Численные методы решения уравнений
Методы хорд и итераций, правило Ньютона. Интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона и Эрмита. Точечное квадратичное аппроксимирование функции. Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.02.2012 |
| Размер файла | 871,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1
83
Содержание
- Численные методы
- §1. Приближённое решение уравнений
- §2. Метод хорд
- §3. Правило Ньютона (метод касательных)
- §4. Комбинированный метод
- §5. Метод итераций
- §6. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа
- §7. Дополнительный член формулы Лагранжа
- §8. Интерполяционная формула Ньютона
- §9. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита
- §10. Эмпирические формулы
- §11. Точечное квадратичное аппроксимирование функций
- §12. Нормальная система определения коэффициентов для метода наименьших квадратов
- §13. Численное дифференцирование. Вычисление производной по её определению
- §14. Конечно-разностные аппроксимации производных
- §15. Использование интерполяционных многочленов Лагранжа для формул численного дифференцирования
- §16. Численное интегрирование.Формула прямоугольников
- §17. Формула трапеций
- §18. Формула Симпсона (парабол)
- §19. Приемы приближенного вычисления несобственных интегралов
- §20. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Понятие о численном решении задачи Коши
- §21. Метод Эйлера
- § 22. Методы Рунге - Кутта
- §23. Приближенное решение систем уравнений. Приближенное решение систем линейных уравнений
- §24. Приближенные методы решения систем нелинейных уравнений
Численные методы
§1. Приближённое решение уравнений
Рассмотрим задачу нахождения нулей функции f (x), т.е. корней уравнения f (x) =0. предположим, что интересующий нас корень изолирован, т.е., что найден содержащий его промежуток [a, b], в котором других корней нет.
Если на концах отрезка [a, b] функция f (x) имеет значения f (а) и f (b) разных знаков, то по 1 теореме Больцано - Коши, деля на части аk, bk, содержащее корень, и определяя знак функции f в точках деления, можно произвольно сужать этот промежуток и таким образом осуществлять приближённое вычисление корня. Такой метод называется методом половинного деления. Однако этот приём, не смотря на его принципиальную простоту, на практике часто оказывается непригодным, так как требует слишком большого количества вычислений.
Рассмотрим основные приёмы приближённого вычисления изолированного корня уравнения f (x) =0. При этом будем использовать основные понятия и методы дифференцированного исчисления.
Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
(1) функция f в промежутке [a, b] непрерывна вместе со своими производными f (x) и f (х);
(2) значения f (а) и f (b) функции на концах промежутка имеют разные знаки f (а) f (b) 0;
(3) обе производные f' (x) и f (х) сохраняют каждая определённый знак на всём промежутке [a, b].
Тогда уравнение f (x) =0 на этом промежутке имеет единственный корень.
Следствия: Из непрерывности функции f и условия (2) следует, что между а и b содержится корень уравнения f (x) =0. Так как производная f (x) сохраняет знак, то f в промежутке [a, b] возрастает или убывает и, следовательно, обращается в 0 лишь однажды, корень изолирован.
Условие (3) геометрически означает, что кривая y=f (x) не только идёт в одном направлении, но к тому же строго выпукла или вогнута, смотря по знаку f (х). На чертеже изобразим 4 возможных случая, соответствующих различным комбинациям знаков f (x) и f (х).
§2. Метод хорд
Если промежуток [a, b] достаточно мал, то с приближением можно считать, что при изменении х в его пределах - приращение функции f (x) пропорционально приращению аргумента. Обозначая через корень функции, имеем, в частности,
,
откуда, с учётом того, что
численный метод дифференциальное уравнение
f () =0,=a-.
Таким образом, за приближённое значение корня принимается число
(1).
Это выражение можно представить и в такой форме:
(2).
Изложенное правило получения приближённого значения корня называется правилом пропорциональных частей. Оно допускает простое геометрическое истолкование. Заменим дугу М1М2 хордой М1М2. Уравнение хорды может
быть записано в виде:
.
Правило по существу сводится к тому, что вместо точки пересечения с осью Ox дуги М1М2 мы находим точку пересечения с осью Oх её хорды.
Действительно, полагая в уравнении хорды y=0 для абсциссы х1 точки D, мы получаем именно выражение (1). В связи с этим правило пропорциональных частей называют методом хорд.
Рассмотрим вопрос о положении точки х1 по отношению к корню . Ясно, что точка х1 лежит между а и b, но с какой стороны от ?
В случаях I и IV А левее D, а в случаях II и III - А правее D. Ограничимся случаями I и IV, применим снова выведенное правило, на этот раз к промежутку [x1, b], заменяя в (1) а на х1, получим новое приближённое значение корня :
,
содержащееся, по доказанному между х1 и . Этот процесс можно продолжать неограниченно и построить последовательность возрастающих приближённых значений:
a<x1<x2<…<xn<…<.
При этом любые два последовательных значения хn и хn+1 связаны формулой:
(3).
