Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра сопротивления материалов

КУРСОВАЯ РАБОТА

по сопротивлению материалов

Тема: расчет стержневых систем на прочность

и жесткость

УФА 2007

1. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ

1.1 Выбор материала и допускаемых напряжений

1.1.1 Расчет физико-химических характеристик материала

Диаграмма растяжения стали 30ХГСА изображена на рис. 1.1. Образец длиной l₀=60мм и диаметром d₀=6мм разрушился с образованием шейки d₁=4,45мм, что свидетельствует о том, что материал пластичный.

Площадь поперечного сечения образца до испытаний:

;

после разрушения:

.

Относительное остаточное удлинение:

.

Относительное остаточное сужение:

Определим основные характеристики прочности.

Предел пропорциональности:

.

Условный предел текучести:

.

Предел прочности (временное сопротивление у_вр)

1.1.2 Расчет допускаемых напряжений

Допускаемое напряжение [] выбираем, как некоторую долю предельного напряжения _пред, то есть



где n - коэффициент запаса прочности.

Рекомендуемые значения n = 1,5 2,5. Примем n =1,5, тогда

.

1.2 Проектировочный расчет на прочность ступенчатого стержня.

Для ступенчатого стержня, представленного на рис. 1.2, необходимо построить эпюру продольных сил, эпюру напряжений, отнесенную к площади А₀, найти А₀ из условия прочности.

1.2.1 Построение эпюры продольных сил.

Составим уравнение равновесия системы (рис. 1.3 а):

откуда

Разобьем стержень на три участка AB, BC и CD, проведем на каждом из них произвольные сечения 1-1, 2-2, 3-3 с координатами z₁, z₂, z₃ (рис 1.3 а).

Участок AB (0z₁l₂) (рис 1.4 а). Из равновесия оставленной верхней части следует, что

На участке ВС (l₁z₂2l₂) (рис 1.4 б). Из условия равновесия получим

На участке СD (0z₃l₃) (рис 1.4 в). Отбросим нижнюю часть, её действие заменим продольной силой N₃. Из уравнения равновесия следует

По полученным данным строим эпюру ЭN (рис. 1.3 б). Эпюра показывает, что на участке АВ - растяжение, а на участках ВС и СD - сжатие. Скачок в сечении А равен силе Р₁=35кН, в сечении D - продольной силе N₃.

1.2.2 Построение эпюры напряжений

Нормальные напряжения (z) распределяются равномерно по сечению:

где N(z) - продольная сила, A(z) - площадь поперечного сечения.

Для определения положения опасного сечения стержня, в котором возникают максимальные напряжения, определим напряжения в долях 1/А₀.

Участок АВ (0z₁l₂), нормальные напряжения



На участке ВС (l₁z₂2l₂):

Участок СD (0z₃l₃):

По полученным данным строим эпюру ЭА₀ (рис. 1.3 в).

1.2.3 Расчет на прочность. Подбор сечения.

По эпюре напряжений видно, что опасным является сечение В

Условие прочности при растяжении-сжатии имеет вид:

где [] - допускаемое напряжение, которое определено выше для материала Ст30 и равно []=563,8 Мпа.

Тогда условие прочности примет вид

откуда А₀:

Определим напряжения, действующие в сечениях при выбранном значении А₀.

Участок АВ:

Участок ВС:

Участок CD:

По полученным данным строим эпюру действующих в стержне нормальных напряжений Э (рис. 1.3 г).

1.3 Расчет на жесткость стержня постоянного сечения

Для стержня из стали 30Х, площадью поперечного сечения А=8см², представленного на рис. 1.5, необходимо построить эпюры продольных сил и осевых перемещений, выполнить расчет на жесткость.

1.3.1 Построение эпюр продольных сил и перемещений.

Построение эпюры продольных сил. Направим вдоль оси стержня ось z (рис.1.5). Составим уравнение равновесия системы:

Разобьем стержень на 3 участка АВ, ВС и CD, проведем на каждом из них произвольные сечения 1-1, 2-2, 3-3 с заданными координатами этих сечений z₁, z₂, z₃.

Участок АВ (0z₁l₁):

Участок ВС (0z₂l₂):



На участке DC (0z₃l₃) отбросим левую часть, ее действие заменим продольной силой N₃:

По полученным данным строим эпюру ЭN (рис. 1.5).

