1. Математическая логика (бессмысленная логика) и логика «здравого смысла»

Математическая логика понятие достаточно неконкретное, из-за того, что математических логик также бесконечно много. Здесь будем обсуждать некоторые из них, отдавая больше дань традиции, чем здравому смыслу. Поскольку, весьма возможно, в этом и заключен здравый смысл... Логично?

Математическая логика учит логично рассуждать не больше, чем любой другой раздел математики. Это связано с тем, что "логичность" рассуждений в логике определяется самой логикой и корректно может использоваться только в самой логике. В жизни же мы, размышляя логически, как правило используем разные логики и разные методы логических рассуждений, безбожно перемешивая дедукцию с индукцией... Более того, в жизни мы строим свои рассуждения исходя из противоречивых посылок, например, "Не откладывай на завтра, что можно сделать сегодня" и "Поспешишь людей насмешишь". Нередко бывает, что непонравившийся нам логический вывод приводит к пересмотру исходных посылок (аксиом).

Пожалуй, настало время сказать про логику, возможно, самое главное: классическая логика не занимается смыслом. Ни здравым, ни каким другим! Для изучения здравого смысла, между прочим, существует психиатрия. Но в психиатрии логика скорее вредна.

Разумеется, размежевывая логику со смыслом, имеем в виду прежде всего классическую логику и житейское понимание здравого смысла. Нет запретных направлений в математике, поэтому исследование логикой смысла, и наоборот, в различных видах присутствует в ряде современных ответвлений логической науки.

(Хорошо сложилось последнее предложение, хотя определить термин "логическая наука" не возьмусь даже приблизительно). Смыслом, если угодно - семантикой, занимается, например, теория моделей. Да и вообще, термин семантика часто заменяют термином интерпретация. И если мы согласимся с философами, что интерпретация (отображение!) об'екта есть осмысление его в некотором данном аспекте, то пограничные сферы математики, которые могут привлекаться для наступления на смысл в логике, становятся неохватными!

В практическом плане семантикой вынуждено интересоваться теоретическое программирование. А в нем, кроме просто семантики, есть и операционная, и денотационная, и процедуральная и т.д. и т.п. семантики...

Еще лишь упомянем апофеоз - ТЕОРИЮ КАТЕГОРИЙ, которая довела семантику до формального малопонятного синтаксиса, где смысл уже настолько простой - разложенный по полочкам, что до него простому смертному совсем невозможно докопаться... Это для избранных.

Так чем же занимается логика? Хотя бы в самой классической ее части? Логика занимается только тем, чем она занимается. (А это она определяет предельно строго). Главное в логике - это строго определиться! Задать аксиоматику. А дальше логические выводы должны быть(!) в значительной степени автоматическими...

Другое дело рассуждения по поводу этих выводов! Но эти рассуждения уже вне рамок логики! Поэтому в них требуется строгий математический смысл! 6

Может показаться, что это простая словесная эквилибристика. НЕТ! В качестве примера некоторой логической (аксиоматической) системы возьмем известную игру 15. Зададим (перемешаем) начальное расположение квадратных фишек. Далее игрой (логическим выводом!), а конкретно - перемещением фишек на свободное место, может заниматься некое механическое устройство, а вы можете терпеливо смотреть и радоваться, когда в результате возможных передвижек в коробочке сложится последовательность от 1 до 15. Но никто не запрещает контролировать механическое устройство и подсказывать ему, ИСХОДЯ ИЗ здравого СМЫСЛА правильные перемещения фишек, чтобы ускорить процесс. А может быть даже доказать, используя для логических рассуждений, например, такой раздел математики, как КОМБИНАТОРИКА, что при данном начальном расположении фишек получить требуемую финальную комбинацию невозможно вообще!

