Решение систем уравнений различными способами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1. Метод Гаусса

a. В электронных таблицах MS Excel составить такую систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными, чтобы коэффициенты системы и свободные члены были целые числа от 0 до 10, полученные с помощью функции-генератора случайных чисел.

b. Решить полученную систему уравнений методом исключений Гаусса с выбором главного элемента.

Решение

Составили систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными

Запишем расширенную прямоугольную матрицу коэффициентов системы

Алгоритм метода главных элементов состоит в следующем:

Среди элементов матрицы a_ij, j = 1, n выбираем наибольший по модулю а₂₃ = 10.

Матрицу М преобразуем: из каждой i-ой неглавной строки вычтем почленно главную строку, умноженную на m_t. В результате получится матрица, у которой все элементы главного столбца, за исключением самого главного элемента равны нулю.

m₁ = 0,9; m₃ = 0,6; m₄ = 0,1; m₅ = 0,2.

Получим новую матрицу M₁ с меньшим на единицу числом строк и столбцов, отбрасывая из полученной матрицы М главную строку и столбец.

Наибольший по модулю элемент а₃₁ = 8,8.

Получим новую матрицу M₂ с меньшим на единицу числом строк и столбцов, отбрасывая из полученной матрицы М₁ главную строку и столбец.

Наибольший по модулю элемент а₂₁ = -6,25.

Получим новую матрицу M₃ с меньшим на единицу числом строк и столбцов, отбрасывая из полученной матрицы М₂ главную строку и столбец.

Наибольший по модулю элемент а₁₁ = -5.

Объединим все главные строки, начиная с последней строки.

Полученная матрица, эквивалентная исходной.

4,4167х₅ = 12,7465 х₅ = 2,5925;

-5х₄ = 1,9091 - 1,5455х₅ х₄ = 0,4195;

-6,25х₂ = 4,0341 + 0,25х₄ - 2,4205 х₅ х₂ = 0,3418;

8,8х₁ = 4,5 - 2,2х₂ - 2,2х₄ - 2,7х₅ х₁ = -0,4744;

10х₃ = 5 - 2х₁ - 8х₂ - 8х₄ - 3х₅ х₃ = -0,7919;

Ответ: х₁ = -0,4744; х₂ = 0,3418; х₃ = -0,7919; х₄ = 0,4195; х₅ = 2,5925.

Задание 2. Интерполяционный многочлен Ньютона

a. В электронных таблицах MS Excel задать таблично функцию в точках 0, 1, 2, …, 10 так, чтобы ее значения были целые числа от 0 до 10, полученные с помощью функции-генератора случайных чисел.

b. Для полученной функции построить интерполяционный многочлен Ньютона.

c. Вычислить значения полученного интерполяционного многочлена в точках

0, 1, 2, …, 10.

Решение

Пусть для функции y = f (x) заданы значения y_i = f(x_i) для равностоящих значений независимых переменных:

x_n = x₀ +nh, где h - шаг интерполяции.

Необходимо найти полином P_n (x) степени не выше n, принимающий в точках (узлах) x_i значения:

P_n (x_i) = y_i, i=0,…, n. (1)

Интерполирующий полином ищется в виде:

Р_n(X) = a₀ + a₁(X - X₀) + a₂(X - X₀) (X - X₁) + … + a_n(X - X₀)… (X - X_n-₁) (2)

Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов а_i из условий:

P_n(x₀)=y₀,

P_n(x₁)=y₁,

. .

P_n(x_n)=y_n.

Найдем коэффициент а₁.

Для определения а₂, составим конечную разность второго порядка.

Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид:

Подставляя эти выражения в формулу (2), получаем:

(3)

где x_i, y_i - узлы интерполяции;

x - текущая переменная;

h - разность между двумя узлами интерполяции h - величина постоянная, т.е. узлы интерполяции равноотстоят друг от друга.

Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона.

С помощью функции-генератора случайных чисел задаем таблицу значений функцию в точках 0, 1, 2, …, 10.

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Y	4	9	2	7	9	6	3	4	8	5	4

Составим таблицу конечных разностей функции.

х	у	у	2у	3у	4у	5у	6у	7у	8у	9у	10у
0	4	5	-12	24	-39	52	-58	56	-50	40	6
1	9	-7	12	-15	13	-6	-2	6	-10	46
2	2	5	-3	-2	7	-8	4	-4	36
3	7	2	-5	5	-1	-4	0	32
4	9	-3	0	4	-5	-4	32
5	6	-3	4	-1	-9	28
6	3	1	3	-10	19
7	4	4	-7	9
8	8	-3	2
9	5	-1
10	4

Воспользуемся формулой (3)

После выполнения преобразований получим интерполяционный многочлен вида:

Вычислим значения полученного интерполяционного многочлена.

