Расчет осесимметричных оболочек и толстостенных цилиндров

^{Размещено на http://www.allbest.ru/}

^{ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТОНКОСТЕННЫЕ ОБОЛОЧКИ}

^{Напомним, что оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина оболочки) есть величина малая по сравнению с двумя другими размерами. Поверхность, равноудалённая от ограничивающих поверхностей называется срединной поверхностью. Оболочки могут иметь переменную толщину, однако мы будем рассматривать только оболочки постоянной толщины.}

^{Оболочки имеют весьма широкое распространение в технике: корпуса судов, летательных аппаратов и ракет: сосуды для хранения жидкостей и газов; трубы; детали машин и приборов; оболочки покрытий в строительстве и т.д. Достоинством оболочек является то обстоятельство, что они обладают выгодными упругими свойствами: при малой толщине они способны выдерживать значительные нагрузки. Это позволяет создавать прочные и лёгкие конструкции, незаменимые в тех случаях, когда необходимо минимизировать массу изделия.}

^{Будем рассматривать тонкие оболочки, у которых толщина мала по сравнению с радиусом кривизны поверхности. Если допустить обычную для технических расчётов относительную погрешность 5%, то тонкими оболочками можно считать такие оболочки, у которых: h / R 1/20, где h - толщина, а R - радиус кривизны срединной поверхности оболочки. Приведенная граница, конечно, является условной, и, иногда, теорию тонких оболочек используют для расчёта более толстостенных конструкций, допуская при этом большие погрешности.}

^{Наиболее распространённый вариант теории оболочек основан на гипотезе Кирхгофа - Лява:}

элемент, прямолинейный и нормальный к срединной поверхности до деформации, остаётся прямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверхности;

нормальными напряжениями на площадках, параллельных срединной поверхности, можно пренебречь.

^{Эти допущения совершенно аналогичны тем, что приняты для балок (гипотеза плоских сечений), и позволяют задачу трёхмерную свести к задаче двухмерной. Как при расчёте балок исследование сводится к изучению объекта одномерного - оси балки, так и в случае оболочек рассматривается только срединная поверхность.}

^{Нами будет рассматриваться лишь один тип оболочек - осесимметричные оболочки. Это оболочки вращения, срединная поверхность которых образована вращением некоторой кривой (в частном случае прямой) относительно оси симметрии. К этому классу относятся, например, цилиндрические, конические и сферические оболочки, столь часто встречающиеся в практике проектирования конструкций.}

Мы будем придерживаться так называемой безмоментной теории оболочек, т.е. полагать, что нормальные напряжения по толщине оболочки распределяются равномерно и изгибающие моменты отсутствуют. Условия существования безмоментного напряжённого состояния следующие:

1. Срединная поверхность оболочки должна быть достаточно плавной, так, чтобы радиус кривизны резко не изменялся и нигде не обращался бы в нуль;

Нагрузки, действующие на оболочку, должны быть так же достаточно гладкими и не должно быть сосредоточенных сил.

Условия закрепления краёв оболочки должны быть такими, чтобы по ним не возникали изгибающие моменты и поперечные силы.

Безмоментное напряжённое состояние чрезвычайно выгодно, т.к. приводит к равномерному, т.е. очень выгодному распределению напряжений и экономии материала.

Уравнение Лапласа.

Рассмотрим осесимметричную оболочку. Положение точки на срединной поверхности задаётся как пересечение двух координатных линий: параллели и меридиана.

Радиус кривизны меридиана _m ; радиус кривизны параллели _t; внешняя нормаль к срединной поверхности в данной точке n. Нагрузку, действующую на оболочку, будем считать осесимметричной, т.е. не меняющейся в пределах одной параллели, и нормальной к срединной поверхности оболочки. Такой, например, является гидростатическая нагрузка. Интенсивность нагрузки (нагрузка, приходящаяся на единицу площади) - q.

^{Выделим в окрестности произвольной точки малый элемент и исследуем его равновесие (Рис.2). Ввиду малости углов положим:}

^{Sin(d d; Sin(d d/2.}

^{Спроектируем силы, действующие на элемент, на направление норма- ли n.}

_^mds_thd _tds_mh(d qds_mds_t = 0.