Не больше здравого смысла присутствует и в той части логики, которую называют ЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРОЙ. Здесь вводятся ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ и определяются их свойства. Как показала практика, в некоторых случаях законы этой алгебры могут соответствовать логике жизни, а в некоторых нет. Из за такого непостоянства законы логики нельзя считать законами с точки зрения практики жизни. Их знание и механическое использование может не только помогать, но и вредить. Особенно психологам и юристам. Ситуация осложняется тем, что наряду с законами алгебры логики, которые то соответствуют, то не соответствуют жизненным рассуждениям, есть логические законы, которые часть логиков категорически не признают. Это относится прежде всего к так называемым законам ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО и ПРОТИВОРЕЧИЯ.

2. Математические суждения и умозаключения

В мышлении понятия не выступают разрозненно, они определенным способом связываются между собой. Формой связи понятий друг с другом является суждение. В каждом суждении устанавливается некоторая связь или некоторое взаимоотношение между понятиями, и этим самым утверждается наличие связи или взаимоотношений между объектами, охватываемыми соответствующими понятиями. Если суждения правильно отображают эти объективно существующие зависимости между вещами, то мы такие суждения называем истинными, в противном случае суждения будут ложными. Так, например, суждение "всякий ромб является параллелограммом" - истинное суждение; суждение "всякий параллелограмм является ромбом" - ложное суждение.

Таким образом, суждение - это такая форма мышления, в которой отображается наличие или отсутствие самого объекта (наличие или отсутствие каких-либо его признаков и связей).

Мыслить - значит высказывать суждения. С помощью суждений мысль, понятие получают свое дальнейшее развитие.

Так как во всяком понятии отображается определенный класс объектов, явлений или взаимоотношений между ними, то всякое суждение можно рассматривать как включение или невключение (частичное или полное) одного понятия в класс другого понятия. Например, суждение "всякий квадрат есть ромб" указывает, что понятие "квадрат" включается в понятие "ромб"; суждение "пересекающиеся прямые не являются параллельными" указывает, что пересекающиеся прямые не принадлежат множеству прямых, называемых параллельными.

Суждение имеет свою языковую оболочку - предложение, однако не всякое предложение является суждением.

Характерным признаком суждения является обязательное наличие истинности или ложности в выражающем его предложении.

Например, предложение "треугольник АВС равнобедренный" выражает некоторое суждение; предложение "Будет ли АВС равнобедренным?" не выражает суждения.

Каждая наука по существу представляет собой определенную систему суждений об объектах, являющихся предметом ее изучения. Каждое из суждений оформляется в виде некоторого предложения, выраженного в терминах и символах, присущих этой науке. Математика также представляет собой определенную систему суждений, выраженных в математических предложениях посредством математических или логических терминов или соответствующих им символов. Математические термины (или символы) обозначают те понятия, которые составляют содержание математической теории, логические термины (или символы) обозначают логические операции, с помощью которых из одних математических предложений строятся другие математические предложения, из одних суждений образуются другие суждения, вся совокупность которых и составляет математику как науку.

Вообще говоря, суждения образуются в мышлении двумя основными способами: непосредственно и опосредованно. В первом случае с помощью суждения выражается результат восприятия, например "эта фигура -т- круг". Во втором случае суждение возникает в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением. Например, "множество данных точек плоскости таково, что их расстояние от одной точки одинаково; значит, эта фигура - окружность".

В процессе этой мыслительной деятельности обычно осуществляется переход от одного или нескольких связанных между собой суждений к новому суждению, в котором содержится новое знание об объекте изучения. Этот переход и является умозаключением, которое представляет собой высшую форму мышления.

Итак, умозаключением называется процесс получения нового суждения вывода из одного или нескольких данных суждений. Например, диагональ параллелограмма делит его на два конгруэнтных треугольника (первое суждение).

Сумма внутренних углов треугольника равна 2d (второе суждение).

Сумма внутренних углов параллелограмма равна 4d (новое суждение-вывод).

