Житомирський Військовий Інститут

Національного Авіаційного Уніврситету

Реферат

на тему:

Зображення площини на кресленні

Житомир 2010

План

1 Способи завдання площини на кресленні. Сліди площини

2 Положення площини у просторі відносно площин проекцій

3 Пряма та точка в площині. Прямі особливого положення в площині

4 Взаємне розташування площин

5 Пряма, паралельна площині. Перетин прямої з площиною

Закінчення

1 Способи завдання площини на кресленні. Сліди площини

З елементарної геометрії відомо, що через будь-які три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину і притому тільки одну. Отже, на комплексному кресленні площину можна зобразити проекціями геометричних елементів, які повністю визначають її положення в просторі, а саме:

• трьох точок, які не лежать на одній прямій (рис. 1, а);

• прямої і точки, розташованої поза нею (рис. 1, б);

• двох прямих, що перетинаються (рис. 1, в);

• двох паралельних прямих (рис. 1, г);

• трикутника, або, іншої плоскої фігури (рис. 1, д).

З рисунків бачимо, що від одного виду зображення площини легко перейти до іншого. Так, щоб перейти від зображення площини прямою і точкою до зображення її трикутником, треба тільки сполучити точку з кінцями відрізка прямої.



Розглянемо ще один спосіб зображення площин -- спосіб слідів. На рис.2 зображено площину б, довільно розташовану в просторі. Прямі, по яких вона перетинається з площинами проекцій, називаються слідами площини.

Фронтальний слід f -- це лінія перетину заданої площини б з площиною проекцій р₂, горизонтальний слід h -- лінія перетину площини б з горизонтальною площиною проекцій р₁, профільний слід p -- лінія перетину площини б з профільною площиною проекцій р₃. Точки перетину заданої площини з осями проекцій Ох, Оу і Oz називаються точками збігу (сходження) слідів площини. Позначають їх відповідно X_б, Y_б і Z_б.

Висновки по першому питанню:

1. Через будь-які три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину і притому тільки одну.

2. Прямі, по яких вона перетинається з площинами проекцій, називаються слідами площини.

3. Точки перетину заданої площини з осями проекцій Ох, Оу і Oz називаються точками збігу (сходження) слідів площини.

2 Положення площини у просторі відносно площин проекцій

Потрібно уміти аналізувати різні положення площин у просторі для того щоб навчитися читати креслення та будувати зображення складних технічних деталей.

За розташуванням у просторі розрізняють площини загального і частинного положень.

Площиною загального положення будемо називати площину, яка не паралельна й не перпендикулярна ні жодній з площин проекцій. Таких площин в просторі може бути множина.

Площиною частинного положення будемо називати площину, яка паралельна або перпендикулярна хоча би одній з площин проекцій. В системі трьох площин проекцій вони поділяються на дві групи: площини рівня і проекціюючі.

Площина рівня паралельна одній, отже, перпендикулярна до двох інших площин проекцій.

Розрізняють три види площин рівня: горизонтальну H, яка паралельна площині проекцій р₁ (рис. 3, а); фронтальну F, паралельну площині проекцій р₂ (рис. 3, б) і профільну P, паралельну площині р₃ (рис. 3, в).

Розглянемо проекційні ознаки площин рівня:

1. Довільна фігура, яка лежить у площині рівня, проекціюється в натуральну величину на ту площину проекцій, якій ця площина рівня паралельна. На дві інші площини проекцій фігура проекціюється відрізками прямих, які займають вертикальне або горизонтальне положення.

Дійсно, трикутник б (ABC) проекціюється в натуральну величину на площину р₁ (рис. 3, а), бо він лежить у горизонтальній площині рівня, а на площини проекцій р₂ і р₃ він проектується у вигляді горизонтальних відрізків. Проекцію площини рівня у вигляді прямої називають слідом-проекцією.

2. Сліди-проекції площин рівня мають збиральну властивість, яка полягає у тому, що проекції точок, ліній, фігур, що лежать у цих площинах, розташовуються на слідах-проекціях.

3. Не обмежену певною фігурою площину рівня можна задавати лише одним слідом-проекцією.

Проекціюючою називається площина, перпендикулярна до однієї з площин проекцій.

Розрізняють три види проекціюючих площин: горизонтально-проекціюючу H, перпендикулярну до площини проекцій р₁ (рис. 4,а), фронтально-проекціюючу F, перпендикулярну до р₂ (рис. 4,б) і профільно-проекціюючу P, перпендикулярну до площини проекцій р₃ (рис. 4, в).

Основні проекційні ознаки цих площин можна сформулювати так:

1. Проекціююча площина зображується прямою лінією (слідом-проекцією) на перпендикулярній до неї площині проекцій. На двох інших площинах проекцій фігура, що лежить у проекціюючій площині, зображується спотворено.