Очевидно, что , т.к. (хn) - возрастающая и ограниченная сверху числом последовательность. Если перейти к пределу в равенстве (3), используя при этом непрерывность функции f, то получим, что
,
откуда f () =0. Т.к. других корней уравнения f (x) =0, кроме , в промежутке [a, b] нет, то = . Таким образом, применив достаточное число раз указанное выше правило, можно вычислить корень с любой степенью точности. При этом остаётся открытым вопрос, как оценить точность уже вычисленного приближённого значения хn. Для решения его применим к разности f (xn) - f () формулу конечных приращений
f (xn) - f () = (xn-) f' (c), <c<xn (>c>xn).
Отсюда , если обозначить через m наименьшее значение f ' (x) в рассматриваемом промежутке (которое можно вычислить), то получим оценку
xn-.
Так по самой величине f (xn) оказывается возможным судить о близости xn к корню.
Пример. Уравнение х3-2х2-4х-7=0 имеет корень между 3 и 4, так как, если f (x) =x3-2x2-4x-7, то f (3) =-10<0, f (4) =9>0. Вычислим этот корень с точностью =0,01. В промежутке [3,4] обе производные f' (x) =3x2-4x-4 и f" (x) =6x-4 сохраняют знак "плюс". Наименьшее значение первой из них равно m=11.
Имеем:
округляя, положим х1=3,52. Т.к. f (3,52) = - 2,246592, то по неравенству для оценки точности, требуемая точность ещё не достигнута.
Продолжаем:
или, округляя, х2=3,61. Вычислим f (3,61) =-0,458319 и, пользуясь формулой оценки, снова видим, что цель ещё не достигнута. Наконец,
или, округляя, положим х3=3,63. Т.к. мы округлили в сторону корня, то могли и перескочить через него; что этого не произошло видно по знаку числа f (3,63) = - 0,041653.
На этот раз . Таким образом, 3,630<<3,634, то есть =3,63+0,004.
Метод хорд все же мало эффективен, поэтому рассмотрим еще несколько методов решения уравнений.
§3. Правило Ньютона (метод касательных)
Пусть f удовлетворяет тем же условиям:
(1) f (x) непрерывна в [a, b] вместе со своими производными f', f”;
(2) f (a) и f (b) имеют разные знаки;
(3) обе производные f' и f" сохраняют каждая определённый знак во всём [a, b].
Кроме того, искомый корень f (x) =0 изолирован в [a, b]: a<<b. Отправляясь от какого-нибудь из концов этого промежутка, например, от b, запишем формулу Тейлора с дополнительным членом в форме Лагранжа:
.
Отбрасывая дополнительный член, приближённо положим: f (b) +f' (b) (-b) =0, откуда . Таким образом, мы приходим к приближённому значению корня : (2).
Получение этого значения можно наглядно использовать геометрически.
Рассмотрим касательную к кривой y=f (x) в точке М2 с абсциссой b. Её уравнение имеет вид: y-f (b) =f' (b) (x-b). Полагая здесь у=0, найдём абсциссу точки Т1 пересечения касательной с осью Оx, она в точности совпадает с точкой х1, найденной выше. Значит, суть дела в приближённой замене дуги кривой М1М2 - касательной к ней в одном из её концов.
Это правило, называемое именем Ньютона, называется также методом касательных.
Покажем, что если значение f (b) одного знака с f" (x), то х1 лежит между и b.
Действительно, т.к. f (b) и f ' (b) одного знака, то из ясно, что x1<b. С другой стороны, из (1) и (2) следует:
.
Но f" (x) в рассматриваемом случае имеет одинаковый знак с f ' (x), следовательно, -х1<0 или <x1<b.
Аналогично, если исходить из точки а, и касательную к кривой провести в точку М1 (с абсциссой а), то взамен (2), получим приближённое значение . Относительно вычисленного по этой формуле значения можно установить, как и выше: если значение f" (x) имеет одинаковый знак с f ' (x), то x1 лежит между а и . Таким образом, для каждого из четырёх возможных случаев понятно, с какого конца гарантирована успешность приближения к корню по правилу Ньютона. Повторное применение его в случаях I и IV дает последовательность убывающих значений:
b>x1>x2>…>xn>xn+1>…>,
а в случаях II и III - последовательность возрастающих значений:
a<x1<x2<…<xn<xn+1<…<.
Причём вычисление последующего значения по предыдущему всегда производится по формуле:
(3).
Покажем, что . Монотонная и ограниченная последовательность имеет конечный предел . Переходя к пределу в (1), с учётом непрерывности обеих функций f и f' найдём , откуда f () =0 и =. Таким образом, правило Ньютона, повторно применённое, позволяет вычислить корень с любой степенью точности. При этом точность уже вычисленного приближённого значения оценивается по формуле:
.
Обозначим через М наибольшее значение в заданном промежутке [a, b] и через m - наименьшее значение на [a, b]. Отсюда тогда получим:
.
Поскольку справа стоит квадрат, этим обеспечено весьма быстрое приближение xn к (по крайней мере, начиная с некоторого места), что и делает метод касательных одним из самых эффективных методов приближённого вычисления корня.
