Регрессионный анализ

Используя данные таблицы 1 я рассчитала линейный коэффициент корреляции r. Но чтобы использовать формулу для линейного коэффициента корреляции рассчитаем дисперсию результативного признака уy:

Квадрат линейного коэффициента корреляции r2 называется линейным коэффициентом детерминации. Из определения коэффициента детерминации очевидно, что его числовое значение всегда заключено в пределах от 0 до 1, то есть 0 ? r2 ? 1. Степень тесноты связи полностью соответствует теоретическому корреляционному отношению, которое является более универсальным показателем тесноты связи по сравнению с линейным коэффициентом корреляции. ?????? ??? ????????? ??????????? ????? ???????????, ???? ??????????????? ?????????? ? ?????????? ????????? ????????? ??? ????????????????? ??????????, ?? ?????? ????????????? ????????? ???????? ?? ?? ?????????? ???????? ?????? ? ???, ????? ???????? ? ??????? ??????? ?????? ?? ???????. ?????????????? ??????????. ???? ????????????. ???????????? ? ????????? ????????? ???????? ??? ?????????? ????????? ????????? ???? ?????????? ? ????????. ? ?????? ??????????? ????? ??????????? ? ?????? ????? ????????? ????? ??????????? ???????? ????. ?????????? ? ?????????? ???????????? ?????????. ????? ????????? ??????????? ????????????, ?????????? ??? ?????????? ????????? ?????????, ? ??????? ? ???????? ????????? ?????????? ????? ?????? ??????????. ?? ????????? ?????, ??? ???????? ???????????? ??? ????????????, ??? ??????? ?????????? ??????? ? ?????????? ???????????. ??? ?????????? ????? ????????????? ?????????. ? ?????? ?????? ?????????? ??????????? ?? ???????????? ?????????? - ??????????? ???????? ??? ??????? ????????????? ???????????? ???????? ???????? ??????????, ??????? ?? ?????????? ????????, ??? ??????????. ?????????? ????????? ?????????? ? ?????????. ??? ???????????????? ??????? ?????????? ????????????? ?????????????, ?????????? ?? ?????????? ????????? ? ?????????? ??????????.

Факт совпадений и несовпадений значений теоретического корреляционного отношения з и линейного коэффициента корреляции r используется для оценки формы связи. [4]

Выше отмечалось, что посредством теоретического корреляционного отношения измеряется теснота связи любой формы, а с помощью линейного коэффициента корреляции - только прямолинейной. Следовательно, значения з и r совпадают только при наличии прямолинейной связи. Несовпадение этих величин свидетельствует, что связь между изучаемыми признаками не прямолинейная, а криволинейная. Установлено, что если разность квадратов з и r не превышает 0,1 , то гипотезу о прямолинейной форме связи можно считать подтвержденной. В моем случае наблюдается примерное совпадение линейного коэффициента детерминации и теоретического корреляционного отношения, что дает мне основание считать связь между капиталом банков и их работающими активами прямолинейной.

При линейной однофакторной связи t-критерий можно рассчитать по формуле:

,

где (n - 2) - число степеней свободы при заданном уровне значимости б и объеме выборки n. ?????? ?????????????? ??????? ??????? ? ?????????? ??????, ??????????? ?? ????????? ??????????? ??????????? ???????? ?????? ???????? ????????? ??????????. ????????????? ?????? ???????? ???????? ????????? ???????????? ???????????? ????? ?????????-?????????????? ???????????. ??? ?????? ?? ?????????? ? ?????? ????? ???????????????? ? ?????????????? ??????? ???????????? ?????? ???????? ?????????. ????????? ??????????????? ???????????? ??????? ? ???, ??? ????? ????? ?????????? ??????? ? ????????????? ?????????? ???????. ?????? ????? ?????? ????? ????? ????????? ?????????, ????? ??????? ???????? ?????????? ???????, ??????????????? ??????????? ???????. ???????? ?????????? ??????? ?????????. ?????? ?????????????? ??????????, ????????? ? ????????????? ????????, ??????? ? ?????????????, ??? ????????????? ?????? ???????????? ????????? ? ???????????, ?????? ??? ????????? ???????? ????????? ????????????. ????? ????, ? ?????? ?????? ?? ????????????? ?????????? ??? ??????????? ????????. ?????, ?? ????????, ??????????, ????? ???? ???????? ???????????, ? ??????? ?????? ???????? (????????, ????????? ???????? ?????????), ? ????? ???????? (???????, ????? ????? ?????????????????? ?????).