^{Учтём, что d = ds_m/_m; d = ds_t/_t, тогда получим:}

_^m/_m + _t/_t = q / h (1)

^{Это и есть уравнение Лапласа. Оно содержит две неизвестные: меридиональное и окружное напряжения. Второе уравнение мы получим, рассматривая равновесие части оболочки, отсечённой по той параллели, где мы ищем напряжения (Рис.3).}

Пусть F - равнодействующая внешней нагрузки, приложенной к отсечённой части оболочки. В силу осевой симметрии она направлена по оси z. Проектируя силы, действующие на отсечённую часть, на ось z, получим:

_^mrhSin = F . (2)

^{Определив из (2) _m и подставив его выражение в (1), Найдём _t.}

^{Пример 1.} Цилиндрический резервуар находится под действием внутреннего давления p (Рис.4). Определить напряжения в цилиндрической части резервуара, в местах достаточно удалённых от примыкания днищ. Последняя оговорка имеет тот смысл, что в тех местах, где днища соединяются с цилиндрической частью, напряжённое состояние не будет безмоментным, т.к. здесь радиус кривизны претерпевает резкое изменение.

^{Рассечём оболочку и составим уравнение равновесия для отсечённой части (Рис.4). Равнодействующая внешних сил, приложенных к отсечённой части, независимо от формы днища ( [1], стр.299 ), равняется:}

^{F = R2p}

^{Проектируя на ось z, имеем:}

_^m2Rh R2p _m pR /2h .

^{Обратимся к уравнению Лапласа: _m ; _tR; q = p _t = pR/h.}

^{Главные напряжения равны: ₁ = _t; ₂ = _m; ₃ 0.}

^{Пример 2.} Сферический замкнутый резервуар находится под действием внутреннего давления p. Найти напряжения, возникающие в оболочке. Радиус срединной поверхности оболочки R, толщина h. p Ввиду центральной симметрии _m = _t = .



Из уравнения Лапласа следует: = pR/2h.

^{Главные напряжения: ₁ = ₂ = ; ₃ 0.}

^{Обратим внимание на тот факт, что наибольшие напряжения в сферической оболочке в два раза меньше, чем в цилиндрической оболочке того же радиуса.}

^{Пример 3.} Замкнутая сферическая оболочка (Рис.6) с радиусом кривизны срединной поверхности R=100мм, толщиной h = 2мм, находящаяся под действием внутреннего давления p₁ = 54МПа, помещена в резервуар с давлением p₂ = 50МПа. Материал сталь: _yt= 250МПа, _yc = 300МПа.

^{Проанализировать напряжённое состояние и определить коэффициент запаса по текучести.}

^{Решение}

Разложим внутреннее давление p₁ на две составляющие: р₂ и р₁ р₂ . Первая из них уравновешивает внешнее давление и вызывает в оболочке напряжённое состояние всестороннего сжатия, а вторая будет растягивать оболочку внутренним давлением (см. предыдущий пример).



При всестороннем сжатии по всем трём направлениям возникают напряжения, равные - р₂ = 50МПа. От действия избыточного давления р₁р₂=2МПа, в оболочке возникают растягивающие напряжения (см.предыдущий пример):

^{= (р₁p₂)R/2h = 4МПа100/(2 = 100МПа.}

^{Складывая эти два напряжённые состояния, получим следующие значения главных напряжений:}

_¹ = ₂ = 50МПа; ₃ = 50МПа.

^{Т.к. материал имеет разные значения пределов текучести при растяжении и сжатии, то следует применить теорию Мора. Эквивалентные напряжения будут равны:}

_^экв = ₁ k₃ , где k = _yt/_yc = 250/300 0,833; _экв= 50 - 0,833(

^{= 91,7МПа.}

^{Коэффициент по текучести n_y = _yt/_экв= 250/91,7 = 2,73.}

^{Пример 4.} Тонкостенная замкнутая оболочка R = 50мм, h = 1мм, подвергается действию внутреннего давления р = 2МПа и закручивается моментом m = 1кНм (Рис.8). Проанализировать напряжённое состояние и найти коэффициент запаса по текучести, если: _yt = _yc = 300МПа.

^{Решение.}

Данная конструкция работает под действием давления, как цилиндрическая R z оболочка (Пример 1) и , как тонкостенный стержень на кручение.

От действия давления в оболочке возникают окружные и меридиональные напряжения:

_^t = pR/h = 2МПа50/1 = 100МПа; _m = pR/2h = 50МПа (см.пример 1).