Замечание: Последнее неравенство выполняет ещё одну функцию. Если точность приближённого значения xn уже найдена то последнее неравенство позволяет оценить точность ещё не вычисленного значения xn+1. Это может оказаться полезным при решении вопроса о том, на каком знаке целесообразно его округлять.
Пример. Вычислить внутри отрезка [3,4] с точностью до е=0,01 корень уравнения х3-2х2-4х-7=0,Решение: f (x) =x3-2x2-4x-7, f (3) =-10<0, f (4) =9>0, f' (x) =3x2-4x-4>0, f" (x) =6x-4>0 при 3 х 4.
Методом хорд мы нашли =3,63+0,004. Наименьшее значение есть m=11. Отправляемся от b=4, так как в этом конце отрезка [3,4] знак f (x) совпадает со знаком f" (x). Тогда, используя формулу (2) получим: округляя, положим х1=4-0,3=3,7. Т.к. f (x1) =f (3,7) =1,473, то по неравенству имеем:
т.е. достигнутая точность недостаточна. Далее,
положим x2=3,7-0,066=3,634. На этот раз f (x2) =f (3,634) =0,042…, так что в силу того же неравенства: . Поэтому 3,630<<3,634 и =3,63 с требуемой точностью. Получение этого результата методом хорд потребовало трёх шагов.
§4. Комбинированный метод
Этот метод состоит в одновременном использовании как метода касательных, так и метода хорд. Для определённости предположим, что мы имеем дело со случаем I.
Приближенные значения x1 и x1'
вычислим по формулам:
тогда по доказанному: . При следующем же шаге мы заменяем в этих формулах a и b на x1 и x1':
;
.
Этот процесс можно продолжать; имея два приближённых значения xn и xn', между которыми содержится корень , мы переходим к следующей паре приближенных значений по формулам:
.
Таким образом, при комбинированном методе мы получаем одновременно с недостатком и с избытком приближённые значения корня, которые стремятся к точному с разных сторон.
Пример. Найти корни уравнения 2x3-x2-7x+5=0 с точностью до е =0,001.
Решение: Подставляя целочисленные значения в выражение функции f (x) =2x3-x2-7x+5, находим, что искомые корни содержатся в промежутках:
.
Решим для первого неравенства, то есть в промежутке (-2,-1):
f ' (x) =6x2-2x-7>0, f '' (x) =12x-2<0.
Значит, это случай (II). Так как, f (-2) =-1<0, f (-1) =9>0, то правило Ньютона применяем к левым концам промежутков. Имеем f' (-2) =21 и следующие значения x1' и x1:
Округляя x1' в сторону уменьшения, получим число - 1,96 > 1.
Если же округлить его в сторону увеличения, т.е. в сторону корня, то получим число - 1,95; но f (-1,95) =0,01775>0, то есть в этом случае мы перескочим через корень. Это обстоятельство выгодно для нас, ибо даёт возможность сузить промежуток, содержащий корень, и отбросив прежнее значение x1, положить x1'= - 1,96, x1= - 1,95.
Далее имеем f (-1,96) = - 0,180672, f ' (-1,96) =19,9696,,
.
Поскольку 1 должно быть заключено между этими границами, то ясно, что так что требуемая точность превзойдена.
Оставшиеся два случая рассмотреть самостоятельно.
§5. Метод итераций
Рассмотрим вначале сущность итерационного метода. В отличие от прямых или точных методов, итерационные дают возможность получить решение лишь приближенно, путем повторения некоторой совокупности операций, позволяющей по исходному приближенному значению решения определить его уточненное значение. Выполнение этой совокупности операций составляет одну итерацию. Многократное повторение итераций позволяет получать все более точное решение при условии, что итерационный процесс сходится к искомому решению.
Если данное уравнение f (x) =0 приведено к виду x= (x), где ' (х) r1 всюду на отрезке [a, b], на котором оно имеет единственный корень, то исходя из некоторого начального значения х0, принадлежащего отрезку [a, b], можно построить такую последовательность: х1= (х0), х2= (х1),…, хn= (xn-1),…. Пределом этой последовательности является единственный корень уравнения f (x) =0 на отрезке [a, b]. Погрешность приближенного значения xm корня определяется неравенством: .
Пример: Методом итераций решить с точностью до 0,01 уравнение x3-12x-5=0.
Решение:
Найдем интервал изоляции действи - тельного корня уравнения. представим данное уравнение в виде x3=12x+5 и построим графики двух функций y = x3 (1) и y=12x+5 (2). Абцисса точки М пересечения этих графиков на ходится в промежутке [-1,0], поэтому за начальное значение можно взять . Запишем исходное уравнение в виде: . Здесь , , то есть в промежутке [-1,0] и поэтому метод итераций применим. Найдем теперь первое приближенное значение:
Найдём второе и последующие приближения:
; ; .
Следовательно, искомый корень x0,42.
Замечание 1. Уравнение y=f (x) можно записать иначе. Одним из самых распространенных представлений является представление в виде: x=x+cf (x), где с - произвольная постоянная.
Замечание 2. Для нахождения приближенного значения корня с погрешностью, не превышающей , достаточно определить m так, чтобы выполнялось неравенство .