Построение эпюры перемещений. Запишем уравнения для перемещений w(z) сечений, считая площади сечений известными:

где w₀ - перемещение в начале участка, определяемое начальными условиями; l(z) - удлинение участка (абсолютная деформация участка стержня).

Если продольная сила N(z) зависит от координат сечения z, то:

Для стали 30Х Е=2*10⁵ МПа. В расчетах примем жесткость сечения при растяжении-сжатии ЕА=2*10⁵*8*10²=16*10⁷ Н=16*10⁴ кН.

Рассмотрим участок АВ (0z₁l₁):

Функция w(z₁) - квадратичная парабола. Так как в сечении А - заделка, то w₀=0 и w₁=0,0026мм. Так как в пределах участка АВ продольная сила N₁ не меняет знака, то парабола в пределах участка не имеет экстремума.

Участок ВС (0z₂l₂):

Функция w(z₂) - квадратичная парабола. Так как в пределах участка ВС продольная сила N₂ не меняет знака, то парабола в пределах участка не имеет экстремума.

На участке DC (0z₃l₃):

Функция w(z₁) - линейная.

По полученным данным строим эпюру Эw (рис. 1.5).

1.3.2 Расчет на жесткость.

Условие жесткости при растяжении-сжатии

где L - удлинение стержня, [l] - допускаемое удлинение. В данном случае условие жесткости должно выполняться для участка CD:

Величина [l]=0,001L принимается в долях от суммарной длины L,

Запишем условие жесткости:

Условие жесткости выполняется.

1.4 Расчет на прочность статически неопределимой стержневой системы при растяжении - сжатии

Стержневая система, состоящая из жесткого стержня АЕ и двух других стержней ВС и ВК, нагружена силой Р=35кН (рис 1.6). Определить коэффициент запаса прочности стержневой системы, если =45⁰, l₁=0,6м, l₂=0,3м, l₃=0,6м, А=800мм², k=1,2, материал - сталь 30Х с пределом текучести _т=845,7МПа.

При известной площади сечения выполняется проверочный расчет на прочность по напряжениям. Величина фактического коэффициента запаса где _пред - предельное значение напряжения для заданного материала. _max - максимальное рабочее напряжение, возникающее в заданной стержневой системе от приложенных нагрузок. Сталь 30Х пластичный материал, тогда _пред=_т, следовательно

1.4.1 Уравнения равновесия.

Составим уравнения статического равновесия (рис. 1.7):

Для дальнейшего решения применяем уравнение (3), так как реакции заделки А для оценки прочности не нужны. Преобразуем (3), подставляя значения углов и длин, получим

Полученное уравнение содержит две неизвестные величины N_CB и N_DB.Сопоставляем дополнительное уравнение, которое вытекает из условия совместности перемещений.

1.4.2 Уравнения совместности деформаций

Составим уравнения совместимости деформаций (рис. 1.8): l_CB=B'B'₁; l_DB=B'B'₂. Из BB'B'₁ имеем BB'=B'B'₁/sin2; из BB'B'₂ получим BB'=B'B'₂/sin, приравняем отрезки



подставляя данные углы, получим l_DB=0,7l_CB (5).

1.4.3 Физические уравнения

Составим физические уравнения. По закону Гука

Подставляя в уравнение совместности перемещений, с учетом длин стержней, соотношений площадей и материала, получим

умножим на ЕА и подставим данные

после вычислений получим

. (6)

1.4.4 Расчет усилий в стержнях

Статическое уравнение (4) и дополнительно преобразованное уравнение (6) совместности перемещений дают систему разрешающих уравнений:

Из решения системы уравнений получим N_DB=1,11P; N_CB=3,77P.

1.4.5 Расчет на прочность

Напряжения в стернях

Видно, что максимальные напряжения возникают в стержне СВ:

_max =_св=164,9МПа.

Условие прочности имеет вид

_max[]=_т/n,

где N - коэффициент запаса прочности. Для сталей n=1,52,5, примем n=2. Тогда допускаемые напряжения []=845,7/2=422,85МПа.

Условие прочности для заданной стержневой системы выполняется:

_max=164,9МПа<[]=422,85МПа.

прочность жесткость растяжение сжатие кручение

2. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ

2.1 Проектировочный расчет на прочность ступенчатого стержня.

