Численные методы. Метод Адамса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Актуальность темы. Многие инженерные задачи приводят к необходимости поиска решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих определенным условиям. Однако получить точное решение дифференциального уравнения удается лишь в отдельных случаях, но даже при этом часто получают выражение, содержащее искомую функцию в неявном виде, что затрудняет ее использование. Поэтому в данной работе рассматривается один из способов решение дифференциальных уравнений - метод Адамса.

Цель работы. Изучить метод Адамса для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, выполнить его программную реализацию.

Полученные результаты. В данной работе разработана программная реализация решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса, которая значительно облегчает все виды вычислений. Программа, при дальнейшей доработке, может применяться для решения ряда задач, связанных для приближенных вычислений дифференциальных уравнений.

В первом разделе приведены теоретические сведения, и применения метода Адамса, оценка погрешности при его использовании, а также достоинства и недостатки данного метода.

Во втором разделе описывается решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса на примере, представлена сравнительная характеристика решение, полученного методом Адамса и точным методом решения систем дифференциальных уравнений. Так же, представлено описание алгоритма работы программы, выполняющей вычисления и инструкции по ее применению.

1. Дифференциальные уравнения и методы их решения

Дифференциальные уравнения являются основным математическим инструментом моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике.

Методы их решения подразделяются на два класса:

аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций;

численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их численных значений.

Применение аналитических методов позволяет исследовать полученные решения методами математического анализа и сделать соответствующие выводы о свойствах моделируемого явления или процесса. К сожалению, с помощью таких методов можно решать достаточно ограниченный круг реальных задач. Численные методы позволяют получить с определенной точностью приближенное решение практически любой задачи.

1.1 Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенными дифференциальными уравнениями описывают задачи движения системы взаимодействующих материальных точек, сопротивление материалов и многое другое. Ряд важных задач для уравнений в частных производных также сводятся к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, решение обыкновенных дифференциальных уравнений занимает важное место среди прикладных задач физики, химии, техники.

Конкретная прикладная задача может приводить к дифференциальному уравнению любого порядка или системе уравнений любого порядка. Однако обыкновенные дифференциальные уравнения n-го порядка можно с помощью замены свести к эквивалентной системе n уравнений первого порядка.

Различают три основных типа задач для решения обыкновенных дифференциальных уравнений: задачи Коши, краевые задачи и задачи на собственные значения. В этой курсовой работе будут рассматриваться методы решения задач Коши.

Пусть задано дифференциальное уравнение первого порядка в виде

(1.1)

и начальное условие

(1.2)

Задача Коши состоит в том, чтобы найти функцию

,

являющуюся решением уравнения (1.1) и удовлетворяющую условию (1.2).

методы решения можно условно разбить на точные, приближенные и численные. К точным относятся методы, с помощью которых можно выразить решение дифференциального уравнения через элементарные функции. Приближенные методы - это методы, в которых решение получается как придел некоторой последовательности. Численные методы - это алгоритмы вычисления приближенных значений искомого решения на некоторой выбранной сетке значений аргумента. Решение при этом получается в виде таблицы.

1.2 Метод Адамса для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Этот метод разработан Адамсом в 1855 г. по просьбе известного английского артиллериста Башфорта, занимавшегося внешней баллистикой. Впоследствии этот метод был забыт и вновь открыт в начале века норвежским математиком Штермером.

Пусть для задачи Коши найдены каким-либо способом (например, методом Эйлера или Рунге-Кутта) три последовательных значения искомой функции,

где h - шаг изменения .

Вычислим величины

,

,

,

.

Метод Адамса позволяет найти решение задачи, то есть функцию в виде таблицы. Продолжение вычисленный функции из четырех точек осуществляется по экстраполяционной формуле Адамса:

 (1.3)

затем уточнение проводится по интерполяционной формуле Адамса:

. (1.4)

Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений.

1.3 Анализ погрешности метода Адамса

Из теории приближенных методов известно, что при шаге интегрирования h имеет место оценка

,

так что погрешность одного шага вычислений имеет порядок . Суммарная погрешность за n шагов будет порядка . Отсюда, если увеличить n в два раза. То погрешность уменьшиться примерно в 16 раз. Поэтому для оценки приближенного решения , полученного с шагом h, повторяют вычисление с шагом 2h и за абсолютную погрешность принимают число

,

где - приближенное решение с шагом 2h.

