Механика

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕХАНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА МЕХАНИКИ И КОНСТРУИРОВАНИЯ МАШИН

Методические указания для самостоятельной работы студентов

по изучению дисциплины

"МЕХАНИКА"

для специальностей

240401 (250100) "Химическая технология органических веществ";

240403 (250400) "Химическая технология природных энергоносителей

и углеродных материалов”

РЕКОМЕНДОВАН

к использованию в учебном процессе

решением НМС УГНТУ

от . . 2007 г., протокол № .

Зам.председателя НМС профессор

Е.И.Ишемгужин

УФА 2007

Учебно-методическое пособие по курсу "Механика" предназначается, прежде всего, для студентов всех специальностей технологического факультета, и содержит вопросы и библиографию по базовым темам курса, включая электронные ресурсы, контрольные задания и зачётные требования, темы проектов и расчутно-графических работ(РГР), а также методические рекомендации по их выполнению.

Составитель:Зубкова О.Е.., доцент, канд. техн. наук

Рецензент:Зубаиров С.Г., проф., д-р техн.наук

1. Методика выполнения расчетно-графических работ

Под действием нагрузок элементы конструкции изменяют свою форму и размеры, т.е. деформируется, а в некоторых случаях происходит разрушение конструкции. Опыт эксплуатации показывает, что надежным обычно оказывается такое оборудование, материал и размеры элементов которого выбраны на основе следующих главных критериев работоспособности: прочности, жесткости, устойчивости, коррозионной стойкости и др.

Прочностью называется способность конструкции, ее узлов и деталей выдерживать задание внешние нагрузки не разрушаясь. Расчеты на прочность дают возможность определить размеры и форму деталей, выдерживающих заданную нагрузку, при наименьшей затрате материала. Для этого элементы конструкции должны быть изготовлены из соответствующего материала и иметь необходимые размеры.

Жесткость - способность элемента конструкции сопротивляться деформации. Расчеты на прочность и жесткость, как и любые другие расчеты элементов оборудования, включают три взаимосвязанные между собой этапа.

На первом этапе выбирается расчетная схема конструктивного элемента. Схема элемента конструкции, условно освобожденная от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы. Чаще всего при составлении расчетных схем сложных конструктивных элементов оборудования вводят упрощения в геометрию реальных объектов, приводя объект к расчетной схеме стержня или бруса, оболочки или пластины, массивного трехмерного тела (массива).

На рис. 1.1 показаны примеры перехода от реальных конструкций аппаратов к расчетным схемам стержней.

На втором этапе расчета применительно к выбранной расчетной схеме элемента определяются:

1) внутренние усилия;

2) напряжения;

3) деформации,

возникающие под действием внешних сил в этом конструктивном элементе.

При деформации тела под действием внешних сил внутри него, в результате существования внутренних сил молекулярного взаимодействия, возникают силы упругости, препятствующие деформации и стремящиеся вернуть частицы тела в первоначальное положение. При возрастании внешних сил увеличиваются внутренние, но лишь до определенного предела, выше которого наступает разрушение тела. Способность элементов конструкции устранять деформацию, вызванную внес ними силами после прекращения их действия, называется упругостью.

Для расчета элементов конструкций на прочность необходимо определять внутренние силы по заданным внешним силам. При определении величины внутренних сил используется метод сечений, сущность которого заключается в следующих четырех действиях:

1) мысленно рассекает тело плоскостью, перпендикулярной его сил, в том месте, где требуется определить внутренние силы;

2) отбрасывает любую (правую или левую) часть тела;

3) заменяют действие отброшенной части внутренними силами, чтобы оставшуюся часть находилась в равновесии;

4) составляют уравнения равновесия для сил, действующих на оставшуюся часть тела, и определяют внутренние силы.

Таким образом, продольная сила в поперечном сечении прямого бруса численно равна алгебраический сумме проекций на его ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. В общем случае нагружения тела может быть составлено есть уравнений равновесия сил, дейстсвующих на оставленную часть:

; ;

; ;

; .

