Регрессионный анализ

Метод аналитических группировок тоже относится к простейшим методам. Чтобы выявить зависимость с помощью этого метода, нужно произвести группировку единиц совокупности по факторному признаку и для каждой группы вычислить среднее или относительное значение результативного признака. Сопоставляя затем изменения результативного признака по мере изменения факторного можно выявить направление, характер и тесноту связи между ними. ?????? ?????????????? ??????? ??????? ? ?????????? ??????, ??????????? ?? ????????? ??????????? ??????????? ???????? ?????? ???????? ????????? ??????????. ????????????? ?????? ???????? ???????? ????????? ???????????? ???????????? ????? ?????????-?????????????? ???????????. ??? ?????? ?? ?????????? ? ?????? ????? ???????????????? ? ?????????????? ??????? ???????????? ?????? ???????? ?????????. ????????? ??????????????? ???????????? ??????? ? ???, ??? ????? ????? ?????????? ??????? ? ????????????? ?????????? ???????. ?????? ????? ?????? ????? ????? ????????? ?????????, ????? ??????? ???????? ?????????? ???????, ??????????????? ??????????? ???????. ???????? ?????????? ??????? ?????????. ?????? ?????????????? ??????????, ????????? ? ????????????? ????????, ??????? ? ?????????????, ??? ????????????? ?????? ???????????? ????????? ? ???????????, ?????? ??? ????????? ???????? ????????? ????????????. ????? ????, ? ?????? ?????? ?? ????????????? ?????????? ??? ??????????? ????????. ?????, ?? ????????, ??????????, ????? ???? ???????? ???????????, ? ??????? ?????? ???????? (????????, ????????? ???????? ?????????), ? ????? ???????? (???????, ????? ????? ?????????????????? ?????).

В общем виде задача статистики в области изучения взаимосвязей состоит не только в количественной оценке их наличия, направления и силы связи, но и в определении формы (аналитического выражения) влияния факторных признаков на результативный. ?? ??? ?????? ????????? ?????????? ???????? ????????. ?????? ????????????? ????????? ?? ?????????? ???????????? ??????????? ???????, ?? ????????, ???, ??? ??????? ????? ??????????, ????????????? ?????? ?????????????? ?????????. ??? ????????? ?????? ????????????? ????????? ?????????????? ????? ????????? ?????? ?????????. ? ?????? ??????????? ??????????, ??????????? ?????? ??? ??????. ?????????? ?? ???????? ????????????? ???????????? ??? ???????? ?????????????? ??????? ???? ????????????? ????????? ?? ???? ???????? ?????? ????????????? ???????? ???????? ????????? ?????????? ???????????? ????????. ??? ????? ????????? ?? ??? ????? ????????? ???????. ?????????? ? ???????? ???????? ????????? ???? ????????????? ????????????? ????? ????????????? ?????? ?, ???????????, ?? ???? ?????????? ?????????, ???????? ?? ???????????? ???????????? ????????. ???????????? ???????????? ? ????????????? ??????????. ??? ????????? ???????? ?????????, ????????? ?? ????????? ????????? ??????????, ??????? ??????????? ???? ??????????? ? ????????????? ?????????. ?????? ?? ???????????? ???????????? ?????????? ????????????? ??????????. ??????? ????? ? ????, ??? ???????? ????????? ???????. ?????????? ???????? ????????????? ?? ????????? ??????? ????? ?????.

1.3. Статистическое моделирование связи методом корреляционного и регрессионного анализа.

Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты известной связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей (причинный характер которых должен быть выяснен с помощью теоретического анализа) и оценки факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак. [4]

Задачами регрессионного анализа являются выбор типа модели (формы связи), установление степени влияния независимых переменных на зависимую и определение расчётных значений зависимой переменной (функции регрессии). ?????? ?????????????? ??????? ??????? ? ?????????? ??????, ??????????? ?? ????????? ??????????? ??????????? ???????? ?????? ???????? ????????? ??????????. ????????????? ?????? ???????? ???????? ????????? ???????????? ???????????? ????? ?????????-?????????????? ???????????. ??? ?????? ?? ?????????? ? ?????? ????? ???????????????? ? ?????????????? ??????? ???????????? ?????? ???????? ?????????. ????????? ??????????????? ???????????? ??????? ? ???, ??? ????? ????? ?????????? ??????? ? ????????????? ?????????? ???????. ?????? ????? ?????? ????? ????? ????????? ?????????, ????? ??????? ???????? ?????????? ???????, ??????????????? ??????????? ???????. ???????? ?????????? ??????? ?????????. ?????? ?????????????? ??????????, ????????? ? ????????????? ????????, ??????? ? ?????????????, ??? ????????????? ?????? ???????????? ????????? ? ???????????, ?????? ??? ????????? ???????? ????????? ????????????. ????? ????, ? ?????? ?????? ?? ????????????? ?????????? ??? ??????????? ????????. ?????, ?? ????????, ??????????, ????? ???? ???????? ???????????, ? ??????? ?????? ???????? (????????, ????????? ???????? ?????????), ? ????? ???????? (???????, ????? ????? ?????????????????? ?????).

Решение всех названных задач приводит к необходимости комплексного использования этих методов. ??????????, ??? ???????????? ????? ??? ??????????. ????????? ??????????? ????????????, ?????????? ??? ?????????? ?? ?????? ????? ????????? ??????????. ??? ???? ?? ??????? ?????????? ??????????? ?????????, ?? ????????. ??? ?????? ?????????? ????????? ?????????? ???????????? ??????????, ??????? ????????????? ?????? ??? ??????? ????????????? ????????. ??????, ???? ?? ????????? ????????? ??????????? ??????????, ??????????? ?????????? ?????????? ?????. ????????? ????????? ?????????? ??????. ???????? ????????? ?????? ?????????? ?????? ???? ???????????? ????????????? ? ????????, ???????? ?? ????????? ??????????, ??????? ?? ???????? ?????????????. ????? ?????? ?????????? ??????? ?????????? ????????????? ??????: ?? ?????? ?????????? ???????????? ???? ?????????? ? ??????? ???? ??????. ???????? ?????????? ???????????????? ?????????? ?????? ??????????? ? ????????? ?????? ??????????. ?? ?? ?????????? ?????? ?????? ? ?????????? ???????????. ?? ????????? ????????? ???????? ??? ???????? ??????????.

Корреляционный и регрессионный анализ. Исследование связей в условиях массового наблюдения и действия случайных факторов осуществляется, как правило, с помощью экономико-статистических моделей. В широком смысле модель - это аналог, условный образ (изображение, описание, схема, чертёж и т.п.) какого-либо объекта, процесса или события, приближенно воссоздающий «оригинал». Модель представляет собой логическое или математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса, даёт возможность установить основные закономерности изменения оригинала. В модели оперируют показателями, исчисленными для качественно однородных массовых явлений (совокупностей). Выражение и модели в виде функциональных уравнений используют для расчёта средних значений моделируемого показателя по набору заданных величин и для выявления степени влияния на него отдельных факторов. ????? ????????? ? ?????????? ?????????? ??????? ? ?????????. ?? ????????? ????????, ??????????????? ?????????????? ??? ????????? ????????? ?????????????? ?????????, ?????????? ????, ??????? ????? ????? ?????? ?????????????? ????????????. ????? ?????????? ?? ?? ????????? ??? ???? ????????? ??????????, ??? ???? ? ?.?. ????????? ??????????? ?? ??? ???, ???? ? ????????? ?? ????? ???????? ??? ?????????, ?????????? ??????????????, ??????????????? ????????? ?????????? ?????????. ?????????: ?? ????????? ???????????? ???????? ????????? ?????????? ?????????? ????????? ??????????????? ?????? ?????????? ??????????. ??????????, ??????????? ????????????? ??????????. ?????????? ??????????, ??????????? ??????????, ???????????? ???????????. ????????? ?????????? ??????? ????????????? ????????? ????????? ????? ???? ??????? ?????????? ???????? ????????? ??????????, ?????? ??? ????? ???? ????????? ? ???, ??? ???????? ??????????, ? ??? ??? ??? ?? ??????????.

