Численные методы

Решение системы линейных уравнений с неизвестными методами Гаусса, Зейделя и простой итерации. Вычисление корня уравнения методами дихотомии, хорды и простой итерации. Нахождение приближённого значения интеграла с точностью до 0,001 методом Симпсона.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 05.07.2014
Размер файла 1,7 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание № 1

Найти решение системы 4 линейных уравнений с 4-мя неизвестными х12, х3, х4 с точностью до 10-4 следующими методами:

а) методом Гаусса;

б) методом простой итерации;

в) методом Зейделя.

Проверкой полученного решения является совпадение найденных разными методами решений с заданной точностью.

а) метод Гаусса.

Найти решение системы уравнений:

1. Сформируем расширенную матрицу:

Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

2. Разделим строку 1 на a11 = 1.42

Получим матрицу:

3. Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a21= 0.63

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

4. Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на a31= 0.84

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

5. Вычтем из строки 4 строку 1 умноженную на a41= 0.27

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

6. Разделим строку 2 на a22 = -0.57197183098592

Получим матрицу:

7. Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a32= -2.4192957746479

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

8. Вычтем из строки 4 строку 2 умноженную на a42= 1.3091549295775

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

9. Разделим строку 3 на a33 = -6.4314897808422

Получим матрицу:

10. Вычтем из строки 4 строку 3 умноженную на a43= 4.0531913321842

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

11. Разделим строку 4 на a44 = -1.0916757937353

Получим матрицу:

12. Вычтем из строки 3 строку 4 умноженную на a34= 0.62435409222966

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

13. Вычтем из строки 2 строку 4 умноженную на a24=1.6733563161783

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

14. Вычтем из строки 1 строку 4 умноженную на a14=0.59859154929577

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

15. Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a23=2.5461708938685

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

16. Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a13=0.29577464788732

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

17. Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a12=0.22535211267606

Вычитаемая строка:

Модифицированная матрица:

Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:

Заданная система уравнений имеет единственное решение:

б) метод простой итерации.

Найти решение системы уравнений:

Заметим, что метод простой итерации расходится, т. к. не выполняется условие преобладания диагональных элементов:

Пусть требуемая точность = 10-4.

Приведем систему к виду:

Последовательно вычисляем:

Шаг 1.

В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободных членов: (1.32, -0.44, 0.64, 0.85).

Шаг 2.

Шаг 3.

Ответ: итерационный процесс расходится.

в) метод Зейделя.

Найти решение системы уравнений:

Заметим, что метод Зейделя расходится, т. к. не выполняется условие преобладания диагональных элементов:

Пусть требуемая точность = 10-4.

Приведем систему к виду:

Последовательно вычисляем:

Шаг 1.

В качестве начального приближения возьмем: (0, 0, 0, 0).

= 0.92957746478876.

При вычислении x2 используем уже полученное значение x1:

При вычислении x3 используем уже полученное значение x1 и x2:

При вычислении x4 используем уже полученное значение x1, x2 и x3:

Шаг 2.

Шаг 3.

Ответ: итерационный процесс расходится.

Задание № 2

Отделить один корень уравнения x4+2x-1=0 и вычислить его на полученном отрезке [а,b] с точностью до 0.0001 тремя методами:

а) методом дихотомии;

б) методом хорд;

в) методом простой итерации.

Убедиться, что корни, полученные при помощи этих методов, удовлетворяют уравнению F(х) = 0 и мало отличаются друг от друга.

[а,b]=[-1;2]

а) метод дихотомии

Ответ:

в) метод простой итерации

Ответ:

Задание № 3

уравнение итерация интеграл симпсон

Найти приближённо значение интеграла с точностью до 0,001 методом Симпсона.

Начальное количество разбиений .

Имеем . Отсюда . Результаты вычислений приведены в таблице.