§6. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа
Пусть для некоторой функции f (x), определённой на [a, b] вычислены (m+1) её значений в точках x0, x1, …, xm: f (x0), f (x1), f (xm) и требуется по этим значениям вычислить значение f (x) при некотором новом значении x. В этом состоит простейшая задача интерполирования. Обычно задачу понимают так: ищется многочлен L (x) наинизшей степени, который в заданных точках xi (k=0,1,…, m), называемых узлами интерполирования, принимает те же значения f (xi), что и функция f (x), и приближённо полагают для любого x из [a, b] f (x) L (x).
Подобное приближённое равенство называется интерполяционной формулой. Итак, нужно прежде всего найти интерполяционную формулу, а затем при определённых предположениях относительно функции f (x) - оценить погрешность приближённой формулы.
Для отыскания многочлена L (x), удовлетворяющего условиям L (xi) = f (xi) (i=0,1,…,m), удобно ввести базисный многочлен m-й степени lk (x), k=0,1,…,m, который, соответственно индексу, принимает значение 1 при x = xk и обращается в 0 при x=xi, если i k.
Замечание 1. Индекс этого многочлена, в отличие от общепринятых обозначений многочленов, указывает не степень, а номер многочлена k.
Конкретизируем многочлен lk (x). Так как при при x=xi, если i k имеет место lk (x) =0, то его можно записать в виде:
так как при x = xk имеет место lk (x) =1, то подставляя в выражение lk (x) значения x = xk и приравнивая результат единице, получим:
В результате получим:
, (1)
а многочлен L (x) = вычисляется по формуле:
(2)
Тогда многочлен удовлетворяет всем из условий L (xi) = f (xi). Степень этого многочлена не выше m и значит условиями L (xi) =f (xi) он определяется однозначно; его называют интерполяционным многочленом Лагранжа, а приближённое равенство f (x) L (x) - интерполяционной формулой Лагранжа.
Замечание. многочлен lk (x) можно записать более сжато, если ввести выражение w (x) = (x-x0) (x-x1) … (x-xm), обращающееся в 0 в узлах интерполирования x0, x1,…, xm.
Покажем это: (xxk) а
(xk-x0) … (xk-xk-1) (xk-xk+1) … (xk-xm) =
Таким образом, и . (3)
§7. Дополнительный член формулы Лагранжа
Оценим разность f (x) - L (x), где x-любое фиксированное значение из отрезка a, b, отличное от узлов интерполирования. Предположим, что функция f (z) на этом отрезке имеет производные всех порядков до (m+1) - го включительно. Какова бы ни была постоянная К, функция (z) =f (z) - l (z) - Kw (z) тоже имеет (m+1) производных и к тому же обращается в 0 в узлах xi (i=0,1,…,m). выберем постоянную K так, чтобы и при z = x было (x) =0, т.е. положим
(1), (так как xxi, то w (x) 0).
По теореме Ролля в (m+1) промежутках между m+2 корнями x, x0, x1, …, xm функции (z) найдётся m+1 различных корней её производной ' (z). Применяя снова теорему Ролля к функции ' (z) и к m промежуткам между её (m+1) корнями, установим существование m различных корней второй производной и так далее. Продолжая это рассуждение, на (m+1) - ом его шаге придём к существованию корня (m+1) - й производной (m+1) (z), так что:
(m+1) () =0 (a<<b) (2).
Но L (m+1) (z) 0 ибо степень многочлена L (z) не выше m, a w (m+1) (z) (m+1)! Учитывая определение вспомогательной функции (z), имеем:
(m+1) (z) =f (m+1) (z) - K (m+1)!
Так что из (1) получается, что . Окончательно получим:
(a<<b) (3).
Это интерполяционная формула Лагранжа с дополнительным членом. В отличие от f (x) L (x) она является точной.
Замечание: Если на отрезке [a, b] то, так как на этом отрезке , получаем такую оценку для погрешности формулы f (x) L (x): .
§8. Интерполяционная формула Ньютона
Пусть f (x0), f (x1), f (xm) - (m+1) значений некоторой функции y=f (x), определённой на [a, b], которые вычислены в узловых точках x0, x1, …, xm. При этом функция y=f (x) задана на сетке равностоящих узлов интерполирования xk=kh (k=0,1,…, m) и для нее построена таблица конечных разностей.
Замечание 1. Конечные разности представляют собой выражения вида:
вплоть до k-го порядка включительно (при этом , где i=0,1,2,.,n).
Таблица конечных разностей.
|
|
|||||||
|
|
|||||||
|
… |
|||||||
|
… |
|||||||
|
… |
|||||||
|
… |
|||||||
|
… |
|||||||
|
… |
… |
||||||
Будем строить интерполяционный многочлен Pn (x) в виде:
(1)
Его n+1 коэффициент находится из n+1 интерполяционных равенств (i=0,1,…, n) следующим образом: пусть i=0, x=x0, тогда , а по условию интерполяции , следовательно, а0=у0.
Аналогичными рассуждениями, при i=1 выводится равенство
в которое подставим уже найденное значение а0=у0. Разрешая полученное равенство относительно а1 получим
.