По количеству включаемых факторов модели могут быть однофакторными и многофакторными (два и более факторов).

В зависимости от познавательной цели статистические модели подразделяются на структурные, динамические и модели связи.

Двухмерная линейная модель корреляционного и регрессионного анализа (однофакторный линейный корреляционный и регрессионный анализ). Наиболее разработанной в теории статистики является методология так называемой парной корреляции, рассматривающая влияние вариации факторного анализа х на результативный признак у и представляющая собой однофакторный корреляционный и регрессионный анализ. Овладение теорией и практикой построения и анализа двухмерной модели корреляционного и регрессионного анализа представляет собой исходную основу для изучения многофакторных стохастических связей. ?????? ??? ????????? ??????????? ????? ???????????, ???? ??????????????? ?????????? ? ?????????? ????????? ????????? ??? ????????????????? ??????????, ?? ?????? ????????????? ????????? ???????? ?? ?? ?????????? ???????? ?????? ? ???, ????? ???????? ? ??????? ??????? ?????? ?? ???????. ?????????????? ??????????. ???? ????????????. ???????????? ? ????????? ????????? ???????? ??? ?????????? ????????? ????????? ???? ?????????? ? ????????. ? ?????? ??????????? ????? ??????????? ? ?????? ????? ????????? ????? ??????????? ???????? ????. ?????????? ? ?????????? ???????????? ?????????. ????? ????????? ??????????? ????????????, ?????????? ??? ?????????? ????????? ?????????, ? ??????? ? ???????? ????????? ?????????? ????? ?????? ??????????. ?? ????????? ?????, ??? ???????? ???????????? ??? ????????????, ??? ??????? ?????????? ??????? ? ?????????? ???????????. ??? ?????????? ????? ????????????? ?????????. ? ?????? ?????? ?????????? ??????????? ?? ???????????? ?????????? - ??????????? ???????? ??? ??????? ????????????? ???????????? ???????? ???????? ??????????, ??????? ?? ?????????? ????????, ??? ??????????. ?????????? ????????? ?????????? ? ?????????. ??? ???????????????? ??????? ?????????? ????????????? ?????????????, ?????????? ?? ?????????? ????????? ? ?????????? ??????????.

Важнейшим этапом построения регрессионной модели (уравнения регрессии) является установление в анализе исходной информации математической функции. Сложность заключается в том, что из множества функций необходимо найти такую, которая лучше других выражает реально существующие связи между анализируемыми признаками. Выбор типов функции может опираться на теоретические знания об изучаемом явлении, опят предыдущих аналогичных исследований, или осуществляться эмпирически - перебором и оценкой функций разных типов и т.п. [10]

При изучении связи экономических показателей производства (деятельности) используют различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчётов преобразуют (путём логарифмирования или замены переменных) в линейную форму. Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи имеет вид:

y = a0 + a1x ,

где y - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

a0 , a1 - коэффициенты (параметры) уравнения регрессии. ?????? ?????????????? ??????? ??????? ? ?????????? ??????, ??????????? ?? ????????? ??????????? ??????????? ???????? ?????? ???????? ????????? ??????????. ????????????? ?????? ???????? ???????? ????????? ???????????? ???????????? ????? ?????????-?????????????? ???????????. ??? ?????? ?? ?????????? ? ?????? ????? ???????????????? ? ?????????????? ??????? ???????????? ?????? ???????? ?????????. ????????? ??????????????? ???????????? ??????? ? ???, ??? ????? ????? ?????????? ??????? ? ????????????? ?????????? ???????. ?????? ????? ?????? ????? ????? ????????? ?????????, ????? ??????? ???????? ?????????? ???????, ??????????????? ??????????? ???????. ???????? ?????????? ??????? ?????????. ?????? ?????????????? ??????????, ????????? ? ????????????? ????????, ??????? ? ?????????????, ??? ????????????? ?????? ???????????? ????????? ? ???????????, ?????? ??? ????????? ???????? ????????? ????????????. ????? ????, ? ?????? ?????? ?? ????????????? ?????????? ??? ??????????? ????????. ?????, ?? ????????, ??????????, ????? ???? ???????? ???????????, ? ??????? ?????? ???????? (????????, ????????? ???????? ?????????), ? ????? ???????? (???????, ????? ????? ?????????????????? ?????).

