Численные методы решения дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Введение

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Лучше всего это делать в виде дифференциальных уравнений (ДУ) или системы дифференциальных уравнений. Наиболее часто такая задача возникает при решении проблем, связанных с моделированием кинетики химических реакций и различных явлений переноса (тепла, массы, импульса) - теплообмена, перемешивания, сушки, адсорбции, при описании движения макро- и микрочастиц.

Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют найти решение в виде аналитической функции, однако эти методы применимы для очень ограниченного класса функций. Большинство уравнений, встречающихся при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов.

В таких случаях используются численные методы решения, которые представляют решение дифференциального уравнения не в виде аналитической функции, а в виде таблиц значений искомой функции в зависимости от значения переменной.

Существует несколько методов численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности результата.

Рассмотрим три основных метода приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: Метод ломанных (Эйлера), метод последовательных приближений (Пикара) и метод разложения решения в степенной ряд.

1. Постановка задачи

Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением (сокращенно ОДУ) является уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

(1)

Основная задача, связанная с этим уравнением, известна как задача Коши: найти решение уравнения (1) в виде функции , удовлетворяющей начальному условию

(2)

Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения (1) обеспечивается следующей теоремой.

Теорема Пикара. Если функция определена и непрерывна в некоторой плоской области G, определяемой неравенствами

(3)

И удовлетворяет в этой области условию Липшица по y: существует такое положительное число М, что для любых точек и

, (4)

То на некотором отрезке существует, и притом только одно, решение y=y(x) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2).

Несмотря на внешнюю простоту уравнения (1), решить его аналитически, т.е. найти общее решение с тем, чтобы затем выделить из него интегральную кривую , проходящую через заданную точку. Поэтому, как и в родственной, для (1) - (2) задаче вычисления интегралов, приходится делать ставку на приближенные способы решения начальных задач для ОДУ, которые можно разделить на три группы:

1) аналитические методы (применение которых дает приближенное решение дифференциального уравнения в виде формулы)

2) графические методы (дают приближенное решение в виде графика)

3) численные методы (искомая функция получается в виде таблицы).

2. Метод Эйлера

погрешность эйлер пикар решение

Метод ломаных Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х).

Метод Эйлера играет важную роль в теории численных методов решения ОДУ, хотя и не часто используется в практических расчетах из-за невысокой точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение

(5)

с начальным условием

(6)

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность

,

пусть - приближенное решение в точке .

Вначале найдем простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке , где достаточно малый шаг. Заметим, что уравнение (5) совместно с начальным условием (6) задают направление касательной к искомой интегральной кривой в точке . Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение решения в точке :

(7)

Располагая приближенным решением в точке , можно повторить описанную выше процедуру: построить прямую, проходящую через эту точку под углом, определяемым условием , и по ней найти приближенное значение решения в точке (заметим, что в отличие от ситуации изображенной на рисунке, эта прямая не есть касательная к реальной интегральной кривой). Если h достаточно мало, то получаемые приближения будут близки к точным значениям решения.

Продолжая эту идею, построим систему равноотстоящих точек . Получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении формулы:

(8)

Вместо интегральной кривой в реальности получается совокупность прямых (так называемая ломаная Эйлера).

Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, в которых решение получается от одного узла к другому, называются пошаговыми. Метод Эйлера - простейший представитель пошаговых методов.

3. Погрешность метода Эйлера

На каждом шаге метода Эйлера допускается локальная погрешность по отношению к точному решению, график которого проходит через крайнюю левую точку отрезка. Кроме того, на каждом шаге, начиная со второго, накапливается глобальная погрешность представляющая собой разность межу численным решением и точным решением исходной начальной задачи (а не локальной).

Локальная ошибка на каждом шаге выражается соотношением

,

где

Глобальная погрешность метода Эйлера в окрестности ведет себя как линейная функция, и, следовательно, метод Эйлера имеет первый порядок точности относительно шага h.

4. Примеры решения задачи в Excel

Задача №1: Методом Эйлера найти значение , где - решение дифференциального уравнения: удовлетворяющее начальному условию , на отрезке , приняв шаг .

Дано: - дифференциальное уравнение

- начальное условие

- интервал

- шаг

Найти: значение

Решение:

Используя формулу Эйлера (8) для приближенного решения ДУ, найдем решение ДУ:

0	0	1,000	1,000	0,100
1	0,1	1,100	1,310	0,131
2	0,2	1,231	1,715	0,172
3	0,3	1,403	2,267	0,227
4	0,4	1,629	3,054	0,305
5	0,5	1,935	4,243	0,424

В приведенной таблице и это начальные условия ДУ, (т.е. подставляем начальные условия в данное дифференциальное уравнение), по формуле Эйлера получаем и т.д.

Значение при x=0.5:

Задача №2: Методом Эйлера найти приближенное решение дифференциального уравнения при , удовлетворяющее начальному условию .