Познавательное значение математических умозаключений чрезвычайно велико. Он" расширяют границы наших знаний об объектах и явлениях реального мира в силу того, что большая часть математических предложений является выводом из сравнительно небольшого числа основныхo суждений, которые получены, как правило, путем непосредственного опыта и в которых отражены наши наиболее простые и общие знания об его объектах.

Умозаключение отличается (как форма мышления) от понятия и суждения тем, что оно представляет собой логическую операцию над отдельными мыслями.

Не всякое сочетание суждений между собой представляет собой умозаключение: между суждениями должна существовать определенная логическая связь, отражающая объективную связь, существующую в реальной действительности.

Например, из суждений "сумма внутренних углов треугольника равна 2d" и "2*2=4" нельзя сделать вывод.

Понятно, какое значение в системе наших математических знаний имеет умение правильно строить различные математические предложения или делать выводы в процессе рассуждения. Разговорный язык плохо приспособлен для выражения тех или иных суждений, а тем более для выявления логической структуры рассуждений. Поэтому естественно, что возникла необходимость усовершенствования языка, используемого в процессе рассуждения. Математический (а точнее, символический) язык оказался для этого самым подходящим. Возникшая" в XIX в. специальная область науки - математическая логика не только полностью решила проблему создания теории математического доказательства, но и оказала большое влияние на развитие математики в целом.

Формальную логику (возникшую еще в глубокой древности в трудах Аристотеля) не отождествляют с математической логикой (возникшей в XIX в. в работах английского математика Дж. Буля). Предметом формальной логики является изучение законов взаимосвязи суждений и понятий в умозаключениях и правилах доказательства. Математическая логика отличается от формальной логики тем, что она, исходя из основных законов формальной логики, исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов: "Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т. д., находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении. Таким образом, для математической логики характерна формализация логических операций, полнее абстрагирование от конкретного содержания предложений (выражающих какое-либо суждение).

Проиллюстрируем сказанное одним примером. Рассмотрим следующее умозаключение: "Если все растения красные и все собаки - растения, то все собаки красные".

Каждое из используемых здесь суждений и то суждение, которое мы получили в результате сдержанного умозаключения, кажется явной бессмыслицей. Однако с точки зрения математической логики мы имеем здесь дело с верным предложением, так как в математической логике истинность или ложность умозаключения зависит только от истинности или ложности составляющих его посылок, а не от их конкретного содержания. Поэтому если одним из основных понятий формальной логики является суждение, то аналогичным ему понятием математической логики является понятие высказывания-утверждения, для которого имеет смысл лишь говорить, истинно оно или ложно. Не следует думать, что для каждого высказывания характерно отсутствие "здравого смысла" в его содержании. Просто содержательная часть предложения, составляющего то или иное высказывание, в математической логике отходит на второй план, несущественна для логического построения или анализа того или иного вывода. (Хотя, конечно существенна для. понимания содержания того, о чем идет речь при рассмотрении o данного вопроса.)

Понятно, что в самой математике рассматриваются содержательные высказывания. Устанавливая различные связи и отношения между понятиями, математические суждения утверждают или отрицают какие-либо отношения между объектами и явлениями реальной действительности.

3.Математическая логика и «Здравый смысл» в XXI веке.

Логика - не только сугубо математическая, но также и философская наука. В XX веке эти две взаимосвязанные ипостаси логики оказались разведенными в разные стороны. С одной стороны логика понимается как наука о законах правильного мышления, а с другой - она преподносится как совокупность слабо связанных друг с другом искусственных языков, которые называются формальными логическими системами.

Для многих очевидно, что мышление - это некий сложный процесс, с помощью которого решаются житейские, научные или философские проблемы и рождаются гениальные идеи или роковые заблуждения. Язык же понимается многими просто как средство, с помощью которого результаты мышления можно передать современникам или оставить потомкам. Но, связав в своем сознании мышление с понятием "процесс", а язык с понятием "средство", мы по сути перестаем замечать тот непреложный факт, что в данном случае "средство" не подчинено полностью "процессу", а в зависимости от нашего целенаправленного или неосознанного выбора тех или словесных штампов оказывает сильнейшее влияние на ход и результат самого "процесса". Причем известно немало случаев, когда такое "обратное влияние" оказывается не только тормозом для правильного мышления, но порою даже его разрушителем.