^{При кручении появляются касательные напряжения}

_^tm = _max = T/W_k,

^{где крутящий момент Т = m = 1кНм = 100кНсм, а геометрическая характеристика}

^{W_k = 2R2h 23,14520,1 = 15,7см3.}

^{Таким образом касательные напряжения равны:}

^_tm = 100/15,7 = 6,37кН/см2 = 63,7МПа.

^{Напряжённое состояние будет двухосным. Главные напряжения найдутся:}

^{Ѕ(_m+ _t) + Ѕ(_{m t})2 + 4_tm2}

^{Ѕ(_m+ _t) Ѕ(_{m t})2 + 4_tm2}

^{Подставляя сюда найденные значения напряжений, найдём главные напряжения:}

^{143,4МПа; 6,6МПа.}

^{Учитывая, что ещё одно главное напряжение равно нулю, поучим;}

_¹ = 143,4МПа; ₂ = 6,6МПа: ₃ = 0.

^{Используем теорию наибольших касательных напряжений (критерий пластичности Треска Сен-Венана):}

_^экв = _{1 3} = 143,4МПа.

^{Коэффициент запаса по текучести будет равен}

^{n_y = _yt/_экв = 300/143,4 = 2,09.}

^{Заметим, что согласно оговорке Примера 1, мы рассматривали точки цилиндрической части, достаточно удалённые от примыкания к днищам.}

^{Пример 5.} Резервуар для жидкости, показанный на Рис.10, доверху налит водой. Определить напряжения, возникшие в резервуаре. Материал малоуглеродистая сталь с пределом текучести 240МПа. Толщина стенок резервуара

^{z = 5мм; H = 9,93м; H₁ = 6,93м; R = 4м;}

^{R =.}

Плотность жидкости 1000кг/м3.

^{Будем рассматривать только точки, достаточно удалённые от вершины конуса и от примыкания конической части резервуара к цилиндрической, т.к. в этих местах напряжённое состояние не будет безмоментным. Здесь возникнет так называемый краевой эффект - зона повышенных напряжений, простирающаяся на расстояние в несколько толщин оболочки.}

^{Если материал оболочки достаточно пластичен, то напряжения перераспределяются и краевой эффект существенной роли не играет.}

^{Решение.}

Коническая часть. Т.к. _m то из уравнения Лапласа следует:

_^t = q_t/ ,

^{где q = g(H - z); g - ускорение силы тяжести,}

_^t = ztg/ cos = zsin/cos2.

^{Тогда получим:}

^{gsin(Hz - z2)}

^{_t = (2)}

^cos2

^{Проанализируем полученную зависимость. В вершине конуса (с учётом приведенной выше оговорки) окружные напряжения равны нулю. При z=6,93м:}

^{103кг/м39,8м/с20,5(9,936,93 - 6.932)}

^{_t = = 27,6106Па = 27,6МПа.}

^{510-3м0,8662}

^{Найдём максимальное значение окружных напряжений:}

^{d_t/dz =0 z = H/2, подставив в (2), получим:}

^{gH2sin 103 9,89,9320,5}

^{max _t = = = 32,2106Па = 32,2МПа.}

^{4cos2 4 510-30,8662}

^{Определим меридиональные напряжения. Рассечём оболочку по параллели с координатой z и рассмотрим равновесие отсечённой части (Рис.11).}

^{F_z = 0 (_m2ztg)cos = G,}

^{Где G = gV; V объём столба жидкости, приходящийся на отсечённую часть конуса:}

^{V = ztg)2z/3 + ztg2z (H z).}

^{Учитывая это, получим:}

^{z gsin( Hz (2/3)z2)}

_^m = .

^{O 2cos2}

Закон распределения меридиональных напряжений - параболический, как и в случае окружных напряжений. Найдём экстремальное значение _m:

^{d_m/dz = 0 z = 3H/4 = 7,45м H₁ ,}

^{т.е. внутреннего экстремума нет и наибольшее значение будет достигнуто при z = 6,93м. Подставляя это значение в формулу для меридиональных напряжений, получим: max _m = 24МПа}

Цилиндрическая часть резервуара. Координату z₁ будем отсчитывать от уровня верха жидкости (Рис.10). Гидростатическая нагрузка равна:

^{q = gz₁,}

^{тогда, учитывая, что _m , а _t = R, из уравнеия Лапласа получим:}

_^t = gRz₁/.