Р₁₀(0) = 4 Р₁₀(6) = 2,9994

Р₁₀(1) = 9 Р₁₀(7) = 3,9964

Р₁₀(2) = 2 Р₁₀(8) = 7,9875

Р₁₀(3) = 7 Р₁₀(9) = 4,8935

Р₁₀(4) = 9 Р₁₀(10) = 4,4251

Р₁₀(5) = 6

Задание 3. Численное интегрирование

Функция определена на отрезке [-1; 5] (k - номер варианта).

· используя метод интегрирования по частям, вычислить интеграл ;

· используя метод прямоугольников вычислить этот же интеграл с точностью 0,1;

· используя метод трапеций вычислить этот же интеграл с точностью 0,1.

Решение

Используя метод интегрирования по частям, вычислим интеграл

I 2,41210¹⁶

Для расчетов составим расчетную таблицу.

По формуле прямоугольников

Пусть f(х) = , тогда разобьем отрезок интегрирования на 20 частей, с шагом h= и составим таблицу, в которой найдены середины отрезков , i = 1, 2, …, 10 и значение функции в этих точках .

№	xi			уi
1.	-1	-0,85	-0,0006	-0,00005
2.	-0,7	-0,55	-0,0122	-0,0032
3.	-0,4	-0,25	-0,0922	-0,0380
4.	-0,1	0,05	0,2229	-0,1328
5.	0,2	0,35	14,2645	2,7967
6.	0,5	0,65	168,3946	54,4614
7.	0,8	0,95	574,4374	406,5242
8.	1,1	1,25	-12589,4758	-1046,5234
9.	1,4	1,55	-2,42E+05	-6,37E+04
10.	1,7	1,85	-1,79E+06	-7,46E+05
11.	2	2,15	4,90E+06	-2,48E+06
12.	2,3	2,45	2,85E+08	5,67E+07
13.	2,6	2,75	3,31E+09	1,08E+09
14.	2,9	3,05	1,07E+10	7,89E+09
15.	3,2	3,35	-2,55E+11	-2,29E+10
16.	3,5	3,65	-4,80E+12	-1,27E+12
17.	3,8	3,95	-3,48E+13	-1,47E+13
18.	4,1	4,25	1,07E+14	-4,63E+13
19.	4,4	4,55	5,68E+15	1,15E+15
20.	4,7	4,85	6,49E+16	2,13E+16
21.	5		7,07E+16

По формуле средних прямоугольников получим:

(-0,0006 - 0,0122+ … +1,15E+15 + 2,13E+16= 0,3(7,07E+16) 2,12110¹⁶

По формуле трапеции получим:

(-0,0032 - 0,038+ … +1,15E+15 + 2,13E+16 = 0,3(9,90E+16) 2,96910¹⁶

Ответ: интеграл равен:

2,41210¹⁶ - по методу интегрирования по частям;

2,12110¹⁶ - по методу прямоугольников;

2,96910¹⁶ - по методу трапеций.

Задание 4. Решение нелинейных уравнений

Функция определена на отрезке [-1; 5] (k - номер варианта).

Найти один корень уравнения:

· методом дихотомии;

· методом касательных.

Решение

f(х) = ,

Для нахождения минимума и максимума функции необходимо вычислить 1-ую производную функции.

Так как в задании требуется найти только одни корень, то можно уменьшить заданный интервал до интервала, в котором будет находиться минимум и максимум функции.

Построим график первой производной на интервале [-1; 1] (рис. 1).

На интервале [-0,5; 0] производная меняет знак с «-» на «+», значит на этом интервале расположена точка минимума.

На интервале [0,5; 1] производная меняет знак с «+» на «-», значит на этом интервале расположена точка максимума.

Приравняем f (x) нулю и вычислим корень уравнения. Так как е^8х > 0, то для нахождения точки экстремума надо решить уравнение 8sin3x + cos3x = 0.

Обозначим F(x) = 8sin3x + cos3x и решим уравнение методом дихотомии.

Метод дихотомии заключается в следующем.

1. Задать интервал [а, b], на котором корень уравнения существует. Функция на границах данного интервала должна иметь разные знаки, т.е. F(a) F(b)<0.

2. Найти середину интервала по формуле

3. Выбрать из полученных двух половин: [а, Х] и [Х, b] интервала [а, b] ту, на которой находится корень по условию F(a) F(X)<0.