Так, для коэффициента корреляции между капиталом и работающими активами получается:

Если сравнить полученное tрасч с критическим значением из таблицы Стьюдента, где н=30, а б=0,01 (tтабл=2,750), то полученное значение t-критерия будет больше табличного, что свидетельствует о значимости коэффициента корреляции и существенной связи между капиталом и работающими активами.

Таким образом, построенная регрессионная модель y=245,75+1,42x в целом адекватна, и выводы полученные по результатам малой выборки можно с достаточной вероятностью распространить на всю гипотетическую генеральную совокупность. ?? ??? ?????? ????????? ?????????? ???????? ????????. ?????? ????????????? ????????? ?? ?????????? ???????????? ??????????? ???????, ?? ????????, ???, ??? ??????? ????? ??????????, ????????????? ?????? ?????????????? ?????????. ??? ????????? ?????? ????????????? ????????? ?????????????? ????? ????????? ?????? ?????????. ? ?????? ??????????? ??????????, ??????????? ?????? ??? ??????. ?????????? ?? ???????? ????????????? ???????????? ??? ???????? ?????????????? ??????? ???? ????????????? ????????? ?? ???? ???????? ?????? ????????????? ???????? ???????? ????????? ?????????? ???????????? ????????. ??? ????? ????????? ?? ??? ????? ????????? ???????. ?????????? ? ???????? ???????? ????????? ???? ????????????? ????????????? ????? ????????????? ?????? ?, ???????????, ?? ???? ?????????? ?????????, ???????? ?? ???????????? ???????????? ????????. ???????????? ???????????? ? ????????????? ??????????. ??? ????????? ???????? ?????????, ????????? ?? ????????? ????????? ??????????, ??????? ??????????? ???? ??????????? ? ????????????? ?????????. ?????? ?? ???????????? ???????????? ?????????? ????????????? ??????????. ??????? ????? ? ????, ??? ???????? ????????? ???????. ?????????? ???????? ????????????? ?? ????????? ??????? ????? ?????.

3. Практическая часть

- уравнение регрессии.

Приведем квадратное уравнение к линейной форме:

;

Запишем матрицу X.

Составим матрицу Фишера.

Система нормальных уравнений.

Решим ее методом Гаусса.

Уравнение регрессии имеет вид:

[7]

3.1. Оценка значимости коэффициентов регрессии.

Для проверки нулевой гипотезы используем критерий Стьюдента.

Коэффициенты значимые коэффициенты.[6]

3.2. Проверка адекватности модели по критерию Фишера.

гипотеза о равенстве математического ожидания отвергается. [4]

3.3. Проверка адекватности модели по коэффициенту детерминации или множественной корреляции.

Коэффициент детерминации :

- регрессионная модель адекватна.

Коэффициент множественной корреляции

Рассчитать и построить график уравнения прямолинейной регрессии для относительных значений PWC170 и времени челночного бега 3х10 м у 13 исследуемых и сделать вывод о точности расчета уравнений, если данные выборок таковы:

xi, кГ м/мин/кг ~ 15,6; 13,4; 17,9; 12,8; 10,7; 15,7; 11,7; 12,3; 12,3; 11,1; 14,3; 12,7; 14,4 yi, с ~ 6,9; 7,2; 7,1; 6,7; 7,6; 7,0; 6,4; 6,9; 7,7; 7,6; 7,9; 8,2; 6,8

Решение

1. Занести данные тестирования в рабочую таблицу и сделать соответствующие расчеты.

1. Рассчитать значение нормированного коэффициента корреляции по формуле:

2. Рассчитать конечный вид уравнений прямолинейной регрессии по формулам (2) и (3):

(2)
(3)

Т.е.

4. Рассчитать абсолютные погрешности уравнений регрессии по формулам (4) и (5):

5. Рассчитать относительные погрешности уравнений регрессии по формулам (6) и (7):

6. Для графического представления корреляционной зависимости между признаками рассчитать координаты линий регрессии, подставив в конечный вид уравнений (1) и (2) данные любого исследуемого (например, четвертого из списка).
Тогда:

при х = 12,8 кГм/мин/кг у =7,235 с » 7,2 с;

при у = 6,7 с х = 13,895 с » 13,9 кГм/мин/кг.