В каждое уравнение равновесия входит лишь один внутренний силовой фактор.

?Fix, ?Fiy, ?Fiz - сумма проекции всех внешних сил, действующих на оставленную часть тела, соответственно на оси Х, У, Z.

?Mox(Fi), ?Moy(Fi), ?Moz(Fi) - сумма всех внешних моментов, действующих на оставленную часть тела, соответственно относительно оси Х, У, Z.

Указанные шесть внутренних силовых факторов называются:

Qz (N) - продольная сила;

Qx и Qy - поперечные силы;

Mx и My - изгибающие моменты;

Mz (T) - крутящий момент.

В частном случае отдельные силовые факторы могут быть равны нулю. Мерой интенсивности распределения внутренних сил служит напряжение. Напряжение - это внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади сечения. В Международной системе единиц (СИ) размерность напряжения - паскаль (Па=Н/м2).

Напряжение Ньютон на метр квадратный очень мало, поэтому применяют кратную единицу измерения мегапаскаль (МПа = Н/мм2):

1 МПа = 106 Н·м2.

Это удобно еще и потому, что размеры на чертежах указываются в миллиметрах.

Таким образом, основная задача второго этапа расчета заключается в нахождении и анализе математических соотношений между известными внешними силами, геометрическими размерами рассматриваемого конструктивного элемента из выбранного материала и возникающими внутренними силами упругости, деформациями и напряжениями.

На третьем этапе сопоставляются вычислительные во втором этапе напряжения и деформации с допускаемыми значениями, которые установлены экспериментом на основании опыта эксплуатации конструкции при условии нормального функционирования и обеспечения надежности работы конструкции.

В данной расчетно - графической работе студенты последовательно изучают все три этапа расчетов, часто встречающихся в инженерной практике.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

F - внешняя сила, Н;

q - равномерно распределенная нагрузка, Н/м;

N - продольная сила в сечении, Н;

Q - поперечная сила в сечении, Н;

R - реакция опор, Н;

T - скручивающий момент в сечении, Н·м;

М - изгибающий момент в сечении, Н·м;

d - диаметр вала сплошного сечения, м;

d1, d2 - наружный и внутренний диаметры полого вала, м;

б=d1/d2 - отношение внутреннего диаметра полого вала к наружному;

А - площадь сечения, м2;

Jр - полярный момент инерции сечения, м4;

Jx - момент инерции сечения относительно нейтральной оси Х м4;

Wx - момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси X, м3;

L - длина стержня, вала или балки, м;

?L - абсолютная деформация при растяжении (сжатии) стержня, м;

Е - модуль продольной упругости материала, МПа;

G - модуль сдвига материала, МПа;

ц - абсолютный угол закручивания, рад;

и - относительный угол закручивания, град/м;

у - нормальное напряжение, МПа;

[у] - допускаемое нормальное напряжение, МПа;

ф - касательное напряжение, МПа;

[ф] - допускаемое касательное напряжение, МПа.

2. СОДЕРЖАНИЕ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

механика растяжение кручение изгиб

Задаются:

1) расчетные схемы стержней, подвергаемых растяжению (сжатие) вручению, изгибу;

2) допускаемые напряжения;

3) модуль продольной упругости, модуль сдвига.

В работе необходимо выполнить три задачи.

Задача I. Для стержня, подвергнутого растяжению (сжатию):

1) построить эпюры продольных сил;

2) определить размеры поперечных сечений на каждом грузовом участке;

3) вычислить экономию материала при изготовлении стержня переменного сечения по длине в сравнении со стержнем постоянного сечения;

4) построить эпюру распределение напряжений по одному из сечений;

5) определить деформацию каждого участка стержня и построить эпюру перемещений.

Задача 2. Для подвергнутого кручению вала:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) определить величину и направление крутящего момента Т;

3) определить диаметры сплошного сечения - d и кольцевого dн и dвн; сравнись их по весу, и выбрать рациональное поперечное сечение;

4) построить эпюры распределения напряжений в опасном сечении сплошного к полого валов;

5) определить деформацию каждого участка вала сплошного сечения и построить впору деформаций;

6) проверить жесткость веса.