При i=2 имеем:
отсюда
и в результате получим:
.
В итоге, аk коэффициент вычисляется по формуле: (это можно доказать, применив метод математической индукции). Подставляя найденные коэффициенты в формулу (1) получим многочлен
. (2)
Полученный многочлен называется первым интерполяционным многочленом Ньютона.
Так как каждое слагаемое многочлена, начиная со второго, содержит множитель , то многочлен (2) наиболее приспособлен для интерполирования в окрестности узла . В таких случаях узел называется базовым. Введем новую переменную q, которая определяется равенством: , то есть . Тогда и многочлен Ньютона примет вид:
(3)
Полученная формула называется первой интерполяционной формулой Ньютона
Замечание 2. Первая интерполяционная формула Ньютона обычно применяется при значениях , для интерполирования вперед (при , то есть при ).
Так как реально степени интерполяционных многочленов бывают не так велики, в то время как таблицы значений функций достаточно обширны, и так как в реальной числовой таблице нет никаких индексов - номеров узлов, то за базовый для формулы (3) узел можно принимать узел, ближайший к заданной фиксированной точке x, если за ним имеется достаточное число узлов для построения необходимых для (3) разностей. Поскольку в первой формуле Ньютона используются исходящие диагонали таблицы конечных разностей (см. таб.), то такое смещение узла, принимаемого за базовый, в конце таблицы будет неприемлемо.
Учёт этого обстоятельства приводит к потребности в симметричной, в определённом смысле слова, формулы для (3), которая была бы пригодной для интерполирования в конце таблицы. Для этого, в отличие от (1), форма интерполяционного многочлена берётся такой, которая предусматривает поочерёдное подключение узлов в обратном порядке: сначала последний, потом предпоследний и так далее, то есть
(4)
Его коэффициенты находится из n+1 интерполяционных равенств (i=0,1,…, n) аналогичным выше изложенному способом, но подстановка узловых точек вместо х и рассмотрение интерполяционных равенств производится в обратном порядке. Полагая x=xn, x=xn-1, …, x=x1 получим:
,
, отсюда ,
,
Следовательно
и так далее.
в результате: (это можно доказать, применив метод математической индукции). Подставляя найденные коэффициенты в формулу (*) получим многочлен
(5)
Полученный многочлен называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона в котором базовым является узел xn и коэффициенты которого определяются конечными разностями, расположенными на восходящей от yn диагонали.
Пусть , то есть введем новую переменную q, которая определяется равенством: и преобразуем к ней входящие в (5) разности. Тогда и многочлен Ньютона примет вид:
(6)
Полученная формула называется второй интерполяционной формулой Ньютона.
Замечание 3. Вторая интерполяционная формула Ньютона обычно применяется при значениях , для интерполирования назад при , то есть в окрестности узла xn.
Дополнительный член формулы Ньютона.
Замечание 4. Конечноразностный многочлен Ньютона является одной из форм представления интерполяционного многочлена Лагранжа, поэтому справедливо представление остаточного члена в форме Лагранжа.
То есть, многочлен w (x) - вспомогательный многочлен формулы Лагранжа, с учетом того, что m=n, преобразуется к (новой переменной) следующим образом: w (x) = (x-x0) (x-x1) … (x-xm) =, тогда
для первой интерполяционной формулы Ньютона,
для второй интерполяционной формулы Ньютона.
В итоге точное равенство имеет вид: f (x) =Pn (x+qh) +Rn (x+qh).
§9. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита
Можно поставить более общую задачу интерполирования, задав в узлах x0, x1,…, xm, кроме значений самой функции f, также и значения последовательных её производных:
(1)
где n0, n1,…, nm - неотрицательные целые числа. Общее число этих условий равно (n0+1) + (n1+1) +…+ (nm+1) =N.
Задача вычисления функции f (x) при любом отличном от узлов значении x на [a, b] с использованием всех данных (1) понимается так: имеется многочлен H (x) наинизшей степени, который в каждом узле xi, вместе со своими производными до порядка ni включительно, принимает те же значения, что и сама функция f и её соответствующие производные, а затем приближенно предполагается, что f (x) H (x) (2). Узлы xi называются узлами интерполирования соответственно кратности ni+1.
Можно доказать существование и единственность многочлена H (x) степени не выше N-1, удовлетворяющего всем поставленным условиям. Его называют интерполяционным многочленом Эрмита, а формулу (2) - интерполяционной формулой Эрмита.
Замечание 1. Если все ni положить равными 0, то получится формула Лагранжа f (x) L (x).
Замечание 2. Если взять один лишь узел x0, но кратности (n+1), т.е. от многочлена не выше n-й степени T (x) потребовать, чтобы в точке x0 его значение и значения n его производных совпадали, соответственно, со значениями самой функции f (x) и её производных, то получится многочлен Тейлора.
Таким образом, формула Лагранжа f (x) L (x) и приближенная формула f (x) T (x) (многочлен Тейлора) являются частными случаями интерполяционной формулы Эрмита.
Дополнительный член формулы (2), восстанавливающий её точность, выводится с помощью рассуждений, аналогичных приведённым выше. Рассмотрим многочлен N-ой степени:
и положим для a z b
Ф (z) =f (z) - H (z) - K (z),
где K=const.