7. Представить графически данное уравнение регрессии.

8. На основании произведенных расчетов и графического изображения уравнения регрессии сделать вывод.

Вывод:
1) в исследуемой группе наблюдается недостоверная обратная взаимосвязь между данными относительных значений PWC170 и времени челночного бега 3х10 м, т.к. rху = -0,20 < rst = 0,55 для К= 11 при ?= 95%;
2) относительная погрешность функции ух = 7,875 - 0,05х меньше (7,22%), а, следовательно, прогноз результата в челночном беге по данным относительных значений пробы PWC170 более точен;
3) на графике линии уравнения регрессии расположены почти под прямым углом, так как значения коэффициента корреляции близки к нулю.[3]

Заключение

В исследуемой группе наблюдается недостоверная обратная взаимосвязь между данными относительных значений PWC170 и времени челночного бега 3х10 м, т.к. rху = -0,20 < rst = 0,55 для К= 11 при ?= 95%;
- относительная погрешность функции ух = 7,875 - 0,05х меньше (7,22%), а, следовательно, прогноз результата в челночном беге по данным относительных значений пробы PWC170 более точен;
- на графике линии уравнения регрессии расположены почти под прямым углом, так как значения коэффициента корреляции близки к нулю.

Также в работе показана корреляционная зависимость показателей 32 российских банков, проведен регрессионный анализ и нашли регрессионную модель данной взаимосвязи показателей. ?????? ?????????????? ??????? ??????? ? ?????????? ??????, ??????????? ?? ????????? ??????????? ??????????? ???????? ?????? ???????? ????????? ??????????. ????????????? ?????? ???????? ???????? ????????? ???????????? ???????????? ????? ?????????-?????????????? ???????????. ??? ?????? ?? ?????????? ? ?????? ????? ???????????????? ? ?????????????? ??????? ???????????? ?????? ???????? ?????????. ????????? ??????????????? ???????????? ??????? ? ???, ??? ????? ????? ?????????? ??????? ? ????????????? ?????????? ???????. ?????? ????? ?????? ????? ????? ????????? ?????????, ????? ??????? ???????? ?????????? ???????, ??????????????? ??????????? ???????. ???????? ?????????? ??????? ?????????. ?????? ?????????????? ??????????, ????????? ? ????????????? ????????, ??????? ? ?????????????, ??? ????????????? ?????? ???????????? ????????? ? ???????????, ?????? ??? ????????? ???????? ????????? ????????????. ????? ????, ? ?????? ?????? ?? ????????????? ?????????? ??? ??????????? ????????. ?????, ?? ????????, ??????????, ????? ???? ???????? ???????????, ? ??????? ?????? ???????? (????????, ????????? ???????? ?????????), ? ????? ???????? (???????, ????? ????? ?????????????????? ?????).

Полученное уравнение y=245,75+1,42х позволяет проиллюстрировать зависимость размера работающих активов банков от размера их капитала.

И так, с помощью корреляционно-регрессионного анализа, можно исследовать показатели банков.[8]

Использованная литература

1. Аверкин А.Н., Батыршин И.З., Блишун А.Ф. и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта // Под ред. Д.А. Поспелова. - М.: Наука, 1986. - 312 с.

2. Аветисян Д.О. Проблемы информационного поиска: (Эффективность, автоматическое кодирование, поисковые стратегии) - М.: Финансы и статистика, 1981. - 207 с.

3. Айвазян С.А., Бежаева З.И., Староверов О.В. Классификация многомерных наблюдений. - М.: Статистика, 1974. - 240 с.

4. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное издание. - М.: Финансы и статистика, 1983. - 472 с.

5. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей: Справочник. - М.: Финансы и статистика, 1985. - 182с.

6. Айвазян С.А. , Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М. Юнити, 1998. - 1024 с.

7. Ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика. - М.: Изд-во иностр. лит., 1960. - 302 с.

8. Гайдышев И.П. Анализ и обработка данных: специальный справочник. - СПб.: Питер, 2001. - 752 с.

9. Гмурман В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1972. - 368 с.

10. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. - М.: Высш. шк., 2001. - 336 с.

11. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. - М.: Наука, 1966. - 566 с.

12. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. - М .: Наука, 1973. - 899 с.