Задача 3. Для двухопорной балки:

1) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

2) определить размеры прямоугольного поперечного сечения (при отношении h/b = 2), подобрать по сортаменту прокатной стали (приложение 4) номер стандартного профиля двутавра; сравнить веса балок этих двух форм сечения и выбрать более рациональное;

3) построить для опасного сечения эпюру распределения нормальных напряжения. Задача 4. (см. приложение 6).

3. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ, КРУЧЕНИИ, ИЗГИБЕ

3.1 Расчет напряжений и деформаций при растяжении (сжатии) стержней

Растяжением или сжатием стержня называется такой вид простого нагружения, при котором в поперечном сечения стержня возникает один внутренний силовой фактор - продольная пила.

3.1.1 Построение эпюры продольных сил при растяжении (сжатии) стержней

Для построения эпюры продольных сил стержень разбивается на участки, границами участков являются точки приложения внешних нагрузок (рис. 3.1). Рассмотрение начинается со свободного торца стержня, т. к. в защемлении действует неизвестная реакция связи. В каждом из рассматриваемых сечений продольная сила N определяется как алгебраическая сумма всех сил, действующих на стержень до рассматриваемого сечения. В случае, если стержень имеет n участков, продольная сила на i-м участке

где Fi - действующие на стержень силы.

При этом, если N > О, то она направлена от сечения и является растягивающей силой, а если N < 0 - к сечению и является сжимающей силой.

Эпюра продольных усилий позволяет определить опасное сечение стержня.

3.1.2 Определение размеров поперечного сечения стержня при растяжении (сжатии)

Для определения размеров сечения стержня, постоянного по длине, используется уравнение прочности:

Откуда площадь сечения

Если сечение квадратное, то сторона квадрата

При определении размеров сечения стержня равной прочности площадь сечения каждого участка стержня определяется также из условия прочности (3.1), но продольная сила берется из опоры соответствующего участка.

Из условия (3.1) видно, что величина напряжения в сечении не зависит от формы сечения, поэтому эпюра распределения напряжений по сечение при растяжении будет иметь вид, указанный на рис. 3.1.

3.1.3 Определение деформации при растяжении (сжатии)

Деформация на i-м участке стержня при растяжении (сжатии) определяется по закону Гука:

В случае если стержень имеет n участков, полная деформация



Построение эпюры деформаций показано на рис. 3.1. Знак деформации каждого участка соответствует знаку продольного усилия N. За начало отсчета при построении эпюры перемещений точек приложения сил принимается сечение заделки, где очевидно, у стержня нет перемещений. Эпюра деформаций позволяет оценить деформации отдельных участков; найти перемещение сечений; определить полную деформацию стержня.

Пример I. Построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещении ступенчатого стержня, показанного на рис. 3.1.

Заданный стержень разбиваем на три участка I, II, Ш; границами участков являются точки приложения внешней силы.

Определяем по методу сечения продольную внутреннюю силу на каждом участке. Проведем произвольное сечение на расстоянии Z1, на участке I. Отбросив левую часть бруса, рассмотрим равновесие первой части, изображая отдельно (см. рис. 3.2), и т.д. Проектируя на ось Z силы, действующие на оставленную часть, определим силы на каждом участке:

участок I

N1 = 0;

участок II

N2 = F, знак плюс, т. е. сила N2, действует от сечений и является растягивающей; участок III

N3 = F - 2F = -F, знак минус показывает, что сила N3 действует к сечению и является сжимающей.

Существует важное правило построения эпюры продольной силы N. В сечениях стержня, где приложены внешние продольные силы, включая реакции опор, в эпюре продольных сил наблюдается скачок, равный по величине действующей силе. В нашем примере действуют три силы, включая реакцию опоры, и в эпюре N наблюдаются три скачка, равные величинам этих сил. Используя это правило, можно строить эпюру N ускоренным методом, без составления условий равновесия. Эпюра напряжений у определяется деление значений N на соответствующую площадь поперечного сечения стержня. При этом учитывается знак силы.