С философской точки зрения задача, поставленная в рамках логического позитивизма, так и не была выполнена. В частности, в своих поздних исследованиях один из основоположников этого направления Людвиг Витгенштейн пришел к выводу, что естественный язык нельзя реформировать в соответствии с разработанной позитивистами программой. Даже язык математики в целом устоял перед мощным напором "логицизма", хотя многие термины и структуры предлагаемого позитивистами языка вошли в некоторые разделы дискретной математики и существенно дополнили их. Популярность логического позитивизма как философского направления во второй половине XX столетия заметно упала - многие философы пришли к выводу, что отказ от многих "нелогичностей" естественного языка, попытка втиснуть его в рамки основополагающих принципов логического позитивизма влечет за собой дегуманизацию процесса познания, а вместе с этим и дегуманизацию человеческой культуры в целом.

Многие методы рассуждений, которые используются в естественном языке, часто весьма трудно однозначно отобразить на языке математической логики. В некоторых случаях такое отображение приводит к существенному искажению сути естественного рассуждения. И есть основание полагать, что эти проблемы являются следствием исходной методологической установки аналитической философии и позитивизма о нелогичности естественного языка и о необходимости его коренного реформирования. Сама исходная методологическая установка позитивизма также не выдерживает критики. Обвинять разговорный язык в нелогичности просто абсурдно. На самом деле нелогичность характеризует не сам язык, а многих пользователей этого языка, которые просто не знают или не хотят использовать логику и компенсируют этот изъян психологическими или риторическими приемами воздействия на публику, либо в своих рассуждениях используют в качестве логики систему, которая называется логикой лишь по недоразумению. В то же время имеется немало людей, речь которых отличается ясностью и логичностью, и эти качества не определяются знанием или незнанием основ математической логики.

4. Неестественная логика в основаниях математики

В рассуждениях тех, кого можно отнести к законодателям или последователям формального языка математической логики, нередко обнаруживается своеобразная "слепота" по отношению к элементарным логическим ошибкам. На эту слепоту в основополагающих работах Г. Кантора, Д. Гильберта, Б. Рассела, Дж. Пеано и др. еще в начале нашего столетия обратил внимание один из великих математиков Анри Пуанкаре [2].

Одним из примеров такого нелогичного подхода к рассуждениям является формулировка знаменитого парадокса Рассела, в котором необоснованно смешиваются два сугубо разнородных понятия "элемент" и "множество". Во многих современных работах по логике и математике, в которых заметно влияние программы Гильберта, не находят объяснения многие явно нелепые с точки зрения естественной логики утверждения. Соотношение между "элементом" и "множеством" является простейшим примером такого рода. Во многих работах этого направления утверждается, что некоторое множество (назовем его A) может быть элементом другого множества (назовем его B).

Например, в широко известном руководстве по математической логике [2] мы встретим такую фразу: "Множества сами могут быть элементами множеств, так, например, множество всех множеств целых чисел имеет своими элементами множества". Заметим, что это утверждение не просто оговорка. Оно содержится в качестве "скрытой" аксиомы в формальной теории множеств, которую многие специалисты считают основанием современной математики, а также в формальной системе, которую построил математик К. Гедель при доказательстве своей знаменитой теоремы о неполноте формальных систем [2]. Эта теорема относится к довольно узкому классу формальных систем (в их число входят формальная теория множеств и формальная арифметика), логическая структура которых явно не соответствует логической структуре естественных рассуждений и обоснований.