^{Закон распределения линейный. Наибольшие напряжения имеют место при z₁ = H - H₁ = 3м и равны:}

^{max _t = 23,5МПа.}

^{Меридиальные напряжения не зависят от координаты z₁ и определятся, как результат деления веса жидкости всего резервуара площадь поперечного сечения цилиндра: _m = 20,8МПа.}

^{На Рис.12 показаны эпюры напряжений.}



Обратим внимание на то обстоятельство, что несмотря на большие размеры резервуара и его малую толщину, напряжения в нём незначительны. Этим потверждается факт, что оболочки способны при малом расходе материала выдерживать большие нагрузки.

^{2. ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫ}

^{Рассмотрим цилиндр (Рис.13), у которого на соотношение между внутренним и наружным радиусом не наложено никаких ограничений. Нагрузку, действующую на цилиндр, будем считать осесимметричной и постоянной в направлении оси z.}

Введём цилиндрические координаты z, r, . В силу осевой симметрии цилиндра и нагрузки, все искомые функции не зависят от , а т.к. нагрузка постоянна вдоль оси, то и от z. Единственной независимой переменной будет полярный радиус r. Опять же по причине осевой симметрии, элемент, выделенный радиальными и цилиндрическими сечениями (Рис.14), не испытывает сдвига и касательные напряжения по его граням 1 отсутствуют. Т.е. площадки, образующие главные.

^{Поставим себе задачей найти закономерности распределения напряжений.}

^{Приложим к элементу, размер которого в направлении оси z будем считать единичным, усилия и составим уравнение равновесия, проектируя силы на радиус (Рис.15).}

_r rd (d/dr)(_r rd)dr

_^r rd + (d/dr)(_r rd)dr _r rd 2_tdr(d/2) = 0

^{(d/dr)(_r r) _t = 0 (d_r/dr)r + _{r t} = 0.}

^{d_r/dr + (_{r t})/r = 0. (1)}

^{оболочка осесимметричный толстостенный цилиндр}



Выражение (1) представляет собой дифференциальное уравнение равновесия.

^{Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Ввиду осевой симметрии перемещение любой точки направлено по радиусу и зависит только от радиальной координаты: u = u(r). Перемещение точек с полярным радиусом r: kk = u, a точки с радиусом r + dr: mm = u + (du/dr)dr (Рис.16).}

Относительное удлинение в радиальном m n направлении:

^{m n _r = (mk mk)/mk = (mm kk)/mk =}

^{dr k l = (u + (du/dr)dr - u)/dr}

^{k l}

_^r =du/dr (2)

^{r d}

^{Относительное удлинение в окружном направлении:}

_^t = (kl kl )/kl = ((r + u)d rd)/(rd)

_^t = u /r (3)

^{Т.к. деформации _r и _t выражаются через одну и ту же функцию перемещение u, то они не могут быть независимыми и они связаны между собой соотношением, называемым уравнением совместности деформаций.}

^{Из (3) u = _tr; du/dr = (d/dr)(_tr), сопоставляя с (2), имеем:}

^{(d/dr)(d_tr) = _r (d_t/dr)r + _{t r} = 0}

^{d_t/dr + (_{t r})/r = 0 (4)}

^{Обратим внимание на структуру уравнения совместности деформаций. Уравнение (4) аналогично дифференциальному уравнению равновесия (1).}

^{Обратимся к физической стороне задачи. Будем считать, что материал линейно-упругий и следует закону Гука:}

_^r = (1/E)[_r (_t + _z)],

_^t = (1/E)[_t (_z + _r)],

_^z = (1/E)[_z (_r + _t)]. (5)

^{Из последнего уравнения выразим осевые напряжения:}

_^z = E_z + (_r + _t),

^{подставив это в два первых, имеем:}

_^r = ((1 2)/E)[_r (/(1 ))_t],

_^t = ((1 2)/E)[_t (/(1 ))_r]. (5a)

^{Введём функцию напряжений F = F(r), такую, что радиальное и окружное напряжение через неё выражаются:}

_^r = F/r; _t = F = dF/dr. (6)

