+F₁=20+50=70кН

Сечение IV-IV (п.ч.) 0?x?0,3

N_x4-F₁=0, N_x4= F₁=50кН

Задача 2

Для вала построить эпюры крутящих моментов

Дано:

1. Находим М0

2. Разбиваем вал на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0?x?0,6

Сечение II-II (л.ч.) 0?x?0,3

Сечение III-III (л.ч.) 0?x?0,3

Сечение IV-IV (л.ч.) 0?x?0,6

Задача 7

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, для балки

Дано:

1. Опоры заменяем соответствующими реакциями, и находим их.

2. Разбиваем балку на участки

Сечение I-I (л.ч.) 0?x?1,5

Сечение II-II (л.ч.) 0?x?1,5

Задача 3

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, для балки

Дано:

1. Находим реакции заделки.

2. Разбиваем балку на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0?x?3

Задача 4

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, для балки

Дано:

1. Опоры заменяем соответствующими реакциями, и находим их.

2. Разбиваем балку на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0?x?2,3

При х=0:

Сечение II-II (л.ч.) 0?x?1

Задача 5

Построить эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов, для рамы

Дано:

1. Находим реакции опор.

1. Разбиваем раму на участки

Сечение I-I (п.ч.) 0?x?0,8

Сечение II-II (п.ч.) 0?x?1,5



Сечение III-III (л.ч.) 0?x?2,2

Сечение IV-IV (л.ч.) 0?x?1,5



Проверяем равновесие узлов

Узел С:

Узел D:

Задача 6

Построить эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов, для рамы

Дано:

2. Находим реакции опор

балка сечение прочность жесткость

1. Разбиваем раму на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0?x?2,3

Сечение II-II (л.ч.) 0?x?1

Сечение III-III (п.ч.) 0?x1,1



Сечение IV-IV (п.ч.) 0?x?1,1



Проверяем равновесие узлов

Узел С:



Задание 3. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении - сжатии прямого стержня

Задача 1

Для стержня

- построить эпюры продольной силы N, нормальных напряжений у, перемещение поперечных сечений u.

- определить площадь поперечного сечения стержня из условия прочности.

Дано:

[у] = 160 МПа, Е= МПа

1. Находим реакцию заделки NА.

-NA -F1+F2+q•0,5=0; NA= -F1+F2+q•0,5=-50+25+25=0кН

2. Разбиваем стержень на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0?x?0,5

-NA+Nx1; Nx1= NA=0кН

Сечение II-II (л.ч.) 0?x?0,5



-NA+q•x+Nx2=0; Nx2= NA-q•x ; Nx2/x=0=0кН; Nx2/x=0,5=-25кН

Сечение III-III (п.ч.) 0?x?0,5

Nx3+F1=0; Nx3=-50кН

[у] = 160 МПа, уmax=50/A МПа

3. Перемещение поперечных сечений

; ;

;

;;

;

; ;



Задача 2

Для стального стержня ступенчатого стержня (Е=2•10⁵МПа) круглого сечения, жестко закреплённого одним концом и нагруженного сосредоточенными силами, требуется:

- Определить реакцию заделки;

- построить эпюры продольной силы N, нормальных напряжений у, перемещение поперечных сечений u;

- определить общее удлинение (укорочение) стержня;

- определить прочность стержня, [?]=160МПа;

- дать характеристику напряженного состояния.

Дано:

[у] = 160 МПа, Е= МПа.

1. Находим реакцию заделки N_А.

-N_A +F₁+F₂+F₃=0; N_A= F₁+F₂-F₃=11+11-16,5=5,5кН

2. Разбиваем стержень на участки.

Сечение I-I (л.ч.) 0?x?0,13

-N_A+N_x1; N_x1= N_A=5,5кН

Сечение II-II (л.ч.) 0?x?0,2

-N_A +N_x2+F₁=0; N_x2= N_A- F₁; N_x2=-5,5кН;

Сечение III-III (п.ч.) 0?x?0,6

N_x3+F₃=0; N_x3=-16,5кН

[у] = 160 МПа, у₁=5,5•10³/2,2•10^-4=25 МПа

у₂=-5,5•10³/2,2•10^-4=-25 МПа

у3=16,5?10³/4,4•10^-4=-37,5 МПа

Перемещение поперечных сечений.