2. Сліди-проекції проекціюючих площин мають збиральну властивість.

3. Проекціюючу площину можна задати лише одним слідом-проекцією.

4. За комплексним кресленням можна визначити кути нахилу проекціюючої площини до площин проекцій.

Висновки по другому питанню:

1. Площин загального положення (які не паралельні й не перпендикулярні жодній з площин проекцій) в просторі може бути множина.

2. Площиною частинного положення будемо називати площину, яка паралельна або перпендикулярна хоча би одній з площин проекцій. В системі трьох площин проекцій вони поділяються на дві групи: площини рівня і проекціюючі.

3. Проекціюючою називається площина, перпендикулярна до однієї з площин проекцій. Площина рівня паралельна одній, отже, перпендикулярна до двох інших площин проекцій.

3 Пряма та точка в площині. Прямі особливого положення в площині

Побудова прямих і точок, які належать проекціюючим площинам, випливає із їх властивостей і розглянута вище.

В основі побудови прямих і точок в площині загального положення лежать такі відомі положення геометрії:

– пряма належить площині, якщо вона проходить через дві точки, що належать даній площині;

– пряма належить площині, якщо вона проходить через точку, що належить даній площині і паралельна прямій, яка знаходиться в цій площині;

– точка належить площині, якщо вона лежить на прямій, розташованій в цій площині.

Серед безлічі прямих, які займають особливе положення в площині, виділимо прямі загального положення, горизонталі й фронталі, профільні прямі, лінії найбільшого нахилу до площин проекцій та розглянемо їх.

Пряма загального положення. Припустимо, що в площині трикутника ABC треба провести довільну пряму DE (рис. 5,а). Побудову можна почати з будь-якої проекції, наприклад з фронтальної D₂E₂.

Ця проекція перетне трикутник в точках D₂ і Е₂. Провівши вертикальні лінії зв'язку, знайдемо горизонтальні проекції D₁ і Е₁. Пряма D₁E₁ і є горизонтальною проекцією шуканої прямої.

На рис. 5, б пряму загального положення побудовано в площині, заданій слідами. У цьому випадку користуються такою властивістю: якщо пряма лежить у площині, то сліди прямої лежать на однойменних слідах площини, тобто М₁, лежить на горизонтальному сліду ?₁ площини, a N₂ - на фронтальному сліду ?₂. Необхідною і достатньою умовою належності прямої площині частинного (рис. 5, в) є те, що проекція А₁В₁ прямої АВ має збігатися з однойменним слідом - проекцією и₁ площини и. Фронтальна проекція А₂В₂ може займати довільне положення.



Рис.5

Горизонталь площини. Горизонталлю площини називається горизонталь, яка належить цій площині та паралельна площині проекцій р₁. Побудову горизонталі h площини и, заданої прямими а і b, які перетинаються (рис. 6,а), починаємо з проведення її фронтальної проекції h₂, паралельної осі х.

Ця проекція перетинає фронтальні проекції прямих а₂ і b₂ в точках С₂ і D₂. Провівши вертикальні лінії зв'язку, знайдемо горизонтальні проекції С₁ і D₁ і сполучимо їх між собою. Пряма h₁ (С₁D₁) і є горизонтальною проекцією горизонталі h.

В площині можна провести безліч горизонталей. Всі вони будуть між собою паралельні. На рис. 6,а через точку А проведена ще одна h'. Причому h₁' ||h₁, a h₂' || h₂. Горизонталь, яка належить: горизонтально - проекціюючій площині и, зображено на рис. 6, б, в, а горизонталь, що лежить у фронтально - проекціюючій площині ? - на рис. 6,б,г.

Рис.6

Фронталь площини. Фронталлю площини називається фронталь, яка належить цій площині та паралельна площині проекцій р₂. Побудову фронталі f у площині трикутника ABC (рис. 7,а) починаємо з проведення її горизонтальної проекції f₁ паралельної осі х. Ця проекція перетинає горизонтальні проекції А₁В₁ і В₁С₁ прямих в точках К₁ і С₁.

Рис.7

Провівши вертикальні лінії зв'язку, знайдемо фронтальні проекції К₂ і С₂ цих точок і сполучимо їх між собою. Пряма К₂С₂ - фронтальна проекція фронталі f.

У площині можна провести безліч фронталей, і всі вони будуть між собою паралельні. На рис. 7,а через точку В проведено ще одну фронталь f'. Фронталь, яка лежить у площині загального положення, заданій слідами, зображено на рис. 7,б,в, а фронталь, розміщену в горизонтально-проекціюючій площині и, - на рис. 7,б,г.