0

1

0,909297

1

1,0125

0,921216

2

1,025

0,932285

3

1,0375

0,942458

4

1,05

0,951688

5

1,0625

0,959931

6

1,075

0,967141

7

1,0875

0,973273

8

1,1

0,978281

9

1,1125

0,982121

10

1,125

0,984749

11

1,1375

0,986121

12

1,15

0,986195

13

1,1625

0,984928

14

1,175

0,982278

15

1,1875

0,978204

16

1,2

0,972667

17

1,2125

0,965627

18

1,225

0,957046

19

1,2375

0,946886

20

1,25

0,935113

21

1,2625

0,92169

22

1,275

0,906585

23

1,2875

0,889764

24

1,3

0,871197

25

1,3125

0,850855

26

1,325

0,828709

27

1,3375

0,804732

28

1,35

0,7789

29

1,3625

0,751189

30

1,375

0,721578

31

1,3875

0,690046

32

1,4

0,656577

33

1,4125

0,621153

34

1,425

0,58376

35

1,4375

0,544386

36

1,45

0,503022

37

1,4625

0,459658

38

1,475

0,414288

39

1,4875

0,36691

40

1,5

0,31752

41

1,5125

0,26612

42

1,525

0,212712

43

1,5375

0,157302

44

1,55

0,099898

45

1,5625

0,040508

46

1,575

-0,02086

47

1,5875

-0,08418

48

1,6

-0,14944

49

1,6125

-0,21662

50

1,625

-0,2857

51

1,6375

-0,35666

52

1,65

-0,42946

53

1,6625

-0,50408

54

1,675

-0,58049

55

1,6875

-0,65865

56

1,7

-0,73851

57

1,7125

-0,82005

58

1,725

-0,90323

59

1,7375

-0,98798

60

1,75

-1,07427

61

1,7625

-1,16205

62

1,775

-1,25126

63

1,7875

-1,34186

64

1,8

-1,43377

65

1,8125

-1,52694

66

1,825

-1,6213

67

1,8375

-1,7168

68

1,85

-1,81336

69

1,8625

-1,91092

70

1,875

-2,0094

71

1,8875

-2,10872

72

1,9

-2,20881

73

1,9125

-2,30959

74

1,925

-2,41097

75

1,9375

-2,51288

76

1,95

-2,61523

77

1,9625

-2,71793

78

1,975

-2,82089

79

1,9875

-2,92401

80

2

-3,02721

-6,854834099

-7,942676655

По формуле Симпсона получим:

.

Подсчитаем погрешность полученного результата. Полная погрешность складывается из погрешностей действий и остаточного члена .

,

где - коэффициенты формулы Симпсона и - максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции.

Оценим остаточный член.

при и, следовательно,

.

Таким образом, предельная полная погрешность равна:

и, значит, .

Ответ: .

Задание № 4

Найти четыре первых, отличных от нуля члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям и проверить это решение при помощи метода Пикара. Оценить точность при применении метода Пикара.

Последовательно дифференцируя уравнение необходимое число раз, найдем четыре первых ненулевых производных функции в точке .

Таким образом, решение , с точностью до первых четырех ненулевых разложения в ряд, равно

Решим методом Пикара уравнение с начальным условием , .

Переходим к интегральному уравнению:

Получаем последовательность приближений:

Видно, что при ряд быстро сходится. Оценим погрешность третьего приближения. Так как функция определена и непрерывна во всей плоскости, то в качестве a и b можно взять любые числа. Для определенности возьмем прямоугольник:

Тогда

Поскольку a = 0.25 , b/M = 1/1.25 = 0.8, имеем h = min (a, b/M) = 0.5.

Решение y будет задано для . При n=4 имеем:

Список использованной литературы

1. Волков Е.А. Численные методы.- М.: Наука, 1982.- 254 с.

2. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Ланчик М.П. Численные методы. -

М.: Просвещение, 1991. - 175 с.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы.- М.: Наука, 1978.-512 с.

4. Турчак Л.И. Основы численных методов.- М.: Наука, 1987.- 319 с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Численные методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя. Методы аппроксимации и интерполяции функций: неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов. Решения нелинейных уравнений и вычисление определенных интегралов.

    курсовая работа [322,7 K], добавлен 27.04.2011

  • Решение задач вычислительными методами. Решение нелинейных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений (метод исключения Гаусса, простой итерации Якоби, метод Зейделя). Приближение функций. Численное интегрирование функций одной переменной.

    учебное пособие [581,1 K], добавлен 08.02.2010

  • Метод Зейделя как модификация метода простой итерации. Особенности решения систем линейных алгебраических уравнений. Анализ способов построения графика функций. Основное назначение формул Симпсона. Характеристика модифицированного метода Эйлера.

    контрольная работа [191,3 K], добавлен 30.01.2014

  • Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.

    лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009

  • Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации. Полиномиальная интерполяция функции методом Ньютона с разделенными разностями. Среднеквадратическое приближение функции. Численное интегрирование функций методом Гаусса.

    курсовая работа [2,4 M], добавлен 14.04.2009

  • Трансцендентное уравнение: понятие и характеристика. Метод половинного деления (дихотомии), его сущность. Применение метода простой итерации для решения уравнения. Геометрический смысл метода Ньютона. Уравнение хорды и касательной, проходящей через точку.

    курсовая работа [515,8 K], добавлен 28.06.2013

  • Графическое решение нелинейного уравнения. Уточнение значение одного из действительных решений уравнения методами половинного деления, Ньютона–Рафсона, секущих, простой итерации, хорд и касательных, конечно-разностным и комбинированным методом Ньютона.

    лабораторная работа [32,7 K], добавлен 11.06.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.