Если предположить, что функция f (z) на отрезке [a, b] имеет N последовательных производных, то это будет справедливо и для Ф (z). Фиксируя значения z=x, отличное от узлов, мы выберем постоянную К так:
( (х) 0) (3)
при таком выборе функция Ф (х) обращается в 0 и при z=x. Всего она будет иметь N+1 корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
Определение. Число называется корнем р-ой кратности функции Ф (z), если обращает в 0 вместе с Ф (z) и р-1 её производных.
Применяя последовательно теорему Ролля как и выше (с тем лишь усложнением, что каждый кратный корень функции Ф (z) ещё в течение нескольких шагов будет фигурировать и как корень её последовательных производных), окончательно придём к утверждению, что в некоторой точке обратится в 0 производная Ф (N) (z). Отсюда и в виду (3)
(4).
§10. Эмпирические формулы
Пусть, изучая функциональную зависимость y=f (x) мы провели ряд измерений величин x и y и в результате получили таблицу значений;
|
x |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
|
y |
y1 |
y2 |
… |
yn |
Если аналитическое выражение функции f (x) неизвестно или весьма сложно, то возникает практически важная задача: найти эмпирическую формулу , значения которой при x=xi возможно мало отличалось бы от опытных данных yi . В такой постановке наша задача весьма неопределённа, поэтому обычно, по ряду соображений, указывают достаточно узкий класс функций К (например, множество функций линейных, показательных и так далее), которому должна принадлежать искомая функция и дело, таким образом, сводится к нахождению лишь наилучших значений параметров. Во многих случаях класс К определяется требованием простоты эмпирической формулы; иногда этот класс подсказывается самой природой явления.
Геометрически задача построения эмпирической формулы состоит в проведении кривой Г вида из некоторого класса К "возможно ближе примыкающей" к системе точек Mi (xi,yi), i=1,2,…,n. Разумеется, при этом должен быть выяснен точный математический смысл понятия близости кривой Г и конфигурации точек М.
Заметим, что задача построения эмпирической формулы отлична от задачи интерполирования. Как правило, исходный материал весьма обширен и ищется сравнительно простая аналитическая зависимость между данными переменными x, y. Эта зависимость обычно не сводится к интерполяционным формулам (которые дают значения, совпадающие в заданных точках с заданными значениями), так как график эмпирической функции вообще говоря, не проходит точно через соответствующую систему точек Mi (xi,yi) . Кроме того, сами исходные эмпирические данные xi и yi, как правило, являются приближёнными и содержат ошибки. Поэтому интерполяционная формула, повторяющая эти ошибки, не говоря даже об её сложности, не является идеальным решением поставленной задачи. Возможно простая эмпирическая формула, сглаживающая местные неправильности, лучше отобразит действительность.
Построение эмпирической формулы слагается из двух этапов:
выяснение общего вида этой формулы,
2) определение лучших её параметров.
Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y, то вид эмпирической формулы является произвольным. Предпочтение отдаётся простым формулам, обладающим хорошей точностью. Если отсутствуют сведения о промежуточных данных, то обычно предполагается, что эмпирическая функция аналитическая, без точек разрыва, и график её - плавная кривая.
При известном навыке по положению точек, определяющих некоторую гладкую кривую, можно примерно угадать общий вид зависимости путём установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых (отдельные неправильности при этом игнорируются).
Во многих случаях можно ограничиться многочленом . Нередко употребляются другие элементарные функции (дробно-линейная, степенная, показательная, логарифмическая т.п.). Имеются приёмы, облегчающие выбор вида эмпирической формулы. Что касается определения наилучших значений параметров, входящих в эмпирическую формулу, то эта задача более лёгкая, и решается определёнными методами.
Замечание: При построении эмпирической формулы можно предполагать, что исходные данные (xi, yi) положительны.
Действительно, если бы, например, все xi<0 (или все yi<0), то достаточно рассмотреть таблицу значений (-xi, yi) или соответственно (xi, - yi). Аналогично при xi<0, yi<0 достаточно построить эмпирическую формулу для таблицы (-xi, yi).
Пусть теперь имеем общий случай, когда знаки xi и yi переменные. Так как таблица значений (xi, yi) конечна, то всегда можно подобрать положительные числа m и n такие, что i=m+xi>0 и i=n+yi>0. Отсюда получаем, что решение поставленной задачи сводится к нахождению эмпирической формулы для системы положительных значений (i, i). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать таблицы с положительными элементами.
§11. Точечное квадратичное аппроксимирование функций
Метод наименьших квадратов.
При точечном квадратичном аппроксимировании за меру отклонений многочлена
(1)
от данной функции на множестве точек принимают величину
(2)
называемую квадратичным отклонением (способ наименьших квадратов).