Если данное условие выполняется, то корень находится на [а, Х], правую границу интервала [а, b] перенесем в середину интервала: b=Х. Перейти в п. 2.

Иначе: корень - на интервале [Х, b]; тогда левую границу интервала [а, b] перенесем в середину интервала: а=Х. Перейти в п. 2.

Зададим точность вычисления е = 0,1.

Рассмотрим интервал [-0,5; 0].

Вычислим значение функции на границах интервала.

F(a) = F (-0,5) = 8sin (-1,5) + 3cos (-1,5) = -7,77

F(b) = F(0) = 8sin(0) + 3cos(0) = 3

Функция на границах интервала имеет разные знаки, значит, решение лежит в указанном интервале.

Итерация 1.

Определяем середину отрезка и вычисляем значение функции в этой точке F(Х) = F (-0,25) = 8sin (-0,75) + 3cos (-0,25) = -3,26 Функция на границах интервалов [a, c] и [c, b] имеет разные знаки, значит, в каждом из этих интервалов есть корень.

F (-0,25) > 0,1.

Точность не достигнута.

F(а) F(Х) = -7,77(-3,26) > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = -0,25.

Итерация 2.

F (-0,125) = -0,14 F (-0,125) > 0,1.

Точность не достигнута.

F(а) F(Х) = -3,26(-0,14) > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = -0,125.

Итерация 3.

F (-0,0625) = 1,46 F (-0,0625) > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) F(Х) = -0,141,46 < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = -0,0625.

Итерация 4.

F (-0,09375) = 0,66 F (-0,09375) > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) F(Х) = -0,140,66 < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = -0,09375.

Итерация 5.

F (-0,109375) = 0,26 F (-0,109375) > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) F(Х) = -1,40,26 < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = -0,09375.

Итерация 6.

F (-0,1171875) = 0,06 F (-0,1171875) < 0,1.

Точность достигнута.

Корень уравнения Х = -0,1171875.

f_min (-0,1171875) = -0,135

Ответ: x = -0,1171875; f_min (-0,1171875) = -0,135

Точку максимум определяем на интервале [0,5; 1].

Вычислим значение функции на границах интервала.

F(a) = F (0,5) = 8sin (1,5) + 3cos (1,5) = 8,19

F(b) = F(1) = 8sin(3) + 3cos(3) = -1,84

Итерация 1.

F (0,75) = 4,34 F (0,75) > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) F(Х) = 8,194,34 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 0,75.

Итерация 2.

F (0,875) = 1,34 F (0,875) > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) F(Х) = 4,341,34 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 2,75.

Итерация 3.

F (0,9375) = -0,25 F (0,9375) > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) F(Х) = 1,34(-0,25) < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = 0,9375.

Итерация 4.

F (0, 90625) = 0, 55 F (2, 9375) > 0, 1.

Точность не достигнута.

F(a) F(Х) = 1,340,55 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 0,90625.

Итерация 5.

F (0,92875) = 0,15 F(092875) > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) F(Х) = 0,550,15 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 0,921875.

Итерация 6.

F (0,9296875) = -0,05 F (0,9296875) < 0,1.

Точность достигнута.

Корень уравнения Х = 0,9296875.

Вычисли 2-ую производную f = 20cos (3,03125) + 99sin (3,03125) = -8,98 < 0, значит это точка максимума.

f_mах (0,9296875) = 586,447

Ответ: x = 0,9296875; f_mах (0,9296875) = 586,447

Найти один корень уравнения:

Для нахождения экстремума методом касательных надо решить уравнение

F (x) = 24cos3x - 9sin3x

Если х₀ - начальное приближение корня уравнения f(x) = 0, то последовательные приближения находят по формуле:

Минимум лежит в пределах [-0,5; 0].

Итерация 1.

Вычисляем значения функций в точке х₀ = 0.

F(х₀) = 8sin(0) + 3cos(0) = 3

F '(х₀) = 24

х₁= 0 - 0,333 = -0,333

Итерация 2.

Вычисляем значения функций в точке х₁= -0.125.

F(х₁) = -0,1387

х₂= -0,125 + 0,0058 = -0,1192

Итерация 3.

Вычисляем значения функций в точке х₂= -0,1192.

F(х₂) = 0,0094

F ' (-0,1192) = 25,6320

Точность достигнута.

f_min (-0,1192) = -0,135

Максимум лежит в пределах [0,5; 1].

Итерация 1.

Вычисляем значения функций в точке х₀ = 1.

F(х₀) = 1,8410

F '(х₀) = 25,0299

х₁= 1 - 0,0736 = 0,9264

Итерация 2.