Приведенная оценка является оценкой метода и не учитывает погрешность при округлении.

1.4 Достоинства и недостатки метода Адамса

Чтобы начать расчет методом Адамса, недостаточно знать . Для начала расчета по формуле (1.3) надо знать величину решения в четырех точках . Поэтому надо вычислить недостающие значения каким-либо другим методом, например методом Рунге - Кутта, или разложением по формуле Тейлора с достаточно большим числом членов. При работе на ЭВМ это вдвое увеличивает объем программы. Кроме того, формулы (1.3) громоздки, а несложные формулы (1.4) рассчитаны только на постоянный шаг и требуют нестандартных действий при смене шага: надо перейти к формулам (1.3), сделать по ним четыре шага и снова вернуться к формулам (1.4). Все это делает метод Адамса неудобным для расчетов на ЭВМ.

Внешне этот метод привлекателен тем, что за один шаг приходится только один раз вычислять , которая может быть очень сложной. А в четырехчленной схеме Рунге - Кутта того же порядка точности вычисляется за шаг четыре раза, но шаг можно брать в несколько раз больше, т.е. вычислять за меньшее количество раз, чем в методе Адамса.

Поэтому сейчас метод Адамса и аналогичные методы (например, Милна) употребляются реже метода Рунге - Кутта.

2. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса

Метод Адамса применяется как для решения простых дифференциальных уравнений, так и для их систем.

2.1 Постановка задачи

Методом Адамса найти решение системы уравнений на отрезке с точностью

где - заданные константы

2.2 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса

В данную систему уравнений подставим значения коэффициентов и начальные условия. Получим

адамс дифференциальный уравнение результат

Методом Адамса найдем решение этой системы на заданном отрезке. Для этого вычислим методом Рунге-Кутта несколько начальных значений функции.

Выберем шаг и, для краткости, введем и

Рассмотрим числа:

Согласно методу Рунге-Кутта последовательные значения определяются по формуле

где

. (2.1)

Подставив в эти формулы начальные значения получим

Дальше вычисления продолжаем по методу Адамса. Все расчеты записываем в таблицах 2.1 и 2.2.

Таблица 2.1

0	0	3		0,8000	0,0893	-0,0711	0,0636	-2		1,1000	0,1002	-0,1162	0,1040
1	0,1	3,3672		0,8893	0,0183	-0,0075	0,0680	-2,1586		1,2002	-0,0160	-0,0122	-0,3354
2	0,2	3,4944		0,9076	0,0108	0,0605	0,0512	-2,0867		1,1841	-0,0282	-0,3476	0,7024
3	0,3	3,5964	0,9445	0,9183	0,0713	0,1117	-0,1448	-1,9906	1,1757	1,1559	-0,3758	0,3548	-0,6647
4	0,4	4,5409	1,0761	0,9897	0,1831	-0,0330	0,1605	-0,8149	0,3215	0,7801	-0,0210	-0,3099	0,8201
5	0,5	5,6169	1,3300	1,1727	0,1500	0,1275	-0,1562	-0,4934	1,1598	0,7590	-0,3309	0,5102	-0,9910
6	0,6	6,9469	1,3297	1,3227	0,2775	-0,0288	0,2023	0,6664	-0,1157	0,4281	0,1793	-0,4809	1,1396
7	0,7	8,2766	1,8523	1,6003	0,2488	0,1735	-0,2240	0,5507	1,2171	0,6074	-0,3016	0,6587	-1,3700
8	0,8	10,1290	1,9028	1,8490	0,4223	-0,0505		1,7678	-0,4170	0,3058	0,3571	-0,7113
9	0,9	12,0318	2,6306	2,2713	0,3718			1,3508	1,5432	0,6629	-0,3542
10	1	14,6623	2,7239	2,6431				2,8940	-0,6786	0,3086

Таблица 2.2

0	0	3	8	-2	11
1	0,1	3,3672	8,893	-2,1586	12,0016
2	0,2	3,4944	9,0755	-2,0867	11,8412
3	0,3	3,5964	9,1834	-1,9906	11,5588
4	0,4	4,5409	9,8967	-0,8149	7,8005
5	0,5	5,6169	11,7272	-0,4934	7,5905
6	0,6	6,9469	13,2274	0,6664	4,2813
7	0,7	8,2766	16,0025	0,5507	6,0738
8	0,8	10,129	18,4902	1,7678	3,0578
9	0,9	12,0318	22,7128	1,3508	6,6286

Полученные по формуле (1.3) значения необходимо уточнить, рассчитав их по формуле (1.4). Полученные данные запишем в таблицу.