Однако уже более полувека она является предметом бурного обсуждения среди логиков и философов в контексте общей теории познания. При таком широком обобщении этой теоремы получается, что принципиально непознаваемыми являются многие элементарные понятия. Но при более трезвом подходе оказывается, что теорема Геделя показала лишь несостоятельность программы формального обоснования математики, предложенной Д. Гильбертом и подхваченной многими математиками, логиками и философами. Более широкий методологический аспект теоремы Геделя вряд ли можно считать приемлемым до тех пор, пока не получен ответ на следующий вопрос: является ли программа обоснования математики, предложенная Гильбертом, единственно возможной? Чтобы понять двусмысленность утверждения "множество A есть элемент множества B", достаточно задать простой вопрос: "Из каких элементов в этом случае сформировано множество B?". С точки зрения естественной логики возможны лишь два исключающих друг друга варианта объяснения. Объяснение первое. Элементами множества B являются имена некоторых множеств и, в частности, имя или обозначение множества A. Например, множество всех четных чисел содержится как элемент в множестве всех имен (или обозначений) множеств, выделенных по каким-либо признакам из множества всех целых чисел. Можно привести более понятный пример: множество всех жирафов содержится как элемент в множестве всех известных видов животных. В более широком контексте множество B можно также сформировать из концептуальных определений множеств или ссылок на множества. Объяснение второе. Элементами множества B являются элементы некоторых других множеств и, в частности, все элементы множества A. Например, каждое четное число есть элемент множества всех целых чисел или каждый жираф есть элемент множества всех животных. Но тогда получается, что в обоих случаях выражение "множество A является элементом множества B" не имеет смысла. В первом случае оказывается, что элементом множества B является не само по себе множество A, а его имя (или обозначение, или ссылка на него). В этом случае неявно устанавливается отношение эквивалентности между множеством и его обозначением, что неприемлемо ни с точки зрения обычного здравого смысла, ни с точки зрения несовместимой с чрезмерным формализмом математической интуиции. Во втором случае оказывается, что множество A включено в множество B, т.е. является его подмножеством, но не элементом. Здесь тоже явная подмена понятий, поскольку отношение включения множеств и отношение принадлежности (быть элементом множества) в математике имеют принципиально различный смысл. Знаменитый парадокс Рассела, подорвавший доверие логиков к понятию "множество", основан на этой нелепости - в основе парадокса лежит двусмысленная предпосылка о том, что множество может быть элементом другого множества.

Возможен еще один вариант объяснения. Пусть множество A задано простым перечислением его элементов, например, A = {a, b}. Множество B в свою очередь задано перечислением некоторых множеств, например, B = {{a, b}, {a, c}}. В данном случае кажется очевидным, что элементом B является не имя множества A, а само множество A. Но даже в этом случае элементы множества A не являются элементами множества B, и множество A здесь рассматривается как неразделимая совокупность, которая вполне может быть заменена его именем. Но если бы мы считали элементами B все элементы содержащихся в нем множеств, то в этом случае множество B было бы равно множеству {a, b, c}, и множество A в этом случае было бы не элементом B, а его подмножеством. Таким образом, получается, что этот вариант объяснения в зависимости от нашего выбора, сводится к ранее перечисленным вариантам. А если никакого варианта выбора не предложено, то получается элементарная двусмысленность, которая часто приводит к "необъяснимым" парадоксам.

Можно было бы не уделять особого внимания этим терминологическим нюансам, если бы не одно обстоятельство. Оказывается, что многие парадоксы и несообразности современной логики и дискретной математики являются прямым следствием или подражанием этой двусмысленности.

Например, в современных математических рассуждениях часто используется понятие "самоприменимость", которое лежит в основе парадокса Рассела. В формулировке этого парадокса под самоприменимостью подразумевается существование множеств, которые являются элементами самих себя. Такое утверждение сразу же приводит к парадоксу. Если мы рассмотрим множество всех "несамоприменимых" множеств, то окажется, что оно является одновременно "самоприменимым" и "несамоприменимым.

Заключение