Решение нелинейных уравнений
Графическое решение нелинейного уравнения. Уточнение значение одного из действительных решений уравнения методами половинного деления, Ньютона–Рафсона, секущих, простой итерации, хорд и касательных, конечно-разностным и комбинированным методом Ньютона.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.06.2011 |
| Размер файла | 32,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лабораторная работа
Решение нелинейных уравнений
Задание
N =07
М=2
Дано уравнение:
Найти все решения уравнения графически.
Уточнить значение одного из действительных решений уравнения с точностью до
= 0,001:
*методом половинного деления;
*методом Ньютона - Рафсона;
методом секущих;
конечно-разностным методом Ньютона;
*методом простой итерации;
*методом хорд и касательных
комбинированным методом Ньютона.
Результаты расчетов оформить таблично с кратким описанием каждого использованного метода: расчетные формулы, выбор начального приближения, критерий остановки и пр.
Из методов пункта 2 задание на лабораторную работу предусматривает обязательное использование 4-х методов, отмеченных звездочками, и одного из остальных методов по усмотрению студента.
нелинейный уравнение графический ньютон итерация
1. Решение уравнения графически:
2. Метод половинного деления
Расчетная формула: следующее значение x получается делением отрезка пополам.
Начальное приближение:
Критерий остановки: <2; .
Таблица результатов
|
Метод половинного деления |
|||||||||||
|
k |
ak |
bk |
xk |
f(ak) |
f(bk) |
f(xk) |
|bk-ak| |
f(xk)*f(ak) |
f(xk)*f(bk) |
|bk-ak|<2? |
|
|
0 |
0 |
1,5 |
0,75 |
-2,070 |
4,305 |
-0,148 |
1,5 |
0,306360 |
-1,000000 |
- |
|
|
1 |
0,75 |
1,5 |
1,125 |
-0,148 |
4,305 |
1,604 |
0,75 |
-0,237392 |
6,905220 |
- |
|
|
2 |
0,75 |
1,125 |
0,938 |
-0,148 |
1,604 |
0,631 |
0,375 |
-0,093388 |
1,012120 |
- |
|
|
3 |
0,75 |
0,938 |
0,844 |
-0,148 |
0,631 |
0,219 |
0,188 |
-0,032412 |
0,138190 |
- |
|
|
4 |
0,75 |
0,844 |
0,797 |
-0,148 |
0,219 |
0,03 |
0,094 |
-0,004440 |
0,006570 |
- |
|
|
5 |
0,75 |
0,797 |
0,774 |
-0,148 |
0,03 |
-0,058 |
0,047 |
0,008584 |
-0,001740 |
- |
|
|
6 |
0,774 |
0,797 |
0,786 |
-0,058 |
0,03 |
-0,012 |
0,023 |
0,000696 |
-0,000360 |
- |
|
|
7 |
0,786 |
0,797 |
0,792 |
-0,012 |
0,03 |
0,011 |
0,011 |
-0,000132 |
0,000330 |
- |
|
|
8 |
0,786 |
0,792 |
0,789 |
-0,012 |
0,011 |
-0,001 |
0,006 |
0,000012 |
-0,000010 |
- |
|
|
9 |
0,789 |
0,792 |
0,791 |
-0,001 |
0,011 |
0,007 |
0,003 |
-0,000007 |
0,000080 |
- |
|
|
10 |
0,789 |
0,791 |
0,790 |
-0,001 |
0,007 |
0,003 |
0,002 |
-0,000003 |
0,000020 |
- |
|
|
11 |
0,789 |
0,790 |
0,790 |
-0,001 |
0,003 |
0,003 |
0,001 |
+ |
3. Метод Ньютона - Рафсона
Расчетная формула: , где
Начальное приближение:.
Критерий остановки: |f(xk+1)-f(xk)|<?; .
Таблица результатов:
|
Метод Ньютона - Рафсона |
|||||
|
k |
xk |
f(xk) |
f'(xk) |
|f(xk+1)-f(xk)|<? |
|
|
0 |
0,75 |
-0,1481 |
3,688 |
- |
|
|
1 |
0,79 |
0,003 |
3,872 |
- |
|
|
2 |
0,789 |
-0,0008 |
3,868 |
+ |
4. Метод Ньютона - Рассела
Расчетная формула:
Начальное приближение: : x = 0,75
Критерий остановки: |f(xk+1)-f(xk)|<?, .
Таблица результатов:
|
Метод Ньютона - Рассела |
|||||||
|
k |
xk |
h |
xk+h |
f(xk) |
f(xk+h) |
|f(xk+1)-f(xk)|<? |
|
|
0 |
0,75 |
1 |
1,75 |
-0,1481 |
6,789 |
- |
|
|
1 |
0,771 |
1 |
1,771 |
-0,0697 |
7,027 |
- |
|
|
2 |
0,781 |
1 |
1,781 |
-0,0316 |
7,141 |
- |
|
|
3 |
0,785 |
1 |
1,785 |
-0,0163 |
7,187 |
- |
|
|
4 |
0,787 |
1 |
1,787 |
-0,0086 |
7,211 |
- |
|
|
5 |
0,788 |
1 |
1,788 |
-0,0047 |
7,222 |
- |
|
|
6 |
0,789 |
1 |
1,789 |
-0,0008 |
7,234 |
- |
|
|
7 |
0,789 |
1 |
1,789 |
-0,0008 |
7,234 |
+ |
5. Метод простой итерации
Расчетная формула:. x=(x), где (x)=x - k f(x), k=0.11
Начальное приближение: x = 0,75
Критерий остановки: |xk+1-xk|??; .