При определении перемещений за начало отсчета принимают сечение заделки, где у стержня нет перемещений - сечение Е. Величину удлинения (укорочения) каждого участка определяют по формуле

,

где N , L , А берут для каждого из участков с учетом знака силы N, затем находят перемещения u. В нашем примере для конца участка Ш получим перемещение сечения D:

,

а для конца участка П перемещение сечения С:

Полное удлинение стержня равно алгебраической сумме удлинений всех участков:

На эпюре перемещений U направление перемещений сечений указывают стрелками (см. рис. 3.1).

3.2 Построение эпюры крутящих моментов

Для определения внутреннего крутящего момента при кручении вала применяют также метод сечений. Правило знаков крутящего момента: если смотреть в торец сечения, то момент, вращающий вал против часовой стрелки, будет считаться положительным. Внутренний крутящий момент в рассматриваемом, сечении вала равен алгебраической сумме всех внешних крутящих моментов, действующих на вал до рассматриваемого сечения. Начинают построение эпюры крутящих моментов от свободного конца, поскольку защемленный конец вала нагружен опорным крутящим моментом, который нам неизвестен. Пример построения эпюры крутящих моментов показан на рис. 3.3.

На эпюре Т видно, что в местах приложения внешних скручивающих моментов получаются скачки, равные по величине этим номерам. Исходя из этого правила, эпюра крутящих моментов может быть построена ускоренным способом без составления условий равновесия на каждом участке.

Определение размеров сечения вала

Для вала круглого поперечного сечения диаметром d касательные напряжения в произвольной точке сечения, находящейся на расстоянии с от центра тяжести, определяют по формуле

,

где - полярный момент инерции сечения.

Размеры сечения находят из условия прочности.

.

Для валов круглого сечения диаметром d полярный момент сопротивления Wp определяется по формуле:

,

а в случае вала кольцевого сечения

,

В задаче необходимо выбрать рациональное (экономичное) сечение вала. Из уравнения (3.3) видно, что величина ф - линейная функция расстояния с от рассматриваемой точки сечения до его центра тяжести. Поэтому эпюра напряжений в сечении имеет вид указанный в приложении 5. Для расчета принять б = 0,7; 0,8.

Определение деформаций вала постоянного поперечного сечения

Деформация вала при кручении характеризуется углом закручивания ц. Угол закручивания ц на участке Lj, где крутящий момент Т сохраняет постоянное значение, определяют по формуле

,

Если стержень имеет n участков, то полный угол закручивания (угол взаимного поворота концевых сечений вала) определяют по формуле

,

Знак угла закручивания на участке соответствует знаку крутящего момента на данном участке из эпюры Т. Пример построения эпюры ц см. на рис. 3.3).

При построении эпюр ц для двухопорных валов (см. приложение 5) углы закручивания удобно отсчитывать в обе стороны от сечения, где приложен ведущий момент Т. Индексы цj-n соответствуют повороту n -го сечения относительно j-го сечения.

Пример 2. Построить эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжения и абсолютных углов закручивания по длине стального круглого вала. Допускаемое касательное напряжение кручения вала [ф] = 50 МПа. Проверить жесткость вала.

Решение. Разбиваем вал на четыре участка по сечениям, в которых приложены внешние скручивающие моменты и в которых имеется изменение диаметра вала.

Так как опорный (реактивный) крутящий момент нам неизвестен, начнем построение эпюры крутящих моментов со свободного конца. Методом сечений на участке I определяем крутящий момент из условия равновесия.

ТI = 0, следовательно, относительный угол закручивания и = 0, максимальное касательное напряженно фmax = 0.

На участке II:

,

,

Знак у Т отрицательный, т. к. внутренний момент TII действует по ходу часовой стрелки, если смотреть со стороны торца сечения (рис. 3.4). Знаки и и фmax определяется знаком Т.

На участке III:

,

,

На участке IV:

TIV = 3T-T=2T.