Для ступенчатого стержня из стали 30Х, представленного на рис. 2.1, необходимо построить эпюру крутящих моментов, эпюру условных касательных напряжений как функцию параметра сечения d, из условия прочности найти искомое значение d.

2.1.1 Построение эпюры крутящих моментов

Направим ось z вдоль оси стержня (рис. 2.2). Из условия равновесия находим значение М₄:

Участок AB (0z₁l₁) (рис. 2.3 а):



Участок BC (0z₂l₂) (рис. 2.3 б):

Участок BC (0z₃l₃) (рис. 2.3 в):

По полученным данным строим эпюру крутящих моментов ЭМ (рис. 2.2).

2.1.2 Построение эпюры напряжений

Наибольшие напряжения при кручении возникают на внешних волокнах и определяются как

где - полярный момент сопротивления, I_p - полярный момент инерции сечения, r_max - максимальный радиус. Определим геометрические характеристики сечений:

Участок АВ:

Участок ВС:

Участок CD:



Определим опасное сечение, в котором возникают наибольшие напряжения, в долях 1/d³:

Участок AB (0z₁l₁):

Участок BC (0z₂l₂):

Участок CD (0z₃l₃):

По полученным данным строим Эd³ (рис. 2.2).

2.1.3 Расчет на прочность. Подбор сечения

На эпюре Эd³ видно, что опасными являются сечения на участке CD, де действуют наибольшие напряжения.

Условие прочности при кручении имеет вид:

где [] - допускаемое касательное напряжение.

Примем для материала Ст30 []=0,5[]=0,5*563,8=281,9МПа.

Тогда условие прочности примет вид:

Из условия прочности находим оптимальное значение диаметра:

Примем (из ряда Ra40 по ГОСТ 6636-69) d=48мм.

Определим напряжения, действующие в сечениях при выбранном значении d.

Участок AB:

Участок BC:

Участок CD:

По полученным данным строим эпюру действующих на валу касательных напряжений Э (рис. 2.2).

2.2 Расчет на жесткость стержня постоянного сечения.

Для стержня постоянного сечения (рис. 2.4) необходимо построить эпюру углов закручивания и из условия жесткости найти искомое значение диаметра стержня d. Материал стержня - сталь, G=80Гпа.

2.2.1 Построение эпюры углов закручивания

Разобьем стержень на участки AB и BC (рис. 2.5). В пределах каждого участка возьмем произвольные сечения z₁ и z₂ соответственно.

Из условия равновесия определим момент в заделке:

Участок AB (0z₁l₁+ l₂):

Участок BC (l₁+ l₂z₂ l₁+ l₂+l₃):

Находим углы закручивания в долях 1/GI_p.

На участке АВ:

ввиду наличия заделки в точке В.

Функцией угла закручивания на участке АВ является парабола, вторая производная от которой отрицательна, следовательно, парабола выпуклая.

На участке ВС:

По полученным данным строим эпюру углов закручивания Э в долях от GI_p (рис. 2.5).

2.2.2 Расчет на жесткость

По условию жесткости, максимальный угол поворота не должен превышать допускаемый []=0,001рад/м, то есть _max[]. Из эпюры углов поворота, построенной в долях от GI_p видно, что максимальный угол поворота находится в сечении А Полярный момент инерции сечения откуда найдем диаметр стержня:

Примем (из ряда Ra40 по ГОСТ 6636-69) d=160мм.

Окончательно рассчитывая углы поворота в каждом сечении, получаем _А=-0,32*10^-3 рад/м; _В=0 рад/м; _С=0,24*10^-3рад/м;

По полученным данным строим эпюру углов закручивания Э (рис.2.5).

3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ БАЛОК И РАМ

3.1 Проверочный расчет балки из прокатных профилей.

3.1.1 Расчет геометрических характеристик сечения.

Исходные данные для расчета балки из прокатных профилей показаны на рис. 3.1. Сечение балки изображено на рис. 3.2.

Рассчитаем геометрические характеристики сечения. Осевой момент инерции для двутавра профиля №20 I_{x I}=115см⁴ (по ГОСТ 8240-56).

Осевой момент сопротивления W_xI=W_yI=23,1см³.

Осевой момент инерции для равнобокого уголка профиля №9 I_{x L}=82,1см⁴ (по ГОСТ 8240-56).