;

;

;

;

;

Задача 3

Для стержневой системы требуется:

- найти внутренние усилия в стержнях 1 и 2 и построить эпюры продольных сил N;

- определить площади поперечных сечений стержней 1 и 2 из условия прочности, найти размеры d,а;

- найти перемещение точки В.

1) Определяем внутренние усилия в стержнях 1 и 2:

N_x1-F•sin60?=0> N_x1=F•sin60?=20•0,866=17,32кН

N_x2-F•cos60?=0> N_x2=-F•cos60?=-20•0,5=-10кН

2) Определяем площадь поперечного сечения стержней 1 и 2 из условия прочности, находим размеры d,a.

[?]?N_x1/A> A₁= N_x1/[?]=17,32•10³/140•10⁶=1,24см²

[?]?N_x2/A> A₂= N_x2/[?]=10•10³/140•10⁶=0,7см²

А₁=р?d²/4> d=v4A/р=1,26см

А₂=а² > а=vА=0,84см

3) Определяем перемещение точки В:

?l₁= N_x1•x/A•E=17,32•1,1•10³/0,8•10¹¹•1,24•10^-4=19,21•10^-4м

?l₂= N_x2•x/A•E=-10•0,64•10³/0,8•10¹¹•0,7•10^-4=-11,42•10^-4м

Задание 4. Расчеты на прочность и жесткость при кручении прямого вала

Цель работы: усвоение методики расчета на прочность и жесткость прямых стержней (валов) при кручении

Задача 1

Для вала, требуется:

- найти момент М₀;

- построить эпюры крутящего момента и максимальных касательных напряжений;

- определить из условия прочности диаметр вала;

- найти углы закручивания на участках вала и полный угол закручивания вала. Построить эпюру углов закручивания по длине вала.

Данные: a = 0,2м;

М₁ = 400Н•м; М₂ = 320Н•м; М₃ = 320Н•м; М₄ = 0Н•м;

[ф] = 25МПа; G = 8•10⁴ МПа.

Схема вала:

Ход работы.

1. Составить уравнение равновесия внешних моментов относительно оси вала и найти момент заделки:

?М =0: - М_а - М₁ + М₂ + М₃ - М₄ = 0;

М_а = -400 + 320 + 320=240Н•м.

М_а =240Н•м

2. Разбить вал на участки и методом сечений определить крутящий момент и касательные напряжения на каждом участке:

где j - номер участка;

М_i - внешние моменты, приложенные к отсеченной части вала.

· Сечение I - I (в. ч.) (0 ? x₁ ? 0,2)

М_кр1¦₀ = М_кр1¦_0,2 =240 Н•м;

ф₁¦₀ = ф ₁¦_0,2 = М₁/W_p= 240/W_p

· Сечение II - II (в. ч.) (0 ? x₂ ? 0,2)

М_кр2¦₀ = М_кр2¦_0,2 = М₁-М₂ = 80 Н•м;

ф ₂¦₀ = ф ₂¦_0,2 = 80/W_p

· Сечение III - III (в. ч.) (0 ? x₃ ? 0,8)

М_кр3¦₀ = М_кр3¦_0,4 = М₁-М₂-М₃= -1,5 + 1,5= 0 кН•м;

ф ₃¦₀ = ф ₃¦_0,8 = 0/W_p

· Сечение IV - IV (в. ч.) (0 ? x₄ ? 0,8)

М₄¦₀ = М₄¦_0,8 = - М_a - М₁ + М₂+ М₃= 400-320-320 = -240 Н•м;

ф ₄¦₀ = ф ₄¦_1.2 = -240/W_p.

Эпюра касательных напряжений:



3. Построить эпюры крутящих моментов и наибольших касательных напряжений. Найти опасное сечение вала из условия прочности:

ф _max = M_{k max} / W_p ? [ф],

отсюда

W_p ? M_{k max} /[ф] = 400 / 25 ?10⁶ = 16•10^-6 м³ =16см³

W_p = рd³/16 - момент сопротивления сечения при кручении, для круглого сечения, следовательно

Подбираем ближайший диаметр - d_пр=50мм.