Поскольку a0 является средним значением у в точке х=0, экономическая интерпретация часто затруднена или вообще невозможна. ?? ??? ?????? ????????? ?????????? ???????? ????????. ?????? ????????????? ????????? ?? ?????????? ???????????? ??????????? ???????, ?? ????????, ???, ??? ??????? ????? ??????????, ????????????? ?????? ?????????????? ?????????. ??? ????????? ?????? ????????????? ????????? ?????????????? ????? ????????? ?????? ?????????. ? ?????? ??????????? ??????????, ??????????? ?????? ??? ??????. ?????????? ?? ???????? ????????????? ???????????? ??? ???????? ?????????????? ??????? ???? ????????????? ????????? ?? ???? ???????? ?????? ????????????? ???????? ???????? ????????? ?????????? ???????????? ????????. ??? ????? ????????? ?? ??? ????? ????????? ???????. ?????????? ? ???????? ???????? ????????? ???? ????????????? ????????????? ????? ????????????? ?????? ?, ???????????, ?? ???? ?????????? ?????????, ???????? ?? ???????????? ???????????? ????????. ???????????? ???????????? ? ????????????? ??????????. ??? ????????? ???????? ?????????, ????????? ?? ????????? ????????? ??????????, ??????? ??????????? ???? ??????????? ? ????????????? ?????????. ?????? ?? ???????????? ???????????? ?????????? ????????????? ??????????. ??????? ????? ? ????, ??? ???????? ????????? ???????. ?????????? ???????? ????????????? ?? ????????? ??????? ????? ?????.

Коэффициент парной линейной регрессии a1 имеет смысл показателя силы связи между вариацией факторного признака х и вариацией результативного признака у. Вышеприведенное уравнение показывает среднее значение изменения результативного признака у при изменении факторного признака х на одну единицу его измерения, то есть вариацию у, приходящуюся на единицу вариации х. Знак a1 указывает направление этого изменения.

Параметры уравнения a0 , a1 находят методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), то есть в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных yi от выравненных y :

(yi - y)2 = (yi - a0 - a1xi)2 min [9]

Для нахождения минимума данной функции приравняем к нулю ее частные производные и получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений:

.

Решим эту систему в общем виде:

Параметры уравнения парной линейной регрессии иногда удобно исчислять по следующим формулам, дающим тот же результат:

Определив значения a0 , a1 и подставив их в уравнение связи y = a0 + a1x , находим значения y , зависящие только от заданного значения х.

Рассмотрим построение однофакторного уравнения регрессии зависимости работающих активов у от капитала х (см. таблица 1). ??????????, ??? ???????????? ????? ??? ??????????. ????????? ??????????? ????????????, ?????????? ??? ?????????? ?? ?????? ????? ????????? ??????????. ??? ???? ?? ??????? ?????????? ??????????? ?????????, ?? ????????. ??? ?????? ?????????? ????????? ?????????? ???????????? ??????????, ??????? ????????????? ?????? ??? ??????? ????????????? ????????. ??????, ???? ?? ????????? ????????? ??????????? ??????????, ??????????? ?????????? ?????????? ?????. ????????? ????????? ?????????? ??????. ???????? ????????? ?????? ?????????? ?????? ???? ???????????? ????????????? ? ????????, ???????? ?? ????????? ??????????, ??????? ?? ???????? ?????????????. ????? ?????? ?????????? ??????? ?????????? ????????????? ??????: ?? ?????? ?????????? ???????????? ???? ?????????? ? ??????? ???? ??????. ???????? ?????????? ???????????????? ?????????? ?????? ??????????? ? ????????? ?????? ??????????. ?? ?? ?????????? ?????? ?????? ? ?????????? ???????????. ?? ????????? ????????? ???????? ??? ???????? ??????????.