Точка в площині. Точка лежить в площині, якщо вона лежить на прямій, що належить цій площині.

На рис. 8,а площину задано паралельними прямими l і т. Треба знайти горизонтальну проекцію А₁ точки А, яка лежить в цій площині, якщо відома її фронтальна проекція А₂. Через А₂ проводять фронтальну проекцію M₂N₂ довільної допоміжної прямої, що належить площині. Знаходять горизонтальну проекцію M₁N₁ цієї прямої і проводять вертикальну лінію зв'язку А₂А₁ до перетину з M₁N₁. Точка А₁ -- горизонтальна проекція точки А, що належить заданій площині.



Рис.8

На рис. 8, б побудовано горизонтальну проекцію точки К, яка лежить в площині прямокутника ABCD, якщо відома її фронтальна проекція. На рис.8,в за допомогою фронталі побудовані проекції точки А, яка лежить у площині Г, заданій слідами.

Профільна пряма - це пряма, яка лежить в площині та паралельна площині проекцій р₃ .

Лініями найбільшого нахилу площини до площин р₁, р₂ і р₃ називаються прямі, які лежать в цій площині й перпендикулярні або до горизонталей площини, або до фронталей площини, або до її профільних прямих. Відповідно визначається нахил площини до площин р₁, р₂ або р₃.

Лінія найбільшого нахилу до площини р₁, називається лінією скату площини. Лінія скату MN площини Q, заданої слідами показана на рис. 9. Відповідно до правил проектування прямого кута m₁n₁ перпендикулярна h₀Q.

Тому кут MNm₁ є лінійний кут двогранного кута, утвореного площинами Q і р₁. Отже, лінія скату площини може служити для визначення кута нахилу цієї площини до площини проекцій р₁. Кут між лінією скату і її горизонтальною проекцією є лінійним кутом між площиною, який належить лінія скату, і площиною проекцій р₁.

Висновки по третьому питанню:

1. Горизонталлю площини називається горизонталь, яка належить цій площині та паралельна площині проекцій р₁.

2. Фронталлю площини називається фронталь, яка належить цій площині та паралельна площині проекцій р₂.

3. Профільна пряма - це пряма, яка лежить в площині та паралельна площині проекцій р₃ .

4. Лініями найбільшого нахилу площини до площин р₁, р₂ і р₃ називаються прямі, які лежать в цій площині й перпендикулярні або до горизонталей площини, або до фронталей площини, або до її профільних прямих.

5. Лінія найбільшого нахилу до площини р₁, називається лінією скату площини.

4 Взаємне розташування площин

Дві площини в просторі можуть бути між собою паралельними і перетинатися.

Паралельні площини. Площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються однієї з них відповідно паралельні двом прямим, які перетинаються, другої (рис. 10, а).

За такі прямі можуть бути взяті будь-які дві прямі, що перетинаються. Отже, горизонталі і фронталі паралельних площин загального положення відповідно паралельні, в тому числі паралельні й однойменні їх сліди.

Трикутники ABC і DEK (рис. 10,б) паралельні між собою, бо сторони АВ і АС одного трикутника відповідно паралельні сторонам DE і DK другого. Треті сторони ВС і ЕК цих трикутників можуть бути і непаралельними.

Площини частинного положення паралельні тоді, коли паралельні їх однойменні сліди-проекції.

На рис. 10,в зображено паралельні фронтально-проектуючі площини Г і и, а на рис. 10,г -- горизонтально-проектуючі площини Г і ?. Якщо паралельні площини загального положення задано слідами, то їх однойменні сліди також паралельні.

Щоб через дану точку К побудувати площину, паралельну площині прямокутника ABCD (рис. 10,д), досить через точку К провести дві прямі, кожна з яких паралельна двом прямим, що перетинаються, і належать площині прямокутника. На рисунку через точку К проведено прямі l і т, відповідно паралельні стороні ВС і діагоналі BD прямокутника. На рис. 10,е показано, як через точку К проведено площину, паралельну площині ABC.



Рис.10

Площини, що перетинаються. Площини перетинаються по прямій, а положення прямої визначається двома її точками або однією точкою, якщо відомий напрям цієї прямої.

В цьому випадку необхідно розв'язати таку основну задачу: побудувати лінію перетину двох площин.

В тих випадках, коли одна з площин є проекціюючою, лінія перетину може бути побудована безпосередньо.

Розглянемо випадки перетину площин, які найчастіше зустрічаються в практиці креслення.

На рис. 11,а,б зображено два прямокутники Г і ?, які перетинаються. Вони (бічні грані призми) займають горизонтально-проекціююче положення, тобто перпендикулярні до площини проекцій р₁. Пряма АВ -- лінія їх перетину. Вона також перпендикулярна до площини р₁.