W_p = 3,14•(5)³ / 16 = 24,5cм³ = 24,5•10^-6 м³

Определяем на каждом участке касательные напряжения:

ф₁¦₀ = ф ₁¦_0,2 = 400/24,5•10^-6 = 16,32МПа;

ф ₂¦₀ = ф ₂¦_0,2 = 80/24,5•10^-6 =3,2МПа;

ф ₃¦₀ = ф ₃¦_0,4 = -240/24,5•10^-6=9,8МПа;

4. Определить угол закручивания на каждом участке по формуле:

,



где М_kj - крутящие моменты на участках;

l_j - длина участков;

G - модуль сдвига, G = 8•10⁴ МПа;

J_p - момент инерции при кручении

J_p = р?d⁴/32 = 3,14•0,05⁴ / 32 = 6,13•10^-7м³

· сечение I-I (л. ч.) (0 ? l₁ ? 0,4)

· сечение II-II (л. ч.) (0 ? l₂ ? 0,2)

· сечение Ш-III (л. ч.) (0 ? l₃ ? 0,2)

Задание 5. Расчеты на прочность и определение перемещений балок при изгибе

Цель работы - усвоение методики расчета на прочность балок при прямом изгибе.

Задача 1

Для балки требуется:

- построить эпюру поперечной силы и изгибающего моментов;

- из условия прочности определить размеры прямоугольного и двутаврового сечений балки и сравнить балки с этими сечениями по расходу материала;

- определить наибольшие касательные напряжения в обоих сечениях балки, проверить выполнения прочности по касательным напряжениям;

- построить эпюры нормальных и касательных напряжений в опасном сечении балки.

Данные: F₁ = 24kH; F₂ = 8kH; h/b = 2,5;

M₁ = 12кН*м; M₂= 10kH*м;q=8kH/ м, а=1,4м, в=2,6м

[у] = 160МПа.,[ф]=0,5[у]

Схема балки:

Ход работы

1. Определить реакции опор:

?М_А = 0: -q•2,6•2,7+F•1,4-M+М_з = 0;

М_з = q•2,6•2,7-F•1.4+ М =56.16+ 10-33,6 = 32,56кН.

?y = 0: R_B -q•2,6+F= 0;

R_B =q•2,6-F= -3,2кН.

2. Разбить вал на участки, ось x совместить с продольной осью балки, а начало координат взять на левом конце балки. Составить аналитические выражения поперечной силы и изгибающего момента в продольном сечении на каждом участке:

· Сечение I - I (л. ч.) (0 ? x₁ ? 2.6)

Q_y = q• x₁;

Q₁¦₀ = q• 0= 0кН;

Q₁¦_2,6 = q• 2,6=20,8кН.

M_z = -М- q• x₁²/2;

М₁¦₀ = -10 кН•м

М₁¦_1,0 = -10 - 8•2,6²/2 = -37,04 кН•м

· Сечение II - II (п. ч.) (0 ? x₂ ? 1,4)

Q_y = R_В;

Q₂¦₀ = Q₂¦_1,4 = 3,2 кН.

M_z = R_В•x₂;

М₂¦₀ = -М_з +R_В•x₂ =-М_з =32,56кН•м

М₁¦_1,4 = -37,04 кН•м.

3. Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента

4. По эпюре изгибающего момента найти опасные сечения, в котором возникает наибольший изгибающий момент M_{z max}. Из условия прочности по нормальным напряжениям определить момент сопротивления поперечного сечения балки:



у _max = M_{z max} / W_p ? [у],

отсюда

W_z ? M_{z max} /[у] = 37,04•10³ / 160 •10⁶ = 0,23•10^-3 м³ =230см³

a) По найденному значению W_z находим размеры поперечного сечения:

W_z = b•h²/6,

где h=2,5b, отсюда W_z = b•(2,5b) ²/6 следовательно:

b = 6•10^-2м.

h = 2,5•b = 2,5•6•10^-2 = 15•10^-2м,

h = 15•10^-2м.

b) Подбираем по таблице номер стандартного двутаврового сечения:

номер двутавра - №22, W_z = 230 см³.

с) Сравниваем балки с заданными сечениями по расходу материала:

площадь прямоугольника:

A₁ = h•b = 6•15•10^-2 = 98•10^-4 м² =90 см²,

площадь двутавра:

A₂ = 30,6см²,

n = A₁/ A₂ = 90 / 30,6 = 2.9

Двутавр экономичнее прямоугольного сечения в 2,9 раз.