^{Легко убедится в том , что функция напряжений тождественно удовлетворяет дифференциальному уравнению равновесия (1). Таким образом, отпадает необходимость привлекать к решению уравнение (1), а надо лишь решить уравнение совместности (4), выразив в нём деформации через функцию напряжений. Подставим (6) в (5а):}

_^r = ((1 2)/E)[F/r (/(1 ))F],

_^t = ((1 2)/E)[F (/(1 )(F/r]. (7)

^{Производная от окружной деформации:}

^{d_t/dt = ((1 2)/E)[F (/(1 ))(F/r F/r2)]. (8)}

^{Подставив (7) и (8) в (4), получим следующее дифференциальное уравнение:}

^{F + F/r F/r2 = 0. (9)}

^{Этого уравнения будем искать в форме F = Crn, где С - произвольная постоянная, а n Z.}

^{F = Cnrn-1; F = Cn(n 1)rn-2,}

^{подставив всё это в (9), и учитывая, что С0 и r0, произведём сокращения и получим:}

^{n(n - 1) + n - 1 = 0 (n - 1)(n + 1) = 0 n₁ = 1; n₂ = 1.}

^{Каждому значению n соответствует частное решение уравнения (9), а общее решение получится, как с умма линейно-независимых решений:}

^{F = C₁r + C₂/r (10)}

^{Радиальные и окружные напряжения определятся}

_^r = F/r = C₁ + C₂/r2, (11)

_^t = F = C₁ + C₂ / r2. (12)

^{Это и есть уравнения Ламе для определения напряжений в толстостенном цилиндре. Постоянные интегрирования определяются из граничных условий, т.е. из условий нагружения цилиндра.}

^{Рассмотрим различные случаи нагружения цилиндра.}

^{1) Нагружение цилиндра внутренним давлением.}



Пусть на цилиндр действует внутреннее давление р (Рис.17). Запишем граничные условия:

при r = a: _r = p;

при r = b: _r = 0.

^{Подставляя это в (11), получим систему из двух алгебраических уравнений, из решения которой получим значения произвольных постоянных:}

^{C₁ = pa2/(b2 - a2); C₂ = pa2b2/(b2 - a2).}

^{Подставив это в (11) и (12) получим:}

^pa2

_^t/_r = (1 (b/r)2). (13)

^{b2 - a2}

^{Мы видим, что окружные и радиальные напряжения меняются по гиперболическому закону. Эпюры напряжений показаны на рис.17.}

^{Обратимся к осевым напряжениям. Подставим (13) в выражение для _z, полученное из последнего уравнения (5):}

^_z = E_z + (_r + _t) = E_z + 2pa2/(b2 a2).

^{Оказывается, что осевое напряжение по сечению цилиндра постоянно. Возможнны два различных случая:}

^{1) Цилиндр имеет днище (Рис.18).}

_t = p(a2 + b2)/(b2 a2)

_^z = pa2/(b2 a2)

_^r = p

Сила, растягивающая цилиндр, равна произведению давления на площадь днища. Тогда осевые напряжения равны:

^{_z = pa2/(b2 a2) = pa2/(b2 - a2). (14)}

^{Наиболее опасными являются точки внутреннего контура. Напряжённое состояние в них показано на Рис.18. Если использовать теорию наибольших касательных напряжений (критерий пластичности Треска - Сен-Венана), то эквивалентные напряжения найдутся:}

_^экв = _{1 3} = p(a2 + b2)/(b2 a2) (p)

_^экв=2pb2/(b2 a2) (15)

^{2) цилиндр открыт (например, ствол орудия). Осевые напряжения в этом случае равны нулю. На Рис.19 показано напряжённое состояние в наиболее опасной - внутренней точке. Т.к. эквивалентное напряжение не зависит от осевого напряжения, то оно определяется по той же формуле (15).}

_^t = p(a2 + b2)/(b2 - a2)

_^r = p

Нагружение цилиндра внешним давлением.



Граничные условия запишутся:

при r = a: _r = 0;

при r = b: _r = p.

^{Используя граничные условия, получим формулы для окружного и радиального напряжений.}

^pb2

^{_t/_r = (1 (a/r)2). (16)}

^{b2 - a2}

Закономерности распределения напряжений показаны на Рис.20. Эквивалентные напряжения определяются той же формулой (15).