На рис 11,а,в горизонтальна площина Ф перетинається з горизонтальною проекціюючою площиною Г (верхня основа призми з бічною гранню). Площини перетинаються по прямій АС, проекції якої збігаються з слідами-проекціями цих площин, тобто з Г₁ і Ф₂.

На рис. 11,г,д зображено перетин двох фронтально-проекціюючих площин Г і ?. Лінія їх перетину також буде фронтально-проекціюючою прямою.

Рис. 11

Звідси випливають такі висновки:

1. Дві площини, перпендикулярні до якої-небудь площини проекцій, перетинаються по прямій, перпендикулярній до тієї самої площини проекцій.

2. Дві площини, перпендикулярні до різних площин проекцій, перетинаються по прямій, проекції якої збігаються із слідами-проекціями площин.

На рис. 12,а,б зображено перетин горизонтальної площини рівня Г з площиною загального положення - трикутником ABS.



Рис. 12

Фронтальна проекція Е₂ і D₂ лінії перетину збігається із слідом Г₂. Провівши з точок Е₂ і D₂ лінії зв'язку, знайдемо горизонтальну проекцію Е₁D₁ лінії перетину. Дві площини загального положення, наприклад, бічні грані піраміди (рис. 12,а), перетинаються також по прямій загального положення (рис. 12,в).

Висновок по четвертому питанню:

1. Дві площини в просторі можуть бути між собою паралельними і перетинатися.

2. Паралельні площини. Площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються однієї з них відповідно паралельні двом прямим, які перетинаються, другої.

5 Пряма, паралельна площині. Перетин прямої з площиною

Пряма може:

лежати в площині;

бути паралельною площині;

перетинати площину.

Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна якій-небудь прямій, розташованій у цій площині (рис. 13,а).

Цієї ознаки досить для побудови проекцій взаємнопаралельних прямої і площини.

Якщо через точку К у просторі треба провести пряму, паралельну площині, то спочатку в цій площині намічають яку-небудь пряму, а потім через задану точку проводять пряму, паралельну прямій проведеній на площині. На рис. 13,б через точки К і Е проведено прямі, паралельні площині трикутника ABC. На рис. 13,в,г через точку К проведено пряму АВ, паралельну горизонтально-проекціюючій площині Г. В цьому разі через К₁ проводимо горизонтальну проекцію А₁В₁ шуканої прямої паралельно сліду-проекції Г₁. Фронтальна проекція А₂В₂ пройде через К₂ зовсім довільно. Отже, умова паралельності прямої і площини частинного положення полягає в тому, що проекція прямої має бути паралельна однойменному сліду - проекції площини.

Рис.13

Пряма, що перетинає площину. У цьому випадку основною задачею є побудова точки перетину прямої з площиною. Якщо площина проекціююча, то ця точка визначається без особливих побудов.

Розглянемо спочатку перетин прямої з площиною частинного положення. Пряма АВ (рис. 14, а,б) перетинає горизонтально-проекціюючу площину Г. Горизонтальна проекція К₁ точки перетину лежить на перетині проекції А₁В₁ із слідом-проекцією Г₁ площини. Провівши з точки К₁ вертикальну лінію зв'язку до перетину з проекцією А₂В₂, знайдемо фронтальну проекцію К₂ точки К. Отже, якщо пряма перетинає проекціюючу площину, то відповідна проекція точки перетину лежить на перетині сліду-проекції площини з однойменною проекцією прямої.

На рис. 14,в проекціююча пряма l перетинає площину загального положення - трикутник ABC. Горизонтальна проекція К₁ точки перетину збігається з горизонтальною проекцією l₁ прямої. Фронтальну проекцію К₂ точки перетину знайдено проведенням в площині допоміжної прямої AM.

На рис. 14,г,д пряма загального положення DE перетинається з площиною загального положення ABC. Задачу розв'язують в такій послідовності:

– через задану пряму DE проводять допоміжну площину - посередник Г;

– будують лінію перетину MN заданої площини з площиною - посередником;

– на взаємному перетині цієї лінії із заданою прямою визначають положення шуканої точки К зустрічі.



Рис.14

Література

1. Інженерна та комп'ютерна графіка: Методичні рекомендації для виконання графічних робіт при курсовому та дипломному проектуванні /Укл. Є.В. Перегуда. - Житомир: ВФРЕ при ЖІТІ, 1998.-84 с.

2. Годік Є.І. Технічне креслення. - М.: Машинобудування, 1974. - 320 с.

3. Хаскін А.М. Креслення. - К.: Вища школа, 1972.

4. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М., 1988. - 272 с.