Уменьшение оценки взаимной спектральной плотности стационарного случайного процесса

Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса. Спектральная плотность случайного процесса. Сглаживание значений на концах случайного временного ряда. График оценки спектральной плотности для окна Рисса, при центрированном случайном процессе.

Рубрика Математика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 17.09.2009
Размер файла 382,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

2

Математический факультет

Кафедра информатики и прикладной математики

КУРСОВАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:

«УМЕНЬШЕНИЕ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА»

Брест 2009

  • СОДЕРЖАНИЕ
  • ВВЕДЕНИЕ
  • 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
  • 2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
  • 3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ
  • ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  • СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
  • ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т.п. Все они изменяются во времени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода и представляет собой временной ряд.

Одной из главных задач спектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они дают важную информацию о структуре процесса.

Методы анализа временных рядов широко используются в различных областях науки и техники, их можно применять при анализе больших объемов данных, получаемых в процессе вибрационных испытаний или извлекаемых из сводок экономических данных.

В данной работе исследована оценка спектральной плотности, построенная с использованием различных окон просмотра данных. Построены графики этой оценки для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Графики построены также для центрированного случайного процесса.

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ

Векторным временным рядом (r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида

.

Переменная t обычно соответствует времени выполнения или регистрации наблюдений и измерений.

Действительным случайным процессом = называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.

Если , или - подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем.

Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.

Введем характеристики случайного процесса , , во временной области.

Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида

,

где .

Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида

,

где .

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

=,

,

при условии, что

.

Нормированной спектральной плотностью случайного процесса называется функция вида

где , если и , если .

Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида

.

Смешанным моментом го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

, , .

Заметим, что

,

.

Лемма 1.1. Для любого целого р справедливо следующее соотношение

.

Доказательство. Если , то доказательство очевидно. Рассмотрим случай . Воспользуемся формулой Эйлера

тогда

Лемма доказана.

Пусть - значения случайного процесса в точках . Введем функцию

,

которую будем называть характеристической функцией, где - ненулевой действительный вектор, , .

Смешанный момент го порядка, , можно также определить как

, , .

Смешанным семиинвариантом (кумулянтом) го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

, , ,

которую также будем обозначать как .

Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами го порядка, , существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид

,

,

где суммирование производится по всевозможным разбиениям множества

, , , , .

При

,

,

.

При

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

=, ,

при условии, что

Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

=, ,

при условии, что

.

Теорема 1. Для смешанного семиинварианта го порядка, , случайного процесса справедливы представления

,.

Пусть - случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве , и

- мерная функция распределения, где

Случайный процесс называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального , любых и любого , такого что выполняется соотношение

где

Возьмем произвольное . Пусть , тогда

В дальнейшем функцию, в правой части (1), будем обозначать

Используя определение стационарного в узком смысле СП , смешанный момент го порядка, , будем обозначать

Смешанный семиинвариант го порядка, , стационарного в узком смысле СП будем обозначать

Случайный процесс , называется стационарным в широком смысле, если и

Замечание 1. Если , является стационарным в узком смысле СП и то , является стационарным в широком смысле, но не наоборот.

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса , называется функция вида

,

при условии, что

Семиинвариантной спектральной плотностью - го порядка, , стационарного СП , называется функция вида

при условии, что

Для смешанного семиинварианта -го порядка, , стационарного СП справедливо следующее соотношение

.

Для эти соотношения примут вид

.

2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Рассмотрим действительный стационарный в широком смысле случайный процесс,, с математическим ожиданием , , взаимной ковариационной функцией , и взаимной спектральной плотностью .

Предположим, имеются Т последовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений за составляющей , рассматриваемого процесса . Как оценку взаимной спектральной плотности в точке рассмотрим статистику

(2.1)

где , - произвольная, не зависящая от наблюдений четная целочисленная функция, для , а

(2.2)

s - целое число, - целая часть числа .

Статистика , называемая выборочной взаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением

(2.3)

определено равенством (2.2).

Предположим, если оценка взаимной спектральной плотности , построенная по T наблюдениям, является асимптотически несмещенной, то математическое ожидание ее можно представить в виде

(2.4)

где некоторые действительные функции, не зависящие от T,

В качестве оценки взаимной спектральной плотности возьмем статистику

,

и исследуем первый момент построенной оценки.

Математическое ожидание построенной оценки будет следующее

Использовав соотношение (2.4), получим

где

Поскольку

следовательно, оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .

Так как равенство (2.4) справедливо и при , то, рассматривая оценку

где

, то оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим на . Далее рассмотрим оценку

(2.5)

Найдем математическое ожидание построенной оценки :

где

Следовательно, оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .

Найдем явный вид коэффициентов в представлении (2.4),

Видим, что

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. Оценка взаимной спектральной плотности стационарного в широком смысле случайного процесса , задаваемая равенством (2.5), удовлетворяет соотношению

,

,

при условии, что справедливо соотношение (2.4) для

При нахождении моментов оценок спектральных плотностей вторых и высших порядков появляются функции вида

(2.6)

где задаются соотношением

3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ

Чтобы выделить определенные характеристики спектральных оценок, нередко прибегают к сглаживанию значений на концах случайного временного ряда. Временное сглаживание представляет собой умножение ряда на «окно данных».

В соотношении (2.3) введена функция , называемая окном просмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания).

Функцию

(3.1)

называют частотным окном. Из соотношения (3.1) вытекает, что

Характерное поведение функции состоит в том, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при .

Примеры окон просмотра данных:

1. 1 - окно Дирихле;

2. 1- - окно Фейера;

3. ;

4. - окно Хэннинга;

5. - окно Хэмминга;

6. - окно Хэмминга;

7. , где - окно Хэмминга;

8. 1- - окно Рисса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе исследована оценка спектральной плотности вида

где , а периодограмма задана следующим соотношением

Построены графики этой оценки для различных окон данных на основании данных, представляющих собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Графики построены также для центрированного случайного процесса.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976. - 755 с.

2. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. - М.: Мир, 1980. - 536 с.

3. Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 168 с.

4. Труш Н.Н. Асимптотические методы статистического анализа временных рядов. - Мн.: БГУ, 1999. - 218 с.

5. Труш Н.Н., Мирская Е.И. Случайные процессы. Преобразования Фурье наблюдений. - Мн.: БГУ, 2000.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Для исследования оценки (3.1) был исследован ряд, состоящий из 176 наблюдений ежедневной температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.

Рис. 1 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле

Рис. 2 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле для центрированного случайного процесса

Рис. 3 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера

Рис. 4 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера для центрированного случайного процесса

Рис. 5 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3

Рис. 6 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3 для центрированного случайного процесса

Рис. 7 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга

Рис. 8 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга для центрированного случайного процесса

Рис. 9 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5

Рис. 10 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5 для центрированного случайного процесса

Рис. 11 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6

Рис. 12 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6 для центрированного случайного процесса

Рис. 13 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7

Рис. 14 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7 для центрированного случайного процесса

Рис. 15 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса

Рис. 16 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса для центрированного случайного процесса


Подобные документы

  • Главная задача спектрального анализа временных рядов. Параметрические и непараметрические методы спектрального анализа. Сущность понятия "временный ряд". График оценки спектральной плотности для окна Дирихле, при центрированном случайном процессе.

    курсовая работа [332,8 K], добавлен 17.09.2009

  • Исследование первого момента состоятельной оценки взаимной спектральной плотности. Задачи спектрального анализа временных рядов. Графики оценки для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений температуры воздуха в городе Бресте.

    курсовая работа [324,9 K], добавлен 16.08.2011

  • Первые два момента состоятельной оценки спектральной плотности, исследование асимптотического поведения математического ожидания и дисперсии построенной оценки. Сравнительный анализ оценки спектральной плотности в зависимости от окон просмотра данных.

    курсовая работа [558,0 K], добавлен 12.04.2012

  • Определение случайного процесса в математике, ряд терминов и понятий, описывающих механизм этого процесса. Марковские, стационарные случайные процессы с дискретными состояниями. Особенности эргодического свойства стационарных случайных процессов.

    реферат [33,1 K], добавлен 15.05.2010

  • Случайная функция, случайный процесс, случайное поле. Функция, плотность распределения вероятностей случайного процесса и их математические модели. Моментные функции случайного процесса. Условные распределения вероятностей. Стационарные процессы.

    реферат [54,7 K], добавлен 03.12.2007

  • Определение случайного процесса и его характеристики. Основные понятия теории массового обслуживания. Понятие марковского случайного процесса. Потоки событий. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний. Процессы гибели и размножения.

    реферат [402,0 K], добавлен 08.01.2013

  • Точечное оценивание основных числовых характеристик, функции и плотности распределения компонент многомерного случайного вектора. Статистическая проверка характера распределения. Особенности корреляционного анализа признаков этой математической категории.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 01.10.2013

  • Рассмотрение в теории вероятностей связи между средним арифметическим и математическим ожиданием. Основные формулы математического ожидания дискретного распределения, целочисленной величины, абсолютно непрерывного распределения и случайного вектора.

    презентация [55,9 K], добавлен 01.11.2013

  • Моделирование случайной величины, распределённой по нормальному закону. Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности. Оценка статистических характеристик случайного процесса.

    курсовая работа [744,3 K], добавлен 07.06.2010

  • Нахождение плотности, среднеквадратического отклонения, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции системы случайных величин. Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения с заданной надежностью.

    контрольная работа [200,3 K], добавлен 16.08.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.