Численные методы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание № 1

Найти решение системы 4 линейных уравнений с 4-мя неизвестными х₁,х₂, х₃, х₄ с точностью до 10^-4 следующими методами:

а) методом Гаусса;

б) методом простой итерации;

в) методом Зейделя.

Проверкой полученного решения является совпадение найденных разными методами решений с заданной точностью.

а) метод Гаусса.

Найти решение системы уравнений:

1. Сформируем расширенную матрицу:

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

2. Разделим строку 1 на a₁₁ = 1.42

Получим матрицу:

3. Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a₂₁= 0.63

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

4. Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a₃₁= 0.84

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:



5. Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a₄₁= 0.27

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

6. Разделим строку 2 на a₂₂ = -0.57197183098592

Получим матрицу:

7. Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a₃₂= -2.4192957746479

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

8. Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на a₄₂= 1.3091549295775



Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

9. Разделим строку 3 на a₃₃ = -6.4314897808422

Получим матрицу:

10. Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на a₄₃= 4.0531913321842

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

11. Разделим строку 4 на a₄₄ = -1.0916757937353

Получим матрицу:



12. Вычтем из строки 3 строку 4 умноженную на a₃₄= 0.62435409222966

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

13. Вычтем из строки 2 строку 4 умноженную на a₂₄=1.6733563161783

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

14. Вычтем из строки 1 строку 4 умноженную на a₁₄=0.59859154929577

Вычитаемая строка:



Модифицированная матрица:

15. Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a₂₃=2.5461708938685

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

16. Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a₁₃=0.29577464788732

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

17. Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a₁₂=0.22535211267606

Вычитаемая строка:



Модифицированная матрица:

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

Заданная система уравнений имеет единственное решение:

б) метод простой итерации.

Найти решение системы уравнений:

Заметим, что метод простой итерации расходится, т. к. не выполняется условие преобладания диагональных элементов:



Пусть требуемая точность = 10^-4.

Приведем систему к виду:

Последовательно вычисляем:

Шаг 1.

В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободных членов: (1.32, -0.44, 0.64, 0.85).

Шаг 2.



Шаг 3.

Ответ: итерационный процесс расходится.

в) метод Зейделя.

Найти решение системы уравнений:

Заметим, что метод Зейделя расходится, т. к. не выполняется условие преобладания диагональных элементов:

Пусть требуемая точность = 10^-4.

Приведем систему к виду:



Последовательно вычисляем:

Шаг 1.

В качестве начального приближения возьмем: (0, 0, 0, 0).

= 0.92957746478876.

При вычислении x₂ используем уже полученное значение x₁:

При вычислении x₃ используем уже полученное значение x₁ и x₂:

При вычислении x₄ используем уже полученное значение x₁, x₂ и x₃:

Шаг 2.

Шаг 3.



Ответ: итерационный процесс расходится.

Задание № 2

Отделить один корень уравнения x⁴+2x-1=0 и вычислить его на полученном отрезке [а,b] с точностью до 0.0001 тремя методами:

а) методом дихотомии;

б) методом хорд;

в) методом простой итерации.

Убедиться, что корни, полученные при помощи этих методов, удовлетворяют уравнению F(х) = 0 и мало отличаются друг от друга.

[а,b]=[-1;2]

а) метод дихотомии



Ответ:

в) метод простой итерации



Ответ:

Задание № 3

уравнение итерация интеграл симпсон

Найти приближённо значение интеграла с точностью до 0,001 методом Симпсона.

Начальное количество разбиений .

Имеем . Отсюда . Результаты вычислений приведены в таблице.

0	1		0,909297
1	1,0125	0,921216
2	1,025		0,932285
3	1,0375	0,942458
4	1,05		0,951688
5	1,0625	0,959931
6	1,075		0,967141
7	1,0875	0,973273
8	1,1		0,978281
9	1,1125	0,982121
10	1,125		0,984749
11	1,1375	0,986121
12	1,15		0,986195
13	1,1625	0,984928
14	1,175		0,982278
15	1,1875	0,978204
16	1,2		0,972667
17	1,2125	0,965627
18	1,225		0,957046
19	1,2375	0,946886
20	1,25		0,935113
21	1,2625	0,92169
22	1,275		0,906585
23	1,2875	0,889764
24	1,3		0,871197
25	1,3125	0,850855
26	1,325		0,828709
27	1,3375	0,804732
28	1,35		0,7789
29	1,3625	0,751189
30	1,375		0,721578
31	1,3875	0,690046
32	1,4		0,656577
33	1,4125	0,621153
34	1,425		0,58376
35	1,4375	0,544386
36	1,45		0,503022
37	1,4625	0,459658
38	1,475		0,414288
39	1,4875	0,36691
40	1,5		0,31752
41	1,5125	0,26612
42	1,525		0,212712
43	1,5375	0,157302
44	1,55		0,099898
45	1,5625	0,040508
46	1,575		-0,02086
47	1,5875	-0,08418
48	1,6		-0,14944
49	1,6125	-0,21662
50	1,625		-0,2857
51	1,6375	-0,35666
52	1,65		-0,42946
53	1,6625	-0,50408
54	1,675		-0,58049
55	1,6875	-0,65865
56	1,7		-0,73851
57	1,7125	-0,82005
58	1,725		-0,90323
59	1,7375	-0,98798
60	1,75		-1,07427
61	1,7625	-1,16205
62	1,775		-1,25126
63	1,7875	-1,34186
64	1,8		-1,43377
65	1,8125	-1,52694
66	1,825		-1,6213
67	1,8375	-1,7168
68	1,85		-1,81336
69	1,8625	-1,91092
70	1,875		-2,0094
71	1,8875	-2,10872
72	1,9		-2,20881
73	1,9125	-2,30959
74	1,925		-2,41097
75	1,9375	-2,51288
76	1,95		-2,61523
77	1,9625	-2,71793
78	1,975		-2,82089
79	1,9875	-2,92401
80	2		-3,02721
		-6,854834099	-7,942676655

По формуле Симпсона получим:



.

Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность складывается из погрешностей действий и остаточного члена .

,

где - коэффициенты формулы Симпсона и - максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции.

Оценим остаточный член.

при и, следовательно,

.

Таким образом, предельная полная погрешность равна:

и, значит, .

Ответ: .

Задание № 4

Найти четыре первых, отличных от нуля члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям и проверить это решение при помощи метода Пикара. Оценить точность при применении метода Пикара.

Последовательно дифференцируя уравнение необходимое число раз, найдем четыре первых ненулевых производных функции в точке .

Таким образом, решение , с точностью до первых четырех ненулевых разложения в ряд, равно

Решим методом Пикара уравнение с начальным условием , .

Переходим к интегральному уравнению:

Получаем последовательность приближений:



Видно, что при ряд быстро сходится. Оценим погрешность третьего приближения. Так как функция определена и непрерывна во всей плоскости, то в качестве a и b можно взять любые числа. Для определенности возьмем прямоугольник:

Тогда

Поскольку a = 0.25 , b/M = 1/1.25 = 0.8, имеем h = min (a, b/M) = 0.5.

Решение y будет задано для . При n=4 имеем:



Список использованной литературы

1. Волков Е.А. Численные методы.- М.: Наука, 1982.- 254 с.

2. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Ланчик М.П. Численные методы. -

М.: Просвещение, 1991. - 175 с.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы.- М.: Наука, 1978.-512 с.

4. Турчак Л.И. Основы численных методов.- М.: Наука, 1987.- 319 с.

Размещено на Allbest.ru