5. Определить наибольшее касательное напряжение в точках поперечного сечения, лежащих на нейтральной линии.

а) касательное напряжение прямоугольника:

где Q_y - наибольшая поперечная сила, определяемая по эпюре поперечных сил, Q_y = 20,8•10³ кН.

А - площадь прямоугольника, A₁=90•10^-4 м².

b) касательное напряжение двутавра:



где Q_y - наибольшая поперечная сила, определяемая по эпюре поперечных сил,

Q_y = 20,8•10³ кН,

S_z^отс- статический момент полусечения, S_z^отс = 131 см³,

J_z - осевой момент инерции, J_z = 2550см⁴ =2790•10^-8м,

b_y - ширина поперечного сечения по нейтральной линии,

b_y = 5.4мм = 5.4•10^-3м

,

[у] = 160МПа, [ф] = 80МПа,

ф^max = 3,5МПа ? 80МПа

ф^max = 19,8МПа ? 80МПа

Прочность по касательным напряжениям обеспечено.

6. Построить эпюры у и ф в опасном сечениях.

Все сечения 2 участка равноопасны:

М_z^max = -37,04кН•м = -37,04•10³Н•м,

Q_y^max = 20,8кН•м = 20,8•10³Н.

Для прямоугольника:



Для двутавра:

Ответ: b = 6•10^-2м, h = 15•10^-2м, № 22, ф^max = 3,5МПа, ф^max = 19,8МПа.

Задача 2

Для балки требуется:

- построить эпюру поперечной силы и изгибающего момента;

- определить из условия прочности размеры поперечного квадратного сечения балки;

- определить прогибы и углы поворотов сечений D или C.

Данные: M = 5кН*м; q=8kH/ м, а=1,6м, в=2,4м

[у] = 180МПа.

k = 1,5; q = 2кН/м;

l = 1,2м; [у] = 160МПа; Е = 2,0•10⁵МПа.

Схема балки:



Ход работы

1. Определить реакции опор:

?М_а = 0: -R_B•4 -M+q•2,4•2,8 = 0;

R_B = (-M+q•2,4•2,8)/ 4= 12,19 кНм.

?y = 0: R_B +R_A -q•2,4= 0;

R_A = -R_B +q•2,4 = -12,19 + 8•2,4= 7,01кН

2. Разбить вал на участки, ось x совместить с продольной осью балки, а начало координат взять на левом конце балки. Составить аналитические выражения поперечной силы и изгибающего момента в продольном сечении на каждом участке:

· Сечение I - I (л. ч.) (0 ? x₁ ? 1,6)

Q_y = R_A;

Q₁¦₀ = Q₁¦_1.6 = R_A = 7,01кН;

M_z = F•x₁

М₁¦₀ = 0 кН•м

М₁¦_1,6 = 7,01•1,6 = 11,2кН•м

· Сечение II - II (л. ч.) (0 ? x₂ ? 2,4)

Q_y = -R_B+q•x₂;

Q₂¦₀ =-R_B=-12,19

Q₂¦_2,4 =7,01 кН;

M_z =R_B• x₂-q•x₂• x₂/2;

М₂¦₀ = 0 кН;

М₂¦_2,4 = R_B• x₂-q•x₂• x₂/2= 2,4•12,19- 8•2,4²/2= 6,2 кНм

2. Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента.

4. Из условия прочности находим размер поперечного сечения:

у _max = M_{z max} / W_z ? [у],

отсюда

W_z ? M_{z max} /[у] = 11,2?10³ / 180 •10⁶ = 62•10^-6 м³ =62см³

По найденному значению W_z находим размеры поперечного сечения:

W_z = a³/6,

a = 7,2cм.

Ответ: a = 7,2cм.

Задача 3

Балка изготовлена из материала, у которого [?_р]=[?_с]х. Требуется:

- построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента;

- из условия прочности по нормальным напряжениям найти размер а заданного сечения балки и определить высоту h и ширину b сечения, расположить сечение относительно нагрузки рационально с учетом условия экономичного использования материала;

- построить эпюры нормальных и касательных напряжений в опасных сечениях.

Размещено на Allbest.ru