^{Пример.} Замкнутый толстостенный цилиндр (Рис.21) подвергается действию внутреннего давления р = 50МПа и растягивается внецентренно приложенной силой F = 400кН. Материал сталь: _yt = _yc = 300МПа. Размеры: а = =50м: b = 100мм. Проанализировать напряжённое состояние и определить коэффициент запаса по текучести.



От внутреннего давления в цилиндре возникают напряжения:

^{r = a: _t = p(a2 + b2)/(b2 - a2) = 50МПа(52 + 102)/(102 - 52) =}

^{= 83,3МПа; _r = p = 50МПа;}

^{при r = b: _t = 2pa2/(b2 - a2) = 250МПа52/(102 - 52) = 33,3МПа; _r = 0.}

^{Осевые напряжения _z = pa2/(b2 - a2) = 16,7МПа.}

^{От внецентренного растяжения нормальные напряжения равны:}

_^z = F/A + Fby/I_x, где А = (b2 - a2) = 3,14(102 - 52) = 235,5см2 ;

^{I_x = (2b)4 (1 - (a/b)4 /64 = 3,14204 (1 - 0,54)/64 = 7359см4;}

^{y - координата точки, в которой вычисляются напряжения. Вычислим напряжения в следующих точках (Рис.22):}

точка 1: y = 10см, _z= 400/235,5 + 4001010/7359 = 7,14кН/см2 =

^{= 71,7МПа;}

точка 2: y = 5см, _z= 1,69 + 2,72 = 4,41кН/см2 = 44,1МПа;

точка 3: y = 5см, _z= 1,69 2,72 = 1,03кН/см2 = 10,3МПа;

точка 4: y = 10см, _z= 1,69 5,44 = 3,75кН/см2 = 37,5МПа.

^{Если сложить эти напряжения с _z = 16,7МПА, то мы получим значения _z = _z + _z соответственно равные: 88,4МПа, 60,8МПа, 6,4МПа, 20,8МПа.}

Эквивалентные напряжения по теории наибольших касательных определятся:

^{в точке 1 _экв = 88,4 0 = 88,4МПа;}

^{в точках 2 и 3 _экв = 83,3 (50) = 133,3МПа;}

^{в точке 4 _экв = 33,3 (20,8) =54,1МПа.}

^{Наиболее опасными являются точки внутреннего контура. Коэффициент запаса по текучести равен:}

^{n_y = _yt/_экв = 300/133,3 = 2,25.}

Список литературы

^{1.Барташевич А.А. Материаловедение. - Ростов н/Д.: Феникс, 2008.}

^{2.Вишневецкий Ю.Т. Материаловедение для технических колледжей: Учебник. - М.: Дашков и Ко, 2008.}

^{3.Заплатин В.Н. Справочное пособие по материаловедению (металлообработка): Учеб. пособие для НПО. - М.: Академия, 2007.}

^{4.Материаловедение: Учебник для ВУЗов. / Под ред. Арзамасова Б.Н. - М.: МГТУ им. Баумана, 2008.}

^{5.Материаловедение: Учебник для СПО. / Адаскин А.М. и др. Под ред. Соломенцева Ю.М. - М.: Высш. шк., 2006.}

^{6.Материаловедение: Учебник для СПО. / Под ред. Батиенко В.Т. - М.: Инфра-М, 2006.}

^{7.Моряков О.С. Материаловедение: Учебник для СПО. - М.: Академия, 2008.}

^{8.Основы материаловедения (металлообработка): Учеб. пособие для НПО. / Заплатин В.Н. - М.: Академия, 2008.}

^{9.Ржевская С.В. Материаловедение: Учебник для ВУЗов. - М.: Университетская книга Логос, 2006.}

^{10.Солнцев Ю.П. Материаловедение: Учебник для СПО. - М.: Академия, 2008.}

^{11.Солнцев Ю.П. Материаловедение: Учебник для СПО. - М.: Академия, 2007.}

^{12.Справочник по конструкционным материалам. / Под ред. Арзамасова Б.Н. - М.: МГТУ им. Баумана, 2009.}

^{13.Черепахин А.А. Материаловедение: Учебник для СПО. - М.: Академия.}

^{14.Чумаченко Ю.Т. Материаловедение и слесарное дело: Учеб. пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2009.}

^{15.Чумаченко Ю.Т. Материаловедение: Учебник для СПО. - Ростов н/Д.: Феникс, 2009.}

^{Размещено на Allbest.ru}