Вычисляем значения функций в точке х₁= 0,9264.

F(х₁) = 0,0297

х₂= 0,9264 + 0,0012 = 0,9276

Итерация 3.

Вычисляем значения функций в точке х₂= 0,9276.

F(х₂) = -0,0007

Точность достигнута.

f_mах (0,9276) = 586,540

Ответ: 293,156 по методу дихотомии;

293,203 по методу касательных

Задание 5. Метод Рунге - Кутта четвертого порядка

гаусс интерполяционный многочлен нелинейный

Методом Рунге - Кутта найти решение на отрезке [a, b] дифференциального уравнений вида при заданных начальных условиях с указанным шагом h

Решение

Метод Рунге - Кутта описывается системой следующих соотношений:

y_i+1 = y_i + y_i или y_i+1 = y_i +

где k₁ = hf(x_i, y_i)

Из начальных условий имеем х₀ = 0, у₀ = 1, h = 0,01. Найдем первое приближение

у₁= у₀ + у₀, где

= 0,1= 0,1

= 0,1= 0,10488

= 0,1= 0,10512

= 0,1= 0,11001

Следовательно,

и у₁= 0 + 0,105 = 0,105.

Дальнейшее решение уравнения представлено в таблице.

		Х	y		k	y
0	0	1	0	1	0,1	0,1
	1	1,05	0,05	1,048752	0,10488	0,20975
	2	1,05	0,05244	1,051187	0,10512	0,21024
	3	1,1	0,10512	1,100118	0,11001	0,11001
						0,10500
1	0	1,1	0,10500	1,1	0,11000	0,11000
	1	1,15	0,16000	1,148763	0,11488	0,22975
	2	1,15	0,16244	1,151177	0,11512	0,23024
	3	1,2	0,22012	1,200116	0,12001	0,12001
						0,11500
2	0	1,2	0,22000	1,2	0,12000	0,12000
	1	1,25	0,28000	1,248781	0,12488	0,24976
	2	1,25	0,28244	1,25116	0,12512	0,25023
	3	1,3	0,34512	1,300112	0,13001	0,13001
						0,12500
3	0	1,3	0,34500	1,3	0,13000	0,13000
	1	1,35	0,41000	1,348804	0,13488	0,26976
	2	1,35	0,41244	1,351139	0,13511	0,27023
	3	1,4	0,48011	1,400107	0,14001	0,14001
						0,13500
4	0	1,4	0,48000	1,4	0,14000	0,14000
	1	1,45	0,55000	1,448832	0,14488	0,28977
	2	1,45	0,55244	1,451114	0,14511	0,29022
	3	1,5	0,62511	1,500102	0,15001	0,15001
						0,14500
5	0	1,5	0,62500	1,5	0,15000	0,15000
	1	1,55	0,70000	1,548861	0,15489	0,30977
	2	1,55	0,70244	1,551087	0,15511	0,31022
	3	1,6	0,78011	1,600097	0,16001	0,16001
						0,15500
6	0	1,6	0,78000	1,599999	0,16000	0,16000
	1	1,65	0,86000	1,648892	0,16489	0,32978
	2	1,65	0,86244	1,651059	0,16511	0,33021
	3	1,7	0,94511	1,700092	0,17001	0,17001
						0,16500
7	0	1,7	0,94500	1,699999	0,17000	0,17000
	1	1,75	1,03000	1,748923	0,17489	0,34978
	2	1,75	1,03245	1,75103	0,17510	0,35021
	3	1,8	1,12010	1,800087	0,18001	0,18001
						0,17500
8	0	1,8	1,12000	1,799999	0,18000	0,18000
	1	1,85	1,21000	1,848954	0,18490	0,36979
	2	1,85	1,21245	1,851001	0,18510	0,37020
	3	1,9	1,30510	1,900082	0,19001	0,19001
						0,18500
9	0	1,9	1,30500	1,899999	0,19000	0,19000
	1	1,95	1,40000	1,948984	0,19490	0,38980
	2	1,95	1,40245	1,950973	0,19510	0,39019
	3	2	1,50010	2,000077	0,20001	0,20001
	10					0,19500
		2	1,50000

Таким образом, окончательно имеем у (2) = 1,5.

Литература

гаусс интерполяционный многочлен нелинейный

1. Поршнев С.В. Вычислительная математика. - СПб.: Питер, 2004. - 320 с.: ил.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Бином, 2004. - 631 с.

3. Лапчик М.П. Численные методы. - М.: Академия, 2005

4. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.М. Кремера. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2007

Размещено на Allbest.ru