Таблица 2.3

0	0
1	0,1
2	0,2
3	0,3	0,9445	0,946075	1,1757	1,010942
4	0,4	1,0761	1,069808	0,3215	0,710767
5	0,5	1,3300	1,256483	1,1598	0,647071
6	0,6	1,3297	1,444138	-0,1157	0,441063
7	0,7	1,8523	1,733608	1,2171	0,537967
8	0,8	1,9028	2,037263	-0,4170	0,381975
9	0,9	2,6306	2,470742	1,5432	0,602158
10	1	2,7239	2,6431	-0,6786	0,3086

2.3 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений точным методом

Для решения системы выразим из первого уравнения

.

Находим производную функции

.

Подставим полученное значение по второе уравнение

.

Заменим это уравнение на параметрическое и решим его. Получим корни уравнения

Общее решение имеет вид

Учитывая начальные условия система принимает вид

Решив систему получим

Подставив полученные значения в общее решение системы получим

2.4 Сравнение результатов решения

2.5 Описание программы

Описание реализации пунктов алгоритма и руководство для пользователя

Дана система дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями и отрезок отделения корня. Перед началом работы в соответствующие поля на форме необходимо ввести недостающие коэффициенты и запустить программу.

Программа начинает работу с расчета начальных значений функции по методу Рунге-Кутта и, подставив их в уравнения метода Адамса, производит последующие вычисления. После расчетов значений функции в соответствующих точках производиться уточнение полученных данных.

В результате вычислений на форме программы появляются заполненные таблицы с расчетами

Блок-схема

Результаты тестирования

Вывод

В данной курсовой работе изучены методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

На основе изученных литературных источников разработан алгоритм и программа для решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Адамса.

Проведены расчеты, подтверждающие эффективность работы программы и доказывающие возможность ее использования в различных областях науки и техники. При доработке программа может быть использована не только для решения систем дифференциальных уравнений методом Адамса. Но и для решения круга задач.

Приведенные в работе результаты тестирования программы доказывают эффективность ее работы.

Приложение

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, Grids;

type

TForm1 = class(TForm)

Button1: TButton;

StringGrid1: TStringGrid;

StringGrid2: TStringGrid;

StringGrid3: TStringGrid;

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

Label5: TLabel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

Label8: TLabel;

Label9: TLabel;

Label10: TLabel;

Label11: TLabel;

Label12: TLabel;

Edit1: TEdit;

Edit2: TEdit;

Edit3: TEdit;

Edit4: TEdit;

Edit5: TEdit;

Edit6: TEdit;

procedure Button1Click (Sender: TObject);

private

{Private declarations}

public

{Public declarations}

end;

var

Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1. Button1Click (Sender: TObject);

var

ddqk, k:array [0.. 10,0..10] of real;

x, y, z, dy, dz, p, q, dp, dq, d2p, d2q, d3p, d3q, yh, zh, ddp, ddq, ddp1, ddq1:array [0..10] of real;

i, j:integer;

k1:array [0..10] of integer;

n:real;

x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, h, g, gg:real;

dy0, dz0:real;

a, b, c, e, f:string;

begin

a:= edit1. Text;

b:= edit2. Text;

c:= edit3. Text;

e:= edit5. Text;

f:= edit6. Text;

x[0]:=strtoint(a);

y[0]:=strtoint(b);

z[0]:=strtoint(c);

g:=strtoint(e);

gg:=strtoint(f);

 // 2) Вычисляем начальные условия, где

 //x[0]:=0; y[0]:=3; z[0]:=-2;

h:=0.1;

for i:=0 to 3 do

begin

k [1, i]:=0.1 *(x[i]+y[i]);

k [2, i]:=x[i]+(h/2)+(y[i]+(k [1, i]/2))*h;

k [3, i]:=x[i]+(h/2)+(y[i]+(k [2, i]/2))*h;

k [4, i]:=x[i]+h+(y[i]+k [3, i])*h;

k [5, i]:=0.1*(x[i]+z[i]);

k [6, i]:=x[i]+(h/2)+(z[i]+(k [5, i]/2))*h;

k [7, i]:=x[i]+(h/2)+(z[i]+(k [6, i]/2))*h;

k [8, i]:=x[i]+h+(z[i]+(k [7, i]))*h;

