Применение криволинейных интегралов в различных областях наук

Криволинейный интеграл первого и второго рода. Площадь области, ограниченной замкнутой кривой. Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой. Центр масс и моменты инерции кривой. Магнитное поле вокруг проводника с током. Сущность закона Фарадея.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 09.01.2012
Размер файла 1,4 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы.

Точность математики означает, что основным методом в математических исследованиях являются логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются модели (математические). В этих моделях математика изучает соотношения между их элементами, количественные и качественные связи между ними, их форму. Одна и та же математическая модель может описывать с определенным приближением свойства очень далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений.

Математика неустанно продолжает развиваться, в ней создаются новые методы, появляются новые разделы. Развитие математики в целом определяет уровень ее использования и оказывает существенное влияние на развитие других наук и техники. В свою очередь, задачи практики, прогресс других фундаментальных и прикладных наук приводят к созданию новых направлений математики, стимулируют ту или иную направленность математических исследований, расширяют возможность применения математических методов.

В данной работе будет рассмотрено применение криволинейных интегралов в различных областях наук, в частности физики, механики и т.д.

Криволинейный интеграл первого рода

Для того чтобы естественным путем прийти к определению криволинейного интеграла, рассмотрим одну механическую задачу, которая к нему приводит.

Пусть на плоскости дана непрерывная простая спрямляемая кривая (К), вдоль которой расположены массы, причем известна их линейная плотность во всех точках M кривой. Требуется определить массу всей кривой (К).

криволинейный интеграл магнитный поле

Рис. 1

С этой целью между концами кривой вставим произвольно ряд точек для симметрии обозначений отождествляются с ). Эти точки пронумерованы в направлении от , хотя ничто не мешает перенумеровать их и в обратном направлении.

Взяв какую-нибудь точку на дуге кривой, вычислим плотность в этой точке. Приближенно считая, что такова же плотность во всех точках этого участка, и обозначая длину дуги через , для массы этой дуги будем иметь приближенное выражение

а для всей искомой массы - выражение

Погрешность этого последнего, связанная с сделанным выше приближенным допущением, будет стремиться к нулю, если длины всех участков стремятся к нулю. Таким образом, обозначая через наибольшую из длин для получения точной формулы остается лишь перейти к пределу:

.

Станем же изучать вообще пределы этого рода и, отвлекаясь от рассмотренной задачи, возьмем произвольную «функцию точки» заданную вдоль непрерывной простой спрямляемой кривой , и повторим указанный процесс: разбив кривую ) на элементарные дуги и выбрав на них произвольно по точке вычислим значения в них и составим сумму

она представляет собой также своего рода «интегральную сумму».

Аналогичный процесс может быть применен и в случае замкнутой кривой, если за точку выбрать любую ее точку, а остальные точки расположить в соответствии с тем или другим направлением на кривой.

Если при стремлении к нулю интегральная сумма имеет определенный конечный предел I, не зависящий ни от способа дробления кривой (K), ни от выбора точек на участках , то он называется криволинейным интегралом (первого типа) от функции взятым по кривой или по пути и обозначается символом

(где есть длина дуги кривой и напоминает об элементарных длинах .

Таким образом, полученное выше выражение для массы материальной кривой может быть переписано так:

Отметим особо, что в приведенном определении не играет никакой роли направление, которое может быть придано пути. Если, например, эта кривая не замкнута и под разуметь разно направленные кривые, то

Криволинейный интеграл второго рода

Пусть дана непрерывная кривая (которую мы для простоты предположим незамкнутой) и пусть вдоль нее снова задана некоторая функция Разложив кривую точками на части, выберем на отрезке кривой по произволу точку и вычислим в ней значение функции Но это значение умножим на этот раз не на длину дуги , а на величину проекции этой дуги, скажем, на ось , т.е. на ; затем составим сумму

Если при стремлении нулю эта сумма имеет конечный предел I, не зависящий ни от способа дробления кривой, ни от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом (второго типа) от взятым по кривой или по пути и обозначается символом

Аналогично, умножая значениеи составляя сумму

как предел ее получим криволинейный интеграл (второго типа) от

Если вдоль кривой и существуют интегралы

то и их сумму называют криволинейным интегралом («общего вида») и полагают

Сопоставим теперь определение криволинейного интеграла второго типа с определением криволинейного интеграла первого типа. При очевидном сходстве оба определения имеют существенное различие: в случае интеграла первого типа при составлении интегральной суммы значение функции умножается на длину участка кривой, а в случае интеграла второго типа это значение умножается на проекцию упомянутого участка на ось .