Для построения аппроксимирующего многочлена требуется подобрать коэффициенты так, чтобы величина S была наименьшей. Предположим, что mn. В случае m=n коэффициенты aj можно определить из системы уравнений
, (3)
причём S=0 и приходим к проблеме интерполирования функций. При m<n система (3), вообще говоря, несовместна. Кроме того, следует иметь в виду, что во многих случаях значения функции f (x) определяются эксперементально и содержат ошибки, поэтому сама постановка о точном решении системы (3) теряет смысл.
Для решения задачи аппроксимирования воспользуемся общим приёмом дифференциального исчисления, а именно, найдём частные производные от величины
,
где , по всем переменным . Приравнивая эти частные производные нулю, получим для определения неизвестных систему m+1 уравнений с m+1 неизвестными.
(4)
Введём обозначения
(k=0,1,2,…)
(k=0,1,2,…)
Преобразуя систему (4) и используя введённые обозначения, будем иметь
(5) где s0=n+1.
Теорема. если среди точек нет совпадающих и mn; то определитель системы (5) отличен от нуля и, следовательно, эта система имеет единственное решение .
Многочлен (1) с такими коэффициентами будет обладать минимальным квадратичным отклонением Smin. Если m=n, то аппроксимирующий многочлен Qm (x) совпадает с многочленом Лагранжа для системы точек причём Smin=0.
Замечание. На практике обычно бывает, что степень многочлена Qm (x) значительно меньше числа точек xi (i=0,1,…,n) и поэтому построение точного интерполяционного многочлена, вообще говоря, невозможно. Таким образом, аппроксимирование функций представляет собой более общий процесс, чем интерполирование.
Пример. Подобрать аппроксимирующий многочлен второй степени для данных
|
x |
0,78 |
1,56 |
2,34 |
3,12 |
3,81 |
|
|
y |
2,50 |
1, 20 |
1,12 |
2,25 |
4,28 |
Решение. Вычисления, которые нам нужно произвести, расположим по схеме (для m=2, n=4) в таблице 1:
|
x0 |
x |
x2 |
x3 |
x4 |
y |
xy |
x2y |
|
|
1 |
x0 |
x02 |
x03 |
x04 |
y0 |
x0y0 |
x02y0 |
|
|
1 |
x1 |
x12 |
x13 |
x14 |
y1 |
x1y1 |
x12y1 |
|
|
1 |
x2 |
x22 |
x23 |
x24 |
y2 |
x2y2 |
x22y2 |
|
|
1 |
x3 |
x32 |
x33 |
x34 |
y3 |
x3y3 |
x32y3 |
|
|
1 |
x4 |
x42 |
x43 |
x44 |
y4 |
x4y4 |
x42y4 |
|
|
s0 |
s1 |
s2 |
s3 |
s4 |
t0 |
t1 |
t2 |
Для данного примера получим таблицу 2 (вычисления проводим с тремя десятичными знаками).
Таблица 2. Вычисления по способу наименьших квадратов.
|
x0 |
x |
x2 |
x3 |
x4 |
y |
xy |
x2y |
|
|
1 |
0,78 |
0,608 |
0,475 |
0,370 |
2,50 |
1,950 |
1,521 |
|
|
1 |
1,56 |
2,434 |
3,796 |
5,922 |
1, 20 |
1,872 |
2,920 |
|
|
1 |
2,34 |
5,476 |
12,813 |
29,982 |
1,12 |
2,621 |
6,133 |
|
|
1 |
3,12 |
9,734 |
30,371 |
94,759 |
2,25 |
7,020 |
21,902 |
|
|
1 |
3,81 |
14,516 |
55,306 |
210,717 |
4,28 |
16,307 |
62,128 |
|
|
5 |
11,61 |
32,768 |
102,761 |
341,750 |
11,35 |
29,770 |
94,604 |
Отсюда система для определения коэффициентов a0, a1, a2 имеет вид:
Решив систему, будем иметь: a0=5,045; a1=-4,043; a2=1,009.
Следовательно, искомый многочлен имеет вид: y=5,045-4,043x+1,009x2.
Сравним исходные значения для y с соответствующими значениями . Соответствующие результаты приведём в таблице 3.
Таблица 3. Погрешность вычисления по способу наименьших квадратов.
|
x |
y |
|||
|
0,78 |
2,50 |
2,505 |
+0,005 |
|
|
1,56 |
1, 20 |
1, 194 |
-0,006 |
|
|
2,34 |
1,12 |
1,110 |
-0,010 |
|
|
3,12 |
2,25 |
2,252 |
+0,002 |
|
|
3,81 |
4,28 |
4,288 |
+0,008 |
§12. Нормальная система определения коэффициентов для метода наименьших квадратов
Пусть известен вид эмпирической формулы
(1)
Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами a1, a2,…,am считаются те, для которых сумма квадратов отклонений
(2),
будет минимальной. Отсюда, используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получаем так называемую нормальную систему для определения коэффициентов ai
(3).
Если система (3) имеет единственное решение, то оно будет искомым.
Утверждение. Система (3) упрощается, если эмпирическая функция является линейной относительно параметров
Доказательство:
пусть ,
тогда будем иметь:
,
где .
Отсюда, (4)
Введя сокращённые обозначения
и
систему (4) можно записать в виде нормальной системы
(5)
В частном случае, если эмпирическая формула представляет многочлен (для удобства обозначений изменим нумерацию коэффициентов ai)
Y=a0+a1x+…+amxm, то .