Для составного сечения:

3.1.2 Построение эпюр внутренних силовых факторов.

Найдем реакцию в заделке D (рис. 3.1):

Построим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов. Возьмем произвольное сечение на первом участке DC (0z₁l₃). Запишем уравнения для перерезывающей силы и изгибающего момента в произвольном сечении в пределах этого участка и рассчитаем их значения в характерных точках:

Возьмем произвольное сечение на первом участке CB (0z₂l₂). На данном участке:



Для участка ВА (0z₃l₁), уравнения имеют вид:

3.1.3 Расчет на прочность

Материал двутавра и уголков Ст30. Допускаемые напряжения []=282МПа. Рассчитаем максимальные напряжения, возникающие в балке, они находятся в сечении, где изгибающий момент достигает наибольшего значения M_max=7,92кНм:

Условие прочности имеет вид _max[]. Условие прочности не выполняется _max=342,9МПа > []=282МПа. Необходимо взять профиль больших размеров. Для этого, исходя из условия прочности, определим необходимое минимальное значение осевого момента сопротивления:

Выберем двутавр - ближайший из ряда двутавр №22 W_x=28,6см³, тогда Откуда максимальные напряжения

- условие прочности выполняется.

3.2 Расчет на жесткость балки из прокатных профилей

Исходные данные и расчетная схема балки из прокатных профилей представлена на рис. 3.3. Возьмем произвольные сечения z₁, z₂ и z₃, как показано на рисунке. При это продлим распределенную нагрузку на участке АС до конца балки, а ее действие на участке CD компенсируем аналогичной распределенной нагрузкой противоположного знака (выделены на рисунке серым цветом).

Участок АВ (0z₁l₁):



Участок ВC (l₁+z₂l₁+ l₂):

Участок CD (l₁+ l₂+z₃l₁+ l₂+l₃):

Ввиду заделки в точке D ₃(l₁+ l₂+l₃)=0:



y₃(l₁+ l₂+l₃)=0:

Углы закручивания на участках BC и CD на длине z=l₁+l₂ должны быть равны -

₂(l₁+ l₂)=₃(l₁+ l₂):

Прогибы на участках BC и CD на длине z=l₁+l₂ также должны быть равны -

y₂(l₁+ l₂)=y₃(l₁+ l₂):

Углы закручивания на участках AB и BC на длине z=l₁ должны быть равны -

₁(l₁)=₂(l₁):

Прогибы на участках AB и BC на длине z=l₁ также должны быть равны -

y₁(l₁)=y₂(l₁):

Итак:

_А=0,129 рад; _В=0,133 рад; _С=0,096 рад; _D=0 рад;

y_A=-0,001 м; y_В=-0,00023 м; y_С=-0,0003 м; y_A=-0,001 м; y_D=0 м;

Допускаемые перемещения и углы поворота определяется из условия жесткости

Условие жесткости по перемещениям в сечениях А, В, С и по углам поворота на участках А, В, С не выполняются. Необходимо провести мероприятия по увеличению жесткости конструкции.

3.3 Проектировочный расчет на прочность плоской рамы

3.3.1 Построение эпюр внутренних силовых факторов.

Исходные данные для расчета плоской рамы представлены на рис. 3.4. Определим реакции, возникающие в заделке:

Для построения эпюр внутренних силовых факторов рассмотрим три произвольных сечения на участках АВ, ВС и CD (рис. 3.5).

На участке АВ (0z₁l₃) (рис. 3.5 а):



На участке ВС (0z₂l₂) (рис. 3.5 б):



На участке CD (0z₃l₁) (рис. 3.5 в):

По полученным данным строим эпюры продольной, перерезывающей силы и изгибающего момента (рис. 3.6).

3.3.2 Расчет на прочность

Рассчитаем диаметр стержней, исходя из условия прочности, при этом М_max=10,8кНм, материал стержня Сталь 30, допускаемые напряжения

где n - коэффициент запаса, тогда диаметр стержня:

Примем (из ряда Ra20 по ГОСТ 6636-69) d=80мм.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.К. Качурин «Сборник задач по сопротивлению материалов», - М.:Наука, 1970.-432стр.

2. В.И. Анурьев «Справочник по машиностроению», электронное издание.

Размещено на Allbest.ru