Таблица результатов
|
Метод простой итерации |
||||
|
k |
xk |
?(xk) |
|xk+1-xk|?? |
|
|
0 |
0,5 |
0,604 |
- |
|
|
1 |
0,604 |
0,675 |
- |
|
|
2 |
0,675 |
0,720 |
- |
|
|
3 |
0,720 |
0,748 |
- |
|
|
4 |
0,748 |
0,765 |
- |
|
|
5 |
0,765 |
0,775 |
- |
|
|
6 |
0,775 |
0,781 |
- |
|
|
7 |
0,781 |
0,784 |
- |
|
|
8 |
0,784 |
0,786 |
- |
|
|
9 |
0,786 |
0,787 |
- |
|
|
10 |
0,787 |
0,788 |
- |
|
|
11 |
0,788 |
0,789 |
- |
|
|
12 |
0,789 |
0,789 |
+ |
6. Метод хорд и касательных
Расчетная формула: ,
,где .
Начальное приближение: ,
Критерий остановки: ; .
Таблица результатов:
|
Метод хорд и касательных |
||||||||||||
|
k |
ak |
bk |
f(ak) |
f(bk) |
f'(ak) |
f'(bk) |
f''(ak) |
f''(bk) |
f(ak) *f''(ak) |
f(bk) *f''(bk) |
|bk-ak|<2? |
|
|
0 |
0 |
1,5 |
-2,070 |
4,305 |
2 |
8,75 |
0 |
9 |
0 |
38,745 |
- |
|
|
1 |
0,487 |
1,022 |
-0,980 |
1,041 |
2,712 |
5,133 |
2,922 |
6,132 |
-2,86 |
6,383 |
- |
|
|
2 |
0,746 |
0,852 |
-0,163 |
0,252 |
3,67 |
4,178 |
4,476 |
5,112 |
-0,73 |
1,288 |
- |
|
|
3 |
0,788 |
0,803 |
-0,005 |
0,054 |
3,863 |
3,934 |
4,728 |
4,818 |
-0,02 |
0,26 |
- |
|
|
4 |
0,789 |
0,792 |
-0,001 |
0,011 |
3,868 |
3,882 |
4,734 |
4,752 |
-0,01 |
0,052 |
- |
|
|
5 |
0,789 |
0,79 |
-0,001 |
0,003 |
3,868 |
3,872 |
4,734 |
4,74 |
-0,01 |
0,014 |
+ |
Вывод
|
Название метода |
Вычислительная сложность |
Сложность реализации |
Глобальная сходимость |
Скорость сходимости |
||
|
h |
Произв. |
|||||
|
Метод Ньютона-Рафсона |
- |
+ |
+++ |
- |
квадратичная |
|
|
Метод половинного деления |
- |
- |
+ |
+ |
линейная |
|
|
Метод простой итерации |
- |
- |
+ |
- |
линейная |
|
|
Конечно-разностный метод |
+ |
- |
++ |
- |
сверхлинейная (при хорошем выборе h) |
|
|
Метод секущих |
- |
+ |
++ |
- |
сверхлинейная |
|
|
Метод хорд и касательных |
- |
+ |
+++ |
квадратичная |
||
|
Метод хорд |
- |
+ |
+++ |
- |
Сначала лин., потом сверхлин. |
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Методы решения одного нелинейного уравнения: половинного деления, простой итерации, Ньютона, секущих. Код программы решения перечисленных методов на языке программирования Microsoft Visual C++ 6.0. Применение методов к конкретной задаче и анализ решений.
реферат [28,4 K], добавлен 24.11.2009Общая постановка задачи. Отделение корня. Уточнение корня. Метод половинного деления (бисекции). Метод хорд (секущих). Метод касательных (Ньютона). Комбинированный метод хорд и касательных. Задания для расчётных работ.
творческая работа [157,4 K], добавлен 18.07.2007Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.
лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009Изучение методов уточнения корней нелинейных уравнений (половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). Метод хорд и касательных дает высокую скорость сходимости при решении уравнений, и небольшую - метод половинного деления и простой итерации.
контрольная работа [58,6 K], добавлен 20.11.2010Геометрическая интерпретация методов Ньютона, итерации и спуска. Определение корня уравнения с заданной степенью точности. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Нахождение эквивалентного преобразования для выполнения условия сходимости.
курсовая работа [371,6 K], добавлен 14.01.2015Сущность и графическое представление методов решения нелинейных уравнений вида F(x)=0. Особенности метода хорд, бисекции, простой итерации, касательных и секущих. Проверка результатов с помощью встроенных функций и оценка точности полученных значений.
контрольная работа [316,1 K], добавлен 09.11.2010Особенности решения алгебраических, нелинейных, трансцендентных уравнений. Метод половинного деления (дихотомия). Метод касательных (Ньютона), метод секущих. Численные методы вычисления определённых интегралов. Решение различными методами прямоугольников.
курсовая работа [473,4 K], добавлен 15.02.2010Биография Исаака Ньютона, его основные исследования и достижения. Описание порядка нахождения корня уравнения в рукописи "Об анализе уравнениями бесконечных рядов". Методы касательных, линейной аппроксимации и половинного деления, условие сходимости.
реферат [1,6 M], добавлен 29.05.2009Модифицированный метод Ньютона. Общие замечания о сходимости процесса. Метод простой итерации. Приближенное решение систем нелинейных уравнений различными методами. Быстрота сходимости процесса. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона.
дипломная работа [1,8 M], добавлен 14.09.2015Решение системы линейных уравнений с неизвестными методами Гаусса, Зейделя и простой итерации. Вычисление корня уравнения методами дихотомии, хорды и простой итерации. Нахождение приближённого значения интеграла с точностью до 0,001 методом Симпсона.
контрольная работа [1,7 M], добавлен 05.07.2014