Отсюда: , .
Следовательно, нормальная система (5) будет иметь вид:
(6)
Замечание 1. Метод наименьших квадратов обладает тем преимуществом, что если сумма S квадратов отклонений i мала, то сами эти отклонения также малы по абсолютной величине.
Замечание 2. Недостатком метода наименьших квадратов является громоздкость вычислений. Поэтому к нему прибегают обычно при обработке наблюдений высокой точности, когда нужно получить также весьма точные значения параметров. в этом случае промежуточные вычисления нужно проводить с надлежащим количеством десятичных знаков, так как в противном случае при неблагоприятных условиях искомые коэффициенты будут иметь мало верных знаков. Но грубые значения этих коэффициентов могут быть получены значительно проще, т.е. применение метода не будет оправдано.
Пример. Используя метод наименьших квадратов, вывести эмпирическую формулу для табличной функции Q=f (x), Q-количество вещества в процентах, оставшегося в системе через t минут от начала химической реакции.
|
t |
7 |
12 |
17 |
22 |
27 |
32 |
37 |
|
|
Q |
83,7 |
72,9 |
63,2 |
54,7 |
47,5 |
41,4 |
36,3 |
Пусть y=ax2+bx+c. Для вычисления коэффициентов нормальной системы введем таблицу.
|
t0 |
t1 |
t2 |
t3 |
t4 |
Q |
tQ |
t2Q |
|
|
1 |
7 |
49 |
343 |
2401 |
83,7 |
585,9 |
4101,3 |
|
|
1 |
12 |
144 |
1728 |
20736 |
72,9 |
874,8 |
10497,6 |
|
|
1 |
17 |
289 |
4913 |
83521 |
63,2 |
1074,4 |
18264,8 |
|
|
1 |
22 |
484 |
10648 |
234256 |
54,7 |
1203,4 |
26474,8 |
|
|
1 |
27 |
729 |
19683 |
531441 |
45,5 |
1282,5 |
34627,5 |
|
|
1 |
32 |
1024 |
32768 |
10485576 |
41,4 |
1324,8 |
42393,6 |
|
|
1 |
37 |
1364 |
50653 |
1874161 |
36,3 |
1343,1 |
49694,7 |
|
|
7 |
154 |
4088 |
120736 |
3795092 |
399,7 |
7688,9 |
186054,3 |
Тогда имеем следующую систему нормальных уравнений:
Решив эту систему, получим: b=-2,6066, c=100,791.
Следовательно, искомая эмпирическая формула запишется так:
=0,02338 t2-2,6066t+100,791
Следующая таблица показывает согласованность полученной эмпирической формулы с опытными данными:
|
i |
Q |
, вычисленное по формуле =0,02338 t2-2,6066t+100,791 |
Отклонение |
|
|
1 |
83,7 |
83,69 |
+0,01 |
|
|
2 |
72,9 |
Подобные документы
Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015Методы численного интегрирования, основанные на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей. Геометрическое представление метода Гаусса с двумя ординатами. Численные примеры и сравнение методов. Решение систем алгебраических уравнений.
курсовая работа [413,4 K], добавлен 11.06.2014Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации. Полиномиальная интерполяция функции методом Ньютона с разделенными разностями. Среднеквадратическое приближение функции. Численное интегрирование функций методом Гаусса.
курсовая работа [2,4 M], добавлен 14.04.2009Приближенные числа и действия над ними. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Интерполирование и экстраполирование функций. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Отделение корня уравнения. Поиск погрешности результата.
контрольная работа [604,7 K], добавлен 18.10.2012Предмет и методы изучения дифференциальной векторно-матричной алгебры, ее структура. Векторное решение однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Численное решение векторно-матричных уравнений. Формулы построения вычислительных процедур.
реферат [129,3 K], добавлен 15.08.2009Формирование системы их пяти уравнений по заданным параметрам, ее решение методом Гаусса с выбором главного элемента. Интерполяционный многочлен Ньютона. Численное интегрирование. Решение нелинейных уравнений. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
контрольная работа [115,5 K], добавлен 27.05.2013Решение нелинейных уравнений. Отделения корней уравнения графически. Метод хорд и Ньютона. Система линейных уравнений, прямые и итерационные методы решения. Нормы векторов и матриц. Метод простых итераций, его модификация. Понятие про критерий Сильвестра.
курсовая работа [911,6 K], добавлен 15.08.2012Смысл метода Ньютона для решения нелинейных уравнений. Доказательства его модификаций: секущих, хорд, ложного положения, Стеффенсена, уточненного для случая кратного корня, для системы двух уравнений. Оценка качества метода по числу необходимых итераций.
реферат [99,0 K], добавлен 07.04.2015Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов.
курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011Методы численного дифференцирования. Вычисление производной, простейшими формулами. Численное дифференцирование, основанное на интерполяции алгебраическими многочленами. Аппроксимация многочленом Лагранжа. Дифференцирование, с использованием интерполяции.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 15.02.2016