 // 3) Из полученных коэффициентов вычисляем

dy[i]:=(1/6)*(k [1, i]+2*k [2, i]+2*k [3, i]+k [4, i]);

dz[i]:=(1/6)*(k [5, i]+2*k [6, i]+2*k [7, i]+k [8, i]);

 // 4) Вычисляем первое приближение

y [i+1]:=y[i]+dy[i];

z [i+1]:=z[i]+dz[i];

x[i]:=0.1+x[i];

end;

 // 5) Полученные y-ки подставляем в формулу

for i:=0 to 3 do

begin

p[i]:=(g*y[i] - z[i])*h;

q[i]:=(y[i] - gg*z[i])*h;

end;

 // 6) Вычисляем разности

dp[0]:=p[1] - p[0];

dp[1]:=p[2] - p[1];

dp[2]:=p[3] - p[2];

dq[0]:=q[1] - q[0];

dq[1]:=q[2] - q[1];

dq[2]:=q[3] - q[2];

ddp[0]:=dp[1] - dp[0];

ddp[1]:=dp[2] - dp[1];

ddq[0]:=dq[1] - dq[0];

ddq[1]:=dq[2] - dq[1];

ddp1 [0]:=ddp[1] - ddp[0];

ddq1 [0]:=ddq[1] - ddq[0];

 // 7) Дальше вычисляем y и z по формуле Адамса

for i:=4 to 10 do

begin

 // 1)

y[i]:=y[i]+p[i]+0.5*dp [i-1]+(5/12)*ddp [i-2]+(3/8)*ddp1 [i-3];

 // 2)

z[i]:=y[i]+q[i]+0.5*dq [i-1]+(5/12)*ddq1 [i-2]+(3/8)*ddq1 [i-3];

 // 3)

p[i]:=(2*y[i] - z[i])*h;

q[i]:=(y[i] - 4*z[i])*h;

 // 4)

dp[i]:=p[i] - p [i-1];

dq[i]:=q[i] - q [i-1];

ddq[i]:=dq[i] - dq [i-1];

ddq[i]:=dq[i] - dq [i-1];

ddp1 [i]:=ddp[i] - ddp [i-1];

ddq1 [i]:=ddq[i] - ddq [i-1];

end;

 // 8) Уточняем z и y по формуле и записываем в таблицу

for i:=4 to 10 do

begin

y[i]:=y [i-1]+p [i-1]+0.5*dp [i-2] - (1/12)*ddp [i-3] - (1/24)*ddp1 [i-4];

z[i]:=z [i-1]+q [i-1]+0.5*dq [i-2] - (1/12)*ddq [i-3] - (1/24)*ddq1 [i-4];

end;

 // 9) Расчитываем правую часть, подставляя z' и y' в начальную систему.

for i:=0 to 10 do

begin

yh[i]:=2*y[i] - z[i];

zh[i]:=y[i] - 4*z[i];

end;

 // заполнение табл 1 k

for i:=0 to 10 do

begin

stringgrid1. Cells [0, i]:=inttostr(i);

end;

 // заполнение табл 1 xk

stringgrid1. Cells [1,0]:=floattostr(0);

stringgrid1. Cells [1,1]:=floattostr (0.1);

stringgrid1. Cells [1,2]:=floattostr (0.2);

stringgrid1. Cells [1,3]:=floattostr (0.3);

stringgrid1. Cells [1,4]:=floattostr (0.4);

stringgrid1. Cells [1,5]:=floattostr (0.5);

stringgrid1. Cells [1,6]:=floattostr (0.6);

stringgrid1. Cells [1,7]:=floattostr (0.7);

stringgrid1. Cells [1,8]:=floattostr (0.8);

stringgrid1. Cells [1,9]:=floattostr (0.9);

stringgrid1. Cells [1,10]:=floattostr(1);

 // заполнение табл 1 yk

for i:=0 to 10 do

stringgrid1. Cells [2, i]:=floattostr (y[i]);