Знак TIV показывает, что на участке IV внутренний закручивающий момент направлен в сторону, противоположную направлению. Следовательно, учитывая, что ТIII < 0, получим TIV > 0 и и, и фmax также положительны:

,

.

Определение абсолютных углов закручивания начинают с закрепленного сечения 0, поскольку в защемленном сечении угол закручивания равен нулю.

Угол закручивания сечения А относительно сечения 0:

,

Угол закручивания сечения Б относительно сечения А:

.

Полный угол закручивания сечения Б складывается алгебраически из угла закручивания сечения А и сечения Б относительно А:

.

Сечение С относительно Б закручивается на угол

Сечение С относительно заделки закручивается на угол

Так как ТI = 0, цdc = 0.

Полный угол закручивания в сечении Д

Знак минус показывает, что конец вала закручивания по часовой стрелке на угол цD, если смотреть со стороны свободного конца вала.

Условия жесткости вала

Где допускаемый относительный угол закручивания [и] = 0,5 град/м.

Максимальный относительный угол закручивания

, град/м.

3.2 Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Расчет на прочность при изгибе

Плоский поперечный изгиб отличается от рассмотренных видов нагружения тем, что в этом случае в поперечных сечениях балки появляется два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М, которые определяются методов сечений.

3.2.1 Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Поперечная сила в рассматриваемом сечении равна алгебраической сумме всех сил, действующих на балку до рассматриваемого сечения:

Поскольку речь идет об алгебраической сумме, в которой необходимо учитывать знак действующих сил, принимают правило знаков при определении значений поперечной силы в сечении: внешние силы активные и реактивные, лежащие по левую сторону от сечения, считаются положительными, если они направлены вверх, отрицательным - вниз, а по правую сторону - наоборот (рис, 3.5).

Изгибающий момент в рассматриваемом сечении равен алгебраической сумме моментов относительно этого сечения всех внешних сил и моментов, действующих на балку до рассматриваемого сечения:

Правило знаков при определении значения изгибающего момента: момент, изгибающий балку выпуклостью вниз, считается положительным, а вверх - отрицательным (рис. 3.6). При изгибе выпуклостью вниз сжатое волокно вверху - момент на эпюре откладывается вверх - плюс. Значение изгибающего момента откладывается в сторону сжатого волокна.

Между выражениями изгибающего момента Мх, поперечной силы Qy и интенсивностью распределения нагрузки q существуют следующие дифференциальные зависимости:

,

и, следовательно,

На основе метода сечений и дифференциальных зависимостей можно сделать ряд выводов и характере эпюр Qy и Mx в зависимости от действующих на балку нагрузок.

Для эпюры поперечных сил:

1) на участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра изображается прямой, наклоненной к оси балки;

2) на участке, свободном от распределенной нагрузки, эпюра изображается прямой, параллельной оси балки;

3) под сечением балки, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре поперечных сил имеется скачок, равный по величине приложение силе;

4) в сечении, где приложена сосредоточенная пара сил, поперечная сила не изменяет своего значения;

5) в концевом сечении балки поперечная сила численно равна сосредоточенной силе (активной или реактивной), приложенной в атом сечении. Если в концевом сечении балки не приложена сосредоточенная сила, то поперечная сила в этом сечении равна нулю.

Для эпюры изгибающих моментов:

1) на участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра моментов изображается квадратной параболой. Выпуклость параболы направлена навстречу действию нагрузки;

2) на участке, свободном от равномерно распределенной нагрузки, эпюра моментов изображается наклонной прямой;

3) под сечением балки, где приложена сосредоточенная пара сил, на эпюре изгибающих моментов имеется скачок, равный величине момента приложенной пары сил;

4) изгибавший момент в концевом сечении балки всегда равен нулю; если в нем не приложена сосредоточенная пара сил. Если же в концевом сечении приложена активная или реактивная пара сил, то изгибающий момент в этом сечении равен по величине моменту приложенной пары

5) на участке, где поперечная сила равна нулю, балка испытывает чистый изгиб, а эпюра изгибающих моментов - прямая, параллельная оси балки;

6) изгибавший момент принимает экстремальное значение в сечении, где на эпюр» сил наклонная прямая пересекает ось.