Направление пути , вдоль которого производится интегрирование, не играет роли в случае первого типа, ибо длина от этого направления не зависит. Иначе обстоит дело с интегралом второго типа: проекция упомянутой дуги на ту или другую из осей существенно зависит от направления дуги и меняет знак с изменением этого направления на обратное. Таким образом, для интегралов второго типа будет

и, аналогично,

Причем из существования интегралов справа уже вытекает существование интегралов слева, и обратно.

Подобным же образом можно ввести понятие криволинейного интеграла второго типа, распространенного на пространственную кривую Именно, если функция задана в точках этой кривой, то строим сумму

и рассматриваем ее предел при условии стремления к нулю этот предел называется криволинейным интегралом (второго типа) от и обозначается символом

Аналогично определяются интегралы вида

Наконец, рассматривается и интеграл («общего вида»)

Здесь также направление интегрирования меняет знак интеграла.

Приложения криволинейных интегралов

Теперь можно перейти непосредственно к приложениям криволинейных интегралов. Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, рассмотрим геометрические и физические.

Геометрические.

С помощью криволинейных интегралов вычисляются:

Длина кривой

Пусть является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом

где производная, а -компоненты векторной функции

Если кривая задана в плоскости, то ее длина выражается формулой

Если кривая представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции в плоскости O xy,то длина такой кривой вычисляется по формуле

Наконец, если кривая задана в полярных координатах уравнением и функция является непрерывной и дифференцируемой в интервале , то длина кривой определяется выражением

Пример 1

Найти длину кривой при условии

Решение.

Запишем функцию в виде или

Рис. 2

Поскольку y ? 0, то мы возьмем только положительный корень в уравнении кривой. Длина кривой равна

Пример 2

Вычислить длину параболы в интервале

Решение.

Применяя формулу находим, что

Для вычисления полученного интеграла сделаем замену

Следовательно, При получаем а при - соответственно, Тогда длина участка параболы равна

Сделаем еще одну замену. Положим

В приведенном выше выражении мы использовали тригонометрическое соотношение

В результате длина кривой равна

Разложим подынтегральное выражение на сумму элементарных рациональных дробей.

Следовательно,

Решая данную систему уравнений, находим коэффициенты

.

Площадь области, ограниченной замкнутой кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости . Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется формулами

Рис. 3

Здесь предполагается, что обход кривой C производится против часовой стрелки.

Если замкнутая кривая C задана в параметрическом виде то площадь соответствующей области равна

Пример 3

Найти площадь области, ограниченной гиперболой осью и вертикальными прямыми

Решение.

Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла.

Рис. 4

Решение.

Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла.

Найдем отдельно каждый из интегралов.

Следовательно, площадь заданной области равна

Пример 4

Найти площадь области, ограниченной эллипсом, заданным параметрически в виде

Решение.

Рис. 5

Применим сначала формулу

Получаем

Площадь данной фигуры можно вычислить, используя также и две другие формулы:

Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси

Предположим, что область R расположена в верхней и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой C, обход которой осуществляется против часовой стрелки.

В результате вращения области R вокруг оси образуется тело Щ. Объем данного тела определяется формулами

Рис. 6

Пример 5

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси области , ограниченной кривой и прямыми

Решение.

Рис. 7

Объем этого тела найдем по формуле:

Вычислим криволинейные интегралы

Следовательно, объем тела равен

Пример 6

Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса с полуосями .

Решение.

