Векторным временным рядом (r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида

.

Переменная t обычно соответствует времени выполнения или регистрации наблюдений и измерений.

Действительным случайным процессом = называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.

Если , или - подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем.

Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.

Введем характеристики случайного процесса , , во временной области.

Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида

,

где .

Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида

,

где .

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

=,

,

при условии, что

.

Нормированной спектральной плотностью случайного процесса называется функция вида

где , если и , если .

Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида

.

Смешанным моментом го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

, , .

Заметим, что

,

.

Лемма 1.1. Для любого целого р справедливо следующее соотношение

.

Доказательство. Если , то доказательство очевидно. Рассмотрим случай . Воспользуемся формулой Эйлера

тогда

Лемма доказана.

Пусть - значения случайного процесса в точках . Введем функцию

,

которую будем называть характеристической функцией, где - ненулевой действительный вектор, , .

Смешанный момент го порядка, , можно также определить как

, , .

Смешанным семиинвариантом (кумулянтом) го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

, , ,

которую также будем обозначать как .

Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами го порядка, , существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид

,

,

где суммирование производится по всевозможным разбиениям множества

, , , , .

При

,

,

.

При

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

=, ,

при условии, что

Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

=, ,

при условии, что

.

Теорема 1. Для смешанного семиинварианта го порядка, , случайного процесса справедливы представления

,.

Пусть - случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве , и

- мерная функция распределения, где

Случайный процесс называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального , любых и любого , такого что выполняется соотношение

где

Возьмем произвольное . Пусть , тогда

В дальнейшем функцию, в правой части (1), будем обозначать

Используя определение стационарного в узком смысле СП , смешанный момент го порядка, , будем обозначать

Смешанный семиинвариант го порядка, , стационарного в узком смысле СП будем обозначать

Случайный процесс , называется стационарным в широком смысле, если и

Замечание 1. Если , является стационарным в узком смысле СП и то , является стационарным в широком смысле, но не наоборот.

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса , называется функция вида

,

при условии, что

Семиинвариантной спектральной плотностью - го порядка, , стационарного СП , называется функция вида

при условии, что

Для смешанного семиинварианта -го порядка, , стационарного СП справедливо следующее соотношение

.

Для эти соотношения примут вид

.

2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Рассмотрим действительный стационарный в широком смысле случайный процесс,, с математическим ожиданием , , взаимной ковариационной функцией , и взаимной спектральной плотностью .

Предположим, имеются Т последовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений за составляющей , рассматриваемого процесса . Как оценку взаимной спектральной плотности в точке рассмотрим статистику

(2.1)

где , - произвольная, не зависящая от наблюдений четная целочисленная функция, для , а

(2.2)

s - целое число, - целая часть числа .

Статистика , называемая выборочной взаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением

(2.3)

определено равенством (2.2).

Предположим, если оценка взаимной спектральной плотности , построенная по T наблюдениям, является асимптотически несмещенной, то математическое ожидание ее можно представить в виде

 (2.4)

где некоторые действительные функции, не зависящие от T,

В качестве оценки взаимной спектральной плотности возьмем статистику

,

и исследуем первый момент построенной оценки.

Математическое ожидание построенной оценки будет следующее

Использовав соотношение (2.4), получим

где

Поскольку

следовательно, оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .

Так как равенство (2.4) справедливо и при , то, рассматривая оценку

где

, то оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим на . Далее рассмотрим оценку

(2.5)

Найдем математическое ожидание построенной оценки :

где

Следовательно, оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .

Найдем явный вид коэффициентов в представлении (2.4),

Видим, что

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. Оценка взаимной спектральной плотности стационарного в широком смысле случайного процесса , задаваемая равенством (2.5), удовлетворяет соотношению

,

Для исследования оценки (3.1) был исследован ряд, состоящий из 176 наблюдений ежедневной температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Рис. 1 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле

Рис. 2 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле для центрированного случайного процесса

Рис. 3 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера

Рис. 4 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера для центрированного случайного процесса

Рис. 5 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3

Рис. 6 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3 для центрированного случайного процесса

Рис. 7 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга

Рис. 8 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга для центрированного случайного процесса

Рис. 9 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5

Рис. 10 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5 для центрированного случайного процесса

Рис. 11 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6

Рис. 12 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6 для центрированного случайного процесса

Рис. 13 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7

Рис. 14 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7 для центрированного случайного процесса

Рис. 15 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса

Рис. 16 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса для центрированного случайного процесса