Эта взаимосвязь эпюр Мх и Qy между собой и с внешней нагрузкой позволяет обходиться без составления уравнений изгибающих моментов и поперечных сил для каждого сечения балки. Достаточно вычислить ординаты эпюр для характерных сочетаний, где приложены сосредоточенные силы и моменты (включая опорные сечения), а также сечения, ограничивающие участки с равномерно распределенной нагрузкой. Для определения экстремальных значений изгибающих моментов дополнительно определяются моменты в сечениях, где поперечные силы равны нулю.

Последовательность построения эпюр поперечных сил изгибающих моментов по характерным точкам

1. Определить опорные реакции и найденные их значения проверить.

2. Балку разделить на участки, границы которых совпадает

с характерными точками.

3. Определить вид эпюры поперечных сил на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки.

4. Вычислить поперечные силы в характерных сечениях и построить эпюру.

5. Определить вид эпюры изгибающих моментов на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки.

6. Вычислить изгибайте моменты в характерных сечениях, и построить эпюру.

Пример 3. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 3.7.

Решение. Определяем опорные реакции:

;

;

;

Составляем проверочное уравнение:

,

или

следовательно, опорные реакции найдены верно.

Балка имеет четыре участка: I, II, III, IV (см. рис. 3.7). Характерными является сечения А. С, Д, Е, В. На участке I, III, IV поперечная сила постоянная, на участке II поперечная сила изменяется по линейному закону.

Вычисляем ординаты эпюры Q в характерных сечениях:

В сечении А: Qy = RA = 0,5 qa, поперечная сила положительная, т.к. внешняя сила RA направлена слева от сечения вверх.

В сечении D

на эпюре Q имеем скачок, равный сосредоточенной силе qa.

В сечении Е: QE = -RB = -0,5 qa, поперечная сила отрицательная, т.к. внешняя сила RB направлена справа от сечения вверх.

Эпюра поперечных сил построена на рис. 3.7. В точках А, В, Е имеются скачки, равные приложенными в этих точках силам.

Переходим к построению эпюра изгибающих моментов. На участке I, III, IV изгибающий момент изменяется по линейному закону, на участке II - по закону квадратной параболы.

Вычисляем изгибающие моменты в характерных сечениях:

в сечении А: имеем скачок, равный сосредоточенному моменту 2,5 qa2;

в сечении С: Мс=2,5 qa2 +RA · а = 2,5 qa2 + 0,5 qa · а = 3 qa2.

Найдем на участке II сечение К, соответствующее экстремальному значению изгибающего момента: для этого вычислим абсциссу Z.

из подобия треугольников на эпюре Q.

, отсюда

В сечении К

В сечении Д:

В сечении Е справа:

В сечении Е слева:

.

Эпюра изгибающих моментов построена на рис. 3.7. Под точками А и Е, где приложены сосредоточенные моменты, в эпюре моментов имеются скачки, равные величинам этих моментов.

3.2.2 Определение размеров сечений балок

Обычно в инженерной практике проверку прочности балок производят но нормальным наибольшим и касательным напряжениям [I], Нормальные напряжения у зависят от величины изгибавшего момента, а касательные ф - от величины поперечной силы. Касательные напряжения в сечениях балки обычно не играют существенной роли, поэтому размеры сечения балок определяют из условия прочности по нормальным максимальным напряжениям:

,

где Мmax - наибольший (по абсолютной величине) изгибающий момент, известный из эпюры изгибающих моментов.

Сечение балки подбирается по моменту сопротивления относительно нейтральной оси

.

Для балки прямоугольного сечения

.

Числовые значения моментов сопротивления стандартных профилей проката указаны в соответствующих ГОСТах на Прокат, а на балки двутавровые приведены в таблицах приложения 4. Следует подбирать номер профиля, имеющий большее стандартное ближайшее значение. Допустимо принимать и меньшее ближайшее значение Wх cm , однако оно должно удовлетворять условию

.