Рис. 8

Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса Мы можем ограничиться рассмотрением половины эллипса, лежащей в верхней полуплоскости Тогда объем эллипсоида с полуосями будет равен

где под функцией подразумевается верхняя половина эллипса. Переходя к параметрической форме записи, находим объем

Отсюда, в частности, следует, что объем шара (при этом ) равен

Физические

С помощью криволинейных интегралов вычисляются:

Масса кривой

Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью . Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода

Если кривая C задана в параметрическом виде с помощью векторной функции

то ее масса описывается формулой

В случае плоской кривой, заданной в , масса определяется как

или в параметрической форме

Пример 7

Определить массу проволоки, имеющей форму отрезка от точки Масса распределена вдоль отрезка с плотностью

Решение.

Составим сначала параметрическое уравнение прямой

или

где параметр изменяется в интервале . Тогда масса проволоки равна

Пример 8

Найти центр масс проволоки, имеющей форму кардиоиды , где с плотностью

Рис. 9

Решение.

Очевидно, в силу симметрии, . Чтобы найти координату центра масс , достаточно рассмотреть верхнюю половину кардиоиды.

Предварительно найдем полную массу кардиоиды. В полярных координатах получаем

Вычислим момент первого порядка Используя формулу

Полагая (нижний и верхний пределы интегрирования становятся равными, соответственно, ), можно записать

Тогда

Следовательно, координаты центра масс кардиоиды равны .

Центр масс и моменты инерции кривой

Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой C, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами

? так называемые моменты первого порядка.

Моменты инерции относительно осей определяются формулами

Пример 9

Вычислить момент в форме окружности с плотностью

Решение.

Уравнения окружности в параметрической форме имеют вид

Момент инерции относительно оси вычисляется по формуле

Проводя вычисления, получаем

Работа поля

Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой выражается через криволинейный интеграл второго рода

где ? сила, действующая на тело, ? единичный касательный вектор. Обозначение означает скалярное произведение векторов и .

Рис. 10

Заметим, что силовое поле не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы иногда может оказаться отрицательной.

Если векторное поля задано в координатной форме в виде

то работа поля вычисляется по формуле

В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой в плоскости справедлива формула

Если траектория движения определена через параметр часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид

изменяется в интервале от .

Если векторное поле потенциально, то работа по перемещению тела из точки выражается формулой

где ? потенциал поля.

Пример 10

Найти работу, совершаемую полем при перемещении тела от начала координат до точки ) по траектории , где

1) С ? отрезок прямой 2) С - кривая .

Решение.

Вычислим работу при перемещении вдоль прямой

Определим теперь работу при перемещении вдоль кривой .

Пример 11

Тело массой брошено под углом к горизонту с начальной скоростью . Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

Рис. 11

Решение.

Запишем закон движения тела в параметрической форме.

При соударении с землей так что время полета тела равно

Силу притяжения запишем в виде . Тогда работа за время перемещения тела равна

Полученный результат объясняется тем, что гравитационное поле Земли является потенциальным, поскольку выполняется равенство

Найдем потенциал этого поля. В общем виде он записывается как

Полагая , находим или

Таким образом, потенциал гравитационного поля равен

где C ? константа, которую можно положить равной 0. В результате получаем потенциал в виде

Отсюда видно, что при перемещении тела из начальной точки ) до конечной точки работа равна

Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера)

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией вдоль замкнутого контура пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную

Рис. 12

Это выражается формулой ,

где - магнитная проницаемость вакуума, равная Н/м.

Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея)

Электродвижущая сила наведенная в замкнутом контуре , равна скорости изменения магнитного потока , проходящего через данный контур

Рис. 13

Пример 12

Оценить значение электродвижущей силы и электрического поля , возникающих в кольце радиусом у пассажира самолета, при полете самолета в магнитном поле Земли со скоростью

Решение.

Согласно закону Фарадея

Поскольку проводящее кольцо перемещается в магнитном поле Земли, возникает изменение магнитного потока ш, проходящего через кольцо.

Предположим, что магнитное поле перпендикулярно плоскости кольца. Тогда за время изменение потока равно

где, ? скорость самолета, ? индукция магнитного поля Земли. Из последнего выражения получаем

Подставляя заданные величины

находим значение э.д.с.:

Как видно, это вполне безопасно для авиапассажиров. Напряженность возникающего электрического поля найдем по формуле. В силу симметрии, наведенное электрическое поле будет иметь постоянную амплитуду в любой точке кольца. Оно будет направлено по касательной к кольцу в любой его точке. Это позволяет легко вычислить криволинейный интеграл.