Дано: - дифференциальное уравнение

- начальное условие

Найти: значение

Решение:

Будем находить приближенное решения данного ДУ на отрезке [0, 1] с шагом (выбрали произвольно).

Используя формулу Эйлера (8) для приближенного решения ДУ, найдем решение данного ДУ, аналогично, как и для предыдущего примера:

0	0	1,000	0,000	0,000
1	0,2	1,000	0,200	0,040
2	0,4	1,040	0,416	0,083
3	0,6	1,123	0,674	0,135
4	0,8	1,258	1,006	0,201
5	1	1,459	1,459	0,292

Приближенное решение данного ДУ при :

Сравним полученный приближенный результат с точным решением ДУ, для этого решим данное ДУ:



, подставим начальные условия:

Найдем абсолютную и относительную погрешности вычислений, результаты представим в форме таблицы:

Точное решение	Численное решение
1,000	1,000	0,000	0,000
1,020	1,000	0,020	0,020
1,083	1,040	0,043	0,040
1,197	1,123	0,074	0,062
1,377	1,258	0,119	0,087
1,649	1,459	0,189	0,115

По данным таблицы видно, что на каждом последующем шаге погрешность систематически возрастает.

5. Метод разложения решения в степенной ряд

Рассмотрим сначала дифференциальное уравнение первого порядка (1) с начальным условием (2)

Пусть правая часть уравнения (1) является аналитической функцией в начальной точке , т.е. в некоторой окрестности этой точки может быть разложена в степенной ряд вида



где - целые неотрицательные числа и - постоянные коэффициенты. Тогда существует единственное решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2), причем это решение является аналитическим в точке и, следовательно, может быть представлено в виде ряда Тейлора

(13)

Где

(p=0,1,2…)

и h - некоторое положительное число.

Коэффициент разложения (13) определяется непосредственно из начального условия (2):

;

следующий коэффициент находится на основании дифференциального уравнения (1):

Что касается остальных коэффициентов (p>1) ряда (13), то они могут быть шаг за шагом найдены путем последовательного дифференцирования данного дифференциального уравнения (1). Например, дифференцируя по х обе части уравнения (1) и используя правило дифференцирования сложной функции, будем иметь

Отсюда

где число уже известно.

Далее находим

Аналогично могут быть определены коэффициенты и т.д. и, следовательно, формально построено аналитическое решение у(х).

Метод разложения решения дифференциального уравнения в степенные ряды часто используется как элемент более практичных методов приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. В частности, для некоторых численных методов интегрирования дифференциальных уравнений требуется определить значения искомых функций в нескольких точках. Эти значения при соблюдении известных условий гладкости данного уравнения могут быть с любой степенью точности подсчитаны с помощью степенных рядов.

6. Примеры решения задачи в Maple

Задача №1: Методом разложения в степенной ряд найти значение , где - решение дифференциального уравнения: удовлетворяющее начальному условию , на отрезке , приняв шаг

Дано: - дифференциальное уравнение

- начальное условие

- интервал

- шаг

Найти: значение

Решение:

Полагая и

(),

будем иметь

,

Дифференцируя данное уравнение , получим:

> diff (x+y(x)^2, x);

Отсюда

.

Дифференцируя еще раз, будем иметь

> diff (diff(x+y(x)^2, x), x);

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Поэтому

Аналогично находим остальные производные:

, , .

Таким образом,

Отсюда имеем

Задача №2: Методом разложения в степенной ряд найти приближенное решение дифференциального уравнения при , удовлетворяющее начальному условию .

Дано: - дифференциальное уравнение

- начальное условие

Найти: значение

Решение:

Будем находить приближенное решения данного ДУ на отрезке [0, 1] с шагом (выбрали произвольно).

Имеем: , подставляя начальные условия, получим:

Затем находим вторую производную:

> diff (x*y(x), x);

Подставляя начальные условия, получим:

Находим третью производную:

> diff (diff(x*y(x), x), x);

Подставляем начальные условия:

Далее, находим четвертую производную:

> diff (diff (diff(x*y(x), x), x), x);

Подставляем начальные условия:

и т.д.

Таким образом, используя формулу (13), получаем разложение в степенной ряд:

Подставив в полученное выражение , получим

Сравним полученный приближенный результат с точным решением ДУ:

Точное решение	Численное решение
1,00000	1,00000	0,00000	0,000000
1,02020	1,02020	0,00000	0,000001
1,08329	1,08320	0,00009	0,000080
1,19722	1,19620	0,00102	0,000850
1,37713	1,37120	0,00593	0,004304
1,64872	1,62500	0,02372	0,014388

По результатам таблицы, видно, что погрешность вычислений очень мала.

7. Метод Пикара Пикар Шарль Эмиль (1856-1941) -- французский математик.

Этот метод позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения (1) в виде функции, представленной аналитически.