3.3 Совместное действие изгиба и кручения

Сочетание деформаций изгиба и кручения испытывает большинство валов, которые обычно представляют собой прямые брусья круглого или кольцевого сечения.

Возникающие от изгиба нормальные напряжения достигают максимального значения в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси

,

где М - максимальный изгибающий момент, Н.мм;

W - осевой момент сопротивления сечения, мм.

Для вала круглого сечения



Максимальные касательные напряжения при кручении возникают в точках контура поперечного сечения.

,

где Wp - полярный момент сопротивления сечения (Wp = 2W), мм3; Т - крутящий момент, Н.мм.

Таким образом, при сочетании изгиба и кручения опасными будут течки (для конкретного поперечного сечения), наиболее удаленные от нейтральной оси.

Применив третью теорию прочности, получим

Расчетная формула для круглых валов принимает вид

,

где М экв. - эквивалентный момент, Н.мм; [у] - допускаемое напряжение по изгибу для материала вала, МПа.

Если величина и направление нагрузки во время работы вращающегося вала остаются неизменными, то напряжения изгиба в теле вала будут изменяться во времени по симметричному циклу - Ш циклу нагружения (рис.З.8). Тогда допускаемое напряжение - для материала вала с учетом циклически изменяющихся деформаций определится по формуле

,

где ув - предел временного сопротивления материала вала, МПа.

При действии на вал нагрузок в разных плоскостях силы раскладывают на две взаимно - перпендикулярные плоскости, за одну из которых выбирают плоскость действия одной из сил.

Суммарный изгибающий момент определится как геометрическая сумма моментов, действующих во взаимно - перпендикулярных плоское рассматриваемого сечения.

,

Мiв и Мiгор - изгибающие моменты j - м сечении, действующими в вертикальной и в горизонтальной плоскостях соответственно.

Эквивалентный момент определится по формуле

,

Диаметр вала в опасном сечении рассчитывается из условия прочности

.

Примечание. При решении задач все необходимые вычисления следует сначала проделать в общем виде, обозначая все данные и искомые величины буквами, после чего вмести буквенных обозначений проста их числовые значения и найти результат. На расчетных эскизах размеры должны быть проставлены теми же буквами, какие имеется в расчетных формулах.

Пример 4. Построить эпюры изгибающих, крутящего, суммарного изгибающего и приведенного моментов и определить диаметр вала в опасном сечении.

Решение. Расчетная схема вала дана на рис. 3.9, а.

I. Определяем вертикальные составлявшие опорных реакций. Расчетная схема вала вертикальной плоскости представлена на рис. 3.9, б.

, ;

;

.

Составляем проверочное уравнение

.

Следовательно, опорные реакции и определены правильно.

2. Определяем величину изгибающих моментов в вертикальной плоскости в характерных сечениях (точках) вала.

В сечении А изгибающий момент равен сосредоточенному моменту ;

в сечении С

;

в сечении D

.

В сечении Е справа и слева:

Найдем координату z0 сечения К, в котором будет экстремум изгибающего момента, из подобия треугольников на эпюре Q.

; .

Найдем изгибающий момент в сечении К

.

Построим эпюру изгибающих моментов в вертикальной плоскости (рис. 3.9, в).

3. Определяем горизонтальные составляющие опорных реакций от нагружения вала горизонтальной силой (рис. 3.9. г).

; ;

;

;

.

4. Определяем величину изгибающих моментов в горизонтальной плоскости:

сечение А:

сечение С:

сечение К:

сечение D:

сечение Е:

Эпюра изгибающих моментов в горизонтальной плоскости представлена на рис. 3.9, д.

5. Определяем суммарный изгибающий момент в сечениях А, С, К, D, Е:

;

;

;

Наибольший суммарный изгибающий момент в сечении К

Эпюра суммарного изгибающего момента представлена на рис. 3.4, е. Строим эпюру крутящего момента Т (рис.3.4, ж).

6. Определяем эквивалентный момент во всех характерных точках вала.

Максимальный эквивалентный момент в опасном сечении К равен

3,54 qa2.