 // заполнение табл 1 dyk

for i:=0 to 10 do

stringgrid1. Cells [3, i]:=floattostr (dy[i]);

 // заполнение табл 1 pk 4

for i:=0 to 10 do

stringgrid1. Cells [4, i]:=floattostr (p[i]);

 // заполнение табл 1 dpk

for i:=0 to 10 do

stringgrid1. Cells [5, i]:=floattostr (dp[i]);

 // заполнение табл 1 d2pk

for i:=0 to 10 do

stringgrid1. Cells [6, i]:=floattostr (ddp[i]);

 // заполнение табл 1 d3pk

for i:=0 to 10 do

stringgrid1. Cells [7, i]:=floattostr (ddp1 [i]);

 // заполнение табл 1 zk

for i:=0 to 10 do

stringgrid1. Cells [8, i]:=floattostr (z[i]);

 // заполнение табл 1 dzk

for i:=0 to 10 do

stringgrid1. Cells [9, i]:=floattostr (dz[i]);

 // заполнение табл 1 qk 10

for i:=0 to 10 do

stringgrid1. Cells [10, i]:=floattostr (q[i]);

 // заполнение табл 1 dqk

for i:=0 to 10 do

stringgrid1. Cells [11, i]:=floattostr (dq[i]);

 // заполнение табл 1 d2qk

for i:=0 to 10 do

stringgrid1. Cells [12, i]:=floattostr (ddq[i]);

 // заполнение табл 1 d3qk

for i:=0 to 10 do

stringgrid1. Cells [13, i]:=floattostr (ddq[i]);

 // заполнение табл 2 k

for i:=0 to 10 do

begin

stringgrid2. Cells [0, i]:=inttostr(i);

end;

 // заполнение табл 2 xk

stringgrid2. Cells [1,0]:=floattostr(0);

stringgrid2. Cells [1,1]:=floattostr (0.1);

stringgrid2. Cells [1,2]:=floattostr (0.2);

stringgrid2. Cells [1,3]:=floattostr (0.3);

stringgrid2. Cells [1,4]:=floattostr (0.4);

stringgrid2. Cells [1,5]:=floattostr (0.5);

stringgrid2. Cells [1,6]:=floattostr (0.6);

stringgrid2. Cells [1,7]:=floattostr (0.7);

stringgrid2. Cells [1,8]:=floattostr (0.8);

stringgrid2. Cells [1,9]:=floattostr (0.9);

stringgrid2. Cells [1,10]:=floattostr(1);

 // заполнение табл 2 dyk

for i:=0 to 10 do

stringgrid2. Cells [2, i]:=floattostr (dy[i]);

 // заполнение табл 2 dzk

for i:=0 to 10 do

stringgrid1. Cells [3, i]:=floattostr (dz[i]);

 // заполнение табл 3 k

for i:=0 to 10 do

begin

stringgrid3. Cells [0, i]:=inttostr(i);

end;

 // заполнение табл 3 xk

stringgrid3. Cells [1,0]:=floattostr(0);

stringgrid3. Cells [1,1]:=floattostr (0.1);

stringgrid3. Cells [1,2]:=floattostr (0.2);

stringgrid3. Cells [1,3]:=floattostr (0.3);

stringgrid3. Cells [1,4]:=floattostr (0.4);

stringgrid3. Cells [1,5]:=floattostr (0.5);

stringgrid3. Cells [1,6]:=floattostr (0.6);

stringgrid3. Cells [1,7]:=floattostr (0.7);

stringgrid3. Cells [1,8]:=floattostr (0.8);

stringgrid3. Cells [1,9]:=floattostr (0.9);

stringgrid3. Cells [1,10]:=floattostr(1);

 // заполнение табл 3 yk

for i:=0 to 10 do

stringgrid3. Cells [2, i]:=floattostr (y[i]);

 // заполнение табл 3 yh

for i:=0 to 10 do

stringgrid3. Cells [3, i]:=floattostr (yh[i]);

 // заполнение табл 3 zk

for i:=0 to 10 do

stringgrid3. Cells [4, i]:=floattostr (z[i]);

 // заполнение табл 3 zh

for i:=0 to 10 do

stringgrid3. Cells [5, i]:=floattostr (zh[i]);

end;

end.

Размещено на Allbest.ru