Следовательно, напряженность электрического поля равна

Заключение

Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными математическими методами исследования, которые могут применяться в его области. Для того чтобы иметь возможность с успехом применять математические методы при изучении того или иного вопроса, нужно, конечно, прежде всего, иметь необходимые знания, уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели.

В данной работе я попыталась наиболее обширно раскрыть применение криволинейного интеграла в различных областях наук. Благодаря криволинейным интегралам можно вычислить многие физические величины, что, конечно же, облегчает работу научных работников. Я считаю, что математика - универсальная наука, и более чем уверена, что без нее не существовала ни одна современная наука. Применение математики обширно, начиная с физики и заканчивая, казалось бы далекой от математики наукой - медициной.

Список использованной литературы

1. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа», 2 том, Москва «Высшая школа» 1988 г.

2. Г.М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 3 том, «Наука» 1969 г.

3. Г.М. Фихтенгольц «Основы математического анализа», 2 том.

4. К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко «Сборник задач по высшей математике», 2 часть, «Айрис-пресс» 2007 г.

5. Д. Письменный «Конспект лекций по высшей математике», «Айрис-пресс» 2007 г.

6. www.math24.ru

7. А.П. Аксёнов «Математический анализ» Санкт - Петербург 2000 г.

8. В.Р. Гаврилов, Е.Е. Иванова, В.Д. Морозова «Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля», 7 часть Москва 2003 г.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных по кривой АВ. Определение понятия криволинейного интеграла второго рода. Представление суммы интегралов двух функций вдоль кривой АВ как криволинейного интеграла общего вида.

    презентация [69,4 K], добавлен 17.09.2013

  • Понятие определённого интеграла, расчет площади, объёма тела и длины дуги, статического момента и центра тяжести кривой. Вычисление площади в случае прямоугольной криволинейной области. Применение криволинейного, поверхностного и тройного интегралов.

    курсовая работа [2,1 M], добавлен 19.05.2011

  • Интеграл по кривой, заданной уравнением y=y(x). Вычисление криволинейного интеграла. Кривая от точки А к В при изменении параметра. Непрерывные функции со своими производными. Отрезок параболы, заключенный между точками. Решение разными методами.

    презентация [44,4 K], добавлен 17.09.2013

  • Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных f(x, y) по плоской кривой АВ. Ознакомление с понятием криволинейного интеграла первого рода. Представление формулы расчета криволинейного интеграла по пространственной кривой.

    презентация [306,9 K], добавлен 17.09.2013

  • Моменты и центры масс плоских кривых. Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности.

    лекция [20,9 K], добавлен 04.09.2003

  • Криволинейный интеграл первого рода. Двойной интеграл в декартовой и полярной системе координат. Интеграл по поверхности (первого рода). Приложение определенного интеграла в геометрии: площадь плоской фигуры и цилиндрической поверхности, объем тела.

    методичка [517,1 K], добавлен 27.01.2012

  • Поиск площади фигуры, ограниченной графиками функций с помощью двойного интеграла. Получение вращением объема тела вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной указанными линиями. Пределы интегрирования в двойном интеграле по области, ограниченной линиями.

    контрольная работа [166,9 K], добавлен 28.03.2014

  • Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.

    контрольная работа [25,8 K], добавлен 27.05.2004

  • Изучение теории кратных интегралов. Исследование понятия "двойной и тройной интеграл". Применение кратных интегралов для вычисления объема, массы, площади, моментов инерции, статистических моментов и координат центра масс тела на конкретных примерах.

    курсовая работа [469,0 K], добавлен 13.12.2012

  • Методика и основные этапы нахождения параметров: площади криволинейной трапеции и сектора, длины дуги кривой, объема тел, площади поверхности тел вращения, работы переменной силы. Порядок и механизм вычисления интегралов с помощью пакета MathCAD.

    контрольная работа [752,3 K], добавлен 21.11.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.