7. Определяем диаметр вала в опасном сечении.

,

 ЗАДАЧА I

Расчет бруса на осевое растяжение (сжатие)

Сечение бруса квадратное. Материал - сталь. Допускаемое напряжение [у] = 100 МПа. Модуль продольной упругости Е = 2·105 МПа. Исходные данные к расчету см. в таблице + рисунок.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Вариант	F1	F2	F3	L1	L2	L3
	кН	м
1	32	18	24	0,7	0,4	0,8
2	28	16	12	0,6	0,5	0,7
3	22	8	26	0,5	0,6	0,9
4	19	24	15	0,8	0,6	0,5
5	30	12	16	0,4	0,9	0,6
6	27	15	10	0,6	0,7	0,8
7	24	14	8	0,3	0,8	0,7
8	26	16	11	0,7	0,9	0,4
9	25	12	18	0,5	0,5	0,9
10	31	26	14	0,7	0,3	0,5
11	18	15		0,6	0,6	0,8
12	23	25		0,8	0,4	0,7
13	16	8		0,4	0,7	0,9
14	18	10		0,6	0,5	0,8
15	22	12		0,5	0,6	0,7
16	20	9		0,7	0,4	0,8
17	24	16		0,9	0,3	0,6
18	18	10		0,8	0,2	0,7
19	25	18		0,7	0,6	0,9
20	19	11		0,8	0,5	0,6
21	30	13		0,4	0,8	0,5
22	27	15		0,6	0,9	0,4
23	22	11		0,7	0,7	0,6
24	20	9		0,5	0,9	0,7
25	24	12		0,7	0,4	0,9
26	19	10		0,8	0,3	0,6
27	25	13		0,4	0,7	0,8
28	21	16		0,5	0,5	0,7
29	22	20		0,8	0,6	0,8
30	23	15		0,7	0,3	0,9



ЗАДАЧА № 4

РАСЧЕТ ВАЛА НА СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ

(Таблица 3, рисунок 3)

На стальной вал действуют крутящие моменты Т, распределенная нагрузка q и сосредоточенная нагрузка F. b = 1,2а; с = 0,8а; d = 0,6а; [у] = 110 Н/мм2

Определить диаметр вала.

ПЛАН РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

1. Вычертить схему нагружения вала. Определить крутящие моменты для характерных точек и построить эпюры крутящих моментов.

2. Показать схему нагружения вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Построить эпюры изгибающих моментов для вертикальной и горизонтальной плоскостей.

3. Построить эпюру суммарного изгибающего момента.

4. Выбрать опасное сечение. Определить диаметр вала по III теории прочности.

Таблица 3

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Т, кН/м	0,6	0,4	1,2	0,8	1,0	1,2	1,4	0,6	0,4	0,8
F, кН	10	8	6	4	2	2	3	6	8	5
q ,кН/м	2	2	4	4	6	6	8	8	10	10
a, м	0,5	0,5	0,4	0,5	0,2	0,2	0,3	0,4	0,5	0,4



ЛИТЕРАТУРА

1. Прикладная механика: Уч. пособие для ВУЗов/ Под ред. В.М. Осецкого.-изд. 2-е, перераб. И доп.-М.: Машиностроение, 1977.-488с.

2. Методические указания к оформлению курсовых проектов по теории механизмов и машин, прикладной механике, деталям машин и подъемно-транспортным устройствам для студентов вечерней и заочной форм обучения.- Уфа: изд. Уфимский государственный нефтяной технический университет. нефт. ин-та, 1981.- 39с.

3. Улитин Н.С., Першин А.Н., Лауенберг Л.В. Сб. задач по технической механике. - М.: Высшая школа, 1978. -398с.

4. Расчет и конструирование машин и аппаратов химических производств. Примеры и задачи: Учебное пособие для студентов ВУЗов/ М.Ф. Михалева, Н.П. Третьяков, А.И. Мильченко и др. Под общ. ред. М.Ф. Михалева. - Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-е., 1984. - 301с.



Размещено на Allbest.ru