Пусть в условиях теоремы существования требуется найти решение уравнения (1) с начальным условием (2). Проинтегрируем левую и правую части уравнения (1) в границах от до :

,

или

(9)

Решение интегрального уравнения (9) будет удовлетворять дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2). Действительно, при , получим:



Вместе с тем, интегральное уравнение (9) позволяет применить метод последовательных приближений. Будем рассматривать правую часть формулы (9) как оператор, отображающий всякую функцию (из того класса функций, для которых интеграл, входящий в (9), существует) в другую функцию того же класса:

Если этот оператор является сжимающим (что следует из условия теоремы Пикара), то можно строить последовательность приближений, сходящуюся к точному решению. В качестве начального приближения принимается , и находится первое приближение

Интеграл в правой части содержит только переменную x; после нахождения этого интеграла будет получено аналитическое выражение приближения как функции переменной x. Далее заменим в правой части уравнения (9) y найденным значением и получим второе приближение

и т.д. В общем случае итерационная формула имеет вид

(n=1, 2…) (10)

Циклическое применение формулы (10) дает последовательность функций

(11)

сходящуюся к решению интегрального уравнения (9) (а, следовательно, и дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2)). Это так же обозначает, что k-й член последовательности (11) является приближением к точному решению уравнения (1) с определенной контролируемой степенью точности.

Заметим, что при пользовании методом последовательных приближений аналитичность правой части дифференциального уравнения не обязательна, поэтому метод этот можно применять и в тех случаях, когда разложение решения дифференциального уравнения в степенной ряд невозможно.

8. Погрешность метода Пикара

Оценка погрешности k-го приближения дается формулой

(12)

где y(x) - точное решение, , - константа Липшица из неравенства (4).

На практике метод Пикара используется очень редко. Одна из причин - та, что интегралы, которые необходимо вычислять при построении очередных приближений, чаще всего аналитически не находятся, а применение их для вычисления численных методов так усложняет решение, что становится гораздо удобнее непосредственно применять другие методы, которые изначально являются численными.

9. Примеры решения задачи в Maple

Задача №1: Методом последовательных приближений найти значение , где - решение дифференциального уравнения: удовлетворяющее начальному условию , на отрезке , приняв шаг (расчет вести до второго приближения).

Дано: - дифференциальное уравнение

- начальное условие

- интервал

- шаг

Найти: значение

Решение:

Запишем для данного случая формулу вида (10)

Начальным приближением будем считать функцию

Имеем

> y1:=simplify (1+int (x+1, x=0…x));

Далее получаем

> y2:= simplify (1+int (x+simplify (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

и т.д.

Найдем значение при x=0,5:

Задача №2: Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения при , удовлетворяющее начальному условию .

Дано: - дифференциальное уравнение

- начальное условие

Найти: значение

Решение:

Будем находить приближенное решение данного ДУ на отрезке [0, 1] с шагом (выбрали произвольно).

Запишем для данного случая формулу вида (10)

Начальным приближением будем считать функцию

Имеем

> y1:=simplify (1+int (x*1, x=0…x));

Далее находим второе приближение:

>y2:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x));

Аналогично находим третье приближение:

>y3:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0…x));

и т.д.

Найдем приближенное решение данного ДУ при , для этого в третье приближение вместо x, подставим и получим:

Сравним полученный приближенный результат с точным решением ДУ:

Точное решение	Численное решение
1,000000	1,000000	0,000000	0,000000
1,020201	1,020201	0,000000	0,000000
1,083287	1,083285	0,000002	0,000002
1,197217	1,197172	0,000045	0,000038
1,377128	1,376661	0,000466	0,000339
1,648721	1,645833	0,002888	0,001752

По результатам таблицы, видно, что погрешность вычислений очень мала.

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены основных метода приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: Метод ломанных (Эйлера), метод разложения решения в степенной ряд и метод последовательных приближений (Пикара).

С помощью каждого метода было найдено приближенное решение дифференциального уравнения. Сравним полученные результаты по каждому методу с точным решением дифференциального уравнения:

Точное решение	Метод Эйлера	Метод разложения решения в степенной ряд	Метод Пикара
1,000	1,000	1,000	1,000
1,020	1,000	1,020	1,020
1,083	1,040	1,083	1,083
1,197	1,123	1,196	1,197
1,377	1,258	1,371	1,377
1,649	1,459	1,625	1,646

По результатам таблицы, видно, что наиболее точным из трех рассмотренных методов, является метод последовательных приближений Пикара, относительная погрешность =0,002, менее точен метод Эйлера (=0,115).

В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения дифференциального уравнения имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы.

Список используемой литературы

1. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы. - М.: Академия, 2005. - 384 с.

2. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. - М.: Наука, 1967. - 368 с.

3. Ортега Дж., Пул У. Ведение в численные методы решения дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1986. - 288 с.

4. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970. - 720 с.

5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1974. - 331 с.

6. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. - М.: Высшая школа, 2001. - 382 с.

Размещено на Allbest.ru